专题06 函数与方程不等式及函数的应用（期中复习讲义）高一数学上学期人教B版

专题06 函数与方程不等式及函数的应用 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 求函数的零点 考点二 函数的零点存在定理 考点三 函数零点的分布 考点四 二分法求方程的近似解 考点五 函数与方程的综合应用 考点六 二次函数模型解决实际问题 考点七 分段函数模型的应用 05 重难题型突破 题型一 二次函数的零点分布 题型二 由函数的零点个数求参数范围 题型三 函数基本性质的综合应用 题型四 嵌套函数的零点问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 基础题侧重求函数零点零点存在定理判断零点是否存在二分法求近似解 中档题集中在零点分布分析函数与方程综合二次函数模型应用题分段与分式函数模型实际问题 难题多为二次函数零点分布由零点个数求参数范围嵌套复合函数零点问题函数多性质综合应用 命题侧重数形结合转化与化归思想函数方程思想易错点集中在零点存在定理只保证存在不保证唯一忽略定义域嵌套函数零点分层遗漏根建模忽略实际变量取值范围 识记 牢记函数零点定义零点存在定理内容二分法操作步骤二次函数分段函数分式函数模型基本形式 理解 理解零点与方程根函数图像与x轴交点三者之间的关系理解零点存在定理适用条件理解函数建模的基本流程 应用 会求解函数零点利用零点存在定理判断零点存在性分析零点分布能用二分法求方程近似解解决函数与方程综合问题建立二次分段分式函数模型处理实际问题掌握二次零点分布零点个数求参嵌套函数零点综合题型 1．函数的零点 （1）函数零点的定义 对于函数，我们把使_________的实数叫做函数的零点． （2）几个等价关系 方程有实数根⇔函数的图象与___轴______有交点⇔函数有__ 零点_______． （3）函数零点的判定（零点存在性定理） 若函数在闭区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________，那么，函数在开区间_________内至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个解． 2．对于一般的函数，，若函数的图象是一条____连续____的曲线，________，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法． 考点一 求函数的零点 ⚠️概念辨析 函数零点是方程的实数根对应函数图像与x轴交点横坐标零点是数值不是点 ⚠️避坑指南 直接解方程求解前先确定定义域求出根后检验是否在定义域内 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列函数的零点： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)1 (2)4， (3)，1 【分析】根据函数零点与相应方程的根之间的关系，结合因式分解求解即可． 【详解】（1）令，即， 也即或，所以， 故函数的零点为1. （2）. 令，即，解得或， 故函数的零点是4，. （3）. 令，则，解得或， 故函数的零点是，1. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的零点是______. 【答案】 【详解】由知， 令，解得：或， 所以函数的零点是. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的零点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，即，解方程得， 由函数零点的定义可知，函数的零点是，故C正确. 4．（25-26高三下·北京·开学考试）已知函数若，则的零点为___________．记的零点个数为，则函数的值域为___________． 【答案】 【分析】把代入函数，令可得； 分类讨论的情况即可得; 【详解】当时，, 令，解，得,不满足，故舍去； 解，得或，符合题意， 故答案为0，2； 最多一个零点，最多两个零点； 当时，若，由，得，函数有两个零点， 时，若，则存在一个零点，若，则不存在零点； 所以时，的零点个数为或者个，所以或； 当时，，此时只有一个零点，即，； 当时，此时在时，无零点；，也无零点，； 综上，函数的值域为. 考点二 函数的零点存在定理 ⚠️概念辨析 函数在闭区间连续且则区间内至少存在一个零点 ⚠️易混易错 先确认函数连续端点函数值异号只能判定至少一个零点不能确定零点数量反之同号不能判定无零点 5．（26-27高一上·北京·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数零点存在性定理判断即可. 【详解】已知， ，，， ，， ， 根据零点存在性定理可知，区间一定包含的零点. 6．（26-27高一上·辽宁·期中）若函数在区间上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的图象是开口向上的抛物线，且， 根据零点存在定理可知，若在区间上有零点， 则需满足 ，解得，因此的取值范围为. 7．（25-26高一下·云南·开学考试）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，结合零点的存在性定理，即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数为上的增函数， 故函数在有且仅有一个零点， 因为，， 所以函数的零点所在的区间为． 8．（25-26高一上·河北·期末）函数的零点所在区间可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可. 【详解】因为在定义域上单调递增，在，上单调递增， 所以在，上单调递增， 又，，，， 所以，所以在上存在零点. 故选：C 考点三 函数零点的分布 ⚠️概念辨析 根据零点所在区间结合函数单调性图像列出端点函数值不等式 ⚠️易混易错 数形结合画出草图标注区间端点函数符号结合单调性锁定零点位置 9．（2026·河南平顶山·模拟预测）函数只有一个零点，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】令，则的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数， 要使函数只有一个零点， 则函数的图象与直线只有一个交点， 根据偶函数的图象特征，可知. 10．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）若二次函数有两个零点，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【详解】因为二次函数，所以， 又二次函数有两个零点，所以的， 综上，实数a的取值范围是. 11．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）已知函数 (1)讨论函数的奇偶性，并说明理由； (2)若方程有两个不同的正根，求实数的范围． 【答案】(1)当时，是偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数 (2) 【分析】（1）由奇偶性定义，分别检验与，计算得，只有时满足偶函数；奇函数不可能成立，故时为偶函数，时非奇非偶. （2）方程化为，有两个不同正根，需同时满足：判别式大于零、两根之和大于零、两根之积大于零，由韦达定理列三个不等式，解得实数的范围. 【详解】（1）已知，定义域为，， 偶函数恒成立，代入得：， 化简得，该式要对所有实数恒成立，仅当时满足， 此时函数变为，符合偶函数定义； 奇函数恒成立，代入得：， 化简得，方程没有实数解，不可能对所有恒成立，因此不可能是奇函数， 综上：当时，是偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数. （2）由得，移项得： 方程有两个不同的正实根，则， 化简得，因式分解得，解得或， 且，解得，，解得， 综上，取交集得，即实数的取值范围是. 12．（26-27高一上·河南信阳·阶段检测）关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】把原方程的解转化为方程在上有两个不同的正数解，利用判别式及韦达定理可求参数的范围. 【详解】令，则，则原方程可化为， 因为关于的方程有4个不同的实数根， 故方程在上有两个不同的正数解， 故，解得. 考点四 二分法求方程的近似解 ⚠️概念辨析 在零点存在区间内不断取中点逐步缩小区间范围直到区间精度满足要求 ⚠️易混易错 固定操作流程确定初始区间计算中点函数值判断零点所在子区间循环迭代直到达到精度 13．（26-27高一上·全国·课堂例题）用二分法求方程在区间内的实根，由计算器可算得，，，求下一个有根区间． 【答案】 【详解】因为，，， 所以下一个有根区间为. 14．（25-26高一上·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法求函数近似值的方法步骤可得. 【详解】因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或， 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 故选：D 15．（25-26高一上·上海徐汇·期末）若用二分法求函数在区间上零点的近似值，第一次取区间的中点为，则第二次应该取区间的中点为________． 【答案】 【分析】利用零点存在定理可求答案. 【详解】设，因为所以零点在区间内， 所以第二次应该取区间的中点为. 故答案为： 16．（25-26高一上·吉林延边·期末）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【分析】由零点存在定理及二分法求解即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间（1.75，1.8125）内， 且， 结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C． 考点五 函数与方程的综合应用 ⚠️概念辨析 方程根的问题等价转化为函数零点问题转化为图像交点个数问题 ⚠️易混易错 将等式变形拆为两个熟悉函数转化为两个函数图像交点问题利用数形结合分析交点数量 17．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数，则的值域是__________．若关于的方程有八个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性，再应用分类去绝对值得出函数及值域即可；令，求出的范围，得出关于的一元二次方程有两个实数根，再由一元二次方程根的分布得出实数的取值范围. 【详解】因为函数定义域为，且， 所以为偶函数，所以当时，， 所以； 当时，，所以； 所以的值域是； 关于的方程有8个不同的实数根， 令，则， 故关于的一元二次方程有两个实数根，且这2个实数根大于0小于. 令， 则由，求得. 综上可得，的范围为 18．（26-27高一上·上海浦东新·开学考试）高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】由条件画出函数的图象，表示恒过的直线，结合函数与函数有且仅有三个交点求实数的取值范围. 【详解】当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则；…… 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则；…… 所以函数的图象如图所示，函数表示恒过的直线， 若方程有三个不同的实根，则函数与函数有且仅有三个交点， 由图可得，当直线过点时，；当直线过点时，； 当直线过点时，；当直线过点时，； 则实数的取值范围是或，故选D. 19．（2026高三上·全国·专题练习）已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】画出函数的图象，如图： 因为关于的方程恰有3个不同的实数解， 不妨设，则，根据二次函数的对称性可得， 所以，即的取值范围是. 20．（北京市景山学校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题）已知函数的定义域为，满足，且当时，．有以下三个结论： ①； ②当时，方程在区间上有三个不同的实根； ③函数有无穷多个零点，且存在一个零点． 其中，所有正确结论的序号是_____． 【答案】①② 【分析】利用即可计算；利用，且当时，可计算函数在上的解析式，作出函数图象与直线判断方程根的个数；利用当时，可解得一个零点，再利用得零点为即可. 【详解】因为，所以，即，故①正确； 由，且当时，得 . 函数在的大致图象如图所示，由图可得，当时，函数与直线有三个交点，即方程在区间上有三个不同的实根，故②正确； 当时，由得. 由得若，则，，所以函数的所有零点为. 所以函数有无穷多个零点，但不存在整数零点.故③错误. 考点六 二次函数模型解决实际问题 ⚠️概念辨析 二次函数模型多用于最值类应用题建立二次函数后结合定义域求最值 ⚠️易混易错 读懂题意设出自变量列出函数表达式注意自变量实际取值范围结合开口对称轴求最值 21．（26-27高三上·湖南·阶段检测）某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为4万元，但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)2万元.市场对此产品的年需求量为500台(即公司的年产量不超过500台)、年销售额(万元)函数为 其中x是产品的年销售量(单位：百台).该工厂实行产销平衡，即年产量等于年销售量. (1)求每百台的平均利润函数m(x)； (2)年产量是多少时，工厂不亏本? (3)年产量是多少时，每百台的平均利润最大? 【答案】(1) (2)台 (3)200台 【详解】（1）设每百台的利润函数为，， . 每百台的平均利润函数. （2）工厂不亏本,即， 解得，又，所以. . 因年产量为整台，故最低不亏本产量向上取整为77台， 所以年产量在台时，工厂不亏本. （3），，， 所以，当且仅当，即时等号成立. 所以年产量是200台时，每百台的平均利润最大. 22．（26-27高一上·安徽蚌埠·阶段检测）某储能电站采用新型储能技术，对电网低谷电能进行储存、高峰电能释放利用．已知该电站每月储能处理量（充放电总容量）最少为400吨标准电量，最多为800吨标准电量，月储能运营成本（元）与月储能处理量（吨标准电量）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨标准电量可产生的电网调度收益为300元． (1)该电站每月储能处理量为多少吨标准电量时，才能使每吨的平均储能运营成本最低？ (2)该电站每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该电站不亏损？ 【答案】(1)每月储能处理量为400吨标准电量时，每吨的平均储能运营成本最低 (2)该电站每月可以获利，最大利润45000元． 【分析】（1）先列出每吨的平均储能运营成本，再利用基本不等式解决即可； （2）列出每月的获利与月储能处理量的关系式，再利用二次函数求值域，即可求解. 【详解】（1）根据题意，每吨的平均储能运营成本，， 由基本不等式， 当且仅当吨时，每吨的平均储能运营成本最低是200元. （2）每月的获利，， 化简，因为，所以， 当吨时，可获利45000元. 综上，该电站每月可以获利，最大利润45000元. 23．（26-27高一上·四川·期中）某公司引进一种智能设备投入生产，已知该设备的固定投入为万元，每生产吨产品还需再投入材料、人工等费用万元.根据市场调研，产品的销售单价（万元/吨）与生产量（吨）满足如下关系：（生产吨产品就需更换新设备），假设生产的产品可以全部售出. (1)求总利润（万元）关于生产量（吨）的函数： (2)至少需要生产多少吨产品，公司才不会出现亏损？ (3)当生产量为多少吨时，可使总利润达到最大？ 【答案】(1) (2)吨 (3)吨 【分析】（1）根据销售单价公式和成本可知，，再写成分段函数的形式； （2）由分段函数计算当时，由，计算至少需要的产品数量； （3）由分段函数分别计算当和时的最值，再比较大小，即可求解. 【详解】（1）由题意，， . （2）当时，由，得. 故，整理得. 故，解得，结合，知， 当时，由恒成立， 综上可知至少需要生产吨产品，公司才不会出现亏损. （3）当时，. 因为. （当且仅当，即（吨）时取“”号） 所以（万元）. 当时，因为抛物线的对称轴， 所以（万元）. 因为，所以当生产量吨时，总利润达到最大. 考点七 分段函数模型的应用 ⚠️概念辨析 不同自变量范围对应不同解析式多用于分段计费梯度收费类实际场景 ⚠️易混易错 划分出自变量不同区间分别列式计算时先判断自变量落在哪一段分段点单独校验 24．（24-25高一上·福建厦门·期中）某公司生产一种电子仪器的固定成本为15000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入满足函数： ，其中是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？（利润＝总收入－总成本） 【答案】(1) (2)每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为30 000元． 【分析】（1）根据利润＝总收入－总成本分段代入求解即可. （2）结合二次函数及一次函数的最值求解即可. 【详解】（1）因为月产量为台，则总成本为， 所以当时，， 当时，， 综上，. （2）当时，. 所以当时，取得最大值，最大值为30000； 当时，是减函数， 所以. 综上，当时，的最大值为30000，即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为30000元． 25．（25-26高一上·福建泉州·期中）近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且 ，已知当年产量为10万件时，需另投入可变成本为16600万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000元，且假定全年产量可当年全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)45万件；2600万元. 【分析】（1）先根据题意求出的值，然后根据利润=销售收入-成本求出年利润与年产量的关系式. （2）先求出时年利润的最大值，再求出时利润的最大值，最后比较大小可得公司所获年利润最大. 【详解】（1）当时，，解得.                            由题意可知， 当时，， 当时，. 所以年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式为. （2）当时， 开口向下，所以当时，. 当时， . 当且仅当，即时，等号成立，此时， ，所以该组件的年产量为45万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2600万元. 题型一 二次函数的零点分布 典例1 （26-27高一上·江苏南京·阶段检测）若函数的两个零点都在区间内，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】由二次函数根的分布的性质，结合对称轴，顶点纵坐标及特殊点函数值得到不等式组，求出答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 顶点纵坐标为， 要想函数的两个零点都在区间内，需满足， 解得，故实数m的取值范围是 💡破题要诀 【核心知识】二次函数在指定区间存在零点综合判别式对称轴区间端点函数值符号约束 【破题要诀】画出二次函数草图分零点在区间内区间端点一内一外多种情况列出不等式组求解 迁移应用 1．（26-27高三上·江西·阶段检测）若函数有两个零点，其中一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】∵ 函数的二次项系数为， ∴ 函数图象为开口向上的抛物线. ∵ 的两个零点分别位于区间与内， ∴ . 解得. 2．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）设为实数，函数，若有且只有一个零点，则的取值集合为__________． 【答案】 【详解】因为函数有且只有一个零点，即关于的方程有且只有一个实数根. 当时，方程的解为，符合题意； 当时，，解得或； 综上所述， 的取值集合为. 题型二 由函数的零点个数求参数范围 典例1 （26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数． (1)已知对任意恒成立，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，解集为，当时，解集为或，当时，解集为，当时，解集为；当时，解集为； (3)． 【分析】（1）将不等式恒成立问题转化为函数恒小于0问题，分类讨论二次项系数是否为0，结合判别式求解参数范围；（2）先对二次式因式分解，再根据二次项系数符号、两根大小关系分类讨论，求解一元二次不等式的解集；（3）利用偶函数对称性，将含绝对值的方程转化为关于的二次方程，把四个实根问题转化为二次方程有两个正根问题，结合基本不等式与存在性条件求解参数范围. 【详解】（1）将代入不等式，整理得，该不等式对任意恒成立，分类讨论： 当时，不等式化为，对任意恒成立，符合条件； 当时，函数是二次函数，要使恒成立，需满足，解得， 综上，实数的取值范围是. （2）由得， 当时，不等式化为，解得，解集为， 当时，不等式化为，此时，不等式的解集为或， 当时，方程的两根为，， 若，则，不等式的解集为， 若，则不等式化为，无解，不等式的解集为； 若，则，不等式的解集为； （3）令，原方程化为 整理为， 原方程有四个不同实根，等价于关于的方程有两个不同的正实根（每个正根对应两个互为相反数的）. 由基本不等式，时，因此，即方程的常数项恒为负数. 设方程两个不同的正实根为，需同时满足： ，因为分子，因此必须. ，结合，得，即. ，化简得，结合，两边除以（不等号变向）：， 题目要求“存在”满足条件，即存在使得上述不等式成立，只需右边大于的最小值即可，，结合，得， 解二次不等式，得或， 结合前提，所以，故实数的取值范围为． 💡破题要诀 【核心知识】零点个数转化为方程根的个数进一步转化为两个函数图像交点数量 【破题要诀】分离参数或者数形画图画出定函数图像平移动图像观察交点个数变化对应的参数边界 迁移应用 1．（26-27高一上·山东济南·开学考试）若关于的方程恰有一个实根，则的取值范围为________． 【答案】或 【分析】令，换元后转化为方程有一解，结合根与系数的关系及判别式分类讨论即可. 【详解】令， 则原方程等价为， 当时，方程为，不成立，故， 由可得， 代入可得， 即，显然时方程不成立， 所以方程有一解， 当即时，方程有一解，符合题意； 当时，设， 二次函数开口向下，且， 所以方程有一正根，符合题意； 当时，， 且，可知方程有两不等正根，不符合题意； 当时，，方程无实数根，不符合题意； 当时，，此时方程为， 解得，符合题意； 当时，，且， 可知方程有两不等正根，不符合题意. 综上，的取值范围为或. 2．（26-27高三上·江西·阶段检测）若函数的图象与函数的图象有4个不同的交点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题研究分段函数与含参绝对值函数的图像交点个数问题，将图像交点问题转化为方程实数解的个数问题；对参数分类讨论，结合绝对值的定义拆分方程，利用一元二次方程判别式与根的分布，判断根的个数与根所在区间，进而求出参数的取值范围． 【详解】函数的图象与函数的图象有4个不同的交点等价于有个不同的实数解， 当时，对于，，解得或，对于，，解得（舍去），故有个不同的实数解，不满足题意； 当时， 对于，，则或化简为或，两个实数解不同且小于零，满足条件， 对于，，易知是方程的解，当时，可转化为， 又该一元二次方程，所以化简后的方程有两个不相等的实数解，且一个为正实数解，一个为负实数解（舍去）， 故有个不同的实数解； 当时， 对于，，即，解得或，均不满足，该区间无解， 对于，，易知是方程的解，当时，可转化为，即或， 一元二次方程的，其有两个不相等的实数解，取其中正实数解，该解落在区间符合条件，负实数解舍去， 欲使有个不同的实数解，则有两个不相等且大于的正实数解，需满足，解得， 综上，实数的取值范围是． 题型三 函数基本性质的综合应用 典例1 （24-25高三上·江苏淮安·阶段检测）（多选）定义在上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（ 　 ） A． B． C．2为的一个周期 D． 【答案】BD 【分析】由得函数的图象关于直线对称，由为奇函数得函数的图象关于点对称，从而函数是周期函数，周期为4，由得的图象关于点对称，从而函数与的交点也关于点对称，由此可判断各项. 【详解】因为， 所以函数的图象关于直线对称， 又为奇函数， 所以， 即，则函数的图象关于点对称， 则，故B正确； 所以， ， 即，所以函数是周期函数，周期为4，故C错误； ，故A错误； 又，所以函数 的图象关于点对称， 因此函数与的交点也关于点对称， 则， 故D正确， 故选：BD. 💡破题要诀 【核心知识】融合单调性奇偶性值域零点多种性质分析方程根与参数 【破题要诀】先挖掘函数单调性奇偶性简化函数再结合图像分析零点情况不要忽略定义域限制 迁移应用 1．已知定义在上的函数满足，且当时， ，则方程的所有解的和为______. 【答案】 【分析】由函数在上的解析式可知在上单调递减，在上单调递增，求出最值，并利用求出其他区间内函数的表达式为，又可得出时关于的方程，利用韦达定理即可求得所有解的和. 【详解】当时，， 易知在上的图象可由函数的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且函数在上单调递减，在上单调递增， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴，又，且， ∴. ∵， ∴当时，，，∴，， ∴，， 此时的最小值为，最大值为.. 易知，∴当时，，， ∴， 整理得， 函数在上单调递减，在上单调递增，且在上的最小值为，最大值为，，，∴方程必有2个解； 由韦达定理可知方程的所有解的和为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数在上的解析式判断出其单调性求出最值，再结合求出其他区间内函数的表达式，即可构造关于的方程，即可实现问题求解. 2．已知定义域为的函数，若存在实数，使得对任意，都存在满足，则称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质，说明理由； (2)若函数的定义域为D，且具有性质，求证：“函数存在零点”是“”的一个必要不充分条件； (3)若存在唯一的实数a，使得函数，具有性质，求实数t的值. 【答案】(1)不具有，理由见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据新定义证明即可； （2）由定义结合必要不充分条件证明即可； （3）由唯一，则函数的定义域与值域关于对称，因为，值域为，则，然后对进行分类讨论即可. 【详解】（1）指数函数不具有性质. 理由如下：指数函数的定义域为， 对于，， 因为，， 所以不存在满足， 因此函数不具有性质. （2）因为，由于函数具有性质， 取，则存在，使得， 所以， 因此函数存在零点. 即“函数存在零点”是“”的必要条件. 若函数存在零点， 设，，则， 因为对于任意，则，则， 且满足， 所以函数具有性质，但， 因此“函数存在零点”不是“”的充分条件. “函数存在零点”是“”的一个必要不充分条件； （3）由唯一，则函数的定义域与值域关于对称， 因为，值域为，则， i：当时，的值域为，此时不满足题意； ii：当时，的对称轴为， 开口向上且， 值域为：，此时， 所以不满足题意， iii：当时，的对称轴为， 开口向下， ①当即时， 且， 解得或（舍去）， ②当即时， 且， 不满足题意； ③当即时， 且，满足题意； 综上所述：或. 【点睛】思路点睛： 对新定义的题型要注意一下几点： （1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点 （2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件 （3）含有参数是要注意分类讨论的思想. 题型四 嵌套函数的零点问题 典例1 （2026高一上·全国·专题练习）已知函数且关于的方程无实根，下列说法正确的是______． ①关于的方程也一定无实根． ②若，则不等式对一切实数都成立． ③若，则一定存在使． ④若，则不等式对一切实数都成立． 【答案】①②④ 【分析】依题意可得函数的图象与直线没有交点，所以或恒成立，从而得到或恒成立，然后再逐一判断即可得出答案. 【详解】因为方程无实数根，即函数的图象与直线没有交点， 所以或恒成立. 因为或恒成立， 所以没有实数根，故①正确； 若，则不等式对一切实数都成立，故②正确； 若，则不等式对一切实数都成立， 所以不存在实数，使，故③错误； 若，则 ，可得 ， 因此不等式对一切实数都成立，故④正确； 💡破题要诀 【核心知识】复合嵌套函数分层从外层向内层解方程 【破题要诀】令外层等于0先解内层函数的取值再逐个求解内层方程根分层计数避免漏根 迁移应用 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【分析】利用换元法，将多层复合方程拆解为外层和内层方程，通过分析外层方程根的分布，反推参数的取值范围. 【详解】已知，其值域为， 令，则原方程可化为，即：， 设该方程的两根为（），要使有4个不同实根，需满足： 有两个不同的实根，这两个根均大于. 即有两个不同实根，则 设，要使的两根均大于，需满足： 其中. 同时，当时，， 若，则是方程的一个根，此时仅有1个根， 有2个根，总根个数为3，不符合题意. 当时，（二重根），此时有2个不同实根，总根个数为2，不符合题意. 综上，的取值范围为. 2．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，则函数的零点为______；若函数有3个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 或 或 【详解】当时，由得，解得或， 当时，由得，解得（舍）， 作出的图象如图，由得或， 即或， 当，即时，无实根，此时，最多两个实根，与题意不符； 当，即时，有一个实根，有两个实根，符合题意； 当，即时，有两个实根，此时，至少有两个实根，不符合题意； 当，即时，有三个实根，至少有一个实根，不符合题意； 当，即时，有两个实根，此时，有4个实根，不符合题意； 当，即时，有两个实根，此时，有一个实根，符合题意； 当，即时，有两个零点，有一个零点，符合题意； 当，即时，有一个零点, 有一个零点，不符合题意； 综上所述，有3个零点时，或. 基础固本练（限时：15分钟） 1．（24-25高一上·福建厦门·期中）（多选）已知函数，下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．函数的单调递增区间为 D．若方程有三个不等实根，则实数t的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据函数解析式代值计算即可判断A；根据分段函数解析式，分别求得值域，求并集即可判断B；画出函数图象即可判断CD． 【详解】A选项，，A选项正确； B选项，当时，； 当时，，当且仅当时等号成立， 所以函数的值域为，B选项正确； C选项，由图象可知，函数的单调递增区间为，所以C选项错误； D选项，由图可知，若有三个不等实根，则直线与图象有三个不同交点，由数形结合得，当时符合，故D选项正确． 2．（25-26高一下·海南海口·期中）已知函数，则关于直线与函数的图象的交点的个数说法错误的是（    ） A．当时，有3个交点 B．当时，有且只有1个交点 C．当时，有2个交点 D．当时，没有交点 【答案】D 【分析】作出，，的函数图象，根据图象的交点以及的范围进行分类讨论，由此判断即可. 【详解】直线与直线有一个交点， 联立直线，解得或， 所以直线与直线的交点为，， 在同一平面直角坐标系中作出，，的图象如图所示， 当时，有3个公共点，分别为，A正确. 当时，有且只有1个公共点，为，B正确. 当时，有2个公共点，分别为，C正确. 当时，①时，有3个公共点，分别为；时，有2个公共点，分别为，D错误. 3．（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在性定理，通过端点值的正负加以判断. 【详解】由， 根据零点存在性定理，由函数在区间上是连续的,且， 所以函数在区间上一定存在零点，故B正确； 而，则在上不一定有零点，故A错误； 又，则在，上也不一定有零点，故CD错误； 故选：B 4．（25-26高一上·江苏淮安·期中）如果二次函数有两个不同的零点，那么实数m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围. 【详解】由二次函数有两个不同的零点，得，即， 解得或，所以实数m的取值范围为或. 故选：C 5．（25-26高一上·广东东莞·期中）已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表： 1 1.5 1.75 1.875 2 -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则在上的零点个数（　　） A．只有1个 B．至少有2个 C．至多有2个 D．只有2个 【答案】B 【分析】结合题意，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因为函数的图象是连续不间断的， 且， 所以根据零点存在性定理，函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由，所以函数在区间上至少存在一个零点； 因此，函数在区间上至少存在2个零点. 故选：B. 6．（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数在区间上单调，且图象是连续不断的，若，则方程在区间上（    ） A．至少有一实数解 B．至多有一实数解 C．没有实数解 D．必有唯一的实数解 【答案】D 【分析】利用零点存在性定理及函数的单调性判定即可. 【详解】因为函数在区间上单调且连续， 则或， 由零点存在性定理知必有唯一的实数解使得， 即方程在区间上必有唯一的实数解. 故选：D 7．（2025·安徽·二模）已知函数（其中表示不超过的最大整数），则关于的方程的所有实数根之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知可将方程转化为，结合的定义可得，即，解不等式，再分别判断个区间内解的情况. 【详解】，即， 因为，所以可得，解得， 当时，满足题意； 当时，即，解得，满足题意； 当时，即，解得，满足题意，所有实数根之和为， 故选：A. 8．（24-25高一上·河南漯河·期末）（多选）高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一､享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如.已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．方程在区间上有4个实数根 C．若，则 D．，都有 【答案】BCD 【分析】根据高斯函数的定义，化简，结合选项可得答案. 【详解】对于A, , 所以，故函数在上不是单调递增，A不正确； 对于B,当时，，此时的解为； 当时，，此时的解为； 当时，，此时的解为； 当时，，此时的解为； 当时，，此时无解. 故方程在区间上有4个实数根，B正确； 对于C,由题意，故，所以， 所以，即，C正确； 对于D,由C可知，所以，D正确. 故选：BCD 9．（24-25高一上·上海徐汇·期末）用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则__________. 【答案】 【分析】根据二分法的求解过程写出下一个，即可得得解. 【详解】由二分法的求解过程知，下一个为，所以. 故答案为： 10．（24-25高一上·山东德州·期中）已知函数若存在实数，使得函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出函数的图象，根据图象可求解. 【详解】由题意，， 函数有4个不同的零点， 函数的图象和直线有4个交点， 函数的图象如下：    由图可知，当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增，且， 当 时，函数单调递增， 当时，函数单调递减，且； 所以实数的取值范围是. 故选：B. 11．（25-26高一上·重庆·期中）（多选）某国超额累进税率分五档，年收入中不超过万元的部分，税率为，超过万元至万元的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万的部分，税率为，纳税所得额的计算公式为：纳税所得额年收入税率.若张某年收入在到之间徘徊，下列函数可能可以计算他的交税数额的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据条件，分，，三种情况，再结合题设条件，即可求解. 【详解】当万元时，由题知， 当万元时，由题知， 当元时， 由题知， 综上所述，A、B、C正确，D错误， 故选：ABC. 12．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，，，，，那么方程的一个近似解（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二分法基本原则确定满足精确度的区间即可得到近似解. 【详解】，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 满足精确度，， 方程的一个近似解为. 故选：C. 13．（25-26高一上·上海·期中）“”科技公司新研发了一款取名“灵犀”的智能笔，每生产x千支“灵犀”笔的总成本为千元，用AI软件对市场的相关数据进行分析得知，“灵犀”笔投放市场后可以全部销售完，其销售额为（单位：千元）． (1)求“”科技公司生产销售“灵犀”笔的利润y（千元）关于产量x（千支）的函数关系式； (2)当产量为多少千支时，“”科技公司在生产销售“灵犀”笔中所获得的利润最大？ 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)利用销售额减去成本就等于利润来分段表达即可； (2)利用分段求函数的最大值，从而可作出判断. 【详解】（1）依题意，“”科技公司生产销售“灵犀”笔的利润为， 则当时，； 当时，. 所以y关于x的函数关系式为； （2）当时，， 因在上单调递增，故； 当时，， 当且仅当时，即时等号成立.  因， 故当产量为11千支时，“”科技公司在生产销售“灵犀”笔中所获得的利润最大. 综合进阶练（限时：15分钟） 14．（26-27高一上·北京·期中）对任意实数，定义运算“”：设，若函数的图象与直线恰有三个公共点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据新定义运算规则求出的分段解析式，再结合分段函数的图象与性质，数形结合确定与有三个交点时的取值范围。 【详解】根据新定义的运算规则，分情况化简： 当时，整理得，解得或，此时； 当时，整理得，解得,此时. 因此的解析式为： . 分析各段函数的取值与交点情况： 当时，为增函数，值域为； 当时,为抛物线，顶点为，则值域为； 当时，值域为. 如图所示： 要使与恰有三个公共点，即的取值范围为. 15．（25-26高一上·广东深圳·期中）（多选）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确的有（   ） A．方程有且仅有1个解 B．方程有且仅有2个解 C．方程有且仅有3个解 D．方程有且仅有9个解 【答案】ACD 【分析】由函数图象得到方程和的解，由函数的极大值和极小值得到方程及的解个数，从而判断各个选项. 【详解】由函数图象可知，∴方程有且仅有1个解，A选项正确； 由图象可知函数存在极大值和极小值，又∵，所以方程有且仅有3个解，B选项错误； ∵，∴，∴方程有且仅有3个解，C选项正确； 由图象可知存在三个解即或， ∴时，或， ∴方程有且仅有9个解，D选项正确. 故选：ACD. 16．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数，，若方程有四个实数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程有四个实数解分析可得方程有一个正数解，一个零解，还有两个负数解，再结合一元二次方程的根与系数关系可得结果. 【详解】因有四个实数解，所以时方程有一个实数解，时方程有三个实数解. ①当时，由，即，因方程要有一个正实数解， 所以，即，方程有一正实数解. ②当时，由，即，显然方程有一个实数解. 所以有两负实数解，设为，由根与系数关系得 ，，得. 综上①②，得. 故选：D. 17．（25-26高一上·新疆喀什·期中）已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】首先画出的图象，由，可得或，结合图象可知与有个交点，则与有个交点，结合图象得到参数的取值范围. 【详解】因为， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，又，， 所以的图象如下所示： 由，即， 即或，所以或， 因为与有个交点，即有个不相等的实数根， 因为关于的方程有个不相等的实数根 所以与有个交点，由图可知或， 即实数的取值范围为. 故答案为： 18．（25-26高一上·山东烟台·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的有（   ） A．当时， B．当时，无最小值 C．若是上的减函数，则实数的取值范围为 D．若且方程恰有3个不等实根，则 【答案】ACD 【分析】代入得到函数解析式，先求再求即可判断A选项；当时根据函数的单调性求出函数的端点的值，并验证这个点是否是最小值判断B选项；根据分段函数单调性的定义列出不等式组，然后解得的范围，判断C选项；当得出函数解析式，然后作出函数大致图象，即可知道方程恰有3个不等实根时的取值范围，判断D选项. 【详解】当时，，， 则，A选项正确； 当时，，由二次函数可知，函数在上单调递减， ∴当时，当时，，即函数存在最小值0，B选项错误； 要想函数是上的减函数，则，即， ∴，C选项正确； 当时，，函数大致图像如下 若方程恰有3个不等实根，则，D选项正确. 故选：ACD. 19．（24-25高一上·湖南常德·期中）（多选）若函数的图象连续不断，且存在常数，使得对于任意实数恒成立，则称为“学步”函数.下列命题正确的是（   ） A．是“学步”函数 B．（为非零常数）为“学步”函数的充要条件是 C．若是的“学步”函数，且时，，则时，. D．若是的“学步”函数，则在上至少有个零点 【答案】BD 【分析】对A直接代入定义判断可得，对B根据定义及充要条件的定义判断可得，对C根据“学步”函数的定义得，由此递推次得，当时，，进而可得，代入上式与题中所给式子不符可得，对D由定义可得，进而可得，分类讨论并结合零点存在性定理，得函数在区间上至少有一个零点，再将区间分成共个，从而可得结果. 【详解】对A选项，若，代入定义得对任意恒成立， 则，矛盾，因此不是“学步”函数，A错误. 对B选项，必要性：若（）为“学步”函数， 代入定义得对任意恒成立，因，故，必要性成立； 充分性：反之若，则， 所以（）为“学步”函数，充分性成立. 因此充要条件就是，B正确. 对C选项，是的“学步”函数，代入定义得， 即对任意恒成立， 且时，，则时，. 当时，，因此， 又因为 . 与选项中当时，不符，故C错误. 对选项D，若是的“学步”函数， 代入定义得，即， 因此对任意有， 因为连续，若，由零点存在性定理，函数在区间内必有一个零点； 若，则本身就是零点. 因此函数在区间上至少有一个零点. 将分为，共个区间，每个区间至少有个零点， 因此在至少有个零点，故D正确. 20．（25-26高一上·福建厦门·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足了，则称为“局部反比例对称函数”. (1)已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”，并说明理由； (2)已知函数是“局部反比例对称函数”，求的值； (3)若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1)不是 (2)或 (3) 【分析】（1）根据新函数定义可得，判断方程有无解即可； （2）根据新函数定义有，有解，结合判别式求参数； （3）根据已知得，令得有解，结合二次函数的性质求参数范围. 【详解】（1）因为函数，则，令，即，，所以定义域内不存在实数，使，故函数不是“局部反比例对称函数”. （2）因为函数是“局部反比例对称函数”，所以，即，化简得，若等式成立，则，解得或，又因为，所以或. （3）函数，所以，因为是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，所以， 整理得，令，所以方程在上有解， 设，则其图象开口向上，对称轴为， 若，则函数在单调递增，所以，即，解得，故； 若，则函数在上有解，满足，即，解得，故； 综上所述，实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 函数与方程不等式及函数的应用 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 求函数的零点 考点二 函数的零点存在定理 考点三 函数零点的分布 考点四 二分法求方程的近似解 考点五 函数与方程的综合应用 考点六 二次函数模型解决实际问题 考点七 分段函数模型的应用 05 重难题型突破 题型一 二次函数的零点分布 题型二 由函数的零点个数求参数范围 题型三 函数基本性质的综合应用 题型四 嵌套函数的零点问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 基础题侧重求函数零点零点存在定理判断零点是否存在二分法求近似解 中档题集中在零点分布分析函数与方程综合二次函数模型应用题分段与分式函数模型实际问题 难题多为二次函数零点分布由零点个数求参数范围嵌套复合函数零点问题函数多性质综合应用 命题侧重数形结合转化与化归思想函数方程思想易错点集中在零点存在定理只保证存在不保证唯一忽略定义域嵌套函数零点分层遗漏根建模忽略实际变量取值范围 识记 牢记函数零点定义零点存在定理内容二分法操作步骤二次函数分段函数分式函数模型基本形式 理解 理解零点与方程根函数图像与x轴交点三者之间的关系理解零点存在定理适用条件理解函数建模的基本流程 应用 会求解函数零点利用零点存在定理判断零点存在性分析零点分布能用二分法求方程近似解解决函数与方程综合问题建立二次分段分式函数模型处理实际问题掌握二次零点分布零点个数求参嵌套函数零点综合题型 1．函数的零点 （1）函数零点的定义 对于函数，我们把使_________的实数叫做函数的零点． （2）几个等价关系 方程有实数根⇔函数的图象与___轴______有交点⇔函数有__ 零点_______． （3）函数零点的判定（零点存在性定理） 若函数在闭区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________，那么，函数在开区间_________内至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个解． 2．对于一般的函数，，若函数的图象是一条____连续____的曲线，________，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法． 考点一 求函数的零点 ⚠️概念辨析 函数零点是方程的实数根对应函数图像与x轴交点横坐标零点是数值不是点 ⚠️避坑指南 直接解方程求解前先确定定义域求出根后检验是否在定义域内 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列函数的零点： (1)； (2)； (3). 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的零点是______. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的零点是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·北京·开学考试）已知函数若，则的零点为___________．记的零点个数为，则函数的值域为___________． 考点二 函数的零点存在定理 ⚠️概念辨析 函数在闭区间连续且则区间内至少存在一个零点 ⚠️易混易错 先确认函数连续端点函数值异号只能判定至少一个零点不能确定零点数量反之同号不能判定无零点 5．（26-27高一上·北京·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（） A． B． C． D． 6．（26-27高一上·辽宁·期中）若函数在区间上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·云南·开学考试）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·河北·期末）函数的零点所在区间可以是（   ） A． B． C． D． 考点三 函数零点的分布 ⚠️概念辨析 根据零点所在区间结合函数单调性图像列出端点函数值不等式 ⚠️易混易错 数形结合画出草图标注区间端点函数符号结合单调性锁定零点位置 9．（2026·河南平顶山·模拟预测）函数只有一个零点，则（    ） A． B．1 C． D．2 10．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）若二次函数有两个零点，则实数a的取值范围是__________． 11．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）已知函数 (1)讨论函数的奇偶性，并说明理由； (2)若方程有两个不同的正根，求实数的范围． 12．（26-27高一上·河南信阳·阶段检测）关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是__________. 考点四 二分法求方程的近似解 ⚠️概念辨析 在零点存在区间内不断取中点逐步缩小区间范围直到区间精度满足要求 ⚠️易混易错 固定操作流程确定初始区间计算中点函数值判断零点所在子区间循环迭代直到达到精度 13．（26-27高一上·全国·课堂例题）用二分法求方程在区间内的实根，由计算器可算得，，，求下一个有根区间． 14．（25-26高一上·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·上海徐汇·期末）若用二分法求函数在区间上零点的近似值，第一次取区间的中点为，则第二次应该取区间的中点为________． 16．（25-26高一上·吉林延边·期末）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 考点五 函数与方程的综合应用 ⚠️概念辨析 方程根的问题等价转化为函数零点问题转化为图像交点个数问题 ⚠️易混易错 将等式变形拆为两个熟悉函数转化为两个函数图像交点问题利用数形结合分析交点数量 17．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数，则的值域是__________．若关于的方程有八个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________． 18．（26-27高一上·上海浦东新·开学考试）高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 19．（2026高三上·全国·专题练习）已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（北京市景山学校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题）已知函数的定义域为，满足，且当时，．有以下三个结论： ①； ②当时，方程在区间上有三个不同的实根； ③函数有无穷多个零点，且存在一个零点． 其中，所有正确结论的序号是_____． 考点六 二次函数模型解决实际问题 ⚠️概念辨析 二次函数模型多用于最值类应用题建立二次函数后结合定义域求最值 ⚠️易混易错 读懂题意设出自变量列出函数表达式注意自变量实际取值范围结合开口对称轴求最值 21．（26-27高三上·湖南·阶段检测）某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为4万元，但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)2万元.市场对此产品的年需求量为500台(即公司的年产量不超过500台)、年销售额(万元)函数为 其中x是产品的年销售量(单位：百台).该工厂实行产销平衡，即年产量等于年销售量. (1)求每百台的平均利润函数m(x)； (2)年产量是多少时，工厂不亏本? (3)年产量是多少时，每百台的平均利润最大? 22．（26-27高一上·安徽蚌埠·阶段检测）某储能电站采用新型储能技术，对电网低谷电能进行储存、高峰电能释放利用．已知该电站每月储能处理量（充放电总容量）最少为400吨标准电量，最多为800吨标准电量，月储能运营成本（元）与月储能处理量（吨标准电量）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨标准电量可产生的电网调度收益为300元． (1)该电站每月储能处理量为多少吨标准电量时，才能使每吨的平均储能运营成本最低？ (2)该电站每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该电站不亏损？ 23．（26-27高一上·四川·期中）某公司引进一种智能设备投入生产，已知该设备的固定投入为万元，每生产吨产品还需再投入材料、人工等费用万元.根据市场调研，产品的销售单价（万元/吨）与生产量（吨）满足如下关系：（生产吨产品就需更换新设备），假设生产的产品可以全部售出. (1)求总利润（万元）关于生产量（吨）的函数： (2)至少需要生产多少吨产品，公司才不会出现亏损？ (3)当生产量为多少吨时，可使总利润达到最大？ 考点七 分段函数模型的应用 ⚠️概念辨析 不同自变量范围对应不同解析式多用于分段计费梯度收费类实际场景 ⚠️易混易错 划分出自变量不同区间分别列式计算时先判断自变量落在哪一段分段点单独校验 24．（24-25高一上·福建厦门·期中）某公司生产一种电子仪器的固定成本为15000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入满足函数： ，其中是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？（利润＝总收入－总成本） 25．（25-26高一上·福建泉州·期中）近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且 ，已知当年产量为10万件时，需另投入可变成本为16600万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000元，且假定全年产量可当年全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 题型一 二次函数的零点分布 典例1 （26-27高一上·江苏南京·阶段检测）若函数的两个零点都在区间内，则实数m的取值范围是________． 💡破题要诀 【核心知识】二次函数在指定区间存在零点综合判别式对称轴区间端点函数值符号约束 【破题要诀】画出二次函数草图分零点在区间内区间端点一内一外多种情况列出不等式组求解 迁移应用 1．（26-27高三上·江西·阶段检测）若函数有两个零点，其中一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则实数的取值范围是______． 2．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）设为实数，函数，若有且只有一个零点，则的取值集合为__________． 题型二 由函数的零点个数求参数范围 典例1 （26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数． (1)已知对任意恒成立，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 💡破题要诀 【核心知识】零点个数转化为方程根的个数进一步转化为两个函数图像交点数量 【破题要诀】分离参数或者数形画图画出定函数图像平移动图像观察交点个数变化对应的参数边界 迁移应用 1．（26-27高一上·山东济南·开学考试）若关于的方程恰有一个实根，则的取值范围为________． 2．（26-27高三上·江西·阶段检测）若函数的图象与函数的图象有4个不同的交点，则实数的取值范围是__________． 题型三 函数基本性质的综合应用 典例1 （24-25高三上·江苏淮安·阶段检测）（多选）定义在上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（ 　 ） A． B． C．2为的一个周期 D． 💡破题要诀 【核心知识】融合单调性奇偶性值域零点多种性质分析方程根与参数 【破题要诀】先挖掘函数单调性奇偶性简化函数再结合图像分析零点情况不要忽略定义域限制 迁移应用 1．已知定义在上的函数满足，且当时， ，则方程的所有解的和为______. 2．已知定义域为的函数，若存在实数，使得对任意，都存在满足，则称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质，说明理由； (2)若函数的定义域为D，且具有性质，求证：“函数存在零点”是“”的一个必要不充分条件； (3)若存在唯一的实数a，使得函数，具有性质，求实数t的值. 题型四 嵌套函数的零点问题 典例1 （2026高一上·全国·专题练习）已知函数且关于的方程无实根，下列说法正确的是______． ①关于的方程也一定无实根． ②若，则不等式对一切实数都成立． ③若，则一定存在使． ④若，则不等式对一切实数都成立． 💡破题要诀 【核心知识】复合嵌套函数分层从外层向内层解方程 【破题要诀】令外层等于0先解内层函数的取值再逐个求解内层方程根分层计数避免漏根 迁移应用 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为_____． 2．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，则函数的零点为______；若函数有3个零点，则实数的取值范围为________． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（24-25高一上·福建厦门·期中）（多选）已知函数，下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．函数的单调递增区间为 D．若方程有三个不等实根，则实数t的取值范围是 2．（25-26高一下·海南海口·期中）已知函数，则关于直线与函数的图象的交点的个数说法错误的是（    ） A．当时，有3个交点 B．当时，有且只有1个交点 C．当时，有2个交点 D．当时，没有交点 3．（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏淮安·期中）如果二次函数有两个不同的零点，那么实数m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 5．（25-26高一上·广东东莞·期中）已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表： 1 1.5 1.75 1.875 2 -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则在上的零点个数（　　） A．只有1个 B．至少有2个 C．至多有2个 D．只有2个 6．（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数在区间上单调，且图象是连续不断的，若，则方程在区间上（    ） A．至少有一实数解 B．至多有一实数解 C．没有实数解 D．必有唯一的实数解 7．（2025·安徽·二模）已知函数（其中表示不超过的最大整数），则关于的方程的所有实数根之和为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·河南漯河·期末）（多选）高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一､享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如.已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．方程在区间上有4个实数根 C．若，则 D．，都有 9．（24-25高一上·上海徐汇·期末）用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则__________. 10．（24-25高一上·山东德州·期中）已知函数若存在实数，使得函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·重庆·期中）（多选）某国超额累进税率分五档，年收入中不超过万元的部分，税率为，超过万元至万元的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万的部分，税率为，纳税所得额的计算公式为：纳税所得额年收入税率.若张某年收入在到之间徘徊，下列函数可能可以计算他的交税数额的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，，，，，那么方程的一个近似解（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高一上·上海·期中）“”科技公司新研发了一款取名“灵犀”的智能笔，每生产x千支“灵犀”笔的总成本为千元，用AI软件对市场的相关数据进行分析得知，“灵犀”笔投放市场后可以全部销售完，其销售额为（单位：千元）． (1)求“”科技公司生产销售“灵犀”笔的利润y（千元）关于产量x（千支）的函数关系式； (2)当产量为多少千支时，“”科技公司在生产销售“灵犀”笔中所获得的利润最大？ 综合进阶练（限时：15分钟） 14．（26-27高一上·北京·期中）对任意实数，定义运算“”：设，若函数的图象与直线恰有三个公共点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·广东深圳·期中）（多选）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确的有（   ） A．方程有且仅有1个解 B．方程有且仅有2个解 C．方程有且仅有3个解 D．方程有且仅有9个解 16．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数，，若方程有四个实数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高一上·新疆喀什·期中）已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 18．（25-26高一上·山东烟台·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的有（   ） A．当时， B．当时，无最小值 C．若是上的减函数，则实数的取值范围为 D．若且方程恰有3个不等实根，则 19．（24-25高一上·湖南常德·期中）（多选）若函数的图象连续不断，且存在常数，使得对于任意实数恒成立，则称为“学步”函数.下列命题正确的是（   ） A．是“学步”函数 B．（为非零常数）为“学步”函数的充要条件是 C．若是的“学步”函数，且时，，则时，. D．若是的“学步”函数，则在上至少有个零点 20．（25-26高一上·福建厦门·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足了，则称为“局部反比例对称函数”. (1)已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”，并说明理由； (2)已知函数是“局部反比例对称函数”，求的值； (3)若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $