专题01 集合与常用逻辑用语（期中复习讲义）高一数学上学期人教B版

专题01 集合与常用逻辑用语 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 元素与集合的关系 考点二 集合的表示方法：描述法与列举法 考点三 元素的互异性 考点四 常见的数集 考点五 求集合的子集真子集 考点六 空集的概念及其应用 考点七 集合的交集并集补集运算 考点八 Venn图的应用 考点九 容斥原理的应用 考点十 判断全称命题与特称命题的真假 考点十一 全称命题与特称命题的否定 考点十二 充分条件与必要条件的判断 考点十三 充要条件的证明 05 重难题型突破 题型一 由元素与集合的关系求参数 题型二 由集合的子集真子集个数求参数 题型三 由集合的子集真子集关系求参数 题型四 由集合的交并补运算结果求参数 题型五 Venn图在抽象集合中的应用 题型六 集合的新定义 题型七 由全称命题与特称命题的真假求参数范围 题型八 由充分条件与必要条件求参数 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1考点分布.高频考点包含元素与集合的关系集合的表示方法集合元素互异性集合交并补运算Venn图应用子集与真子集个数计算空集相关问题全称特称命题的否定充分与必要条件判断及求参数.容斥原理命题真假判断充要条件证明属于中档考点集合新定义为少数压轴小题考点. 2题型特点.基础题侧重概念辨析与简单运算中档题型集中在由集合关系或充分必要条件求参数易忽略空集这一隐藏情况难题以集合新定义为主考查阅读理解与逻辑推理能力. 3易错方向.易错点集中在参数求解忘记检验元素互异性遗漏空集情况混淆充分条件与必要条件全称特称命题否定形式写错. 4命题趋势.期中命题侧重基础概念落实常把集合运算与充分必要条件进行简单综合注重对逻辑严谨性的考查很少出现过于复杂的偏题怪题. 识记 记住集合相关基本概念熟记常见数集符号子集真子集空集定义掌握全称量词与存在量词概念分清充分条件必要条件相关定义 理解 理解元素与集合的从属关系理解集合交并补运算含义读懂Venn图表达的集合关系理解全称特称命题否定规则辨析充分必要充要条件的逻辑关系 应用 能利用集合互异性空集性质解决含参问题熟练完成集合交并补运算会使用Venn图与容斥原理解题可以对全称特称命题写出否定并判断真假依托充分必要条件求解参数范围处理集合新定义类逻辑问题 1．集合及其表示方法 （1）集合中元素的三个特性：__确定性______、__互异性______、无序性． （2）集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为___ _____和________． （3）集合的表示法：列举法、__描述法______、________韦恩图________． 2．集合的基本关系：（1）子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中____任意一个元素_________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作______（或）；（2）真子集：如果集合，但存在元素，且______，就称集合A是集合B的真子集，记作_ _____（或 ）；（3）相等：若，且______，则；（4）空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为.空集是____任何集合________的子集，是_____任何非空集合__________的真子集. 3．集合的基本运算 表示运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法 并集 把所有集合、中的元素放在一起组成的集合，叫做和的并集，简称为并 或 ________ 交集 把所有__既属于又属于______元素组成的集合，称为，的交集 且 ________ 补集 若是全集的子集，中__不属于______的元素组成的子集叫作的补集 且 ________ 4．常用逻辑用语 （1）充分条件、必要条件与充要条件的概念 若，则是的__充分______条件，是的__必要______条件 是的_充分不必要_______条件 且 是的_必要不充分_______条件 且 是的__充要______条件 是的__既不充分也不必要______条件 且 （2）全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对中的任意一个，有成立 存在中的元素，使得成立 简记 __，______ ， 否定 ， _，_______ 考点一 元素与集合的关系 ⚠️概念辨析 元素与集合只有属于∈或不属于∉两种关系元素是个体集合是全体二者不能混淆区分元素与集合集合与集合符号 ⚠️避坑指南 混淆∈与⊆符号把集合之间的包含误用成属于把元素和集合的从属关系当成包含关系 1．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据进行分类讨论，由此求得的值. 【详解】因为集合，且， 所以当时，，此时， 集合中的元素出现重复，故舍去； 当时，，解得（舍去）或． 若，则，符合题意．综上所述，. 2．（26-27高一上·广东·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，若，则，可得，所以，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D错. 3．（26-27高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）（多选）已知集合，若，则的值可以是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】BC 【分析】先解不等式，得出，再根据元素与集合的关系建立不等式组求解，选择符合范围的选项即可. 【详解】.因为， 所以，解得． 所以的值可以是. 4．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）集合，集合（A，B中，）．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【详解】由，且，因为，所以，因此，. 集合的元素为有序数对. 当时，当时，所以，. 由此可知，且同时成立. 考点二 集合的表示方法：描述法与列举法 ⚠️概念辨析 列举法把集合元素一一写出适合有限集合描述法用元素满足的共同性质写集合适合无限集合读懂描述法中代表元含义 ⚠️易混易错 描述法看错代表元如与含义混淆列举法漏写元素或者重复书写元素 5．（26-27高一上·河北·阶段检测）已知集合，则用列举法表示（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于，故时，满足题意， 时，不满足题意， 时，满足题意， 且时，此时，，不满足题意， 综上可得 . 6．（26-27高二·山东·学业考试模拟）方程组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，代入，得，解得， 所以． 故方程组的解集为． 7．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）用列举法表示集合______________________． 【答案】 【详解】已知， 因为， 所以， 故必须为整数，否则为分数，不可能是正整数， 因此是6的约数，即的可能取值为1，2，3，6， 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，舍去； 当时，，舍去； 综上，符合条件的y的取值为1和5，故该集合为． 8．（25-26高一上·上海松江·阶段检测）用描述法表示第一象限和第三象限内的所有点组成的集合__________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据第一象限和第三象限内的所有点的横纵坐标同号可得结论. 【详解】易知第一象限和第三象限内的所有点的横纵坐标同号， 且集合表示的是点的集合，所以可知. 故答案为： 考点三 元素的互异性 ⚠️概念辨析 集合内任意两个元素互不相等求出参数后代入集合必须检验互异性 ⚠️易混易错 求解参数之后忘记检验互异性得到造成元素重复的错误解 9．（26-27高一上·河北·阶段检测）已知集合，且，则实数构成的集合为__________． 【答案】 【详解】由题意可得或，解得或或， 当时，，满足题意； 当时，，不满足集合元素互异性，舍去； 当时，，满足题意； 综上：实数构成的集合为. 10．（26-27高一上·北京东城·阶段检测）含有三个实数的集合，若且，求的值（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．2 【答案】A 【详解】对于，由题意得， 若，则，解得，此时， 而，可得或， 当时，不符合互异性，排除， 当，解得（舍去）或，此时，符合题意， 得到. 11．（26-27高一上·甘肃兰州·阶段检测）含有三个实数的集合，若且，求______． 【答案】 【分析】利用集合元素的互异性求参数的值，然后代入求解即可． 【详解】因为中，为分母，所以． 又因为，所以． 因为，且，所以或． 当时，不满足集合的互异性，故舍去． 当时，集合为． 综上所述，，． 所以． 12．（25-26高一上·浙江温州·期末）已知，则（   ） A．0或1 B．或1 C．或0 D．1 【答案】B 【分析】根据集合的互异性可得，再结合属于关系分析求解即可. 【详解】因为，显然，即， 若，则，符合题意； 若，解得，则，符合题意； 综上所述： 或1. 故选：B. 考点四 常见的数集 ⚠️概念辨析 熟记NZ Q R对应的数集含义区分自然数集与正整数集符号 ⚠️易混易错 混淆N和误将0归入正整数集记错实数集有理数集符号 13．（浙江省强基联盟2026-2027学年高一上学期10月题库数学试题）下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项，为无理数，不是整数，A错误；B选项，不是自然数，B错误； C选项，表示无理数集合，显然是无理数，C正确；D选项，为整数，D错误. 14．（26-27高一上·北京东城·阶段检测）请在下列空格中填入适当的集合关系符号（等） 1_________，0__________，_________，0_________. 【答案】 【详解】 15．（25-26高一上·安徽合肥·期中）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据常见数集的表示方式，逐一判断，即可得答案. 【详解】对于①，为实数，而表示实数集，所以，所以①正确； 对于②，为整数，而表示整数集合，所以，所以②错误； 对于③，为正整数，而表示正整数集，所以，所以③错误； 对于④，因为为无理数，表示有理数集，所以，所以④正确． 故选：C 16．（25-26高一上·浙江台州·期中）下列关系中正确的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用常用数集的意义逐一判断即可. 【详解】依题意，，①正确；，②错误；，③错误；，④错误， 因此正确命题的个数是1. 故选：A 考点五 求集合的子集真子集 ⚠️概念辨析 含有n个元素的集合子集个数真子集个数非空真子集个数空集是任何集合的子集 ⚠️易混易错 计算真子集时忘记减去集合本身求子集漏掉空集 17．（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，，若，则满足条件的集合的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据集合的包含关系判断求解即可. 【详解】由，得集合中一定包含集合中的所有元素且集合是集合的真子集， 所以集合或或. 故满足条件的集合的个数为3个. 18．（26-27高一上·北京·阶段检测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（     ） A．5 B．8 C．6 D．7 【答案】B 【详解】必含元素，剩余可选元素为，每个元素可选或不选，共种. 19．（26-27高一上·河南新乡·阶段检测）已知集合，请写出集合的子集及其真子集. 【答案】 子集：， 真子集：. 【详解】， 子集：， 真子集：. 20．（2026·湖南常德·一模）集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】先求集合，进而求解. 【详解】由题意得：，解得，又， 所以，所以，所以， 所以集合的真子集的个数为. 考点六 空集的概念及其应用 ⚠️概念辨析 空集不含任何元素空集是任意集合的子集是任意非空集合的真子集 ⚠️易混易错 含参集合关系问题忽略空集情况认为空集含有元素 21．（26-27高一上·新疆喀什·阶段检测）（多选）下列关系中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A选项：空集不含任何元素，故错误，所以A选项错误； 对于B选项：空集是任何非空集合的真子集，故 正确，所以B选项正确； 对于C选项：集合元素具有无序性，故 ，所以正确，正确； 对于D选项：与的元素分别为有序数对和， 当 时两者不相等，所以D选项错误． 22．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对选项A，集合的元素仅为0，是集合，不是的元素，因为是任意集合的子集，所以，故选项A错误； 对选项B，0是集合的元素，故，所以选项B正确； 对选项C，集合的元素为有序数对，故(1,2)∈{(1,2)} ，所以选项C正确； 对选项D，由空集的性质，空集是任意集合的子集，故，所以选项D正确. 23．（25-26高一上·天津·阶段检测）下列关系中：①，②，③，④正确的序号__________. 【答案】①② 【分析】根据元素和集合之间的关系、集合与集合的关系逐项分析判断即可. 【详解】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确； 对于②：因为空集是任何集合的子集，所以，故②正确； 对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为， 两个集合的元素完全不同，所以之间不存在包含关系，故③错误； 对于④：因为集合的元素为，集合的元素为， 两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误； 故答案为：①②. 24．（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合，则如下关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系，判断各选项正误. 【详解】由，可知，所以A、B错误； 可知，所以C错误； 因为空集是任意非空集合真子集，所以，D正确； 故选：D. 考点七 集合的交集并集补集运算 ⚠️概念辨析 交集取公共元素并集取全部元素补集取全集中除去该集合剩余元素 ⚠️易混易错 混淆交并运算符号求补集时搞错全集范围运算后不检验元素互异性 25．（26-27高一上·河北·阶段检测）已知全集，集合，． (1)求，； (2)求，． 【答案】(1)， (2)或，． 【详解】（1）因为，， 所以， . （2）由（1）可知，，因为， 所以或．    ，所以或． 又，所以 26．（26-27高一上·山西·阶段检测）（多选）定义集合与的运算：，．若，，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】ABD 【分析】由题意可知，，结合集合的交集、并集和补集运算逐项分析判断即可. 【详解】由题意可知：，， 因为集合， 对于选项A：因为， 所以或，故A正确； 对于选项B：因为， 所以或，故B正确； 对于选项C：因为或，则或， 所以，故C错误； 对于选项D：因为或，则， 所以或，故D正确. 27．（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）（多选）已知全集，集合，，且，则（    ） A． B． C．中元素个数为1 D． 【答案】BC 【分析】因为，所以N的元素只能是U中的元素，结合根与系数的关系，求出所有满足条件的a的可能值，确定所有可能的集合N，对每个可能的N，分别计算、、，再逐一验证选项是否成立即可. 【详解】对于A：方程，因为， 所以方程有两个不同的实数根，由韦达定理可得， 又因为，所以或者. 若，将代入方程得，解得， 若，将代入方程得，解得， 故存在满足条件，与不符，选项A错误； 对于B：，若，则，即； 若，则，即，选项B正确； 对于C：若，则，只有一个元素； 若，则，只有一个元素，选项C正确； 对于D：全集，，所以， 若，则，不为； 若，则，不为，选项D错误. 28．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）（多选）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】本题考查集合的交、并、补基本运算，需根据各类运算的定义逐一计算各选项判断正误 【详解】选项A：根据并集定义，合并两个集合的所有元素并去重，可得，A正确; 选项B：根据交集定义，取两个集合的公共元素，可得，因此，B错误 选项C：先得，再求其在全集中的补集，即中去掉的剩余元素，得，C正确 选项D：先求在中的补集，得，再和求交集，公共元素只有，因此，D正确. 考点八 Venn图的应用 ⚠️概念辨析 Venn图用封闭图形直观表示集合图形重叠区域代表交集合并区域代表并集 ⚠️易混易错 读图时分不清重叠区域含义计算区域元素个数出现重复加减 29．（26-27高一上·河北邢台·阶段检测）（多选）已知集合是全集，集合，的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据Venn图及集合间的关系、基本运算逐一判断即可. 【详解】对于A，由Venn图可知，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，设，则，所以， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以，又， 所以，故D正确. 30．（26-27高一上·河南新乡·开学考试）（多选）已知集合，均为的子集，集合，的关系如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据韦恩图及集合交并补的概念逐一判断即可． 【详解】由图可得，，，，， 故A、B、D正确，C错误． 31．（25-26高一上·浙江·期中）（多选）下列集合表示图中阴影部分的为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据韦恩图及集合的交并补的意义判断即可. 【详解】由题意可知阴影部分表示在集合中且不是集合中的元素， 所以阴影部分表示，故B正确； 对于A，因为中含有集合中的元素，与题意不符，故A错误； 对于C，因为表示在集合中且不是集合中的元素，与题意相符，故C正确； 对于D，因为表示在集合中且不是集合中的元素，与题意相符，故D正确. 故选：BCD. 32．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）（多选）如图矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】阴影部分位于集合内，且不属于与的交集，即阴影部分为“中除去的部分”. 【详解】选项A：表示“的全部”与“中的补集”的并集，包含了外的部分区域，与阴影部分不符，故A错误； 选项B：表示“中的补集”，就等于阴影部分，故B正确； 选项C：表示“以为全集时，的补集”，就等于阴影部分，故C正确； 选项D：表示“中的补集”与的交集，就等于阴影部分，故D正确； 故选：BCD 考点九 容斥原理的应用 ⚠️概念辨析 两个集合三个集合同理减去两两交集再加三者交集 ⚠️易混易错 使用容斥原理时重复减去交集多减之后忘记加回重叠部分 33．（26-27高一上·新疆喀什·阶段检测）高一某班共有48名同学，班里开设漫画、围棋、航模三项兴趣社团.已知参加漫画社24人，参加围棋社23人，参加航模社22人；漫画与围棋都参加的有14人，漫画与航模都参加的有13人，围棋与航模都参加的有12人；三项都没有参加的共10人.利用韦恩图分析，则三项社团全都参加的人数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】设三项都参加的人数为，根据容斥原理用表示出只参加两项、只参加一项及未参加的人数，利用总人数为48建立方程，解出即可. 【详解】用韦恩图表示各部分人数：设三项都参加人数为，    则只参加漫画与围棋人数为，只参加漫画与航模人数为， 只参加围棋与航模人数为， 所以只参加漫画人数为， 只参加围棋人数为， 只参加航模人数为， 又因为三项都没参加人数为人，总人数为 ， 所以， 化简得：. 34．（26-27高三上·河南·阶段检测）为提升学生的综合素养，某校开展了“阅读”“科创”“志愿服务”三大素养提升活动．高一某班学生中选择阅读的有26名，选择科创的有21名，选择志愿服务的有19名，同时选择阅读和科创的有6名，同时选择阅读和志愿服务的有4名，同时选择科创和志愿服务的有3名，三类都选择的有2名．若该班每人至少选择了一类活动，则该班的总人数是（    ） A．52 B．53 C．54 D．55 【答案】D 【详解】设集合{选择阅读的学生}，集合{选择科创的学生}，集合{选择志愿服务的学生}， 则，，， ，，，， ， 所以该班的总人数是55. 35．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛．参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人．则高一年级参加比赛的同学有（     ） A．110人 B．108人 C．106人 D．104人 【答案】C 【详解】 高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛． 参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛； 同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人． 作出韦恩图可得高一年级参加比赛的同学有人. 36．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）某班共有女生30人，班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则三种都不喜欢的人数为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【详解】作出韦恩图，如图所示， 可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法， 同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人， 同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人， 同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人， 则该班女生对唱歌、跳舞、书法至少喜欢一种的人数为， 所以三种都不喜欢的人数为. 考点十 判断全称命题与特称命题的真假 ⚠️概念辨析 全称命题需要全部满足条件才为真找到一个反例即为假特称命题找到一个满足条件即为真全部不满足才为假 ⚠️易混易错 判断全称命题真假时只验证部分例子就判定为真 37．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知命题，；命题，，则（      ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【详解】因为，所以是假命题，是真命题； 若，则；若，则， 故是真命题. 38．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）下列命题中为真命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式恒成立、绝对值、数集及一元二次方程根的判别式逐项分析判断即可. 【详解】选项A：，因为恒成立，所以，即恒成立，故不存在实数使原式小于0，为假命题，A错误； 选项B：当时，，不满足，为假命题，B错误； 选项C：是整数集，自然数集是非负整数集，故为真命题，C正确； 选项D：一元二次方程的，方程无实数根，不存在实数使方程成立，为假命题，D错误. 故选：C. 39．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的概念及命题真假判断，即可作出选择. 【详解】因为B，D是存在量词命题，故应排除; 对于A，当时，方程无实数根，故A错误， 由不等式性质知，C是真命题. 故选：C. 40．（25-26高一上·吉林长春·期中）下列命题中是真命题的为（   ） A．，使 B．，使 C．， D．， 【答案】D 【分析】判断每个选项的命题的真假即可. 【详解】对于A：最小的自然数为0，不可能使，故A错误； 对于B：，解得，故B错误； 对于C：判别式，方程无实数解，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D. 考点十一 全称命题与特称命题的否定 ⚠️概念辨析 否定需要改量词否定结论全称量词改存在量词存在量词改全称量词只否定结论不否定条件 ⚠️易混易错 否定命题时不改量词只否定结论或者全盘否定条件与结论 41．（26-27高一上·河北·阶段检测）若命题：，，则命题的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题“，”的否定是，. 42．（26-27高一上·山东菏泽·阶段检测）命题，，则是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】由命题的否定定义可知，写命题的否定需要改变量词和结论. 所以是. 43．（江西部分校2026-2027学年高三上学期联考数学试题）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先把全称量词改为存在量词，范围不变，再否定结论即可. 【详解】∵命题：， ∴否定为. 44．（26-27高一上·河北邢台·阶段检测）已知命题：“，使得”，则命题的否定为_________． 【答案】， 【分析】将存在量词改为全称量词并否定结论. 【详解】命题的否定为：，. 考点十二 充分条件与必要条件的判断 ⚠️概念辨析 若p⇒q则p是q充分条件q是p必要条件小范围推大范围 ⚠️易混易错 推导方向颠倒分不清谁推谁不能利用集合范围快速判断条件关系 45．（浙江省强基联盟2026-2027学年高一上学期10月题库数学试题）已知或，，则是的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由集合间的关系进行判断即可． 【详解】依题意得是或的真子集，则是的必要不充分条件． 46．（26-27高一上·山东泰安·阶段检测）（多选）下列命题正确的是（     ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．“”是“”的既不充分也不必要条件 D．“，”是“”的充分不必要条件 【答案】AD 【详解】对于A，当时，，所以“”是“”的不充分条件； 由，可得，所以，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B，取，满足，但此时无意义， 所以“”是“”的不必要条件； 由，得，所以， 所以“”是“”的充分条件； 所以“”的充分不必要条件是“”，故B错误； 对于C，由，得，解得或. 但得不出或，所以“”是“”的不充分条件； 又或可得出，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故C错误； 对于D，当，时，有成立， 所以“，”是“”的充分条件； 而，但，不成立，即由不能得到，， 所以“，”是“”的不必要条件； 所以，“，”是“”的充分不必要条件，故D正确. 47．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）设全集为，集合，，韦恩图如下图，下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由图可知集合B是集合A的子集，即， 可以推出，但是不一定能推出， 故“”是“”的必要不充分条件. 48．（26-27高一上·安徽·期中）（多选）下列选项中，是的必要不充分条件的是（    ） A． B． C．：关于的方程有解， 或 D． 【答案】AB 【分析】根据充分、必要条件的定义判断各选项即可. 【详解】对于A选项， ，即， ，即， 所以是的必要不充分条件，故A正确； 对于B选项，若取，则满足，不满足，则不是的充分条件， 显然，即是的必要不充分条件，故B正确； 对于C选项，：关于的方程 有解，即， 而或， 所以是的充要条件，故C错误； 对于D选项， 仅是方程的一组解， 所以是的充分不必要条件，故D错误. 故选：AB. 考点十三 充要条件的证明 ⚠️概念辨析 充要条件证明需要分充分性和必要性两步充分性证p⇒q必要性证q⇒p 49．（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）“”是“关于的方程有一正一负根”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】方程有一正一负根的等价条件： 对于一元二次方程有一正一负根， 只需满足两根之积（此时判别式会自动成立）. 本题中，因此两根之积为，方程有一正一负根等价于. 由此可知：“”和“方程有一正一负根”可以互相推出，因此是充要条件. 50．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）设集合，，则“”的一个充要条件是_________． 【答案】 【分析】由求出值，再由的取值检验是否满足即得. 【详解】由得，则，解得， 时，，此时，不符合题意， 时，，，符合题意， 所以. 反之，由可得， 所以充要条件是. 51．（25-26高一上·江苏徐州·期中）设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【分析】由等价于求解即可. 【详解】等价于，即且， 故选：C 52．（25-26高一上·河北张家口·期中）设，则“”的充要条件为（    ） A．至少有一个为2 B．都为2 C．都不为2 D． 【答案】A 【分析】将化为求解，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】由，则，可得或，即至少有一个为2， 所以“”的充要条件为“至少有一个为2”，故A符合题意，BCD不符合题意. 故选：A. 题型一 由元素与集合的关系求参数 典例1 （25-26高三上·山西太原·阶段检测）已知非空集合满足：当时，有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分、两种情况讨论即可. 【详解】当时，由得，符合题意； 当时，，不符合题意， 故实数的取值范围为 故选：C. 💡破题要诀 【核心知识】元素与集合属于或不属于关系集合元素具有互异性 【方法技巧】将元素代入集合中的表达式求解参数求出参数后代回检验集合元素互异性剔除产生重复元素的解 迁移应用 1．（25-26高一上·山东·阶段检测）已知集合，，若，使得，都满足，则__________. 【答案】或 【分析】根据可确定或或，根据区域边界的对应性可构造方程求得结果. 【详解】，或或； ①当或，即或时， 若，则， 此时，即； 若，则，此时， 即； 由得：，； ②当，即时， 若，则，此时，即； 若，则，此时，即； 由得：，； 综上所述：或. 故答案为：或. 2．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 题型二 由集合的子集真子集个数求参数 典例1 （26-27高一上·河北·阶段检测）设集合，． (1)求集合； (2)若集合有且仅有两个子集，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）解方程，确定的元素即可. （2）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案； （3）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）由，解得或， 所以．     （2）因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故，所以．   （3）由（1）知，， 因为，所以集合可以是，，，．     当时，即方程无实数根， 则，解得；    当时，即方程有且只有一个根， ，解得；    当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解；    当时，方程有和两根， 则，解得，     综上所述，实数的取值范围是或． 💡破题要诀 【核心知识】含有n个元素的集合子集个数真子集个数非空真子集个数 【方法技巧】根据子集个数反推集合元素个数转化为方程解的个数问题结合一元二次方程判别式分析根的情况检验参数保证集合元素互不相同 迁移应用 1．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知集合. (1)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围； (2)若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为集合A中有两个元素， 所以关于x的方程有两个不相等的实数根， 所以，且， 即且， 所以实数的范围是. （2）因为集合A最多有两个子集，所以集合A至多有1个元素， 即关于x的方程无解或只有一个解， 当时，，，只有1个解，符合题意； 当时，若方程有两个相等的实数根，则集合A只有1个元素， 此时，； 若方程没有实数根，则集合A没有元素， 此时，； 综上所述，a的取值范围是. 2．（25-26高一上·河南郑州·期中）方程的解集有且仅有两个子集，则实数的值为__________. 【答案】 【分析】根据子集个数判断元素个数，利用判别式即可求解. 【详解】因为方程的解集有且仅有两个子集， 所以方程有两个相等实数解， 所以，即，解得，即. 故答案为： 题型三 由集合的子集真子集关系求参数 典例1 （25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据，代入即可求得a值. （2）由题意，分别讨论、、和四种情况，分别求得a值，分析即可得答案. 【详解】（1）由，代入可得，解得. （2）由解得或4，即集合， 因为，所以， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得，无解； 当时，，解得. 综上，实数a的取值范围为或. 💡破题要诀 核心知识】表示集合A中全部元素都属于集合B空集是任意集合的子集 【方法技巧】优先讨论集合为空集的情况再分析非空集合当集合为不等式解集时借助数轴列出不等式组验证端点是否可取 迁移应用 1．（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知关于的方程的两根均在集合内． (1)求实数的取值集合； (2)设，满足 时，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的两个解，再根据两根均在集合内，列出不等式组，求出实数的取值集合； （2）根据集合间的包含关系求出实数的取值范围. 【详解】（1）由， 或 . （2）集合， 由题， ： 当时，，解得：；满足题意， 当时，或， 解得：. 综上所述：. 2．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 题型四 由集合的交并补运算结果求参数 典例1 （26-27高一上·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，或，. (1)求； (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1) (2){或} 【分析】（1）根据补集、并集的知识求得正确答案. （2）对进行分类讨论，由此求得的取值范围. 【详解】（1），或，， 所以. （2）， 若，，则，满足. 若，，则或解得或. 综上所述，m的取值范围是或. 💡破题要诀 【核心知识】交集取两个集合公共元素并集合并两个集合全部元素补集为全集中除去该集合剩余元素 【方法技巧】依托交并补运算结果判断元素归属或解集关系集合为连续数集时画数轴辅助分析范围算出参数后代入原题核验运算结果 迁移应用 1．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知全集{为不大于20的质数}，是的两个子集，且，，，则集合___________，___________． 【答案】 【分析】解法一：分析出，，，且，再讨论剩余元素11和13，得到，且，，且．得到答案； 解法二：利用韦恩图进行求解. 【详解】解法一：由题可知， 由，得，且，， 由，得，且，， 由，得，且． 下面讨论集合中剩余元素11和13． 情形一：，但，与矛盾； 情形二：，但，与矛盾； 情形三：，且，与矛盾； 情形四：，且，经检验符合题意． 同理可得，且． 综上可得． 解法二：将已知条件，，填入如图所示的Venn图， 由图可知，． 故答案为：， 2．（26-27高一上·新疆喀什·阶段检测）已知集合，集合． (1)当时，求 (2)若，求的取值范围． (3)已知集合，集合，，若，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）把代入，先写出集合；再求在实数集里的补集；最后求它和的交集； （2）等价于， 分和两种情况列不等式，最后取并集； （3）先求，说明整个区间落在补集里，列不等式求出的取值范围. 【详解】（1）当 时，，或， 又 . （2）由 得 . ① 若 ，则 ，解得 . ② 若 ， 则，解得 得. 综合①②得的取值范围为. （3）因为，所以或， 又， ，即. 的取值范围是 . 题型五 Venn图在抽象集合中的应用 典例1 （25-26高一上·四川成都·阶段检测）对于任意集合，，定义集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】举反例，结合交并补运算的定义即可求解ACD，根据交并补运算的定义即可求解B. 【详解】对于A,如图：若，如图所示，此时,，AC错误， 对于B, 但，而 但 但 且，故，B正确， 对于D，如图：，而且，故D错误， 故选：B 💡破题要诀 【核心知识】Venn图封闭区域表示集合重叠区域对应交集合并区域对应并集可搭配容斥原理统计元素数量 【方法技巧】给每一块独立区域标注元素数量区分重叠部分套用容斥原理列式计算规避重复计数或者漏计数 迁移应用 1．（24-25高三上·辽宁·期中）已知集合为全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取，可得出，可判断A选项；取，可判断B选项；根据，可判断C选项；根据，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，则、均不为空集， 因为，所以，当时，则，    又因为为的真子集，A错； 对于B选项，若，则，B错；    对于C选项，因为， 所以，，C错； 对于D选项，因为，所以，，D对. 故选：D. 2．（24-25高一上·江苏无锡·阶段检测）已知全集，集合，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意作出Venn图，再由集合的运算逐一判断即可. 【详解】全集，集合，满足，绘制Venn图，如下：    对于A：，A错误；对于B：，B错误； 对于C：，C正确；对于D：； D错误； 故选：C. 题型六 集合的新定义 典例1 （2026·北京朝阳·一模）已知集合.设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则的最大值为（   ） A．50 B．51 C．52 D．53 【答案】C 【分析】根据题意分析可知集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26，进而分析的最大值. 【详解】因为，由选项可知的最大值大于3， 若对任意的，，，存在，使得， 则集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26， 即或或， 若，则， 解得，此时的最大值为51； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 综上所述：的最大值为52. 💡破题要诀 【核心知识】严格遵从题干给出的全新集合概念与运算规则不能凭原有集合性质主观推断 【方法技巧】拆解题干读懂新定义将新运算转化为基础集合关系举简单实例理解规则逐项检验选项 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏南通·期末）记集合中元素个数为．已知集合．若，则___________；若，则可能值的集合为___________． 【答案】 【分析】根据集合的新定义，当时直接计算得解；当时可得或，分别讨论求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，，所以， 所以； 由，，可得或， 当时，由于是方程的一个根，则，因此方程无实根，即； 此时方程变为，也无实根，故即方程只有1个根， 此时满足题意； 当时，即方程有3个根， 因为时方程只有1个根，所以，此时，各有1个根， 且都不满足方程， 所以有相等实数根，即，解得， 综上可知，可能值的集合为. 2．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）对于集合，，定义且，则对于集合，，且，以下说法正确的是（   ） A．若在横线上填入“”，则C的真子集有个． B．若在横线上填入“”，则C中元素个数大于450． C．若在横线上填入“\”，则C的非空真子集有个． D．若在横线上填入“”，则中元素个数为13． 【答案】B 【分析】根据两集合中数的性质可知集合，没有公共元素，再由集合间的运算法则逐一分析选项即可求得结果. 【详解】因为， 因此可知集合，没有公共元素， 对于A，由分析知为空集，没有真子集，即A错误； 对于B，由可得，由可得， 因此若且，可知中元素个数为个，即B正确； 对于C，若在横线上填入“\”,则中有166个元素，则的非空真子集有个，即C错误； 对于D，由且可知且为有限集， 所以， 而，结合已有分析可知中元素个数为331个，即D错误. 故选：B 题型七 由全称命题与特称命题的真假求参数范围 典例1 （26-27高一上·江西景德镇·阶段检测）设全集，集合，，其中． (1)若，求； (2)若命题“，使得”是假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合A，再应用补集及交集定义计算求解； （2）由题设可得，再分和列式计算求解参数． 【详解】（1）当时，，所以或， 所以； （2）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得； ②当时，则，无解. 综上所述，实数的取值范围为. 💡破题要诀 【核心知识】全称命题命题对集合内所有x成立特称命题集合内至少存在一个x使命题成立 【方法技巧】命题条件多为不等式全称恒成立转化最值问题特称有解转化存在性问题区分恒成立与能成立 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏盐城·期末）若命题“，使得”是假命题，则的取值范围为_____. 【答案】 【分析】根据题意，转化为在上恒成立，结合二次函数的图像与性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由命题“，使得”是假命题， 可得命题的否定：“，使得”是真命题， 设，则在上恒成立， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 2．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知命题：，，命题：，． (1)若是真命题，求实数的最大值； (2)若，一个为真命题，一个为假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）为真命题可转化为对于恒成立，由此可求的范围，再求的最大值即可， （2）由为真命题可得，由此可求的范围， 【详解】（1）要使：，为真命题， 只需对于恒成立， 则，所以实数的最大值为1． （2）若：，为真命题， 则，即，解得或． 当真假时，只需，解得； 当假真时，只需或，解得． 综上所述，实数的取值范围为． 题型八 由充分条件与必要条件求参数 典例1 （26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知集合，，. (1)求，； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【详解】（1）集合，， 则； 或，所以或. （2）若“”是“”的必要条件，则有， 有，解得，即a的取值范围为. 💡破题要诀 【核心知识】充分不必要条件对应解集的真子集关系必要不充分条件对应反向真子集充要条件代表两集合相等 【方法技巧】将命题转化为对应集合借助集合包含关系列不等式检验端点取舍不要忽略集合为空集的情况 迁移应用 1．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知p：关于x的方程有实数根，. (1)若命题是假命题，求实数a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为是假命题，所以p是真命题， 即关于x的方程有实数根， 所以判别式，即， 解得或， 所以的取值范围是. （2）由(1)可知，若p成立，则a的范围是， 因为p是q的必要不充分条件， 即集合是集合或的真子集， 所以有或， 即或， 所以的取值范围是. 2．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）已知集合，，其中，是关于的方程的两个不同的实数根． (1)是否存在实数，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值集合． 【答案】(1)存在， (2) 【分析】（1）根据充要条件关系判断集合相等，根据方程的根和集合相等的概念，列出方程求出参数值； （2）根据必要不充分条件的关系判断集合的包含关系，进而列出不等式，求出参数范围即可. 【详解】（1）存在满足条件的． 因为“”是“”的充要条件，所以， 可知方程的两个不同的实数根为， 所以，解得． （2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以为的真子集． 则必须满足，解得， 即的取值集合为． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高一下·浙江·期中）已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系求解即可. 【详解】因为集合，且中只有一个元素，则必有，且不属于集合， 所以,则实数的取值范围是 2．（25-26高一上·上海松江·期中）若，则，就称为“影子关系”集合，在集合的所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为__________. 【答案】7 【分析】结合“影子关系”集合定义直接列举即可. 【详解】由“影子关系”集合定义可知，集合的所有非空子集中， 为影子关系的集合有 . 故答案为：7 3．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 【答案】2 【分析】根据题意，讨论时的情况，即可容易求得结果. 【详解】因为且，且， 若，则，此时满足要求； 若，则，此时满足要求； 若，则，此时含1个元素． 综上，当时，集合只有一个元素； 当集合有个元素时，或，故满足题意的集合有个. 故答案为： 4．（25-26高一上·四川·期中）设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据，得到，求解即可. 【详解】若，则满足该不等式，代入得， 则，则， 故答案为：. 5．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知非空集合，且⫋，则___________ 【答案】8 【分析】根据集合A是非空集合且⫋，得到中只有1个元素，即一元二次方程只有一个根，然后由求解. 【详解】由题意得，中只有1个元素，则，解得， 当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 则. 6．（25-26高一上·云南昭通·期中）（多选）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则有两个子集 C．若中只有一个元素，则 D．不可能为 【答案】AB 【分析】利用元素与集合关系求解判断A；求出集合判断B；根据集合中元素的个数求出参数的值或取值范围，可判断CD选项. 【详解】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由，得，解得，集合有两个子集，B正确； 对于C，若集合只有一个元素， 当时，，合乎题意， 当时，则有，解得， 故当中只有一个元素时，或，C错误； 对于D，当时，则关于的方程无实数解， 所以，解得， 故当时，，D错误. 故选：AB. 7．（25-26高一上·湖南长沙·期中）（多选）下列集合中，是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由子集的概念逐项判断即可. 【详解】因为集合是所有奇数构成的集合， 对于选项A，集合里有偶数，所以选项A的集合不是集合A的子集； 对于选项B，元素全是奇数，所以选项B的集合是集合A的子集； 对于选项C，表示所有奇数构成的集合，所以选项C的集合是集合A的子集； 对于选项D，表示所有4的倍数加1构成的集合，元素都是奇数，但不是所有奇数都在集合里， 所以D选项的集合是集合A的子集． 故选：BCD． 8．（25-26高一上·江苏南京·期中）（多选）已知为实数，若集合，且，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先解方程表示出集合，然后根据和进行分类讨论即可，由此可求结果. 【详解】由解得或，则， 当时，此时，满足； 当时，此时，则， 若，则或，所以或； 综上所述，的可取值为， 故选：ABC. 9．（25-26高一上·山东·期中）已知，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【分析】由题意可知,集合中一定有1,2两个元素,且中最少三个元素,从而可求得满足题意的集合． 【详解】由题意,当集合中有四个个元素时,集合, 当集合中有三个元素时, 集合或， 即满足条件的集合的个数为3． 故选：B． 10．（25-26高一上·安徽·期中）下列说法错误的是（   ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．空集是集合的子集 C．代数式的值组成的集合是 D．集合与集合是同一个集合 【答案】D 【分析】根据集合中元素的无序性判断A，根据空集的性质判断B，分类讨论判断C，根据集合中元素判断D. 【详解】集合元素无序，和表示同一个集合，A对； 空集是任何非空集合的子集，B对； 当时，；当或时，； 当时，，C对； 是点集，是数集，D错． 故选：D 11．（26-27高一上·湖南·期中）（多选）已知常数与集合 ，则可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，当时， 恒成立，此时， ，故A正确， 对于B，当时，， ，故B正确； 对于C，当时，， ， 易知其区间的开闭性与相异，故C错误； 对于D，当时， ，故D正确. 12．（26-27高一上·辽宁·期中）设全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若 ，求实数的取值范围. 【答案】(1) ，； (2). 【分析】（1）由集合的交并运算求集合； （2）由集合的补运算得，再由并集结果列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，， 则 ， ； （2）由题设，若 ，则 ，解得， 故的取值范围是. 13．（26-27高一上·宁夏陕西·期中）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集. 于是，解得. 所以实数的取值范围是. 14．（26-27高一上·辽宁·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为命题“，”为真命题， 所以，恒成立，得到. 可得“”是“”的充分不必要条件，“”是“”的充分不必要条件； “”是“”的充要条件，“”是“”的必要不充分条件. 综合进阶练（限时：15分钟） 15．（25-26高一上·福建泉州·期中）（多选）下列说法中正确为（     ） A．集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B．集合，集合，若，则的值为 C．集合，，则“”是“"的充分不必要条件 D．集合，集合，则集合B中含有4个元素 【答案】BC 【详解】对于A，因集合有且仅有2个子集，则集合中只有一个元素， 于是有或，即或，A不正确； 对于B，因为，则，即，所以，根据集合相等及互异性， 所以，解得或（舍），所以，B正确； 对于C，当时，；当时，或，则或， 所以“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D， 故有6个元素 ， D不正确. 16．（25-26高一上·安徽·期中）已知，集合或，若，使得，都有，则__________. 【答案】 【分析】根据的取值范围与的区间关系，通过区间端点对应关系建立方程求解. 【详解】依题意，， ， 又， 而，则，且， 解得. 故答案为：. 17．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合或，. (1)若，求和； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)，. (2). 【分析】(1)直接运算即可得解; (2)根据，分与两类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，，所以，. （2）因为，所以， 情况1:若，则，所以； 情况2:若，则，解得； 综上所述，的取值范围为. 18．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知：，，：或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题p是真命题，且q是p的必要不充分条件，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) . 【分析】（1）先求，分和两种情况讨论，即可求解； （2）先求命题p为真命题时，的范围，再由q是p的必要不充分条件即可求解. 【详解】（1）：，， ∵是真命题，∴当时，显然成立； 当时，，∴. 综上所述，实数的取值范围是； （2）若为真命题，则当时，则，显然不成立； 当时，，解得或. ∴p为真命题时，或. ∵q是p的必要不充分条件，∴，且， ∴且，即， ∴实数的取值范围是 . 19．（25-26高一上·安徽宿州·期中）已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先求出集合A，根据已知条件得是的真子集，列出关于的不等式组即可求解； （2）根据已知条件得是的子集，分析可得.列出关于的不等式，即可求解； （3）由命题“，”是真命题，得.可先求得“时，的取值范围”，再求得“当时，的取值范围”. 【详解】（1）集合，集合. 若“”是“”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集. 所以 ，解得. 当时，，符合题意； 所以的取值范围是. （2）若命题“，”是真命题，则集合是的子集. 或. 因为恒成立，所以. 所以或， 解得：或. 所以的取值范围是或. （3）因为“，”是真命题，所以. 当时，因为，所以或，即或. 所以当时，的取值范围是. 所以，若命题“，”是真命题，则的取值范围是. 20．（25-26高一上·云南曲靖·期中）（多选），表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数．人们有时也称之为“向下取整函数”．则下列命题中正确的是（    ） A．， B．，， C．，，若，则 D． 【答案】BD 【分析】根据的定义，逐一分析各个选项即可判断得解. 【详解】对于A，由，得恒成立，A错误； 对于B，，，则， 当时，，有； 当时，，因此，，B正确； 选项C，取，满足，而，C错误； 对于D，，当时，，则， 即有，又，因此； 当时，，则，即有， 又，因此，D正确. 故选：BD 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 元素与集合的关系 考点二 集合的表示方法：描述法与列举法 考点三 元素的互异性 考点四 常见的数集 考点五 求集合的子集真子集 考点六 空集的概念及其应用 考点七 集合的交集并集补集运算 考点八 Venn图的应用 考点九 容斥原理的应用 考点十 判断全称命题与特称命题的真假 考点十一 全称命题与特称命题的否定 考点十二 充分条件与必要条件的判断 考点十三 充要条件的证明 05 重难题型突破 题型一 由元素与集合的关系求参数 题型二 由集合的子集真子集个数求参数 题型三 由集合的子集真子集关系求参数 题型四 由集合的交并补运算结果求参数 题型五 Venn图在抽象集合中的应用 题型六 集合的新定义 题型七 由全称命题与特称命题的真假求参数范围 题型八 由充分条件与必要条件求参数 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1考点分布.高频考点包含元素与集合的关系集合的表示方法集合元素互异性集合交并补运算Venn图应用子集与真子集个数计算空集相关问题全称特称命题的否定充分与必要条件判断及求参数.容斥原理命题真假判断充要条件证明属于中档考点集合新定义为少数压轴小题考点. 2题型特点.基础题侧重概念辨析与简单运算中档题型集中在由集合关系或充分必要条件求参数易忽略空集这一隐藏情况难题以集合新定义为主考查阅读理解与逻辑推理能力. 3易错方向.易错点集中在参数求解忘记检验元素互异性遗漏空集情况混淆充分条件与必要条件全称特称命题否定形式写错. 4命题趋势.期中命题侧重基础概念落实常把集合运算与充分必要条件进行简单综合注重对逻辑严谨性的考查很少出现过于复杂的偏题怪题. 识记 记住集合相关基本概念熟记常见数集符号子集真子集空集定义掌握全称量词与存在量词概念分清充分条件必要条件相关定义 理解 理解元素与集合的从属关系理解集合交并补运算含义读懂Venn图表达的集合关系理解全称特称命题否定规则辨析充分必要充要条件的逻辑关系 应用 能利用集合互异性空集性质解决含参问题熟练完成集合交并补运算会使用Venn图与容斥原理解题可以对全称特称命题写出否定并判断真假依托充分必要条件求解参数范围处理集合新定义类逻辑问题 1．集合及其表示方法 （1）集合中元素的三个特性：__确定性______、__互异性______、无序性． （2）集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为___ _____和________． （3）集合的表示法：列举法、__描述法______、________韦恩图________． 2．集合的基本关系：（1）子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中____任意一个元素_________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作______（或）；（2）真子集：如果集合，但存在元素，且______，就称集合A是集合B的真子集，记作_ _____（或 ）；（3）相等：若，且______，则；（4）空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为.空集是____任何集合________的子集，是_____任何非空集合__________的真子集. 3．集合的基本运算 表示运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法 并集 把所有集合、中的元素放在一起组成的集合，叫做和的并集，简称为并 或 ________ 交集 把所有__既属于又属于______元素组成的集合，称为，的交集 且 ________ 补集 若是全集的子集，中__不属于______的元素组成的子集叫作的补集 且 ________ 4．常用逻辑用语 （1）充分条件、必要条件与充要条件的概念 若，则是的__充分______条件，是的__必要______条件 是的_充分不必要_______条件 且 是的_必要不充分_______条件 且 是的__充要______条件 是的__既不充分也不必要______条件 且 （2）全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对中的任意一个，有成立 存在中的元素，使得成立 简记 __，______ ， 否定 ， _，_______ 考点一 元素与集合的关系 ⚠️概念辨析 元素与集合只有属于∈或不属于∉两种关系元素是个体集合是全体二者不能混淆区分元素与集合集合与集合符号 ⚠️避坑指南 混淆∈与⊆符号把集合之间的包含误用成属于把元素和集合的从属关系当成包含关系 1．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 2．（26-27高一上·广东·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）（多选）已知集合，若，则的值可以是（    ） A． B．1 C． D．2 4．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）集合，集合（A，B中，）．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 考点二 集合的表示方法：描述法与列举法 ⚠️概念辨析 列举法把集合元素一一写出适合有限集合描述法用元素满足的共同性质写集合适合无限集合读懂描述法中代表元含义 ⚠️易混易错 描述法看错代表元如与含义混淆列举法漏写元素或者重复书写元素 5．（26-27高一上·河北·阶段检测）已知集合，则用列举法表示（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高二·山东·学业考试模拟）方程组的解集是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）用列举法表示集合______________________． 8．（25-26高一上·上海松江·阶段检测）用描述法表示第一象限和第三象限内的所有点组成的集合__________. 考点三 元素的互异性 ⚠️概念辨析 集合内任意两个元素互不相等求出参数后代入集合必须检验互异性 ⚠️易混易错 求解参数之后忘记检验互异性得到造成元素重复的错误解 9．（26-27高一上·河北·阶段检测）已知集合，且，则实数构成的集合为__________． 10．（26-27高一上·北京东城·阶段检测）含有三个实数的集合，若且，求的值（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．2 11．（26-27高一上·甘肃兰州·阶段检测）含有三个实数的集合，若且，求______． 12．（25-26高一上·浙江温州·期末）已知，则（   ） A．0或1 B．或1 C．或0 D．1 考点四 常见的数集 ⚠️概念辨析 熟记NZ Q R对应的数集含义区分自然数集与正整数集符号 ⚠️易混易错 混淆N和误将0归入正整数集记错实数集有理数集符号 13．（浙江省强基联盟2026-2027学年高一上学期10月题库数学试题）下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 14．（26-27高一上·北京东城·阶段检测）请在下列空格中填入适当的集合关系符号（等） 1_________，0__________，_________，0_________. 15．（25-26高一上·安徽合肥·期中）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 16．（25-26高一上·浙江台州·期中）下列关系中正确的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ A．1 B．2 C．3 D．4 考点五 求集合的子集真子集 ⚠️概念辨析 含有n个元素的集合子集个数真子集个数非空真子集个数空集是任何集合的子集 ⚠️易混易错 计算真子集时忘记减去集合本身求子集漏掉空集 17．（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，，若，则满足条件的集合的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 18．（26-27高一上·北京·阶段检测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（     ） A．5 B．8 C．6 D．7 19．（26-27高一上·河南新乡·阶段检测）已知集合，请写出集合的子集及其真子集. 20．（2026·湖南常德·一模）集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 考点六 空集的概念及其应用 ⚠️概念辨析 空集不含任何元素空集是任意集合的子集是任意非空集合的真子集 ⚠️易混易错 含参集合关系问题忽略空集情况认为空集含有元素 21．（26-27高一上·新疆喀什·阶段检测）（多选）下列关系中正确的是（     ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·天津·阶段检测）下列关系中：①，②，③，④正确的序号__________. 24．（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合，则如下关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 考点七 集合的交集并集补集运算 ⚠️概念辨析 交集取公共元素并集取全部元素补集取全集中除去该集合剩余元素 ⚠️易混易错 混淆交并运算符号求补集时搞错全集范围运算后不检验元素互异性 25．（26-27高一上·河北·阶段检测）已知全集，集合，． (1)求，； (2)求，． 26．（26-27高一上·山西·阶段检测）（多选）定义集合与的运算：，．若，，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 27．（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）（多选）已知全集，集合，，且，则（    ） A． B． C．中元素个数为1 D． 28．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）（多选）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 考点八 Venn图的应用 ⚠️概念辨析 Venn图用封闭图形直观表示集合图形重叠区域代表交集合并区域代表并集 ⚠️易混易错 读图时分不清重叠区域含义计算区域元素个数出现重复加减 29．（26-27高一上·河北邢台·阶段检测）（多选）已知集合是全集，集合，的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 30．（26-27高一上·河南新乡·开学考试）（多选）已知集合，均为的子集，集合，的关系如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高一上·浙江·期中）（多选）下列集合表示图中阴影部分的为（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）（多选）如图矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 考点九 容斥原理的应用 ⚠️概念辨析 两个集合三个集合同理减去两两交集再加三者交集 ⚠️易混易错 使用容斥原理时重复减去交集多减之后忘记加回重叠部分 33．（26-27高一上·新疆喀什·阶段检测）高一某班共有48名同学，班里开设漫画、围棋、航模三项兴趣社团.已知参加漫画社24人，参加围棋社23人，参加航模社22人；漫画与围棋都参加的有14人，漫画与航模都参加的有13人，围棋与航模都参加的有12人；三项都没有参加的共10人.利用韦恩图分析，则三项社团全都参加的人数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 34．（26-27高三上·河南·阶段检测）为提升学生的综合素养，某校开展了“阅读”“科创”“志愿服务”三大素养提升活动．高一某班学生中选择阅读的有26名，选择科创的有21名，选择志愿服务的有19名，同时选择阅读和科创的有6名，同时选择阅读和志愿服务的有4名，同时选择科创和志愿服务的有3名，三类都选择的有2名．若该班每人至少选择了一类活动，则该班的总人数是（    ） A．52 B．53 C．54 D．55 35．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛．参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人．则高一年级参加比赛的同学有（     ） A．110人 B．108人 C．106人 D．104人 36．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）某班共有女生30人，班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则三种都不喜欢的人数为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 考点十 判断全称命题与特称命题的真假 ⚠️概念辨析 全称命题需要全部满足条件才为真找到一个反例即为假特称命题找到一个满足条件即为真全部不满足才为假 ⚠️易混易错 判断全称命题真假时只验证部分例子就判定为真 37．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知命题，；命题，，则（      ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 38．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）下列命题中为真命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 39．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 40．（25-26高一上·吉林长春·期中）下列命题中是真命题的为（   ） A．，使 B．，使 C．， D．， 考点十一 全称命题与特称命题的否定 ⚠️概念辨析 否定需要改量词否定结论全称量词改存在量词存在量词改全称量词只否定结论不否定条件 ⚠️易混易错 否定命题时不改量词只否定结论或者全盘否定条件与结论 41．（26-27高一上·河北·阶段检测）若命题：，，则命题的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 42．（26-27高一上·山东菏泽·阶段检测）命题，，则是（     ） A．， B．， C．， D．， 43．（江西部分校2026-2027学年高三上学期联考数学试题）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 44．（26-27高一上·河北邢台·阶段检测）已知命题：“，使得”，则命题的否定为_________． 考点十二 充分条件与必要条件的判断 ⚠️概念辨析 若p⇒q则p是q充分条件q是p必要条件小范围推大范围 ⚠️易混易错 推导方向颠倒分不清谁推谁不能利用集合范围快速判断条件关系 45．（浙江省强基联盟2026-2027学年高一上学期10月题库数学试题）已知或，，则是的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 46．（26-27高一上·山东泰安·阶段检测）（多选）下列命题正确的是（     ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．“”是“”的既不充分也不必要条件 D．“，”是“”的充分不必要条件 47．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）设全集为，集合，，韦恩图如下图，下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 48．（26-27高一上·安徽·期中）（多选）下列选项中，是的必要不充分条件的是（    ） A． B． C．：关于的方程有解， 或 D． 考点十三 充要条件的证明 ⚠️概念辨析 充要条件证明需要分充分性和必要性两步充分性证p⇒q必要性证q⇒p 49．（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）“”是“关于的方程有一正一负根”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 50．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）设集合，，则“”的一个充要条件是_________． 51．（25-26高一上·江苏徐州·期中）设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 52．（25-26高一上·河北张家口·期中）设，则“”的充要条件为（    ） A．至少有一个为2 B．都为2 C．都不为2 D． 题型一 由元素与集合的关系求参数 典例1 （25-26高三上·山西太原·阶段检测）已知非空集合满足：当时，有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 【核心知识】元素与集合属于或不属于关系集合元素具有互异性 【方法技巧】将元素代入集合中的表达式求解参数求出参数后代回检验集合元素互异性剔除产生重复元素的解 迁移应用 1．（25-26高一上·山东·阶段检测）已知集合，，若，使得，都满足，则__________. 2．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 题型二 由集合的子集真子集个数求参数 典例1 （26-27高一上·河北·阶段检测）设集合，． (1)求集合； (2)若集合有且仅有两个子集，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 💡破题要诀 【核心知识】含有n个元素的集合子集个数真子集个数非空真子集个数 【方法技巧】根据子集个数反推集合元素个数转化为方程解的个数问题结合一元二次方程判别式分析根的情况检验参数保证集合元素互不相同 迁移应用 1．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知集合. (1)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围； (2)若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围. 2．（25-26高一上·河南郑州·期中）方程的解集有且仅有两个子集，则实数的值为__________. 题型三 由集合的子集真子集关系求参数 典例1 （25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 💡破题要诀 核心知识】表示集合A中全部元素都属于集合B空集是任意集合的子集 【方法技巧】优先讨论集合为空集的情况再分析非空集合当集合为不等式解集时借助数轴列出不等式组验证端点是否可取 迁移应用 1．（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知关于的方程的两根均在集合内． (1)求实数的取值集合； (2)设，满足 时，求实数的取值范围． 2．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型四 由集合的交并补运算结果求参数 典例1 （26-27高一上·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，或，. (1)求； (2)若，求m的取值范围. 💡破题要诀 【核心知识】交集取两个集合公共元素并集合并两个集合全部元素补集为全集中除去该集合剩余元素 【方法技巧】依托交并补运算结果判断元素归属或解集关系集合为连续数集时画数轴辅助分析范围算出参数后代入原题核验运算结果 迁移应用 1．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知全集{为不大于20的质数}，是的两个子集，且，，，则集合___________，___________． 2．（26-27高一上·新疆喀什·阶段检测）已知集合，集合． (1)当时，求 (2)若，求的取值范围． (3)已知集合，集合，，若，求实数的取值范围 题型五 Venn图在抽象集合中的应用 典例1 （25-26高一上·四川成都·阶段检测）对于任意集合，，定义集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 【核心知识】Venn图封闭区域表示集合重叠区域对应交集合并区域对应并集可搭配容斥原理统计元素数量 【方法技巧】给每一块独立区域标注元素数量区分重叠部分套用容斥原理列式计算规避重复计数或者漏计数 迁移应用 1．（24-25高三上·辽宁·期中）已知集合为全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏无锡·阶段检测）已知全集，集合，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型六 集合的新定义 典例1 （2026·北京朝阳·一模）已知集合.设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则的最大值为（   ） A．50 B．51 C．52 D．53 💡破题要诀 【核心知识】严格遵从题干给出的全新集合概念与运算规则不能凭原有集合性质主观推断 【方法技巧】拆解题干读懂新定义将新运算转化为基础集合关系举简单实例理解规则逐项检验选项 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏南通·期末）记集合中元素个数为．已知集合．若，则___________；若，则可能值的集合为___________． 2．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）对于集合，，定义且，则对于集合，，且，以下说法正确的是（   ） A．若在横线上填入“”，则C的真子集有个． B．若在横线上填入“”，则C中元素个数大于450． C．若在横线上填入“\”，则C的非空真子集有个． D．若在横线上填入“”，则中元素个数为13． 题型七 由全称命题与特称命题的真假求参数范围 典例1 （26-27高一上·江西景德镇·阶段检测）设全集，集合，，其中． (1)若，求； (2)若命题“，使得”是假命题，求实数的取值范围． 💡破题要诀 【核心知识】全称命题命题对集合内所有x成立特称命题集合内至少存在一个x使命题成立 【方法技巧】命题条件多为不等式全称恒成立转化最值问题特称有解转化存在性问题区分恒成立与能成立 迁移应用 1．（25-26高一上·江苏盐城·期末）若命题“，使得”是假命题，则的取值范围为_____. 2．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知命题：，，命题：，． (1)若是真命题，求实数的最大值； (2)若，一个为真命题，一个为假命题，求实数的取值范围． 题型八 由充分条件与必要条件求参数 典例1 （26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知集合，，. (1)求，； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围. 💡破题要诀 【核心知识】充分不必要条件对应解集的真子集关系必要不充分条件对应反向真子集充要条件代表两集合相等 【方法技巧】将命题转化为对应集合借助集合包含关系列不等式检验端点取舍不要忽略集合为空集的情况 迁移应用 1．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知p：关于x的方程有实数根，. (1)若命题是假命题，求实数a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 2．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）已知集合，，其中，是关于的方程的两个不同的实数根． (1)是否存在实数，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值集合． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高一下·浙江·期中）已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海松江·期中）若，则，就称为“影子关系”集合，在集合的所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为__________. 3．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 4．（25-26高一上·四川·期中）设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是_________． 5．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知非空集合，且⫋，则___________ 6．（25-26高一上·云南昭通·期中）（多选）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则有两个子集 C．若中只有一个元素，则 D．不可能为 7．（25-26高一上·湖南长沙·期中）（多选）下列集合中，是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·江苏南京·期中）（多选）已知为实数，若集合，且，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·山东·期中）已知，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．7 10．（25-26高一上·安徽·期中）下列说法错误的是（   ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．空集是集合的子集 C．代数式的值组成的集合是 D．集合与集合是同一个集合 11．（26-27高一上·湖南·期中）（多选）已知常数与集合 ，则可能为（ ） A． B． C． D． 12．（26-27高一上·辽宁·期中）设全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若 ，求实数的取值范围. 13．（26-27高一上·宁夏陕西·期中）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 14．（26-27高一上·辽宁·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 综合进阶练（限时：15分钟） 15．（25-26高一上·福建泉州·期中）（多选）下列说法中正确为（     ） A．集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B．集合，集合，若，则的值为 C．集合，，则“”是“"的充分不必要条件 D．集合，集合，则集合B中含有4个元素 16．（25-26高一上·安徽·期中）已知，集合或，若，使得，都有，则__________. 17．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合或，. (1)若，求和； (2)若，求的取值范围. 18．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知：，，：或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题p是真命题，且q是p的必要不充分条件，求实数t的取值范围. 19．（25-26高一上·安徽宿州·期中）已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 20．（25-26高一上·云南曲靖·期中）（多选），表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数．人们有时也称之为“向下取整函数”．则下列命题中正确的是（    ） A．， B．，， C．，，若，则 D． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $