专题04 函数的概念及其表示（期中复习讲义）高一数学上学期人教B版

专题04 函数的概念及其表示 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 函数关系的判断 考点二 求函数的值 考点三 由函数的值求参数 考点四 求具体函数的定义域 考点五 求抽象函数的定义域 考点六 常见函数的值域 考点七 由函数的值域求参数范围 考点八 由已知函数的类型求解析式 考点九 配凑法/换元法求函数的解析式 考点十 方程组法求函数的解析式 考点十一 判断两个函数是否相等 考点十二 分段函数及其解析式 05 重难题型突破 题型一 抽象函数的解析式 题型二 分式型函数的求值域 题型三 根式型函数的值域 题型四 由分段函数的值域求参数范围 题型五 判别式法求函数的值域 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 基础题侧重函数关系判断求函数值判断两函数是否相等求解具体函数定义域 中档题集中在抽象函数定义域求解各类函数值域求解多种方法求函数解析式 难题多为由值域反求参数范围分式根式值域判别式法求值域分段函数综合问题 命题侧重对应关系的理解代数代换思想分类讨论思想易错点集中在忽略定义域抽象函数定义域混淆分段函数分段范围出错 识记 牢记函数的定义定义域值域概念函数三种表示方法分段函数定义求解析式常用方法名称 理解 理解函数一对一多对一的对应关系理解抽象函数中括号内整体范围不变的原则理解两个函数相等的两个条件 应用 会判断对应关系是否为函数能计算函数值由函数值反求参数熟练求解具体与抽象函数定义域会用配凑换元待定系数方程组法求解析式求解分式根式等函数值域由值域求解参数范围掌握分段函数相关运算 1．对函数的再认识 （1）函数的定义 设A，B是两个_非空___的__实数__集，如果按照某种确定的对应关系，对于集合A中的_任意___一个数，在集合B中都有_ 唯一___确定的数和它__对应__，那么称这样的对应为从集合A到集合B的一个_函数___，记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的_定义域___；与x∈A的值相对应的数y叫作函数值，所有函数值组成的集合叫做函数的_值域___.值域是集合B的子集. （2）函数的四个特性： ①特殊性：定义的集合A，B必须是两个非空实数集；     ②任意性：A中任意一个数都要考虑到； ③唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应； ④方向性：A→B （3）函数的三要素：_定义域___、_对应关系___、_值域___. （4）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围； （5）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“”施加的某种运算或法则. （6）值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值. （7）函数相等：两个函数和，当且仅当有相同的定义域且对每个都有时，叫作__相等函数__.也就是说，即使两个函数的对应关系形式上相同，但定义域不同，那么它们不是同一函数. 2．函数的解析式：请在下列括号中填写对应求函数解析式的方法名称. __待定系数法____：已知函数类型（一次、二次、反比例等）设通用解析式，代入点求系数； _换元法_____：已知求，令，反解x代入，化简得，替换为； __配凑法____：对代数式变形，配凑出整体，直接写出； __方程组法____：含与等式，联立方程消元求解. 3．复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数和的__复合函数_____，记作______，其中u为中间变量. 考点一 函数关系的判断 ⚠️概念辨析 函数定义对于集合A中任意一个x在集合B中有唯一确定y与之对应一对一多对一是函数一对多不是函数 ⚠️避坑指南 抓住任意x和唯一y两个关键点图像题使用竖线检验法一条竖线与图像最多只有一个交点 1．（25-26高一上·云南德宏·期中）（多选）下列图象中，能表示函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·江苏·期中）已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 3．（2027高三·全国·专题练习）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·江苏·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A．式子可表示自变量为、因变量为的函数 B．若，则 C．函数的图象与直线最多有1个交点 D．若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素 考点二 求函数的值 ⚠️概念辨析 将自变量代入对应解析式计算分段函数代入前先判断自变量所属区间 ⚠️易混易错 看清自变量数值分段函数找准对应段解析式多层函数值从内向外逐层代入计算 5．（26-27高一上·广东汕头·阶段检测）已知，则______. 6．（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 7．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知函数满足则=（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 8．（26-27高一上·河北·期中）（多选）已知定义在上的函数，，满足对任意，恒成立，且，，，，，则（ ） A． B． C． D． 考点三 由函数的值求参数 ⚠️概念辨析 已知函数输出值建立方程求解参数分段函数需要分类讨论自变量所属区间 ⚠️易混易错 分类代入各段解析式解方程求出参数后代回检验自变量是否落在本段定义域内舍去增根 9．（26-27高一上·河南郑州·阶段检测）已知函数，若，则实数（     ） A． B． C． D． 10．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数，若，则_______． 11．（26-27高一上·四川·期中）已知函数满足 ，若，则________. 12．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知函数满足且，则实数（   ） A． B． C． D． 考点四 求具体函数的定义域 ⚠️概念辨析 分式分母不为零偶次根式被开方数≥0零次幂底数不为0多个限制取交集 ⚠️易混易错 逐条列出限制条件联立不等式组求解多个约束条件取公共部分 13．（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 14．（26-27高一上·福建龙岩·阶段检测）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 15．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 16．（26-27高一上·甘肃·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 考点五 求抽象函数的定义域 ⚠️概念辨析 定义域永远指单独x的取值范围同一对应法则下括号内整体取值范围相同 ⚠️易混易错 先确定已知式子括号内整体范围再让新函数括号内代数式落在该区间解不等式得到x范围 17．（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________. 18．（26-27高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 19．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 20．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 考点六 常见函数的值域 ⚠️概念辨析 值域是全部函数值构成集合一次二次反比例函数值域可结合图像分析 ⚠️易混易错 优先画出函数图像观察y的取值范围简单函数直接利用单调性判断最值 21．（26-27高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 22．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)； (2)． 23．（25-26高二上·全国·阶段检测）已知集合，．则（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·陕西西安·期中）（多选）下列函数中，值域不是的函数为（   ） A．， B．， C．， D．， 考点七 由函数的值域求参数范围 ⚠️概念辨析 已知值域反向分析自变量的约束结合函数单调性最值建立不等式 ⚠️易混易错 分析函数单调性找到最值点根据值域边界列出不等式注意等号能否成立 25．（25-26高三上·四川·阶段检测）若函数的值域为，则__________. 26．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．已知函数的值域是，求实数m，n的值． 28．（24-25高一上·四川绵阳·期末）（多选）若，函数的值域是，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 考点八 由已知函数的类型求解析式 ⚠️概念辨析 已知函数类型如一次二次反比例用待定系数法设通用解析式代入点求系数 ⚠️易混易错 设好带参数的解析式将已知点坐标代入联立方程解参数 29．（26-27高一上·全国·期中）已知二次函数满足．求的解析式； 30．（2026高一·全国·专题练习）已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 31．（25-26高三·全国·一轮复习）若一次函数满足，求的函数解析式. 32．（25-26高一上·重庆·期中）已知二次函数满足：，． (1)求二次函数的解析式； (2)求不等式的解集． 考点九 配凑法/换元法求函数的解析式 ⚠️概念辨析 配凑法直接凑出整体表达式换元法令整体为t反解x代入化简再替换回x ⚠️易混易错 换元一定要标注新元t的取值范围最后结果自变量统一写为x 33．（26-27高一上·全国·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 34．（26-27高一上·山东·期中）已知，则=___________. 35．（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 36．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点十 方程组法求函数的解析式 ⚠️概念辨析 式子同时含有f(x)与f(-x)或者f(1/x)构造第二个方程联立消元求解 ⚠️易混易错 将式子中x替换为-x或者1/x得到第二个方程二元方程组消去另一个函数符号 37．（26-27高一上·全国·期中）已知函数满足，求的解析式． 38．（26-27高一上·全国·期中）已知函数满足，求的解析式. 39．（25-26高一上·重庆·阶段检测）定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 40．设，函数满足，函数的解析式为______. 考点十一 判断两个函数是否相等 ⚠️概念辨析 两函数相等需要定义域相同对应法则完全相同二者缺一不可 ⚠️易混易错 第一步先求两个函数定义域定义域不同直接判定不相等定义域相同再化简对比表达式 41．（26-27高一上·吉林·阶段检测）（多选）下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 42．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）下列各组函数是同一个函数的是（     ） A．， B．与 C．与 D．与 43．（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 44．（26-27高一上·广西·期中）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 考点十二 分段函数及其解析式 ⚠️概念辨析 分段函数是一个函数定义域分成多段每一段对应不同解析式 ⚠️易混易错 先划分好每一段自变量范围不同区间使用对应解析式分段点单独检验 45．（26-27高一上·宁夏陕西·期中）已知 (1)求； (2)若，求a的值； (3)若其图像与y=b有三个交点，求b的取值范围. 46．（26-27高一上·河北邢台·阶段检测）“这么近那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚．近年来，河北省大力推进文旅融合发展，打造多条特色旅游带，推出多项惠民惠企政策，带动某文创产品热销．已知某工厂代为加工该文创产品需投入固定成本5万元，每代加工1万件该产品，需另投入万元．现根据市场行情，该工厂代加工万件该产品，可获得万元的代加工费，且，已知该工厂代加工20万件该产品时，获得的利润为90万元． (1)求该工厂代加工该产品的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数表达式； (2)当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该产品的利润最大？并求出利润的最大值． 47．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）给定函数，，． (1)若，求实数的值； (2)，用表示，中的最大者，记为． （ⅰ）用解析法表示函数； （ⅱ）写出一个使成立的的值．（不需写出求解过程）． 48．（25-26高一上·新疆昌吉·期末）如图，梯形是直角梯形，．记梯形位于直线左侧的图形的面积为．试求函数的解析式，并画出函数的图象． 题型一 抽象函数的解析式 典例1 （25-26高三下·广东江门·开学考试）已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 【核心知识】无具体表达式的函数利用换元赋值方程组法求解f(x) 【破题要诀】合理赋值或者换元牢牢记住定义域同步转化不要漏掉自变量限制 迁移应用 1．设是定义在上的函数，且满足对任意，等式恒成立，则的解析式为______. 2．（25-26高一上·辽宁·期末）已知定义域为的函数，满足，且当时，，则__________. 3.（25-26高三上·河南·期中）已知定义在上的函数满足对任意恒成立，且，则（    ） A．200 B．210 C．110 D．220 题型二 分式型函数的求值域 典例1 （26-27高一上·全国·课后作业）求函数的值域； 💡破题要诀 【核心知识】一次比一次分离常数高次分式可换元转化结合基本不等式或者单调性 【破题要诀】一次分式分离常数后看反比例平移形式高次分式换元简化结构 迁移应用 1．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是__. 2．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是______． 3.（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为____________ 题型三 根式型函数的值域 典例1 （25-26高一上·江苏·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 【核心知识】含根号函数换元去掉根号转化为二次函数或者利用单调性求解 【破题要诀】设根号整体为新变量写出新元范围转化为熟悉函数求值域 迁移应用 1．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的最大值为______. 2．（25-26高一上·天津·期中）函数的值域为_____. 题型四 由分段函数的值域求参数范围 典例1 （25-26高一上·广东佛山·期末）若函数的值域为，则实数的最小值为___________． 💡破题要诀 【核心知识】分段函数每一段独立求值域所有段值域合并为整体值域反向求参数 【破题要诀】分别求出每一段函数取值范围结合题目给出总值域列不等式锁定参数 迁移应用 1．（25-26高一上·北京·期中）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数存在最小值，则实数的取值范围为______. 3.（24-25高一上·江苏淮安·期中）（多选）已知函数的值域为，那么的取值可以是（    ）. A． B． C． D． 题型五 判别式法求函数的值域 典例1 （2026高一·全国·专题练习）函数的值域是_____. 💡破题要诀 【核心知识】分子分母均为二次的分式函数整理成关于x的一元二次方程利用Δ≥0求y范围 【破题要诀】先注意定义域x∈R的前提整理方程二次项为零时单独讨论再使用判别式 迁移应用 1．（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 2．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为：______． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知集合，集合，则下列图象能表示以为定义域，为值域的函数是（   ） A．   B．   C．   D．   2．（25-26高一上·湖南永州·期中）下列命题正确的是（   ）. A．是函数 B．与是相同函数 C．设集合，，则右图是从集合到集合的一个函数   D．函数的图象与直线的交点最多有1个 3．（26-27高一上·四川·期中）已知函数满足，且，则（ ） A． B． C．1 D．3 4．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知，且，则__________. 5．（26-27高一上·甘肃·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·河南安阳·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为_____. 7．（25-26高一上·广东广州·期中）（多选）下列说法中正确的是（   ） A．当时，的最小值是3 B．若，，则 C．函数的值域为 D．函数与函数为同一个函数 8．（25-26高一上·湖南永州·期中）（多选）若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”.例如函数，与函数，即为“同值函数”.给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是（   ）. A．，（表示不超过x的最大整数） B．， C． D． 9．（26-27高一上·湖南·期中）若，则的定义域为______，______. 10．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）（多选）下列命题中，正确的有（   ） A．函数与函数表示同一函数 B．函数的值域为 C．若函数，则 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 11．（25-26高二下·江西赣州·期末）已知函数，则______. 12．（25-26高一上·北京丰台·期中）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_______． 综合进阶练（限时：15分钟） 13．（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数的定义域为，且，则__________，__________. 14．（24-25高一上·福建莆田·期中）函数满足：对任意、，都有，则所有满足条件的函数的解析式为_____________或_____________． 15．（25-26高一上·江苏苏州·期中）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）设函数满足等式，则的值域为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高一上·湖北·期中）已知函数的值域为，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数的定义域为，若，且当时，，则当时，的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的概念及其表示 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 函数关系的判断 考点二 求函数的值 考点三 由函数的值求参数 考点四 求具体函数的定义域 考点五 求抽象函数的定义域 考点六 常见函数的值域 考点七 由函数的值域求参数范围 考点八 由已知函数的类型求解析式 考点九 配凑法/换元法求函数的解析式 考点十 方程组法求函数的解析式 考点十一 判断两个函数是否相等 考点十二 分段函数及其解析式 05 重难题型突破 题型一 抽象函数的解析式 题型二 分式型函数的求值域 题型三 根式型函数的值域 题型四 由分段函数的值域求参数范围 题型五 判别式法求函数的值域 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 基础题侧重函数关系判断求函数值判断两函数是否相等求解具体函数定义域 中档题集中在抽象函数定义域求解各类函数值域求解多种方法求函数解析式 难题多为由值域反求参数范围分式根式值域判别式法求值域分段函数综合问题 命题侧重对应关系的理解代数代换思想分类讨论思想易错点集中在忽略定义域抽象函数定义域混淆分段函数分段范围出错 识记 牢记函数的定义定义域值域概念函数三种表示方法分段函数定义求解析式常用方法名称 理解 理解函数一对一多对一的对应关系理解抽象函数中括号内整体范围不变的原则理解两个函数相等的两个条件 应用 会判断对应关系是否为函数能计算函数值由函数值反求参数熟练求解具体与抽象函数定义域会用配凑换元待定系数方程组法求解析式求解分式根式等函数值域由值域求解参数范围掌握分段函数相关运算 1．对函数的再认识 （1）函数的定义 设A，B是两个_非空___的__实数__集，如果按照某种确定的对应关系，对于集合A中的_任意___一个数，在集合B中都有_ 唯一___确定的数和它__对应__，那么称这样的对应为从集合A到集合B的一个_函数___，记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的_定义域___；与x∈A的值相对应的数y叫作函数值，所有函数值组成的集合叫做函数的_值域___.值域是集合B的子集. （2）函数的四个特性： ①特殊性：定义的集合A，B必须是两个非空实数集；     ②任意性：A中任意一个数都要考虑到； ③唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应； ④方向性：A→B （3）函数的三要素：_定义域___、_对应关系___、_值域___. （4）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围； （5）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“”施加的某种运算或法则. （6）值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值. （7）函数相等：两个函数和，当且仅当有相同的定义域且对每个都有时，叫作__相等函数__.也就是说，即使两个函数的对应关系形式上相同，但定义域不同，那么它们不是同一函数. 2．函数的解析式：请在下列括号中填写对应求函数解析式的方法名称. __待定系数法____：已知函数类型（一次、二次、反比例等）设通用解析式，代入点求系数； _换元法_____：已知求，令，反解x代入，化简得，替换为； __配凑法____：对代数式变形，配凑出整体，直接写出； __方程组法____：含与等式，联立方程消元求解. 3．复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数和的__复合函数_____，记作______，其中u为中间变量. 考点一 函数关系的判断 ⚠️概念辨析 函数定义对于集合A中任意一个x在集合B中有唯一确定y与之对应一对一多对一是函数一对多不是函数 ⚠️避坑指南 抓住任意x和唯一y两个关键点图像题使用竖线检验法一条竖线与图像最多只有一个交点 1．（25-26高一上·云南德宏·期中）（多选）下列图象中，能表示函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于选项ABC，当取一个值时，有唯一值与之对应，符合函数定义，故ABC正确； 对于选项D，当取一个值时，有两个值与之对应，不符合函数的定义，故D错误. 2．（26-27高一上·江苏·期中）已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，对应的不属于集合B，所以A错误； 对于B，当时，对应的不属于集合B，所以B错误； 对于C，当时，对应的分别为，所以C正确； 对于D，当时，对应的不属于集合B，所以D错误. 3．（2027高三·全国·专题练习）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案． 【详解】对于A，定义域为，与题干矛盾，不合题意， 对于D，值域取为的真子集，与题干矛盾，不合题意， 对于函数来说，对定义域内任意，都有唯一确定的与其对应，所以C错误，所以B选项正确. 4．（26-27高一上·江苏·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A．式子可表示自变量为、因变量为的函数 B．若，则 C．函数的图象与直线最多有1个交点 D．若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素 【答案】BC 【分析】逐一分析各选项，利用函数定义、函数求值和函数性质判断对错． 【详解】解：对于A，有不等式组无解，故A错误； 对于B，因为，所以，故，故B正确； 对于C，根据函数的概念知，当函数在处无定义时，函数的图象与直线无交点，当函数在处有定义时，函数的图象与直线只有1个交点，所以函数的图象与直线最多有1个交点，故C正确； 对于D，取函数，其值域为，故D错误． 故选：BC． 考点二 求函数的值 ⚠️概念辨析 将自变量代入对应解析式计算分段函数代入前先判断自变量所属区间 ⚠️易混易错 看清自变量数值分段函数找准对应段解析式多层函数值从内向外逐层代入计算 5．（26-27高一上·广东汕头·阶段检测）已知，则______. 【答案】 【详解】因为， 所以. 所以 6．（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】分段函数求值，从内向外逐层计算，代入时先判断自变量落在哪个区间. 【详解】因为， 所以，. 7．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知函数满足则=（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【详解】令，解得， 将代入中， 得. 8．（26-27高一上·河北·期中）（多选）已知定义在上的函数，，满足对任意，恒成立，且，，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】令，和可判断A、B；令，和,可判断C、D． 【详解】对于A、B，令，，得， 即． 令，得， 解得，或． 因为，所以，故A、B均正确； 对于C、D，令，，得①． 令，，得②． 联立①②，解得，， 故C错误，D正确． 考点三 由函数的值求参数 ⚠️概念辨析 已知函数输出值建立方程求解参数分段函数需要分类讨论自变量所属区间 ⚠️易混易错 分类代入各段解析式解方程求出参数后代回检验自变量是否落在本段定义域内舍去增根 9．（26-27高一上·河南郑州·阶段检测）已知函数，若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义域对的取值范围分类讨论，同时验证解是否符合对应区间的取值要求. 【详解】当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 所以或. 10．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数，若，则_______． 【答案】3 【分析】根据分段函数，分类讨论即可求得. 【详解】当时，解得，舍去； 当时，解得或，因为，所以. 综上：. 11．（26-27高一上·四川·期中）已知函数满足 ，若，则________. 【答案】 【分析】换元法先求解出的解析式，然后代入到解析式即可求解出的值. 【详解】令，则，所以 ，所以 ， 因为 ，解得. 12．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知函数满足且，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配凑法得到函数解析式，进而求解即可. 【详解】因为， 所以， 令，则. 考点四 求具体函数的定义域 ⚠️概念辨析 分式分母不为零偶次根式被开方数≥0零次幂底数不为0多个限制取交集 ⚠️易混易错 逐条列出限制条件联立不等式组求解多个约束条件取公共部分 13．（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，解得，故原函数的定义域为. 14．（26-27高一上·福建龙岩·阶段检测）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，有意义，则解得. 15．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【详解】由，解得且， 则函数的定义域为且. 16．（26-27高一上·甘肃·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使函数有意义，必须 ，解得且， 则函数的定义域为. 考点五 求抽象函数的定义域 ⚠️概念辨析 定义域永远指单独x的取值范围同一对应法则下括号内整体取值范围相同 ⚠️易混易错 先确定已知式子括号内整体范围再让新函数括号内代数式落在该区间解不等式得到x范围 17．（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________. 【答案】 【分析】由的定义域为可知，结合二次根式及分式的意义，即可求出定义域. 【详解】由的定义域为，则函数的定义域满足，则， 解得，所以函数的定义域为. 18．（26-27高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【详解】因为的定义域为，所以， 故在函数中，得， 故函数的定义域为. 19．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域是，即，所以， 所以的定义域为， 所以函数的定义域满足，得， 所以函数的定义域为. 20．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知函数的定义域为， 因此中括号内整体的取值范围与的定义域一致，即满足： ， 解得， 又因为函数表达式为分式，分母为偶次根式，需满足被开方数大于0（分母不能为0），即： ， 解得， 取两个解集的交集，得的定义域为. 考点六 常见函数的值域 ⚠️概念辨析 值域是全部函数值构成集合一次二次反比例函数值域可结合图像分析 ⚠️易混易错 优先画出函数图像观察y的取值范围简单函数直接利用单调性判断最值 21．（26-27高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐个对每个函数的值域分析求解，即可得答案. 【详解】对于A,由于,所以,所以的值域为,不合题意; 对于B,的值域为,不合题意; 对于C,由于,所以的值域为,符合题意; 对于D,由于,所以 ,此函数的值域为,不符合题意. 22．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，即函数的值域为. （2）， 因为，所以的图象如图所示， 所以，当时，函数取得最小值； 所以的值域为. 23．（25-26高二上·全国·阶段检测）已知集合，．则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域和值域分别求出集合，然后根据交集的定义即可求解. 【详解】集合是函数的定义域，要求根号内的被开方数非负： ，即. 集合是函数​的值域，对任意实数有， 因此： ​​，即. . 24．（25-26高一上·陕西西安·期中）（多选）下列函数中，值域不是的函数为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】CD 【分析】结合单调性求值域，依次判断各个选项即可. 【详解】对于A选项，为定义域上减函数，代入可得值域为，不符合题意， 对于B选项，为定义域上增函数，代入可得值域为，不符合题意， 对于C选项，函数为二次函数开口向下，对称轴在区间内， 又代入定义域可得值域为，符合题意， 对于D选项，分离常数可得， ，则 ，符合题意. 故选： 考点七 由函数的值域求参数范围 ⚠️概念辨析 已知值域反向分析自变量的约束结合函数单调性最值建立不等式 ⚠️易混易错 分析函数单调性找到最值点根据值域边界列出不等式注意等号能否成立 25．（25-26高三上·四川·阶段检测）若函数的值域为，则__________. 【答案】7 【分析】利用基本不等式进行分析，由此列方程，从而求得. 【详解】因为， 当且仅当，即时等号成立， 依题意，，得. 故答案为： 26．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的值域为可得有解，从而有，即可得实数的取值范围. 【详解】函数的值域为， 则有解，所以，解得或， 故实数的取值范围为. 故选：B. 27．（2.2函数）已知函数的值域是，求实数m，n的值． 【答案】，或， 【分析】将函数的值域问题转化为一元二次方程有解问题进行求解即可. 【详解】由可得，，即， 此方程一定有解，则，即， 因为函数的值域是， 所以不等式的解集为， 所以和是方程的两根， 所以，解得或. 28．（24-25高一上·四川绵阳·期末）（多选）若，函数的值域是，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据二次函数的值域性质，结合基本不等式逐一判断即可. 【详解】当时，，显然此时函数的值域不是，不符合题意； 当时，，对称轴为， 因为二次函数的值域是，且， 所以有，因此选项AB正确， 若且，所以由二次函数的对称性可得， 因此选项C不正确； 由，因为，当且仅当时取等号， 所以选项D正确， 故选：ABD 考点八 由已知函数的类型求解析式 ⚠️概念辨析 已知函数类型如一次二次反比例用待定系数法设通用解析式代入点求系数 ⚠️易混易错 设好带参数的解析式将已知点坐标代入联立方程解参数 29．（26-27高一上·全国·期中）已知二次函数满足．求的解析式； 【答案】 【分析】利用待定系数法，先设出二次函数一般式，代入展开合并，再利用多项式恒等对应系数相等列方程组即可求解. 【详解】由题意，设， 则， ， 则， 又，则，解得， 所以． 30．（2026高一·全国·专题练习）已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法，结合已知方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 故选：A. 31．（25-26高三·全国·一轮复习）若一次函数满足，求的函数解析式. 【答案】或 【分析】利用待定系数法求函数解析式即可得到答案. 【详解】由题意设， 则， 所以， 解得或， 所以的函数解析式为或. 32．（25-26高一上·重庆·期中）已知二次函数满足：，． (1)求二次函数的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）设出二次函数解析式，利用待定系数法求解. （2）由（1）的结论列出一元二次不等式，再求解该不等式. 【详解】（1）设二次函数，由，得，则； 由，得， 即，因此，解得，， 所以二次函数的解析式为. （2）由（1）知，，不等式， 即，解得或， 所以原不等式的解集为或. 考点九 配凑法/换元法求函数的解析式 ⚠️概念辨析 配凑法直接凑出整体表达式换元法令整体为t反解x代入化简再替换回x ⚠️易混易错 换元一定要标注新元t的取值范围最后结果自变量统一写为x 33．（26-27高一上·全国·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 所以，. 所以. 34．（26-27高一上·山东·期中）已知，则=___________. 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，其中. . 35．（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 【答案】D 【详解】令,则, 已知, 所以, 所以. 36．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】将代入函数解析式计算得解. 【详解】将代入， 得到，解得. 故选：B. 考点十 方程组法求函数的解析式 ⚠️概念辨析 式子同时含有f(x)与f(-x)或者f(1/x)构造第二个方程联立消元求解 ⚠️易混易错 将式子中x替换为-x或者1/x得到第二个方程二元方程组消去另一个函数符号 37．（26-27高一上·全国·期中）已知函数满足，求的解析式． 【答案】 【详解】由，① 得，② ②①，得， 所以． 38．（26-27高一上·全国·期中）已知函数满足，求的解析式. 【答案】 【详解】由， 可得， 两式联立消去，得， 解得， 所以的解析式为. 39．（25-26高一上·重庆·阶段检测）定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据，想到令得到关于与的方程组，解方程组得到抽象函数的解析式，进而可求函数值. 【详解】因为，① 令，可得.② ①②得，所以.所以. 故选：B. 40．（2.5抽象函数）设，函数满足，函数的解析式为______. 【答案】 【分析】利用已知条件重新构造一个方程联立方程组解出即可. 【详解】由，，① 将换成得：，② ①②得：， 即， 故答案为：. 考点十一 判断两个函数是否相等 ⚠️概念辨析 两函数相等需要定义域相同对应法则完全相同二者缺一不可 ⚠️易混易错 第一步先求两个函数定义域定义域不同直接判定不相等定义域相同再化简对比表达式 41．（26-27高一上·吉林·阶段检测）（多选）下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BD 【详解】对于A选项，函数与的定义域均为， 又因为，这两个函数的对应法则不一样， A中的两个函数不是同一函数； 对于B选项，函数的定义域为，且， 函数的定义域为，这两个函数的对应法则相同， B选项中的两个函数是同一函数； 对于C选项，对于函数，有，解得， 对于函数，有，解得或， 所以函数的定义域为，函数的定义域为或， 这两个函数的定义域不同，C选项中的两个函数不是同一函数； 对于D选项，，， 这两个函数的定义域均为，且对应关系相同，D选项中的两个函数是同一函数. 42．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）下列各组函数是同一个函数的是（     ） A．， B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】分别求出两个函数的定义域，根据定义域不同排除BCD，对于A再分析解析式即可判断. 【详解】对于选项A：函数、的定义域均为，且， 可知定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故A正确． 对于选项B：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于选项C：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于选项D：由函数可得，解得， 可知函数的定义域为， 由函数可得，解得， 可知函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故D错误． 43．（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【分析】根据同一函数定义依次判断求解即可. 【详解】对于A，与定义域相同，对应关系完全一致，是同一函数，故A正确； 对于B，，，对应关系不相同，不是同一函数，故B错误； 对于C，与，定义域相同，对应关系完全一致，是同一函数，故C正确； 对于D，定义域为，定义域为， 两函数定义域不相同，不是同一函数，故D错误. 44．（26-27高一上·广西·期中）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】分别判断两个函数的定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误； 对于C，与的定义域均为，对应关系相同，故与是同一个函数，正确； 对于D，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误. 考点十二 分段函数及其解析式 ⚠️概念辨析 分段函数是一个函数定义域分成多段每一段对应不同解析式 ⚠️易混易错 先划分好每一段自变量范围不同区间使用对应解析式分段点单独检验 45．（26-27高一上·宁夏陕西·期中）已知 (1)求； (2)若，求a的值； (3)若其图像与y=b有三个交点，求b的取值范围. 【答案】(1)3 (2)12 (3) 【分析】（1）根据分段函数解析式直接求解； （2）根据函数解析式，分段讨论，解方程即可； （3）作出函数图象，数形结合即可. 【详解】（1） ， ∴ （2）当时，， 当时，，该方程实数范围内无解 综上， （3）作出 的图象，如图， 由图象可知，当时，与有三个交点. 46．（26-27高一上·河北邢台·阶段检测）“这么近那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚．近年来，河北省大力推进文旅融合发展，打造多条特色旅游带，推出多项惠民惠企政策，带动某文创产品热销．已知某工厂代为加工该文创产品需投入固定成本5万元，每代加工1万件该产品，需另投入万元．现根据市场行情，该工厂代加工万件该产品，可获得万元的代加工费，且，已知该工厂代加工20万件该产品时，获得的利润为90万元． (1)求该工厂代加工该产品的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数表达式； (2)当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该产品的利润最大？并求出利润的最大值． 【答案】(1) (2)代加工量为30万件时，该工厂代加工该产品的利润最大，最大利润为95万元 【分析】（1）根据，可得，进而结合题意求函数解析式； （2）分和两种情况，利用二次函数及基本不等式结合分段函数的性质计算即可. 【详解】（1）当时，； 当时，； 由题可知时，，解得， 所以. （2）当时，， 所以此时当时，取最大值55； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以此时当时，取最大值为95， 且，所以当代加工量为30万件时， 该工厂代加工该产品的利润最大，最大利润为95万元． 47．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）给定函数，，． (1)若，求实数的值； (2)，用表示，中的最大者，记为． （ⅰ）用解析法表示函数； （ⅱ）写出一个使成立的的值．（不需写出求解过程）． 【答案】(1)0或1 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）由得，，即 解得或，所以实数的值为0或1． （2）（i）因为， 当时，，即，所以； 当时，，即，所以； 当时，，即，所以． 综上， （ii）（答案不唯一，范围内任意值均可） 48．（25-26高一上·新疆昌吉·期末）如图，梯形是直角梯形，．记梯形位于直线左侧的图形的面积为．试求函数的解析式，并画出函数的图象． 【答案】， 【分析】分，以及讨论并写成分段函数形式即可. 【详解】当时，设直线与线段分别交于点， 因为，则， 设直线的方程为，代入得， 则直线的方程为，则， 此时. 当时，设直线与线段分别交于点， 则，，， 则， 当时，此时. 则函数的解析式为. 作出函数图象如下： 题型一 抽象函数的解析式 典例1 （25-26高三下·广东江门·开学考试）已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，可得， 因为，所以， 则. 💡破题要诀 【核心知识】无具体表达式的函数利用换元赋值方程组法求解f(x) 【破题要诀】合理赋值或者换元牢牢记住定义域同步转化不要漏掉自变量限制 迁移应用 1．设是定义在上的函数，且满足对任意，等式恒成立，则的解析式为______. 【答案】 【分析】利用赋值法，令，即可求出解析式. 【详解】是定义在上的函数，且对任意恒成立， 令，得， 即，整理得 故. 故答案为：. 2．（25-26高一上·辽宁·期末）已知定义域为的函数，满足，且当时，，则__________. 【答案】 【分析】令，得，结合得到，进而得到，代入求出，令，求得，即可求出答案. 【详解】令，有，即， 因为当时，， 所以， 又， 所以， 即，所以， 所以， 令，得，所以， 所以. 故答案为： 3.（25-26高三上·河南·期中）已知定义在上的函数满足对任意恒成立，且，则（    ） A．200 B．210 C．110 D．220 【答案】B 【分析】赋值法，依次令，，，即可求出的解析式. 【详解】令，则， 因，则， 令，则， 令，则，得， 则，得. 故选：B 题型二 分式型函数的求值域 典例1 （26-27高一上·全国·课后作业）求函数的值域； 【答案】 【分析】分离常数后即可求解. 【详解】， 因为，所以， 则函数的值域为． 💡破题要诀 【核心知识】一次比一次分离常数高次分式可换元转化结合基本不等式或者单调性 【破题要诀】一次分式分离常数后看反比例平移形式高次分式换元简化结构 迁移应用 1．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是__. 【答案】 【分析】利用配凑法化简，结合基本不等式求解. 【详解】当时，函数 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即函数的值域为. 2．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是______． 【答案】 【分析】根据已知函数的性质，运用换元法化简不等式，结合的值域构造不等式，解不等式求函数的值域． 【详解】令，则，原函数化为：， 整理得即，当时显然不合题意； 当时，， ，即，等价于，解得， 原函数的值域为. 3.（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为____________ 【答案】 【分析】利用分离常数法求解即可. 【详解】因为， 则，所以函数的值域为． 故答案为： 题型三 根式型函数的值域 典例1 （25-26高一上·江苏·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，且，设，由得到，将函数两边平方，得到，设，利用二次函数的图像求出的范围，将代入得到，根据的范围求出的范围，根据的范围和求出的范围即可得解. 【详解】，，，， 设，则， 可得， 设，则 ，，，，， ，，，， 的值域为. 故选：C. 💡破题要诀 【核心知识】含根号函数换元去掉根号转化为二次函数或者利用单调性求解 【破题要诀】设根号整体为新变量写出新元范围转化为熟悉函数求值域 迁移应用 1．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的最大值为______. 【答案】/ 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质求得正确答案. 【详解】令，则，， 当时，. 故答案为： 2．（25-26高一上·天津·期中）函数的值域为_____. 【答案】 【分析】利用换元法，转化为二次函数在给定区间上求值域即可. 【详解】令，则， 所以，， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 题型四 由分段函数的值域求参数范围 典例1 （25-26高一上·广东佛山·期末）若函数的值域为，则实数的最小值为___________． 【答案】 【分析】求出分段函数的两段表达式的范围，其并集为，基于此列出关于a的不等式，解出即可． 【详解】①时，，这是开口向上的二次函数，对称轴为， 当时，，当时，， 因此，时，，完全覆盖值域要求； ②时，，因此，时，； 结合整体值域为，可知， 则，解得，同时又因为，所以，所以a的范围为， a的最小值为． 故答案为：． 💡破题要诀 【核心知识】分段函数每一段独立求值域所有段值域合并为整体值域反向求参数 【破题要诀】分别求出每一段函数取值范围结合题目给出总值域列不等式锁定参数 迁移应用 1．（25-26高一上·北京·期中）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数形结合，作出两个函数图象，再对其定义域讨论分析即可. 【详解】作出函数的图象，如下图：    可求得两图象交点坐标分别为， 当时，解得， 所以当时，由在定义域的值域是， 但是当时，由在定义域的值域就是的真子集， 而此时在定义域的值域为， 此时不满足题意，故AC错误； 又当，解得或 再当时，在定义域的值域为， 而在定义域的值域就是， 此时满足题意，故B错误，D正确； 故选：D. 2．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数存在最小值，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题意，函数最小值在上取得，所以需要分类求出最小值，并且不大于的下界值，即可解不等式得解. 【详解】如图，    当时，在上能取到最小值， 当时，在上能取到最小值， 当时，， 所以函数存在最小值时，需满足当时，，即； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 3.（24-25高一上·江苏淮安·期中）（多选）已知函数的值域为，那么的取值可以是（    ）. A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】求出函数在的值域，可知函数在上的值域包含，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 当时，，即函数在的值域为， 由于函数的值域为， 则函数在上的值域包含， 所以，，解得， 故选：AB. 题型五 判别式法求函数的值域 典例1 （2026高一·全国·专题练习）函数的值域是_____. 【答案】 【分析】由换元法和判别式法即可求解. 【详解】解法一：（换元法）令，则， ，由图可知： ，即值域为. 解法二：（判别式法） 将函数化为 ①时，方程不成立； ②时，由得， 解得： 综上： 所以函数的值域为. 💡破题要诀 【核心知识】分子分母均为二次的分式函数整理成关于x的一元二次方程利用Δ≥0求y范围 【破题要诀】先注意定义域x∈R的前提整理方程二次项为零时单独讨论再使用判别式 迁移应用 1．（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 【答案】 【分析】函数的定义域为，令，将问题转化为，再分，，三种情况，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以函数的定义域为 ， 令，则，代入解析式得：， 当时，， 当时， 当时，，当且仅当，即时等号成立，故，； 当时,,则，当且仅当，即时等号成立，故，； 综上，的值域为，即函数的值域为 故答案为： 2．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为：______． 【答案】 【分析】求出函数定义域，再利用判别式法求出函数值域即可. 【详解】由于恒成立，所以原函数定义域为， 由，得， 当时，，符合题意； 当时，由，得恒有实数根， 因此，解得且， 所以函数的值域为 故答案为： 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知集合，集合，则下列图象能表示以为定义域，为值域的函数是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据题意，利用函数的定义，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由函数的定义，选项A可以表示定义域为，值域为的函数，所以A符合题意； 对于B，由函数的定义，选项B表示定义域为，值域为的函数，所以B不符合题意； 对于C，选项C中存在，有两个与之对应，不符合函数的定义，所以选项C不能表示函数，所以C不符合题意； 对于D，选项D中，当时，，所以选项D不能表示函数，所以D不符合题意. 故选：A. 2．（25-26高一上·湖南永州·期中）下列命题正确的是（   ）. A．是函数 B．与是相同函数 C．设集合，，则右图是从集合到集合的一个函数   D．函数的图象与直线的交点最多有1个 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数的定义逐项分析判断. 【详解】对于A，由，得，此不等式组无解，不是函数，A错误； 对于B，的值域为，的值域为R，它们不是相同函数，B错误； 对于C，由给定的图知，集合中没有元素与集合中元素2对应， 因此给定图形不是从集合到集合的函数，C错误； 对于D，函数的图象与垂直于轴的直线最多1个交点， 因此函数的图象与直线的交点最多有1个，D正确. 故选：D 3．（26-27高一上·四川·期中）已知函数满足，且，则（ ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】利用赋值法，分别令、、和，代入运算，即可得答案. 【详解】令，则，解得或， 当时，令，则，解得， 令，则，矛盾， 则， 又，且，所以， 令，则，所以. 4．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知，且，则__________. 【答案】 【分析】利用换元法求出函数的解析式再根据即可进行求解. 【详解】令，则， 可化为， 函数的解析式为， ，，解得. 故答案为：. 5．（26-27高一上·甘肃·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要使函数有意义，则 ，得且， 即， 所以函数的定义域为. 6．（25-26高一上·河南安阳·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为_____. 【答案】 【分析】由题意求出函数的定义域为，再由求解，即得. 【详解】因为函数的定义域为，所以； 由解得， 因此的定义域为. 故答案为： 7．（25-26高一上·广东广州·期中）（多选）下列说法中正确的是（   ） A．当时，的最小值是3 B．若，，则 C．函数的值域为 D．函数与函数为同一个函数 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式判断A；由作差法判断B；根据函数的性质、同一函数的定义判断CD. 【详解】A：当时，， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； B：因为，所以，即，故B正确； C：因为，所以， 因此函数的值域为，故C正确； D：由可知：， 所以函数的定义域为， 由函数可知或， 所以函数的定义域为或， 因为两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，故D错误； 故选：ABC 8．（25-26高一上·湖南永州·期中）（多选）若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”.例如函数，与函数，即为“同值函数”.给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是（   ）. A．，（表示不超过x的最大整数） B．， C． D． 【答案】AC 【分析】根据特例可判断AC的正确，根据单调性可判断BD的正误. 【详解】对于A，分别取定义域为， 则在上的值域均为，故A正确； 对于C，分别取定义域为， 由双勾函数的单调性可得在上为减函数，在上为增函数， 故在上的值域为，在上的值域也为， 故C正确； 对于B，在为增函数，故当定义域不相同时值域必不同， 故B错误； 对于D，， 故在、均为增函数， 而当时，；当时，，故在不同的定义域上值域必不同， 故D错误. 故选：AC. 9．（26-27高一上·湖南·期中）若，则的定义域为______，______. 【答案】 【详解】设，因为，所以， 故的定义域为； 因为 ， 所以 ，故. 10．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）（多选）下列命题中，正确的有（   ） A．函数与函数表示同一函数 B．函数的值域为 C．若函数，则 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BC 【分析】A选项，考查相等函数的判断，注意函数三要素；B选项，为根式型求函数值域，用到换元法求值域，注意定义域范围；C选项，为换元法求解析式题型，注意新元的范围；D选项，抽象函数的定义域问题，注意区分范围. 【详解】对于A，函数的定义域要求且，即； 函数的定义域要求，即，两者定义域不同，故不表示同一函数，A错误； 对于B，设，则，代入函数得：，这是开口向下的二次函数， 对称轴为，最大值为：，当时，，故值域为，B正确； 对于C，设，则，，代入得：， 故，C正确； 对于D，因为函数的定义域为，所以需满足且， 解得且，即，定义域为，D错误. 故答案为：BC 11．（25-26高二下·江西赣州·期末）已知函数，则______. 【答案】 【分析】根据分段函数的定义域划分，先将代入对应的递推关系式，转化为求时的函数值，再代入对应解析式计算即可. 【详解】满足分段函数的条件，因此， 可得： ， 满足的条件，因此， 代入计算得： ， 将代入 ，得. 12．（25-26高一上·北京丰台·期中）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】作出的图象，结合图象求得答案. 【详解】因为，作出其图象如图， 由在上的值域为，结合图象得. 故答案为：. 综合进阶练（限时：15分钟） 13．（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数的定义域为，且，则__________，__________. 【答案】 【分析】令，可求得的值；通过令以及令可求得的解析式，由此可求的解析式，则可求. 【详解】令，得，则； 令，得，得， 令，得， 即，所以， 所以， 故答案为：；. 14．（24-25高一上·福建莆田·期中）函数满足：对任意、，都有，则所有满足条件的函数的解析式为_____________或_____________． 【答案】 【分析】令可得出，令，可求出的值，代入等式可求得函数的解析式. 【详解】令可得， 再令，可得， 解得或， 若，可得，可得， 若，可得，可得. 经检验，、均满足题意. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对、进行赋值，求出特殊函数值，然后再结合已知等式求解. 15．（25-26高一上·江苏苏州·期中）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将化简变形为，由分式的性质求函数的值域，再由函数新定义确定的值域. 【详解】由， 由，则，故. 故选：D 16．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）设函数满足等式，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将中的换为，得到方程组，即可求出的解析式，再由基本不等式计算可得. 【详解】因为， 所以，解得 ， 当时，当且仅当，即时取等号， 所以； 当时，当且仅当，即时取等号， 所以； 综上可得的值域为. 故选：C 17．（25-26高一上·湖北·期中）已知函数的值域为，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解析式得出在上有，由题意可得，然后求解即可. 【详解】当时，单调递增，所以在上有， 所以要使函数的值域为， 则需，解得.     故选：C 18．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数的定义域为，若，且当时，，则当时，的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对选项按照题意一一排除，即可求解. 【详解】选项A，当时,，则， ，， ，， ， ， 不满足，故选项A错误； 选项B，当时,，则， ，， ，， ， ， 不满足，故选项B错误； 选项C，当时,，则， ，， ，， ， ， 不满足，故选项C错误； 选项D，当时,，则， 当时，，， ，， ， ， ，符合题意； 当时，，， ， ， ， ， ， ，符合题意； 当时，，， ， ， ， ， ， ，符合题意； 当时，则，， ， ， ， ， ， ，符合题意； 综上可知，当时,满足题意，故选项D正确. 故选：D. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $