精品解析：福建省龙岩市第二中学2026-2027学年第一学期九年级第一次学情自测数学试卷

龙岩二中2026—2027学年第一学期第一次质量监测 九年级数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1． 答卷前，请将学校、班级、姓名、座号填写清楚； 2． 请用黑色字迹的签字笔或钢笔在试卷指定位置作答，作图题可先用铅笔画图，再用黑色签字笔描黑； 3． 本试卷共三大题、25小题，满分150分；考试结束后，将本试卷交回． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程就是‌只含有一个未知数、未知数最高次数是2的整式方程． 【详解】解：A、不是整式方程，故不是一元二次方程； B、符合一元二次方程的定义； C、中含有两个未知数，故不是一元二次方程； D、当时，不是一元二次方程． 2. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：． 3. 将一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据二次函数的顶点式的顶点为进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，熟知二次函数的顶点式的顶点为是解本题的关键． 5. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，则，据此求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即 解得． 6. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0），把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（2,3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式． 【详解】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后，新图象的顶点坐标是． ∴所得抛物线的表达式为． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 7. 随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2023年投入研发资金为110万元，到2025年累计共投入研发资金384万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程解决增长率问题，关键点是“累计共投入”，包括2023年、2024年和2025年的投入总和，设年平均增长率为x，则2024年投入为万元，2025年投入为万元，累计投入为万元． 【详解】解：∵ 2023年投入为110万元， 设年平均增长率为x， ∴ 2024年投入为万元， 2025年投入为万元， ∵ 累计投入为384万元， ∴． 故选：D． 8. 如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数图象的综合判断，利用交点求不等式的解集． 根据图象可得一次函数图象与抛物线的交点的横坐标为和，则的解集即为抛物线在直线下方时的取值范围． 【详解】解：可得一次函数图象与抛物线的交点的横坐标为和， ∴当时，x的取值范围是或， 故选：D． 9. 已知二次函数的几组对应值如下表： x y 给出下列结论：①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③当时，随的增大而增大；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法求出函数的解析式，再把解析式化为顶点式即可判断①②③；根据当和时的函数值都为0，得到二次函数与x轴有两个交点，据此可判断④． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，故①②正确； ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ∵当和时的函数值都为0，即二次函数与x轴有两个交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确； ∴正确的有①②④，共3个． 10. 已知函数 (a＜0），当自变量x＞m时，y＜b-a； 当自变量x＜n时，y＜b-a；则下列m，n关系正确的是（ ） A. m-n=1 B. m-n=2 C. m+n=1 D. m+n=2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和二次函数的性质可以求得m、n的关系，本题得以解决． 【详解】∵函数＝2a（x−1）2−2a＋b， ∴该函数的对称轴为直线x＝1， ∵函数y＝2ax2−4ax＋b（a＜0），当自变量x＞m时，y＜b−a，当自变量x＜n时，y＜b−a， ∴＝1， 解得，m＋n＝2， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的根是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 12. 已知是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2023． 13. 某种药原来每瓶售价为40元，经过两次降价，现在每瓶售价为25.6元，若设平均每次降低的百分率为，根据题意列出方程为______________________． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每次降低的百分率为x，根据某种药原来每瓶为40元，经过两次降价，现在每瓶售价25.6元列出方程，解方程即可． 【详解】设平均每次降低的百分率为x，根据题意得：40（1﹣x）2=25.6． 故答案为40（1﹣x）2=25.6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 14. 定义：若一元二次方程满足，则称该方程为“友好方程”．则“友好方程”必有一个根为________；若关于的方程是“友好方程”，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“友好方程”的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵一元二次方程满足，则称该方程为“友好方程”， ∴“友好方程”必有一个根为， ∵关于的方程是“友好方程”， ∴， 解得． 15. 已知二次函数（），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，对称轴上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，且时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， ∴， 故答案为：． 16. ．如图一段抛物线：，记为，它与轴交于点和；将绕旋转得到，交轴于；将绕旋转得到，交轴于，如此进行下去，直至得到，若点在第11段抛物线上，则m的值为 _____． 【答案】或32 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的变化确定函数图象的变化更简便，旋转性质，平移的规律：左加右减，上加下减．求出抛物线与轴的交点坐标，根据旋转性质，得出抛物线的形状大小不变，相当于把抛物线向右平移得出抛物线、抛物线……，同理把抛物线向右平移得出抛物线、抛物线……，然后求出到抛物线平移的距离，表示出抛物线的解析式，然后把点的坐标代入计算即可得解． 【详解】解：令，则， 解得，， ， ∵11是奇数 ∴由图可知，抛物线在轴上方， 相当于抛物线向右平移个单位， 抛物线的解析式为， ∵在第11段抛物线上， 解得或32 故答案为：或32． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根的和为，求的值，并求出该方程的根． 【答案】（1）证明：∵． ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）；，． 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式证明即可； （2）用根与系数的关系列式求得的值，再根据因式分解法求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵该方程的两个实数根的和为， ∴， 解得：， 原方程变为：， 解得：，． 19. 已知函数（其中）． （1）当m为何值时，y是x的二次函数？ （2）当m为何值时，y是x的一次函数？ 【答案】（1）2 （2）或或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的定义得到得且，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值； （2）根据一次函数的定义分类讨论：当且时，y是x的一次函数；当且时，y是x的一次函数；当且时，y是x的一次函数，然后分别解方程或不等式即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得 且， 解得， 即当时，y是x的二次函数； 【小问2详解】 ①当且时，即时，y是x的一次函数； ②当且时，y是x的一次函数， 解得； ③当且时，y是x的一次函数， 解得； 即当为或或时，y是x的一次函数． 【点睛】本考查了二次函数和一次函数的定义，熟练掌握二次函数和一次函数的定义是解题的关键． 20. 已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离x轴最近的点与x轴的距离为3． （1）求a，n的值； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1）， （2）抛物线开口向上、对称轴为直线、顶点坐标 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换的应用； （1）两条抛物线的形状相同，即二次项系数的绝对值相等，再由开口方向相反，可求出a，由已知即，得到抛物线上离x轴最近的点是抛物线的顶点，据此可求出n； （2）根据解析式求出各个结果即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线与抛物线的形状相同， ∴， 又∵开口方向相反， ∴， ∵抛物线的顶点为， 又∵图象上离x轴最近的点与x轴的距离为3，且， ∴抛物线上离x轴最近的点是抛物线的顶点， ∴， 故，. 【小问2详解】 解：∵，， ∴抛物线为， ∴其开口向上、对称轴为直线、顶点坐标. 21. 如图，要设计一幅长52厘米，宽32厘米的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应设计横、竖彩条的宽度分别为多少厘米？ 【答案】横彩条的宽度为3厘米，竖彩条的宽度为2厘米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、长方形的面积公式．解题思想与方法：利用方程思想，将实际问题转化为数学方程问题求解；通过设未知数，找到剩余部分长和宽与原图案长和宽以及彩条宽度的关系，进而根据面积关系列方程．解题关键：正确表示出去掉彩条后剩余部分的长和宽，根据面积关系准确列出方程．易错点：求解方程后，容易忽略对解的合理性检验，即要保证剩余部分的长和宽为正数，避免出现不符合实际意义的解． 首先我们知道图案的长和宽，以及彩条的横、竖数量和宽度比例．解题思路是通过设未知数，用含未知数的式子表示出去掉彩条后剩余部分的长和宽．因为彩条面积是图案面积的四分之一，所以剩余部分面积是图案面积的四分之三．根据长方形面积公式，列出关于未知数的方程，然后求解方程，最后检验解的合理性，舍去不符合实际的解，从而得到横、竖彩条的宽度． 【详解】解：设竖彩条的宽度为厘米，因为横、竖彩条的宽度比为，所以横彩条的宽度为厘米． 解得（舍去），． 所以竖彩条的宽度厘米，横彩条的宽度厘米． 答：横彩条的宽度为3厘米，竖彩条的宽度为2厘米． 22. 如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等. （1）根据待定系数法求解即可； （2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：将代入， 得， 解得， 所以，二次函数的表达式为． 【小问2详解】 设，因为点在第二象限，所以． 依题意，得，即，所以． 由已知，得， 所以． 由， 解得（舍去）， 所以点坐标为． 23. 已知二次函数，完成下列各题： （1）该抛物线的顶点坐标是________，对称轴是直线____； （2）请在图中的网格中建立合适的平面直角坐标系，画出该抛物线的简图； （3）根据图象回答：当的取值范围为_________时，． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴该抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线； 【小问2详解】 解：列表得： 建立平面直角坐标系并描点连线后得到该抛物线的简图略； 【小问3详解】 解：根据图象可得：当的取值范围为或时，． 24. 同学们，你们还记得“上*下*，左*右*”这个口诀吗？这个口诀描述的是函数图象平移时解析式的变化规律，此口诀适用于任意函数． （1）把抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线_______________． （2）请利用所学完成以下探究： （I）请借助下表，在图1所给的平面直角坐标系中画出函数的图象． x … 0 1 2 3 … … 3 2 1 0 1 2 3 … （II）请在图2所给的平面直角坐标系中画出函数的图象（无需列表），并结合图象解答下列问题． ①若恒成立，则a的取值范围是________； ②若，则x的取值范围是________； ③我们知道，对于二次函数：当时，y随x的增大而减小，这时我们说：“当时，函数单调递减”； 当时，y随x的增大而增大，这时我们说：“当时，函数单调递增”． 现给出“当时，函数单调递增”的证明： 证明：设点、在函数的图象上，且，则： ∵， ∴，， ∴， ∴， 即当时，， ∴当时，函数单调递增． 请证明：函数，当时，单调递减． 【答案】（1） （2）（Ⅰ）画图如下， （Ⅱ）画图如下， ①；②或； ③证明：当时，， ∴， ∴， 设点、在该段函数图象上，且，则： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即当时，， ∴当时，函数单调递减． 【解析】 【分析】（1）利用二次函数平移口诀“左加右减，上加下减”直接写出平移后的解析式即可； （2）（Ⅰ）根据表格里给出的，对应坐标，在坐标系描点，再用直线依次连接即可画出的图象；（Ⅱ）将函数向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到，据此画出函数图象即可；①即函数中函数值，观察图象找到函数最小值，只要a小于等于该最小值，不等式恒成立；②在图象上确定y在0到2之间对应的x的取值，直接读出x取值范围；③先根据判断，去掉绝对值符号，化简函数表达式；仿照题目示例，设取值内两个自变量，作差，判断差的正负，比较，大小，证明随着x增大，y减小，即可完成单调递减证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：（Ⅰ）略 （Ⅱ）①即函数中函数值，如图， 由函数图象可知，的最低点纵坐标为，即函数最小值是， 要使恒成立，则a不能超过这个最小值， ∴； ②即函数中函数值满足，如图， 由函数图象可知，当时，或， ∴若，则x的取值范围是或； ③略 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．点为线段上的一个动点（不与，重合），过点作轴的垂线，垂足为，与抛物线交于点． （1）求直线的解析式； （2）求线段长度的最大值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先求出点C的坐标，再根据待定系数法求解即可； （2）设，则表示出，再根据二次函数的性质即可求解； （3）设，则有，，，分三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：令，得， 即， 设直线的解析式为， 将、代入解析式得：， 解得： ∴； 【小问2详解】 解：设，则， ∴， ∴当时，最大，最大值为； 【小问3详解】 解：∵抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线， ∵点在对称轴上， ∴设， ∵，， ∴，，， 分三种等腰情况讨论： 当时：， 解得，得； 当时：， 解得，得、； 当时：， 解得，得、． 综上，所有满足条件的坐标为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩二中2026—2027学年第一学期第一次质量监测 九年级数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1． 答卷前，请将学校、班级、姓名、座号填写清楚； 2． 请用黑色字迹的签字笔或钢笔在试卷指定位置作答，作图题可先用铅笔画图，再用黑色签字笔描黑； 3． 本试卷共三大题、25小题，满分150分；考试结束后，将本试卷交回． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 将一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2023年投入研发资金为110万元，到2025年累计共投入研发资金384万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 或 9. 已知二次函数的几组对应值如下表： x y 给出下列结论：①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③当时，随的增大而增大；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数 (a＜0），当自变量x＞m时，y＜b-a； 当自变量x＜n时，y＜b-a；则下列m，n关系正确的是（ ） A. m-n=1 B. m-n=2 C. m+n=1 D. m+n=2 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的根是______． 12. 已知是方程的两个实数根，则的值是______． 13. 某种药原来每瓶售价为40元，经过两次降价，现在每瓶售价为25.6元，若设平均每次降低的百分率为，根据题意列出方程为______________________． 14. 定义：若一元二次方程满足，则称该方程为“友好方程”．则“友好方程”必有一个根为________；若关于的方程是“友好方程”，则________． 15. 已知二次函数（），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是________． 16. ．如图一段抛物线：，记为，它与轴交于点和；将绕旋转得到，交轴于；将绕旋转得到，交轴于，如此进行下去，直至得到，若点在第11段抛物线上，则m的值为 _____． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根的和为，求的值，并求出该方程的根． 19. 已知函数（其中）． （1）当m为何值时，y是x的二次函数？ （2）当m为何值时，y是x的一次函数？ 20. 已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离x轴最近的点与x轴的距离为3． （1）求a，n的值； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 21. 如图，要设计一幅长52厘米，宽32厘米的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应设计横、竖彩条的宽度分别为多少厘米？ 22. 如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 23. 已知二次函数，完成下列各题： （1）该抛物线的顶点坐标是________，对称轴是直线____； （2）请在图中的网格中建立合适的平面直角坐标系，画出该抛物线的简图； （3）根据图象回答：当的取值范围为_________时，． 24. 同学们，你们还记得“上*下*，左*右*”这个口诀吗？这个口诀描述的是函数图象平移时解析式的变化规律，此口诀适用于任意函数． （1）把抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线_______________． （2）请利用所学完成以下探究： （I）请借助下表，在图1所给的平面直角坐标系中画出函数的图象． x … 0 1 2 3 … … 3 2 1 0 1 2 3 … （II）请在图2所给的平面直角坐标系中画出函数的图象（无需列表），并结合图象解答下列问题． ①若恒成立，则a的取值范围是________； ②若，则x的取值范围是________； ③我们知道，对于二次函数：当时，y随x的增大而减小，这时我们说：“当时，函数单调递减”； 当时，y随x的增大而增大，这时我们说：“当时，函数单调递增”． 现给出“当时，函数单调递增”的证明： 证明：设点、在函数的图象上，且，则： ∵， ∴，， ∴， ∴， 即当时，， ∴当时，函数单调递增． 请证明：函数，当时，单调递减． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．点为线段上的一个动点（不与，重合），过点作轴的垂线，垂足为，与抛物线交于点． （1）求直线的解析式； （2）求线段长度的最大值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $