第二章圆锥曲线（期中知识清单）高二数学上学期北师大版

第二章 圆锥曲线　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 椭圆 1.1 椭圆的定义 平面内到两个定点 ， 的距离之和等于常数（大于 ）的点的集合（或轨迹）叫作椭圆。这两个定点 ， 叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离 叫作椭圆的焦距。 示例：设 ，动点 满足 ，因 ，故点 的轨迹是椭圆。 1.2 椭圆的标准方程 椭圆上任意一点的坐标都是方程 的解；以方程 的解为坐标的点都在椭圆上。我们将方程 叫作椭圆的标准方程，它的焦点在 轴上，两个焦点分别是 ，，其中 。 如果椭圆的焦点在 轴上，其焦点分别为 ，，用同样的方法也可推出它的标准方程为 ，其中 。 示例： 中，，，，焦点为 ，。 注意：判断焦点位置看分母的大小： 项的分母大则焦点在 轴， 项的分母大则焦点在 轴。 1.3 椭圆的简单几何性质 以椭圆 的标准方程 为例： 范围 由方程可得椭圆 上的任意一点 总满足 ，，即 ，。这说明椭圆 位于四条直线 ，，， 所围成的矩形区域内。 对称性 椭圆 既是关于 轴和 轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形。这个中心称为椭圆的中心。 顶点 因为 轴、 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点。椭圆 的四个顶点分别为 ，，，。线段 ， 分别叫作椭圆的长轴和短轴，且 ，。 和 分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长。 离心率 我们规定椭圆的焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率，用 表示，即 。显然 。 越接近于 ，椭圆就越扁； 越接近于 ，椭圆就越接近于圆。 示例：椭圆 中，，，，离心率 。 2. 双曲线 2.1 双曲线的定义 平面内到两个定点 ， 的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于 ）的点的集合（或轨迹）叫作双曲线。这两个定点 ， 叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距。 示例：设 ，动点 满足 ，因 ，故点 的轨迹是双曲线。 2.2 双曲线的标准方程 方程 称为双曲线的标准方程，它的焦点在 轴上，两个焦点分别为 ，，其中 。 如果双曲线的焦点在 轴上，其焦点分别为 ，，利用同样的方法可以得到双曲线的标准方程为 ，其中 。 示例： 中，，，，焦点为 ，。 注意：双曲线中 （ 最大），与椭圆 （ 最大）正好相反。 2.3 双曲线的简单几何性质 以双曲线 的标准方程 为例： 范围 双曲线 上的任意一点 都满足 或 ，且 。因此，双曲线 位于两条直线 和 外侧的区域。 对称性 双曲线既是关于 轴和 轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形。这个对称中心称为双曲线的中心。 顶点 把双曲线与它的对称轴的交点 ， 叫作双曲线的顶点。显然顶点是双曲线两支之间距离最近的点。两个顶点间的线段 叫作双曲线的实轴，它的长度等于 ；， 为 轴上的两个点，线段 叫作双曲线的虚轴，它的长度等于 ，其中 叫作双曲线的虚半轴长。 离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 叫作双曲线的离心率，用 表示。因为 ，所以双曲线的离心率 。 越大，双曲线的开口就越大，从而离心率 可以用来表示双曲线开口的程度。 示例：双曲线 中，，，离心率 。 渐近线 一般地，直线 和 称为双曲线 的渐近线。双曲线的两支在向外无限延伸时与这两条直线无限逼近。 示例：双曲线 的渐近线方程为 。 3. 抛物线 3.1 抛物线的定义 平面内与一个定点 和一条定直线 （ 不经过点 ）的距离相等的点的集合（或轨迹）叫作抛物线。这个定点 叫作抛物线的焦点，这条定直线 叫作抛物线的准线。 示例：点 到定点 的距离等于它到直线 的距离，则点 的轨迹是抛物线。 3.2 抛物线的标准方程 取经过焦点 且垂直于准线 的直线为 轴，以线段 的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系，可得抛物线的标准方程 ，这条抛物线的焦点在 轴的正半轴上，坐标是 ，它的准线方程是 。其中 是抛物线的焦点到准线的距离。 顶点在原点、焦点在坐标轴上的抛物线有四种位置情况，其标准方程、焦点坐标和准线方程如下表（）： 标准方程 焦点坐标 准线方程 示例：抛物线 中，，焦点坐标是 ，准线方程是 。 3.3 抛物线的简单几何性质 以抛物线 为例： 范围 由方程可知，抛物线上的任意一点 都满足 ，，所以这条抛物线在 轴的右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸。 对称性 抛物线 是关于 轴对称的曲线。 顶点 抛物线和它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点。在方程 中， 时 ，因此，抛物线的顶点就是坐标原点。 离心率 抛物线上的点 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用 表示。由抛物线的定义可知 。 示例：抛物线 的顶点是原点，焦点是 ，准线是 ，离心率 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 离心率与圆锥曲线类型的对应 椭圆 ，抛物线 ，双曲线 。由离心率可直接判断圆锥曲线的类型；反之，已知曲线类型即可确定离心率的范围。 1.2 圆锥曲线的统一定义（共同特征） 平面内到定点 的距离与到定直线 （ 不经过 ）的距离之比为常数 （）的动点的轨迹是圆锥曲线，其中定点 为焦点，常数 是离心率，定直线 为准线。当 时为椭圆， 时为抛物线， 时为双曲线。 1.3 椭圆、双曲线的焦半径 椭圆 上一点 到两个焦点的距离分别为 和 （，）。 1.4 抛物线的焦半径 抛物线 上一点 到焦点 的距离等于它到准线 的距离，即 。 1.5 抛物线的焦点弦长 抛物线 ，过焦点 的弦两端为 ，，则 。 1.6 椭圆、双曲线的通径 过焦点且垂直于长轴（椭圆）或实轴（双曲线）的弦叫作通径，椭圆、双曲线的通径长都是 ，抛物线的通径长是 。 1.7 椭圆的焦点三角形 椭圆 上一点 与两焦点 ， 构成的焦点三角形的周长为 ；设 ，则其面积 。 【使用提醒】 此面积公式只适用于椭圆；当 在短轴端点时面积最大，为 。 1.8 等轴双曲线的特征 实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，此时 ，，离心率 ，渐近线为 （互相垂直）。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求圆锥曲线的标准方程 先判断焦点位置（由条件或图形确定焦点在 轴还是 轴），设出相应的标准方程，再由已知条件（定义、点坐标、，， 关系、离心率等）列式求 ，。如椭圆焦点在 轴上、经过点 ，，则由顶点关系得 ，，方程为 。 【使用提醒】 焦点位置不确定时需分类讨论，或设 统一处理。 2.2 求离心率 先求出 与 （或 ， 的关系），代入 ；也可由 （椭圆）或 （双曲线）整体求解。如椭圆 中 ，则 。 2.3 判断直线与圆锥曲线的位置关系 联立直线与曲线方程，消去一个变量得一元二次方程，用判别式 判断公共点个数： 相交、 相切、 相离，用根与系数的关系求交点坐标之和、之积。如直线 与椭圆联立后，由 的符号判断相交、相切、相离。 【使用提醒】 消元后若二次项系数含参数，须先讨论其是否为 （此时退化为一次方程），再讨论 ；直线与双曲线、抛物线联立时尤其容易漏掉退化情形。 2.4 弦长公式 直线 与圆锥曲线交于 ，，则 ，其中 、 是消元后所得一元二次方程的判别式与二次项系数。 2.5 点差法求中点弦 弦 的中点为 ，把 ， 两点坐标分别代入曲线方程后两式相减，利用中点与斜率关系求 。如椭圆 中以 为中点的弦的斜率 ；双曲线 对应为 。 【使用提醒】 中点 须在曲线内部（椭圆），否则该中点弦不存在，需验证判别式。 3. 焦点位置判断 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 椭圆焦点位置 、 项中分母大者对应焦点所在轴 ， 分母大，焦点在 轴 双曲线焦点位置 系数为正的项对应的变量所在轴 中 项为正，焦点在 轴 抛物线开口 一次项对应的变量所在轴，正负决定正半轴方向 开口向下，焦点 与焦准距 焦点到准线的距离等于 ，焦点坐标、准线方程均含 中 ，焦点 渐近线速记 把 的 改成 即得 渐近线 求方程先定轴 先判断焦点（或对称轴）在哪条坐标轴上，再设方程，避免四种形式混淆 抛物线过点 且以坐标轴为轴，需分 轴、 轴两种情况讨论 4. 常见考试模型 4.1 抛物线焦点弦模型 公式： 过抛物线 焦点 的弦 ，其长 ；焦点弦中通径（垂直于对称轴）最短，长为 。 限定： ；弦的两端为 ，。 示例： 如斜率为 的直线过 的焦点，联立得 ，则 。 4.2 定义法求轨迹模型 公式： 动点到两定点距离之和为定值（大于两定点距离）时轨迹为椭圆，差的绝对值为定值（小于两定点距离）时轨迹为双曲线，到定点与定直线距离相等时轨迹为抛物线。 限定： 椭圆须”和 两定点距离”，双曲线须”差 两定点距离”，否则轨迹退化或不存在；要结合条件排除轨迹上的不满足题意的点。 示例： 如 的周长为 ，，则 ，顶点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆（不含与直线 的交点）。 4.3 中点弦（点差法）模型 公式： 椭圆 中以 为中点的弦所在直线的斜率 ；双曲线 对应为 。 限定： 中点 须在曲线内部（否则该中点弦不存在）。 示例： 如椭圆 内以 为中点的弦的斜率 。 4.4 离心率求值 / 取值范围模型 公式： 由条件建立关于 ，， 的方程或不等式，结合 （椭圆）或 （双曲线）与 求解；椭圆 ，双曲线 。 限定： 所得 必须落在对应圆锥曲线的离心率范围内。 示例： 如椭圆 ，，则 ，，。 4.5 直线与圆锥曲线交点个数讨论模型 公式： 联立消元得关于 的方程，先讨论二次项系数是否为 （退化情形），再对二次方程用 判断： 两个交点、 一个交点（相切）、 无交点。 限定： 直线与双曲线平行于渐近线、与抛物线平行于对称轴时，联立方程退化为一次方程，此时只有一个交点，判别式法失效。 示例： 如直线 与双曲线 ，联立得 ，当 时退化为一次方程仍有一解，与渐近线平行。 【使用提醒】 讨论直线与双曲线、抛物线的交点个数时，必须先检查二次项系数为 的退化情形，否则会漏解。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：双曲线定义”差的绝对值”，漏掉绝对值只求出一支 典例：已知两定点 ，，动点 满足 ，求点 的轨迹方程。 错解：由 得 ，；又 ，，所以轨迹为双曲线 。 正解：条件 表示点 到 的距离比到 的距离大 ，只对应双曲线的右支。故点 的轨迹为双曲线 的右支，即 。 原因：概念理解错误。双曲线的定义是”距离的差的绝对值”等于常数，对应左右两支；而题目只给出”差”（），没有绝对值，只能确定一支。学生看到”差等于常数”就直接套双曲线标准方程，忽视了”绝对值决定双支、无绝对值只有单支”这一区别，导致轨迹多写了一支。 易错点 2：椭圆焦点位置按”哪一项写在前”判断，而不是看分母大小 典例：求椭圆 的焦点坐标。 错解：因为 项写在前，所以焦点在 轴上，，，，无法开方，故无焦点。 正解：椭圆标准方程中 ，这里 项的分母 较大，故 ，，焦点在 轴上。，，焦点坐标为 ，。 原因：概念理解错误。学生误以为”方程中写在前面的项对应的变量所在轴就是焦点所在轴”，没有按”分母大者为 、焦点在 所在轴”来判定。焦点轴由 （较大的分母）所在项决定，而不是由书写顺序决定。 易错点 3：双曲线中 ，， 关系记成 典例：已知双曲线 的一个焦点到原点的距离为 ，实半轴长 ，求虚半轴长 。 错解：由 得 ，所以无解。 正解：双曲线中 ，又 ，，所以 ，故 。 原因：记忆混淆。学生把椭圆的 套用到了双曲线上。椭圆中 最大（），双曲线中 最大（）。可记”椭圆 最大、双曲线 最大”来区分，凡遇 ，， 关系先明确是哪类曲线。 易错点 4：抛物线焦点坐标、准线方程的符号记混 典例：求抛物线 的焦点坐标和准线方程。 错解：由 得 ，，所以焦点坐标为 ，准线方程为 。 正解： 是 型，，， 的系数为负，开口向下，焦点在 轴负半轴，焦点坐标为 ，准线方程为 。 原因：记忆缺失。抛物线四种标准方程中焦点坐标、准线方程的正负号容易记混。判断口诀：含变量的项（一次项）系数为正时，焦点在正半轴、准线在负半轴；系数为负时相反，且焦点与准线关于顶点对称、到顶点的距离都是 。 易错点 5：直线与双曲线联立，漏讨论二次项系数为 典例：求直线 与双曲线 只有一个公共点时 的值。 错解：联立消去 得 ，只有一个公共点则 ，即 ，解得 。 正解：① 当 即 时，方程退化为一次方程 ，仍有一个解，此时直线与渐近线 平行，与双曲线只有一个公共点；② 当 时，由 得 。综上， 或 。 原因：漏分类讨论。联立消元后所得方程的二次项系数含参数 ，只有二次项系数不为 时才能用判别式 判断交点个数；当 时方程退化，判别式法失效，而这恰对应直线平行于渐近线的特殊情况，同样只有一个公共点。学生默认”联立方程一定是二次的”，直接套 ，遗漏了退化情形的解。 易错点 6：定义法求轨迹，忽略”常数与两定点距离的大小关系” 典例：已知两个定点 ， 的距离是 ，动点 到这两个定点的距离之和是 ，求动点 的轨迹。 错解：由 ，得 ，所以点 的轨迹是以 ， 为焦点、长轴长为 的椭圆。 正解：椭圆的定义要求”距离之和大于两定点间的距离”，这里 ，恰好相等，不满足”大于”这一条件，故点 的轨迹不是椭圆，而是线段 。 原因：条件遗漏。学生只记住了”到两定点距离之和为常数”这一半，丢掉了椭圆定义中”常数大于 “的关键限定，没有对常数与两定点距离作大小比较。同理，双曲线要求”差的绝对值大于零且小于 “。纠正要点：用定义法求轨迹时，先比较常数与两定点（焦点）距离的大小，判断是否满足成立条件，退化情形（线段、射线、不存在）要单独说明。 学科网（北京）股份有限公司 $