第三章空间向量与立体几何（期中知识清单）高二数学上学期北师大版

第三章 空间向量与立体几何　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 空间直角坐标系 1.1 空间直角坐标系与点的坐标 为了确定空间中任意一点的位置，在空间中过一点 作三条两两互相垂直的数轴 轴、 轴和 轴，这样就建立了一个空间直角坐标系 。点 叫作坐标原点， 轴（横轴）、 轴（纵轴）、 轴（竖轴）叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为 平面、 平面、 平面。它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向 轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转 指向 轴正方向，此时大拇指的指向即为 轴正方向，这样的坐标系称为右手系。 在空间直角坐标系中，对于空间任意一点 ，都可以用唯一的一个三元有序实数组 来表示；反之，对于任意给定的一个三元有序实数组 ，都可以确定空间中的一个点 。这样，在空间直角坐标系中，任意一点 与三元有序实数组 之间就建立了一一对应的关系。三元有序实数组 叫作点 在此空间直角坐标系中的坐标，记作 。 示例：在空间直角坐标系 中，点 在 轴、 轴、 轴上的投影依次为点 、、，若 、、 的坐标分别为 、、，则点 的坐标为 ；原点的坐标为 。 1.2 空间两点间的距离公式 已知空间中 ， 两点，则 ， 两点间的距离为 这就是空间两点间的距离公式。 示例：点 与点 间的距离为 。 2. 空间向量与向量运算 2.1 空间向量的相关概念 与平面向量类似，在空间中，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量，向量的大小叫作向量的长度或模。 空间向量也有两种表示法：一种用有向线段来表示，例如，以点 为起点、点 为终点的有向线段可以表示一个向量，记作向量 ，点 叫作向量 的起点，点 叫作向量 的终点；一种用 ，， 表示。 名称 定义 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 自由向量 数学中所研究的向量与向量的起点无关，称之为自由向量 相反向量 方向相反且模相等的向量互为相反向量，向量 的相反向量用 表示 零向量 规定模为 的向量叫作零向量，记为 ，零向量的起点与终点重合，方向为任意方向 共线向量（或平行向量） 当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时，称这两个向量互为共线向量（或平行向量） 共面向量 通常，我们把平行于同一平面的向量叫作共面向量 规定：零向量与任意向量平行。空间中任意两个向量总是共面的，但任意三个向量可能是共面的，也可能是不共面的。 示例：长方体 中，有向线段 ，，， 长度相等、方向相同，是相等向量，都表示同一向量；向量 与向量 长度相等、方向相反，互为相反向量。 2.2 空间向量的加减法 已知空间向量 ，，过空间任意一点 作 ，，再作向量 。把向量 叫作空间向量 ， 的和。求空间向量和的运算叫作空间向量的加法，即 上述求两个空间向量和的法则，叫作向量求和的三角形法则。 当空间向量 ， 不平行时，过空间任意一点 作 ，，以 ， 为邻边作平行四边形 ，则 这就是向量求和的平行四边形法则。 空间向量的加法满足如下运算律： 与平面向量类似，空间向量 ， 的差也可定义为 ，记作 ，其中 是 的相反向量。 示例：平行六面体 中，。 2.3 空间向量的数乘运算 与平面向量类似，实数 与空间向量 的乘积仍然是一个向量，记作 。求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算，向量 的长度和方向满足： 条件 结论 向量 与向量 方向相同 向量 与向量 方向相反 且 。 空间向量的数乘运算满足如下的结合律和分配律： 定理（共线向量基本定理）：空间两个向量 ，（）共线的充要条件是存在唯一的实数 ，使得 。通常把这个定理称为共线向量基本定理（也称“一维向量基本定理”）。 示例：向量 与 满足 ，故 ， 共线。 2.4 空间向量的数量积 已知两个非零向量 ，，在空间中任取一点 ，作 ，，则 叫作向量 与 的夹角，记作 。通常规定 。当 时，向量 与 方向相同；当 时，向量 与 方向相反。 当 时，称向量 ， 互相垂直，记作 。规定：零向量与任意向量垂直。 已知两个空间向量 ，，把 叫作 与 的数量积，记作 ，即 与平面向量类似，空间向量的数量积也是一个实数，容易得到以下结论： 编号 结论 （1） （，） （2） （3） 的条件是 空间向量的数量积运算也满足如下运算律： 示例：若 ，，，则 。 注意：空间向量的数量积是一个实数，不是一个向量。 2.5 投影向量与投影数量 已知两个非零向量 ，，在空间任取一点 ，作 ，，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，称向量 为向量 在向量 方向上的投影向量，其长度等于 。 若用 表示与向量 （）同方向的单位向量，则向量 在向量 方向上的投影向量为 因此，称 为投影向量 的数量，简称为向量 在向量 方向上的投影数量。 示例：单位正方体 中，向量 在 方向上的投影数量为 。 3. 空间向量基本定理及坐标表示 3.1 空间向量基本定理 空间向量基本定理：如果向量 ，， 是空间三个不共面的向量， 是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组 ，使得 由上述定理可知，如果向量 ，， 是空间三个不共面向量，那么所有的空间向量组成的集合就是 ，这个集合可以看成是由向量 ，， 生成的，这时 ，， 叫作空间的一组基，其中 ，， 都叫作基向量。空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基。 示例：平行六面体 中，若 ，，，则 。 3.2 空间向量运算的坐标表示 在空间直角坐标系 中，分别沿 轴、 轴、 轴正方向作单位向量 ，，，这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基 ，这组基叫作标准正交基。根据空间向量基本定理，对于任意一个向量 ，都存在唯一的三元有序实数组 ，使得 把三元有序实数组 叫作向量 在标准正交基 下的坐标，记作 。单位向量 ，， 都叫作坐标向量。 若点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则 也就是说：一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设向量 ，，根据空间向量的运算法则，不难得到： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 ， 数量积 示例：， 时，。 3.3 空间向量平行与垂直的坐标条件 设向量 ，，那么当 时， 类似地，可得 示例：向量 与 满足 ，故 ；向量 与 满足 ，故 。 3.4 空间向量长度与夹角的坐标表示 设向量 ，，根据空间向量运算的坐标表示，可以得到以下结论： 项目 坐标表示 向量的模 两点间距离 夹角余弦 （，） 示例：已知空间三点 ，，，则 。 4. 空间向量在立体几何中的应用 4.1 直线的方向向量与直线的向量表示 在空间中取一个定点 ，那么空间中任意一点 的位置就可以用向量 来表示，向量 就是点 的位置向量。 设点 ， 是直线 上不重合的任意两点，称 为直线 的方向向量。显然，一条直线有无数个方向向量，与 平行的任意非零向量 也是直线 的方向向量。由此可见，空间中任意一条直线 的位置可以由直线 上的一个定点 和该直线的方向向量唯一确定。 已知点 是直线 上的一点，非零向量 是直线 的一个方向向量。那么对于直线 上的任意一点 ，一定存在实数 ，使得 反之，满足上式的点 一定在直线 上，因此把这个式子称为直线 的向量表示。 示例：点 在直线 上的充要条件是对空间任意一个确定的点 ，存在实数 ，使得 。 4.2 平面的法向量、向量表示式与方程 如果一条直线 与一个平面 垂直，那么就把直线 的方向向量 叫作平面 的法向量。 设点 是平面 内给定的一点，向量 是平面 的一个法向量，那么对于平面 内任意一点 ，必有 反过来，满足上式的点 都在平面 内，所以把上式称为平面 的一个向量表示式。 在空间直角坐标系中，若 ，点 的坐标为 ，则对于平面 内任意一点 ，有 平面 内任意一点 的坐标 都满足此方程；反之，以满足此方程的 为坐标的任意一点也都在平面 内，所以此方程叫作平面 的方程。 示例：若 是平面 的一个法向量，点 在平面 内，则由 且 （，， 为平面内不共线三点）解方程组即可求得一个法向量。 4.3 用向量研究立体几何中的位置关系 设向量 ， 分别是直线 ， 的方向向量，， 分别是平面 ， 的法向量，则空间直线与平面间的平行、垂直等位置关系可表示如下： 位置关系 向量条件 ，或 与 重合 ，或 ，或 与 重合 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。 两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。 示例：要证 ，可设 是直线 的方向向量， 是平面 的法向量，证 ，并说明直线 不在平面 内。 4.4 三垂线定理及其逆定理 三垂线定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直。 示例：正方体 中， 在平面 内的投影为 ，又 ，所以由三垂线定理得 。 4.5 用向量研究空间中的角 两条直线所成的角：当两条直线 与 相交时，把两条直线交角中范围在 内的角叫作两条直线所成的角；当两条直线平行时，规定它们所成的角为 ；当两条直线 与 是异面直线时，在空间任取一点 ，过点 作直线 和 ，使得 ，，把 ， 所成的角叫作异面直线 与 所成的角。 若向量 ， 分别为直线 ， 的方向向量，则直线 与 所成的角 ，且 与两个方向向量所成的角 相等或互补，即 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的投影所成的锐角就是这条直线与这个平面所成的角。当一条直线与一个平面平行或在这个平面内时，规定这条直线与这个平面所成角的大小为 ；当一条直线与一个平面垂直时，规定这条直线与这个平面所成角的大小为 。 设向量 为直线 的一个方向向量， 是平面 的一个法向量，则直线 与平面 所成的角 ，且 两个平面所成的角（二面角）：已知 ， 分别为平面 ， 的法向量，则二面角 的平面角与两法向量所成角 相等或互补。 示例：单位正方体 中， 平面 ，故 是平面 的一个法向量，据此可求二面角 的平面角。 4.6 用向量研究空间中的距离 空间中常见的距离有：两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、相互平行的直线之间的距离、相互平行的平面之间的距离等。垂直反映了距离的本质，因此可以通过一个向量在法向量方向上作投影向量的方法来求解距离。 点到平面的距离：设点 是平面 外一点，点 是平面 内的已知点， 是平面 的单位法向量，则点 到平面 的距离为 点到直线的距离：若点 是直线 外一点， 是直线 的单位方向向量，点 是直线 上任意一点，则点 到直线 的距离为 示例：点 到平面 的距离等于点 与平面 内任意一点 连线所得向量 在平面 的单位法向量 方向上所作投影向量的长度。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 中点向量公式 设 为空间中任意一点，则 为线段 中点的充要条件是 。 【使用提醒】 式中 ， 的始点必须是同一个点 ， 可任取，但一经选定就不能再变。 1.2 三角形重心的向量表示 设 为空间中任意一点， 为 的重心，则 ，且 。 1.3 三点共线的向量判定 ，， 三点共线的充要条件是存在实数 ，使 ；等价地，。 【使用提醒】 起点 可任取；两系数之和恒为 ，这是与四点共面结论的区别所在。 1.4 四点共面的向量判定 ，， 不共线时，点 在平面 内的充要条件是存在唯一的实数对 ，使 ；等价地，对任意一点 ，存在满足 的实数 ，，，使 。 【使用提醒】 记忆口诀“系数和为 则共面”；若 ，则 不在平面 内。 1.5 向量模的三角形不等式 对任意空间向量 ，，有 ，。如 ， 时，。 1.6 数量积与模的恒等变形 ；；；。 【使用提醒】 已知 求夹角时，先平方展开再回代，避免直接开方丢符号。 1.7 不建系求模的“基底展开法” 若 ，， 是不共面的向量且它们的长度与两两夹角都已知，则 的模由 求得。如 且两两夹角为 时，。 1.8 法向量的坐标速算（十字相减法） 设 是平面 的法向量，由 与 消元求解；若 ，，则可取 。如 ， 时，可取 。 【使用提醒】 速算式只给出一个法向量；检验时用 与 回代验证。 1.9 数量积的几何意义与投影数量 在 方向上的投影数量为 ； 与单位向量 的数量积 就等于 在 上的投影数量。 【使用提醒】 投影数量可正、可负、可为 ，与夹角是锐角、钝角、直角一一对应。 1.10 异面直线距离的向量求法 若 ， 分别是异面直线 ， 的方向向量，则同时与 ， 垂直的向量 与两直线的公垂线段平行，设 ，，则 与 的距离为 。 【使用提醒】 此处 由“设 ，解 与 ”得到，不必先求出公垂线的位置。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 用基底表示向量的三步法 ① 选定一组不共面的基向量（常取从同一点出发的三条棱）；② 把目标向量放到某个三角形或平行四边形中，用加法、减法、数乘逐步“绕行”到基向量；③ 化简为 的形式。如平行六面体 中，。 2.2 建系求角与距离的通用流程 ① 寻找或构造两两垂直的三条棱（线），以交点为原点建立空间直角坐标系；② 写出各关键点的坐标，用“终点坐标减始点坐标”求向量坐标；③ 求需要的直线方向向量与平面法向量；④ 代入对应公式计算。如正方体、长方体、直棱柱、有一条侧棱垂直于底面的棱锥都便于直接建系。 2.3 求平面法向量的规范步骤 ① 在平面内找两个不共线的向量 ，；② 设 ，由 与 列方程组；③ 令其中一个未知数为 （或取便于计算的值）求出其余两个；④ 回代检验。 【使用提醒】 令特值时不可三个分量同时取 ；若某个未知数必须取 ，可改令另一个分量为 。 2.4 用向量证明平行与垂直 ① 线线平行：证两直线的方向向量共线（存在 使 ）；② 线线垂直：证 ；③ 线面平行：证 ，并说明直线不在平面内；④ 线面垂直：证 ；⑤ 面面平行：证 ；⑥ 面面垂直：证 。 2.5 用向量求线线角、线面角、二面角 ① 线线角：，先算向量的夹角余弦，再取绝对值；② 线面角：，先算方向向量与法向量夹角余弦的绝对值；③ 二面角：算出 后，结合图形判断二面角是锐角还是钝角，必要时取 。 2.6 求点到平面距离的步骤 ① 求平面的一个单位法向量 ；② 在平面内取一点 ，连接 与 得 ；③ 代入 。如正方体 中， 即说明 平面，此时 也就是直线 到该平面的距离。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 模的平方化 见模就平方，，把根式运算化为数量积运算 数量和向量的区分 是实数， 是向量；数量积不满足结合律， 由 不能约去 得到 垂直条件的坐标化 判断垂直只用 ，即 ，无需判断夹角 ， 满足 ，故 平行条件的坐标化 用 逐分量列式，不要用比例式（分母可能为 ） ， 满足 ，故平行 三轴两两垂直优先 出现直角、正棱柱、正棱锥的高等条件时，优先考虑建立空间直角坐标系；能建系就用坐标法，比基底法少绕弯 正方体中一切向量问题都可用坐标法 化简目标：化归到基底 把未知向量逐个“绕”到基底表示后再运算，避免中途比较向量大小 4. 常见考试模型 4.1 异面直线所成角模型 公式： 设两直线的方向向量为 ，，则 。 限定： 异面直线所成角 ，所以结果恒非负； 时两直线垂直。 示例： 如在三棱锥 中，，， 两两互相垂直，， 为 的中点，由 与 算得 ，故直线 与 所成角为 。 4.2 直线与平面所成角模型 公式： 设直线的方向向量为 ，平面的法向量为 ，则 。 限定： 线面角 ；直线与平面平行或在平面内时为 ，垂直时为 。 示例： 如正三棱柱 中求 与侧面 所成角的正弦值，先求平面法向量 ，再由 求得。 4.3 二面角模型 公式： 设两平面的法向量为 ，，则二面角 或 ，且 。 限定： 必须先结合图形判断二面角是锐角还是钝角：法向量的方向（指向平面哪一侧）不同， 与 可能互补；可直接观察图形中二面角的张合判断。 示例： 如四棱锥 中求平面 与平面 所成角的正弦值，则由两法向量算出 。 4.4 空间距离模型 公式： 点 到平面 的距离 （， 为 的单位法向量）；点 到直线 的距离 （ 为 的单位方向向量）；异面直线 ， 的距离 （ 同时垂直于两直线的方向向量）。 限定： 直线与平面平行、两平面平行时的距离都可转化为点到平面的距离；公式中的绝对值不能漏， 的始点 只要在平面（或直线）内即可。 示例： 如四棱锥 中求点 到平面 的距离，由 与平面 的法向量 算得 。 4.5 空间中的最值模型 公式： 把目标式化为关于某个比例系数 或某个坐标的二次式（或直接用 放缩）求最值。 限定： 注意 或坐标的取值限制（点在线段上时 ）；用 时须说明等号成立的条件。 示例： 如等边三角形 所在平面内一点 ，求 的最小值，可先取 的中点 化为 再配方求解。 【使用提醒】 用不等式放缩得到的最值，必须回代验证能否取到等号，取不到则该值不是最值。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：忽略零向量，把“平行”直接画等号成“成比例” 典例：判断下列命题是否正确：若 ，则存在唯一的实数 ，使得 。 错解：正确。由共线向量的定义， 就是两个向量方向相同或相反，所以一定能写成 ，且这样的 是唯一的。 正解：错误。当 且 时，按规定零向量与任意向量都平行，但此时对任意实数 都有 ，找不到满足条件的 ；当 时，任意实数 都使 ， 并不唯一。所以只有 时命题才成立。 原因：忽略零向量的特殊性。共线向量基本定理的结论 以“存在实数 ”为前提，而“零向量与任意向量平行”是额外的约定，二者不能无条件互换。学生把“平行”与“对应成比例”直接画等号，丢掉了 这一关键前提。纠正要点：凡用 判定或反求平行，先检验 ；作分母的向量也不能是零向量。 易错点 2：把数量积当普通乘法，误用结合律 典例：已知 ，， 是空间向量，判断 是否恒成立。 错解：恒成立。因为数的乘法满足结合律，所以可以把括号去掉，直接写成 。 正解：不一定成立。 是一个实数，设 ，则 是与 共线的向量；同理 是与 共线的向量。当 与 不共线且 时两者不相等。如取 ，，，则 ，而 。 原因：把实数的运算律错误地迁移到向量运算上。空间向量的数量积只满足交换律与分配律，不满足结合律；而且 这种写法本身没有意义—— 已经是实数，实数与向量的乘法与两个向量的数量积是两类不同的运算，不能混用。纠正要点：见到三个向量连乘，先算数量积确定哪一段是实数，再看剩下的是数乘向量，从而判断结果的共线对象。 易错点 3：求线面角误用余弦，丢掉绝对值 典例：已知直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，求直线 与平面 所成角的大小。 错解：直线与平面所成角就是方向向量与法向量的夹角，于是 ，所以 。 正解：线面角与方向向量、法向量的夹角互余，应先用 ，得 。 原因：概念理解错误。直线与平面所成的角是斜线与它在平面内投影所成的锐角，而法向量与方向向量的夹角是“方向向量与垂线方向的夹角”，二者互余而非相等；此外 也可以是钝角，所以必须取绝对值。学生只记住“”这一形式，把线线角的公式搬到了线面角上。纠正要点：三条公式要分清——线线角用 ，线面角用 ，二面角先算 再定锐钝。 易错点 4：二面角不做锐钝判断，直接取法向量夹角的余弦 典例：已知两个平面所成的二面角为钝角，两平面的法向量分别为 ，，且 ，求该二面角的余弦值。 错解：因为 ，所以该二面角的余弦值为 。 正解：由 得 。二面角的平面角与 相等或互补，因为已知该二面角为钝角，所以取补角，该二面角的余弦值为 。 原因：条件遗漏与作图意识不足。 或 都可能成立，取哪一个取决于两个法向量相对二面角的方向，必须结合图形判断。学生只记住“二面角的余弦等于法向量夹角的余弦”这一半结论，忽视了符号可能相反，遇到钝角二面角就出错。纠正要点：算出 后，先在图上画出两个法向量的方向，或直接观察题目中二面角是“锐二面角”还是“钝二面角”，再决定是否取补角。 易错点 5：建系时把不两两垂直的三条棱当作坐标轴 典例：正四面体 中，，有同学以 为原点，、、 为 轴、 轴、 轴正方向建立空间直角坐标系，并写 ，，，判断这一建系是否正确。 错解：正确。因为 ，三条棱长度相等且从同一顶点出发，所以可以取它们为三条坐标轴。 正解：不正确。空间直角坐标系要求三条坐标轴两两垂直，而正四面体中从同一顶点出发的三条棱两两夹角均为 ，并不垂直，不能作为坐标轴。应取 的中点 ，以 为原点、 为 轴正方向、 为 轴正方向，再过 作垂直于底面 的直线为 轴；此时 ，，，，各点坐标须按实际位置逐一计算，不能把棱长直接当成坐标。 原因：概念理解错误。学生把“三条棱长度相等、从同一点出发”当成可以建系的理由，忽略了坐标轴两两垂直这一前提。建系不当会使后面所有坐标、法向量、夹角的计算全部失效，而且从图形上看不出错误，属于隐蔽性很强的失分点。纠正要点：建系前逐个确认所选三条直线是否两两垂直（或经平移后垂直）；正方体、长方体、直棱柱取共点三棱即可，正棱锥、正棱柱一般取底面中心或底边中点作为原点。 易错点 6：用向量证线面平行时漏掉“直线在平面外” 典例：正方体 的棱长为 ，， 分别是 与 的中点，求证： 平面 。 错解：以 为原点，、、 的方向分别为 轴、 轴、 轴正方向建立空间直角坐标系，则 是平面 的一个法向量，又 ，所以 ，即 平面 。 正解：同上前半段得 ，即 ，而 平面 ，这只说明直线 的方向向量与平面 的法向量垂直，此时 可能平行于该平面，也可能在该平面内。由图（或由 ， 的 坐标均为 ）可知 不在平面 内，所以 平面 。 原因：条件遗漏。向量条件“方向向量与法向量的数量积为 ”对应的是“直线与平面平行或在平面内”两种位置关系，它无法把“线在面内”这种情形排除掉，而线面平行的判定定理明确要求直线在平面外。学生算完 就直接下结论，把必要条件当成了充分条件。纠正要点：凡用向量证线面平行，答话中必须补上“又直线不在平面内”；同样，证明面面平行时也要核对是否满足“一个平面内两条相交直线”等判定定理的全部条件。 学科网（北京）股份有限公司 $