第3章 空间向量与立体几何 单元知识整合2 高频考点整合-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版）

第三章)空间向举与立体儿何小 假设线段AB(不包括端，点)上存在一点 取x=1,可得平面AED的一个法向量为 E,使得点A到平面AED的距高为设点 E到AB的距离为a(0a2), 由题意可知点A,到平面AED的距离d= 则E(a,2-a,a),AE-(a-2,2-a,a). AA1·n 2v6 设向量n=(x,y,x)为平面AED的法向 + 十4 3 AD·n=0, 量，则有A正一0 解得a=1或a=0(舍去)，所以E(1,1,1). 所以存在一点E,使得点A1到平面AED -2x十x=0, 即 (a-2).x+(2-a)y+az=0. 的距离为2，此时E为线段A,B的中点 二、高频考点整合 高频考点真随剖析·能力提升 高频考点1 空间位置关系的向量证明问题 所以AD=(-2,0,-2),DB=(2,2 ⊙真题面(2021·浙江卷)如图，已知正 -2),MN=(0,1,0), 所以A,D·D1B=一4+0十4=0， 方体ABCD-A:BCD,M,N分别是AD, DB的中点，则( 所以AD⊥D1B. 五 又由图易知直线AD与BD是异面直线， 所以AD与BD1异面且垂直 因为平面ABCD的一个法向量为n=(0, 0,1), 所以MN·n=0,所以MN∥平面ABCD. A.直线AD与直线DB垂直，直线 设直线MN与平面BB,DD所成的角为 MN∥平面ABCD 0,因为平面BDDB,的一个法向量为a= B.直线AD与直线D1B平行，直线 (-1,1,0), MN⊥平面BDDB 所以sin0=|cos(MN,a1= lMN·a IMN·a C.直线A,D与直线D1B相交，直线 MN∥平面ABCD 1② v22 D.直线AD与直线D,B异面，直线 所以直线MN与平面BBDD不垂直，故 MN⊥平面BDDB 选A 解以点D为坐标原点，DA,DC,DD 答案A 所在直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐标系. 设AB=2,则A(2,0,2),D(0,0,0), 高频考点2 空间角的向量法求解问题 D1(0,0,2),B(2,2.0), ⊙真题2(2021·全国乙卷)在正方体 所以M(1,0,1),N(1,1,1), ABCD-ABCD1中，P为B1D的中点，则直 187 考点同步解读)高中放学选择性必修第一册SD色 线PB与AD1所成的角为( (1)依题意，CM=(1,1,0),BD=(2 A受 B号 c.开 D.否 2,-2),从而CM·BD=2-2十0=0， 所以CM⊥BD. 解析以B:为坐标原点，B,C,B1A,B1B (2)依题意，CA=(2,0,0)是平面BBE的 所在的直线分别为x轴、y轴、之轴建立空间直 角坐标系，设正方体ABCD-A,B,CD,的棱长 一个法向量，EB=(0,2,1),ED=(2,0,-1). 为2，则B(0,0,2),P(1,1,0),D(2,2,0), 设n=(x,y,)为平面DB1E的法向量， A(0,2,2).PB=(-1,-1.2),AD=(2,0. n·EB=0,2y十x=0, 第 一2).设直线PB与AD所成的角为0，则cos0 n.ED=0,n2x-2=0. 章 PB.AD 1-61= 不妨设x=1,可得n=(1,一1.2). PBIAD √6X⑧ 分因为0∈ 因此有cos(CA,n）= CA·n=6 ICAn6 (0,引，所以0=吾，故选D 第 答案D 于是sin(Ci,m)= 6 第四章 利用空间向量求解位置关系证 高频考点 3 所以二面角B-BED的正弦值为 6 明与空间角计算的综合问题 (3)依题意，AB=(-2,2,0). 第五堂 ⊙真题3(2020·天津卷)如图，在三棱 由(2)知n=(1,一1,2)为平面DBE的一 柱ABC-A,B,C中，CC⊥平面ABC,AC⊥ 个法向量， BC,AC=BC=2,CC=3,点D,E分别在棱 于是c0s(A店，m)= AB·n=一S 章 AA,和棱CC1上，且AD=1,CE=2,M为棱 ABIn AB的中点 所以，直线AB与平面DB1E所成角的正 第 (1)求证：CM⊥BD. (2)求二面角B-B1ED的 贫维为等 正弦值 利用空间向量求解空间距离 (3)求直线AB与平面 A 高频考点 和空间角计算的综合问题 DB1E所成角的正弦值 ⊙真题4(2021·全国 解依题意，以C为原点，分别以CA, 乙卷)如图，四棱锥P-ABCD CB,CC的方向为x轴，y轴，心轴的正方向建 的底面是矩形，PD⊥底面 立空间直角坐标系（如图），可得C(0,0,0), ABCD,PD=DC=1,M为 A(2.0,0),B(0,2,0).C(0,0.3),A1(2,0,3) BC的中点，且PB⊥AM. B1(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3)