3.4 圆周角（同步练习） 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

苏科版九年级数学上 3.4圆周角（同步练习） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在圆内接四边形中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（第二十九章 圆 高效同步练习29.2.3 圆周角 第2课时 圆内接多边形）已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 3．（2026·西藏·中考真题）如图，是的直径，弦，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·北京·课前预习）如图，是的直径，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，点，，在上，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若．则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·山东淄博·三模）如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 10．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①②③ 二、填空题 11．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，内接于，，，为的直径，________ ． 12．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知点、、、、在上，若，则的度数为__________________________． 13．（26-27九年级上·天津·期中）如图，为的直径，，则的度数为____________． 14．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____________． 15．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内上的一点，若，则______． 16．（2026·江苏扬州·三模）以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． 17．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，为直径，为上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为________． 18．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为4，则圆心A的坐标是____  ． 19．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 20．（2026·山东淄博·中考真题）如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______． 三、解答题 21．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是的直径，弦，E是延长线上的一点，连接交于点F，连接、． (1)若，直接写出的度数； (2)求证：平分． 22．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，点C，D是直径上方半圆上两点，且，与交于点E． (1)求证：E为的中点； (2)若，，求． 23．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，以的边为直径作，点在上，点为上一点，连接，且为的中点，于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，点A，B，C，D在上，，求，的度数． 25．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，点A、B、C、D在上，，求、的度数． 26．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中， 为边上的一个动点，连接，以为直径的交于点，过点作，交于点，连接 ． (1)当时，求的长； (2)求证： ； (3)是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 27．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在半径为的扇形中，，点是弧上的一个动点（不与点、重合），，，垂足分别为、． (1)在中是否存在长度保持不变的边？若存在，求出其值；若不存在，说明理由； (2)在中是否存在角度保持不变的角？若存在，求出其值；若不存在，说明理由； (3)当动点C在圆弧上由点B向点A滑动时，的外接圆大小是否变化？若不变，求出其面积的值；若变化，求出它变化过程中面积的最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《苏科版九年级数学上 3.4圆周角（同步练习）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C B A C C A B 1．D 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴，， ∵， ∴设，则，， ∴， 解得， ∴， ∴． 2．D 【分析】利用三线合一求得圆心角的度数，再分点在优弧、劣弧两种情况，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质计算的度数. 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 当点在优弧上时，. 当点在劣弧上，如图点的位置时，. 3．A 【分析】由圆周角定理可得，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵弦， ∴． 4．C 【分析】由为的直径得，即得，由平行线的性质得，，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴． 5．B 【分析】根据圆周角定理和直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴． 6．A 【分析】利用圆周角定理求出的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． 7．C 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴. 8．C 【分析】连接，利用菱形性质得到，结合半径相等推导出、为等边三角形，求出圆心角，再依据圆周角定理求出． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 9．A 【分析】根据圆周角定理得到，根据直角三角形两锐角互余得到，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵是的直径， ∴． ∴， ∴． 10．B 【分析】由垂径定理，圆周角定理得出，，进而根据等角的余角相等判断①；由点P为的中点，得出，进而证明，得出，进而根据三角形中位线定理得出，等量代换得出即可判断②；连接，根据垂径定理得出，由得出，则，得出为等边三角形，由，即可得出，继而判断③；由勾股定理得出，则有，由③可得为等边三角形，利用等边三角形的性质即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵点P为的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵，， ∴， ∵， ∴， 则由③知为等边三角形，又， ∴平分， 即平分，故④正确，符合题意； 故正确的是①②③④． 11． 【分析】由内接于，，，可得等腰三角形中； 由直径所对的圆周角为直角，可得中；再由同弧所对的圆周角相等可得，进而得出；再由，即可求得的度数． 【详解】解：∵内接于，，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴在中， 又∵， ∴， ∵， ∴． 12． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ，即， ， ． 13．/62度 【分析】先利用等弧所对的弦的性质得出垂直平分，再结合圆周角定理和直角三角形的角度关系求解的度数． 【详解】解：∵，为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．4 【分析】连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据直径所对的圆周角为直角得出，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：如图：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 15． 【分析】先由圆周角定理求出圆心角，再算出，最后利用等腰三角形性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故． 16． 【分析】连接，由题意得，由直角三角形两个锐角互余可得出，再由圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：连接， ∵为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴． 17．/36度 【分析】设上点D的对应点为点E，连接，则得，；由是直径及圆内接四边形的性质可得的度数，从而求得结果． 【详解】解：设上点D的对应点为点E，连接，如图， 由折叠性质得：，； ∴， ∵是直径， ∴； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 18． 【分析】如图，连接，证明为的直径，可得，，，可得，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为的直径， ∵的半径为4， ∴，，， ∴，， ∵为的中点， ∴，即． 19． 14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据计算即可. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 20． 【分析】利用圆周角定理求出的度数，结合等腰三角形性质求出，再根据角平分线定义求出，最后利用垂径定理推导，通过角的和差关系求解． 【详解】解： 与分别是中所对的圆周角和圆心角， ， ， ， ， 平分， ， ，是的直径， ， ， ． 21．(1) (2)证明：如图，连接， ∵是直径，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即平分． 【分析】（1）连接，交于点，根据垂径定理可推出，，从而求得，然后由同弧所对的圆周角相等即可求得的度数； （2）连接，根据垂径定理可推出，然后根据圆内接四边形的对角互补得到，结合同弧所对的圆周角相等可知，即可证得结论． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点， ∵是直径，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， （2）略 22．(1)证明：是的直径， ， ， ， ， ， 为的中点； (2)8 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得，根据平行线的性质，可得， 根据垂径定理，即可得答案； （2）根据三角形的中位线，求出，再求出，根据勾股定理求出，即可得答案． 【详解】（1）解：略； （2）为的中点，E为的中点， 是的中位线， ， ，     ， 在中，， ． 23．(1)证明：∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． (2)的长为． 【分析】（1）利用直径和垂线证明，利用“等弧所对圆周角相等”证明，进而推出，利用“等角对等边”即可得结论； （2）利用“相等的弧所对的弦也相等”得到，再利用勾股定理计算的长，利用直角三角形的等面积法可计算的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵为的中点， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．， 【分析】利用同弧所对的圆周角相等，以及同弧所对圆心角是圆周角的一半求解． 【详解】解：∵，和都是所对的圆周角， ∴， ∵是所对的圆心角，是所对的圆周角， ∴． 25．， 【分析】根据同弧所对的圆周角相等和圆周角定理（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）求解． 【详解】解：∵，， ∴，． 26．(1)6 (2)证明：， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ； (3)存在，的长为3或 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得，进而证明，即可求得； （2）根据直角三角形两锐角互余得，由，证明，进而得，结合，即可证明； （3）分两种情况：①当时，证明，在中，设，得，即可求得；②当时，同法可得． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：存在点，使是以为腰的等腰三角形 ①如图1，当时，则， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ， ， 即； ②如图2，当时，则， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ，． 综上所述，存在点，使是以为腰的等腰三角形，的长为3或． 27．(1)解：存在，，理由如下： 连接，， ∵，， ∴， ∵，，垂足分别为、， ∴（垂径定理），（垂径定理）， ∴是的中位线， ∴． (2)解：存在， ，理由如下： ∵，，垂足分别为、，， ∴，， ∴． (3)的外接圆的面积大小不变为． 【分析】（1）连接，，根据勾股定理求出，根据垂径定理，三角形中位线，推出是的中位线，即可解答； （2）根据等腰三角形三线合一，得到，，即可解答； （3）由（1）、（2）中的角度和边长不变的关系，得出的外接圆半径始终为，根据面积公式计算出该外接圆面积为． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设点为的外接圆圆心，连接，， 由（1）可得，，由（2）可得，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的外接圆的面积大小不变为：． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $