第四章对数运算与对数函数（期中知识清单）高一数学上学期北师大版

第四章 对数运算与对数函数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 对数的概念 1.1 对数的定义 一般地，如果 （，且 ），那么数 叫作以 为底 的对数，记作 ，其中 叫作对数的底数， 叫作真数。 示例：因为 ，所以 。 1.2 对数运算与指数运算的关系 可以看出，给定底数后，对数运算是指数运算的逆运算。显然，根据对数的定义，有 。 示例： 与 表示的是同一个关系。 1.3 常用对数与自然对数 当对数的底数 时，通常称之为常用对数，并将 简记为 。在科学技术领域，常常使用以无理数 （）为底数的对数，称之为自然对数，并将 简记为 。 示例：；。 2. 对数的运算 2.1 对数的运算性质 若 ，且 ，，，，则对数运算具有如下运算性质： 示例：。 2.2 换底公式 一般地，若 ，，，且 ，，则 这个结论称为对数的换底公式。 示例：。 3. 对数函数的概念 3.1 对数函数的定义 一般地，将对数函数写成 （，且 ），其中 称为底数。 示例：，， 都是对数函数。 3.2 对数函数的基本性质 由定义可知，对数函数具有以下基本性质： （1）定义域是 ； （2）图象过定点 。 注意：以 为底的对数函数称为常用对数函数，记作 ；以无理数 为底的对数函数称为自然对数函数，记作 。 3.3 反函数 指数函数 是对数函数 的反函数，对数函数 也是指数函数 的反函数，即它们互为反函数。 示例：对数函数 的反函数是指数函数 。 4. 对数函数的图象和性质 4.1 对数函数 的图象和性质 函数 在定义域 上是增函数，且值域为 。 示例：因为函数 是增函数，且 ，所以 。 4.2 对数函数 的图象和性质 项目 定义域 值域 定点 过定点 ，即 时 过定点 ，即 时 符号 当 时 ；当 时 当 时 ；当 时 单调性 在 上是增函数 在 上是减函数 注意：当 时， 值趋近于正无穷大，函数值趋近于正无穷大； 值趋近于 时，函数值趋近于负无穷大。当 时，情况相反。 4.3 互为反函数的函数图象关于直线 对称 函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称。 5. 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 5.1 三种函数增长快慢的比较 随着自变量 的增大，指数函数 （）的函数值增长远远大于幂函数 （）的函数值增长；而幂函数 的函数值增长又远远大于对数函数 （）的函数值增长。 注意：当底数 时，由于指数函数 的值增长非常快，人们称这种现象为”指数爆炸”。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 对数的两个基本恒等式 ，（，），即”1 的对数等于 ，底的对数等于 “。 1.2 换底公式的两个常用推论 （1），即 （、 均为不等于 的正数）； （2）（，，，）。 1.3 指数的换底公式 （，，且 、 均不为 ， 为任意实数）。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 指数式与对数式的互化求值 求指数 用对数（把 化为 ），求真数 用指数（把 化为 ）。如 ，则 。 2.2 对数式的化简求值 先看能否拆、合：积、商、幂用运算性质变形（ 等）；遇到不同底的对数，先换底化为同底再计算。如 。 2.3 比较对数大小 底数相同比真数（利用单调性）；底数、真数都不同时借 、 搭桥；真数相同比底数（用图象或换底）。如比较 与 ：。 2.4 求对数型函数的定义域 真数必须大于 ，底数必须大于 且不等于 。如求 的定义域，由 得 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 换底化同底 底、真数都是 、、 的幂时，统一换为常用对数 借 、 搭桥 与 、 比较 底真互倒 取对数化乘除 用 、 把乘除幂化为加减 4. 常见考试模型 4.1 对数运算性质综合应用模型 公式：，，（，，，）。 限定：真数必须为正，三个性质只能”积、商、幂”与”加、减、乘”对应转化，不能对”和”“差”使用。 示例：如 。 4.2 对数函数单调性应用模型 公式： 时 为增函数， 时为减函数，用于比较大小、解对数不等式。 限定：先保证真数为正，且底数 与 的大小关系不确定时要分类讨论。 示例：如比较 与 ： 时 ， 时 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：忽略对数定义中底数、真数的取值范围 典例：若 有意义，求 的取值范围。 错解：只需 ，即 。 正解：由对数定义，需 ，，，解得 且 。 原因：条件遗漏。对数 要求底数 且 、真数 三个条件缺一不可，学生只盯住真数大于 ，漏掉底数必须大于 且不等于 的约束。 易错点 2：对数运算性质张冠李戴 典例：计算 。 错解：。 正解：。 原因：概念混淆。对数运算性质是”积化加”：，同底对数相加应对应真数相乘，而不是真数相加，学生把加号直接搬进真数里，错写成 ；同理 也不能化成 。 易错点 3：换底公式分子分母颠倒 典例：已知 ，，用 、 表示 。 错解：。 正解：。 原因：公式记忆错误。换底公式 中，分子是真数的对数、分母是底数的对数，学生常把分子分母写反，可用”真数在上、底数在下”来记。 易错点 4：对数函数单调性未分类讨论 典例：比较 与 （，且 ）的大小。 错解：函数 是增函数，故 。 正解：当 时， 是增函数，；当 时， 是减函数，。 原因：条件遗漏。对数函数的单调性取决于底数 是大于 还是大于 小于 ，题目未指明 与 的大小关系时必须分类讨论，学生凭”对数函数递增”的直觉只写一种情况。 易错点 5： 忽略了 的符号 典例：判断 （，）是否恒成立。 错解：由 知 恒成立。 正解：当 时成立；当 时 无意义，此时应为 。故原式不恒成立。 原因：忽略隐含条件。 的使用前提是真数 ，而 并不保证 ，学生对 为负的情况未加讨论，正确结论是 。 易错点 6：求对数型函数定义域漏条件 典例：求函数 的定义域。 错解：由 ，得 ，定义域为 。 正解：由 且 ，得 ，定义域为 。 原因：条件遗漏。求定义域时既要有根式下 ，又要有对数的真数 ，两者取交集，学生只顾解不等式、漏掉了真数必须为正这一对数本身的约束。 学科网（北京）股份有限公司 $