第四章 对数运算与对数函数 单元知识整合-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

第四章〉对教运算与对数函数 单元知识整合 一、微专题妙总结 内洒阐释识胎汇·方法遮结 微专题1 有效回避分类讨论的若干策略 转化，结合一定的运算技巧，避免分类讨论。 1.挖掘隐含条件有效避免讨论 ©例题2设函数f(x)=|1gx,若0< 有些题目的条件中会含有一些隐含的条 a<b,且f(a)>f(b),求证：ab1. 件，如果稍加留意，充分挖掘，就可能会避免复 证明如果是常规做法，将f(x)写成分段 杂的分类讨论，从而简化解答过程。 lgr,x≥l 函数f(x)= 需要分类讨论 ⊙例题1已知函数f(.x)=一2.x2十4.x一1 -lgx,0<x<1, (x∈R),定义域为[m,n],且m>0,值域为 b∈(0,1)或b∈[1，十o∞). [品引，则mm的值分别为 现在对条件进行等价变形，由f(a)>f(b) 可得lga>lgb,即(lga+lgb)(lga-lgb)> 解析如果没有注意到隐含条件，很容易想 到分三种情况讨论区间[m,]与对称轴直线 0,所以1g(ab)·lg若>0.因为0<a<b,则0 x=1的位置关系.而事实上，f(x)=一2x2十 分<1，所以1g号<0，则lgab<0,即ab1. 4x-1=-2(x一1)2十1≤1，因此区间 3.利用函数性质有效避免讨论 [品]必定包含在(-©，1中，所以1，即 函数的奇偶性与单调性是函数的两个重 第 m≥1，因此区间[m,n]为函数f(x)的减区间， 要性质，在解决含参数的函数问题时，如果能 所以有： 够适当加以运用，就能有效避免分类讨论， fm）=-2(m-1)P+1=a且fm） ⊙例题3设定义在R上的偶函数f(x) 在区间[0，十∞)上单调递减，若f(1一t)< 一2(n-1)+1=1.所以m,n是方程-2(x f(t),则t的取值范围是 解析因为不能确定1一t与t所在的区 12+1=1的两个解，即(x-1D(2-2z-1)=0, 间，常规做法是将它们分同正、同负和一正一 解得=1,2=13，=1，圆 负四类讨论，而事实上，如果运用偶函数的性 2 2 质，可以避免分类讨论 因为1≤m<,所以m=1,m=1士3 因为f(x)=f(一x)=f(|x|),所以 2 f(1-t)<f(t)台f(|1-t|)<f(|t|).因为 答案1,1+3 1一t与|1都在区间[0，十∞)内，所以有 2 1一t>|t,两边平方即可解得答案为t∈ 2.进行等价转化有效避免讨论 有时可以将题目中的条件进行等价变形 -,2} 195 考点同步解读〉高中放学必修第一册BSD色 6.正难则反思想有效避免讨论 有时正面直接考察问题，需要分多种情况 4.消除参数隐患有效避免讨论 考虑，而如果考察对立面，可能情况会简单一 在含参数的问题中，参数是引起分类讨论 些，这就是正难则反的补集思想 的主要因素，若能通过某些手段消除参数，则 ⊙例题6已知函数f(.x)=4x2一2(p 相当于消除了分类讨论的隐患，能有效避免分 2)x-2p2-p+1在区间[一1,1]上至少存在 类讨论。 一个实数c,使f(c)>0,则实数p的取值范围 ⊙例题4设0<x<1,a>0且a≠1，比较 为 第 |log(1一x)1与|log(1+x)|的大小 解掘至少存在一个实数c,使f(c)>0,需 童 解析 log (1-x) log.(1-x) log.(1+x) log (1+) 要分多种情况考虑，而我们考虑反面的话，即对 第 于区间[一1,1门上任意的数c,都有f(c)≤0.结 |log1+(1-x川=-log1+(1-x)=log1+— 合图形可知，只需要满足f(一1)≤0且f(1)≤0 第三章 因为0<x<1,所以-z>1十x>1.所以 即可，解得pE(一0，一3U[多十小，再取 g>1.即leg.-0>g.a+0儿 补集可得所求范周为pE(-3,》 5.巧用数形结合有效避免讨论 答案 些关于数的问题，如果能够转化为图 第五章 形，利用数形结合的思想，就能有效避免分类 常见函数的抽象函数模型特征 微专题 2 讨论。 及其应用 第 ⊙例题5解不等式：√a2一x>2.x十 1.函数部分有一类抽象函数问题，它给定 a(a为大于0的常数). 函数f(x)的某些性质，要证明它的其他性质， 第 解祈如果采取两边平方，那么在平方之前 或利用这些性质解一些不等式或方程.这些题 需要讨论右边的正负情况，将方程转化为一元 目的设计一般都有一个基本函数作为“模型”， 模 二次不等式，最后还需要再做其他讨论，非常 若能分析猜测出这个模型函数，联想这个函数 复杂.而利用数形结合的思想，将左边看作函 的其他性质来思考解题方法，那么这类问题就 数y=√一x,则表示圆心在坐标原，点，半径 能简单获解。 为a的圆的上半部分：右边可以看作函数y 2.常见抽象