第二章函数（期中知识清单）高一数学上学期北师大版

第二章 函数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 生活中的变量关系与函数的概念 1.1 常量与变量 在一个变化过程中，数值保持不变的量称为常量，数值可以变化的量称为变量。 示例： 在储油罐问题中，储油罐的长度 、截面半径 是常量；油面高度 、油面宽度 、储油量 是变量。 1.2 函数关系（初中”变量说”） 在初中数学中，我们曾学习过：如果在一个变化过程中，有两个变量 和 ，对于变量 的每一个值，变量 都有唯一确定的值和它对应，那么 就是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。 在现实生活中，凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断”对于变量 的每一个值，变量 都有唯一确定的值和它对应”。 示例： 储油量 是油面高度 的函数，高铁运营里程是年份（时间）的函数；但储油量 不是油面宽度 的函数。 1.3 函数的概念（集合与对应） 给定实数集 中的两个非空数集 和 ，如果存在一个对应关系 ，使对于集合 中的每一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就把对应关系 称为定义在集合 上的一个函数，记作 ，。 其中集合 称为函数的定义域， 称为自变量，与 值对应的 值称为函数值，集合 称为函数的值域。 示例： 对于函数 ，，其中 就是函数 当 时的函数值。 注意： 函数概念强调的是数与数之间的对应关系，对应关系指的是对应的结果，而不是对应的过程。例如 与 表示的是同一个函数。 1.4 定义域的约定 一般情况下，当没有指明函数的定义域时，就认为它的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。如果涉及实际问题，函数的定义域还必须使实际问题有意义。 示例： 函数 的定义域是 ；描述弹簧伸长量与弹力关系的函数 ，由于自变量是伸长量，定义域不可能包含负数。 1.5 判断两个函数是否为同一个函数 两个函数是同一个函数，当且仅当它们的定义域相同且对应关系相同（与自变量用什么字母表示无关）。 示例： 与 虽然表示自变量的字母不同，但定义域及对应关系都相同，所以是同一个函数。 2. 函数的表示法与分段函数 2.1 函数的三种表示法 表示法 要点 特点 解析法 用解析式（数学表达式）表示两个变量之间的对应关系 能较便利地利用代数工具研究函数性质 列表法 用表格列出自变量与函数的对应值 直接读数、非常直观，但只能表示有限个数值之间的关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 直观显示函数的局部变化规律，但难以得到精确函数值 注意： 并非所有的函数都能用图象表示，例如狄利克雷函数 ；也并非所有函数关系都能找到解析式。在实际问题中，常常需要把一种表示方法转化为另一种表示方法。 2.2 分段函数 形如上述阶梯电价那样的函数，一般叫作分段函数。在生活中，有很多可用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税的税率等。 由绝对值的意义，函数 可以表示为 其图象为第一、第二象限的角平分线。 图1：函数 的图象 2.3 取整函数 设 为任一实数，不超过 的最大整数称为 的整数部分，记作 。例如当 时，；当 时，。于是，我们把 叫作取整函数，它的定义域为 ，值域是 。 图2：取整函数 的图象 3. 函数的单调性和最值 3.1 增函数与减函数 设函数 的定义域是 ： · 如果对于任意的 ，当 时，都有 ，那么就称函数 是增函数。特别地，当 是定义域 上的一个区间时，也称函数 在区间 上单调递增。 · 如果对于任意的 ，当 时，都有 ，那么就称函数 是减函数。特别地，当 是定义域 上的一个区间时，也称函数 在区间 上单调递减。 示例： 一次函数 ：当 时，在 上 值随 值的增大而增大；当 时，在 上 值随 值的增大而减小。 图3：用图象直观判断函数在各区间上的单调性 3.2 单调区间 如果函数 在区间 上单调递增或单调递减，那么就称函数 在区间 上具有单调性。此时，区间 为函数 的单调区间。 注意： 函数 在 和 上都单调递减，但不能说它在整个定义域上是减函数。 3.3 最大值与最小值 若存在实数 ，对所有的 ，都有 ，且存在 ，使得 ，则称 为函数 的最大值。 同样地，若存在实数 ，对所有的 ，都有 ，且存在 ，使得 ，则称 为函数 的最小值。函数的最大值和最小值统称为最值。 示例： 函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，当 时取得最小值 。 3.4 用定义证明函数单调性 证明函数 在一个区间上的单调性时，通常在这个区间上任取 ，作差并变形，由差的符号判断 与 的大小，进而由定义得出结论。 示例： 证明函数 在 上是减函数：任取 且 ，则 ，即 ，所以 在 上是减函数。 4. 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1 奇函数与偶函数 一般地，设函数 的定义域是 ，如果对任意的 ，有 ，且 ，那么称函数 为奇函数。奇函数的图象关于原点对称，反之亦然。 设函数 的定义域是 ，如果对任意的 ，有 ，且 ，那么称函数 为偶函数。偶函数的图象关于 轴对称，反之亦然。 示例： 对任意的 ，都有 ，即 ，所以函数 是奇函数；对任意的 ，都有 ，即 ，所以函数 是偶函数。 图4：函数 的图象关于原点对称 图5：函数 的图象关于 轴对称 4.2 奇偶性的定义域条件 当函数 是奇函数或偶函数时，称 具有奇偶性。奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称（如 、、（）等）。 注意： 如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数。例如函数 的定义域为 ，不关于原点对称，所以它既不是奇函数，也不是偶函数。 4.3 简单的幂函数 我们已经熟悉， 是正比例函数， 是反比例函数， 是一元二次函数，它们都是简单的幂函数。这里的 和 在今后的学习中可以分别写成 和 。一般地，形如 （ 为常数）的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数。 示例： 、、、 等都是幂函数。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 同一个函数的判定 两个函数是同一个函数，当且仅当定义域相同且对应关系相同，与自变量用什么字母表示无关。 1.2 奇偶性的必要条件 若函数 为奇函数或偶函数，则其定义域必关于原点对称；反之，定义域不关于原点对称的函数必既不是奇函数也不是偶函数。 1.3 奇偶性与图象对称 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 轴对称。因此只需研究函数在非负区间上的性质，再利用对称性即可推得另一半，从而减少工作量。 1.4 单调性的符号等价 函数 在区间 上单调递增，等价于对任意 （），有 ；单调递减等价于该比值 。 【使用提醒】 作差定号时，比值（或乘积）形式须保证分母不为零。 1.5 利用单调性比较大小 若 在区间 上单调递增，则 时必有 ；若单调递减，则 时必有 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求函数的定义域 依据解析式类型逐条列出使解析式有意义的不等式，再取交集：分式要求分母不为零；偶次根式要求被开方数非负；实际问题还须满足实际意义。如函数 的定义域由 解得 。 2.2 判断两个函数是否为同一个函数 先比较定义域，定义域不同直接判定不同；定义域相同再比较对应关系（化简后看是否一致）。如 与 定义域不同，不是同一个函数。 2.3 用定义证明函数单调性 五步：取值（任取 ）→ 作差（）→ 变形（因式分解、通分、配方等）→ 定号（判断差的正负）→ 结论（由定义下结论）。 2.4 用定义判断函数奇偶性 四步：求定义域 → 判断定义域是否关于原点对称（不对称则既非奇也非偶）→ 计算 → 比较 与 得出结论。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 分段函数求值 先判断自变量取值落在哪个区间，再代入对应解析式 已知 求 去绝对值 按绝对值内式子的正负分类讨论 利用奇偶性求值 已知 为奇（偶）函数，可用 求另一半 奇函数 满足 ，则 抽象函数比较大小 用单调性把 内自变量的大小关系传递到函数值 若 在 上递增且 ，则 4. 常见考试模型 4.1 分段函数模型（阶梯计价） 公式： 分段给出各区间解析式，如阶梯电费 限定： 各段自变量的取值范围互不重叠，求值或求解析式须先判断自变量所属区间。 示例： 某市阶梯气价分三档，求某户年度费用 关于用气量 的分段函数解析式。 4.2 绝对值函数模型 公式： 限定： 按零点 分类，去绝对值后为分段的一次函数。 示例： 画 的图象，在 上递减、 上递增， 时取最小值 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：判断两个函数是否同一函数时，只看对应关系、忽略定义域 典例： 判断 与 是否为同一个函数。 错解： 因为 ，对应关系相同，所以是同一个函数。 正解： 的定义域是 ，而 的定义域是 ，两者定义域不同，所以不是同一个函数。 原因： 学生只关注解析式化简后的结果，忽略了”同一个函数必须定义域与对应关系都相同”。判断时应先比定义域，再看对应关系。 易错点 2：求定义域时漏掉”偶次根式被开方数非负”或”分母不为零”中的一条 典例： 求函数 的定义域。 错解： 只需被开方数非负，即 ，解得 ，所以定义域是 。 正解： 解析式既要被开方数非负，又要分式分母不为零，即 解得 且 ，所以定义域是 。 原因： 面对同时含根式与分式的解析式，学生只注意到最明显的一类限制，遗漏另一类；求定义域须把所有限制条件都列出再取交集。 易错点 3：把两个区间上的单调递减，误判为整个定义域上的单调递减 典例： 判断函数 的单调性。 错解： 函数 在 和 上都单调递减，所以在整个定义域上是减函数。 正解： 只能说 在 和 上分别单调递减，不能说它在 上单调递减。例如 ，但 ，不符合减函数定义。 原因： 学生没有理解单调性是对”某个区间”而言的，且要求对区间内”任意” 都成立；两个独立区间上的单调性不能简单合并。 易错点 4：判断奇偶性时，忽略”定义域关于原点对称”这一前提 典例： 判断函数 ， 的奇偶性。 错解： ，所以 是偶函数。 正解： 函数 的定义域 不关于原点对称，所以 既不是奇函数，也不是偶函数。 原因： 学生拿到函数就直接代入计算 ，忘记奇（偶）函数要求定义域关于原点对称这一前提；应先检查定义域，再验证 与 的关系。 易错点 5：分段函数求值时，忽视自变量所属的区间 典例： 已知 求 。 错解： ，于是 。 正解： ；又 ，故 ，所以 。 原因： 第二次代入时没有重新判断 落在哪个区间，仍沿用 段的解析式；分段函数求值的每一步都必须先判断自变量所属区间，再选用对应解析式。 易错点 6：忽视二次函数的对称轴位置，错判给定区间上的单调性与最值 典例： 判断函数 在区间 上的单调性。 错解： 二次项系数大于零、图象开口向上，所以 在 上单调递增。 正解： ，其对称轴为 ，所以在 上单调递减、在 上单调递增。 原因： 只凭”开口向上”就下结论，忽略对称轴（顶点）对单调性的分界作用；二次函数在区间上的单调性由对称轴与区间的位置关系决定。 学科网（北京）股份有限公司 $