专题05 函数的性质（考点清单，9清单&8题型解读）高一数学上学期北师大版必修第一册

专题05 函数的性质（9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 【清单02】定义法判断函数的单调性的步骤如下： 【清单03】函数单调性的性质 (1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．更进一步，有增＋增→增，增－减→增，减＋减→减，减－增→减． (2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反． (3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝单调性相反；函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝单调性相同． 【清单04】函数的最值 前提 设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 对于任意x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M 对于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 【清单05】利用图象求函数最值的一般步骤 (1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)观察图象，找出图象的最高点和最低点； (3)写出最值，最高点的纵坐标就是函数的最大值，最低点的纵坐标就是函数的最小值． 【清单06】函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则函数f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则函数f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． 【清单07】函数的奇偶性 奇函数 偶函数 定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 图象特征 关于原点对称 关于y轴对称 【清单08】判断函数奇偶性的方法： (1)定义法： (2)图象法：函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y轴)对称. 【清单09】函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇． 【考点题型一】用函数单调性的定义证明单调性 【例1】.（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，图象经过点 ，且 . (1)求的值； (2)用定义法证明函数 在区间 上单调递增. 【变式1-1】.（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】.（23-24高一上·北京·期中）已知函数的图像经过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并证明； (3)当时，的最小值为3，求的值. 【变式1-3】.（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数. (1)判断函数在上的单调性，并加以证明. (2)求函数在上的最值. 【考点题型二】求函数的单调区间 【例2】.（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数，下列结论正确的是（   ） A．函数的减区间 B．函数在上单调递减 C．函数在上单调递增 D．函数的增区间是 【变式2-1】.（23-24高一上·天津·期中）函数的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】.（24-25高一下·全国·课后作业）函数的单调增区间是（    ）. A． B． C． D．， 【变式2-3】.（2024高一上·安徽马鞍山·阶段练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【变式2-4】.【多选】（2024高一上·河南信阳·期中）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（　　） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【变式2-5】.（23-24高一上·陕西渭南·期中）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值和最小值. 【考点题型三】函数单调性的应用 【例3】.（23-24高一上·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】.（23-24高三·全国·课后作业）若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】.（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】.（22-23高一上·上海静安·期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】.（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为 ． 【变式3-5】.（23-24高一上·重庆永川·期中）已知二次函数的最小值为1，且． (1)求的解析式； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． (3)若在区间上不单调，求实数的取值范围； 【考点题型四】分段函数单调性 【例4】.（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数． (1)在坐标系中画出函数的图象； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； 【变式4-1】.（23-24高一上·湖北恩施·阶段练习）已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】.（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】.（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数， (1)画出函数的图象； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在区间上的最大值与最小值. 【变式4-5】.（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数， (1)画出函数的图象； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在区间上的最大值与最小值. 【变式4-6】.（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数， (1)画出函数的图象； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在区间上的最大值与最小值. 【考点题型五】函数的奇偶性判断 【例5】.（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 【变式5-1】.（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）下列说法中错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数，是偶函数 D．函数既不是奇函数，也不是偶函数 【变式5-2】.（23-24高一上·北京·期中）下列函数中为偶函数的是 （    ） A． B． C． D． 【变式5-3】.（23-24高一上·四川内江·期中）（多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】.（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 【变式5-5】.（23-24高一上·北京·期中）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)用分段函数的形式表示函数的解析式，并直接在本题给出的坐标系中画出函数的图像； (3)用表示，中的较大者，即 ，若 ，则求 的值 . 【考点题型六】函数的奇偶性的应用 【例6】.（23-24高一下·浙江·期中）已知函数，若，则 ． 【变式6-1】.（23-24高一上·福建莆田·期中）设函数若为奇函数，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式6-2】.（23-24高一上·广东韶关·期中）如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 【变式6-3】.（23-24高一上·辽宁阜新·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 【变式6-4】.（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数为偶函数，则实数 ． 【变式6-5】.（23-24高一上·北京·期中）已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ． 【变式6-6】（23-24高一上·四川内江·期中）已知奇函数， (1)求实数的值；并作出的图象； (2)若函数在区间上单调递减，求a的取值范围． ． 【考点题型七】函数的单调性与奇偶性的综合应用 【例7】.（24-25高益上·福建三明·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)解不等式． 【变式7-1】.（23-24高一上·北京·期中）已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式7-2】.（23-24高一上·福建莆田·期末）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 【变式7-3】.（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）函数，经过点，则关于的不等式解集为（ ） A． B． C． D． 【变式7-4】.（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-5】.（22-23高一上·广东东莞·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象． (1)画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值． 【变式7-6】.（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象； (1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 【考点题型八】抽象函数的单调性和奇偶性 【例8】.（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【变式8-1】.（23-24高一下·湖南·期中）定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（    ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 【变式8-2】.（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【变式8-3】.（23-24高二下·浙江·期中）（多选）已知为偶函数，对，且，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-4】.（23-24高三下·江西·开学考试）（多选）已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为奇函数 D．为上的减函数 【变式8-5】.（24-25高三上·吉林白城·期中）定义在上的函数，满足对任意x，，有，且. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性，并证明你的结论； (3)当时，，解不等式. 【变式8-6】.（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数的性质（9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 【清单02】定义法判断函数的单调性的步骤如下： 【清单03】函数单调性的性质 (1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．更进一步，有增＋增→增，增－减→增，减＋减→减，减－增→减． (2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反． (3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝单调性相反；函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝单调性相同． 【清单04】函数的最值 前提 设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 对于任意x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M 对于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 【清单05】利用图象求函数最值的一般步骤 (1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)观察图象，找出图象的最高点和最低点； (3)写出最值，最高点的纵坐标就是函数的最大值，最低点的纵坐标就是函数的最小值． 【清单06】函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则函数f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则函数f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． 【清单07】函数的奇偶性 奇函数 偶函数 定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 图象特征 关于原点对称 关于y轴对称 【清单08】判断函数奇偶性的方法： (1)定义法： (2)图象法：函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y轴)对称. 【清单09】函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇． 【考点题型一】用函数单调性的定义证明单调性 【例1】.（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，图象经过点 ，且 . (1)求的值； (2)用定义法证明函数 在区间 上单调递增. 【答案】(1) (2)证明见解析 （2），且，变形判断符号可得结论. 【详解】（1）由题意得， 解得 （2）由（1）可知， ，且， ， 因为，所以， 又，所以， 所以，即，所以， 所以函数在区间上单调递增. 【变式1-1】.（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由二次函数性质可知，函数在上单调递减，A选项错误； 反比例函数定义域为，不合题意，B选项错误； 一次函数在上单调递增，C选项正确； 时，函数，在上单调递减，D选项错误. 故选：C 【变式1-2】.（23-24高一上·北京·期中）已知函数的图像经过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并证明； (3)当时，的最小值为3，求的值. 【答案】(1) (2)在上单调递减；证明见解析 (3)1 【详解】（1）由题意知函数的图像经过点， 故，解得， 故； （2）函数在上单调递减； 证明：设，且， 则 ， 因为，故， 即，故函数在上单调递减. （3）由（2）知在是减函数， 因此，解得或， 又，所以． 【变式1-3】.（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数. (1)判断函数在上的单调性，并加以证明. (2)求函数在上的最值. 【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析 (2) 【详解】（1）函数在上单调递减，证明如下： 函数，任取，设， 则， 因为，，则， 故，即， 故函数在上单调递减； （2）由（1）知函数在上单调递减， 故. 【考点题型二】求函数的单调区间 【例2】.（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数，下列结论正确的是（   ） A．函数的减区间 B．函数在上单调递减 C．函数在上单调递增 D．函数的增区间是 【答案】C 【详解】由，作出函数的图象， 利用图象的变换可得，如图所示： 所以函数在和上单调递减，在和上单调递增. 故选：C. 【变式2-1】.（23-24高一上·天津·期中）函数的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，即，解得或， 令，则的对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增， 又是增函数， 在上单调递减，在上单调递增. 故选：B. 【变式2-2】.（24-25高一下·全国·课后作业）函数的单调增区间是（    ）. A． B． C． D．， 【答案】D 【详解】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 【变式2-3】.（2024高一上·安徽马鞍山·阶段练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【答案】A 【详解】A选项，由函数图象可得，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A正确； B选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故B错； C选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故C错； D选项，由图象可得，为使直线与函数的图象有交点，只需，故D错. 故选：A. 【变式2-4】.【多选】（2024高一上·河南信阳·期中）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（　　） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】ABC 【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误. 故选：ABC. 【变式2-5】.（23-24高一上·陕西渭南·期中）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)的最大值为，最小值为 【详解】（1）， 故 （2）由（1）可得，对称轴为， 故当时，，. 即的最大值为，最小值为. 【考点题型三】函数单调性的应用 【例3】.（23-24高一上·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是定义在上的减函数，， 与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误； ，时，；时，，故的关系不确定，故B错误； ，，，故C正确． ，时，；时，，故关系不确定，D错误， 故选：C． 【变式3-1】.（23-24高三·全国·课后作业）若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，,上单调递减，满足题意； 当时，f(x)的对称轴为直线，由在上单调递减， 知，解得．综上，a的取值范围为． 故选：D 【变式3-2】.（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由任意，都有，知在单调递减， 要使 在单调递减，则或，即或. 故选：A. 【变式3-3】.（22-23高一上·上海静安·期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数为定义在上的单调增函数， 当时，，故错误； 当时，，故错误； 当时，，故正确； 当时，，故错误； 故选：C． 【变式3-4】.（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】的对称轴为， 由题意得，解得， 故实数的取值范围为 故答案为： 【变式3-5】.（23-24高一上·重庆永川·期中）已知二次函数的最小值为1，且． (1)求的解析式； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． (3)若在区间上不单调，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2)； (3). 【详解】（1）依题意，二次函数满足，则函数图象的对称轴为， 由函数的最小值为，设， 由，得，解得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知，，当时，，依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. （3）由（1）知，函数图象的对称轴为， 要使函数在区间上不单调，当且仅当，解得， 所以实数的取值范围为. 【考点题型四】分段函数单调性 【例4】.（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数． (1)在坐标系中画出函数的图象； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【详解】（1）函数， 得， 得， 函数的图象如下： （2）函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 设， 则， 因为， ，， 所以， 所以函数在区间上单调递减； 设， 则， ，， 所以， 所以函数在区间上单调递增. 【变式4-1】.（23-24高一上·湖北恩施·阶段练习）已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对任意，当时都有成立， 所以函数在上是增函数， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C. 【变式4-2】.（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数在上单调递减， 根据分段函数单调性的判定方法，则满足且，解得， 实数的取值范围为. 故选：B. 【变式4-3】.（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为对任意，都有成立， 可得在上是单调递减的， 则，解得. 故选：A 【变式4-4】.（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数， (1)画出函数的图象； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)函数在区间和上单调递减；在区间上单调递增 (3)最大值为4，最小值为. 【详解】（1）图象如下：    （2）当时，，对称轴为，开口向上， 可得在时单调递减； 当时，，开口向下，对称轴为， 所以上单调递减；在区间上单调递增， 综上，可得函数在区间和上单调递减；在区间上单调递增. （3）由图象可得当时，最大值为， 当时，最小值为， 所以函数在区间上的最大值为4，最小值为. 【变式4-5】.（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数， (1)画出函数的图象； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)函数在区间和上单调递减；在区间上单调递增 (3)最大值为4，最小值为. 【详解】（1）图象如下：    （2）当时，，对称轴为，开口向上， 可得在时单调递减； 当时，，开口向下，对称轴为， 所以上单调递减；在区间上单调递增， 综上，可得函数在区间和上单调递减；在区间上单调递增. （3）由图象可得当时，最大值为， 当时，最小值为， 所以函数在区间上的最大值为4，最小值为. 【变式4-6】.（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数， (1)画出函数的图象； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)函数在区间和上单调递减；在区间上单调递增 (3)最大值为4，最小值为. 【详解】（1）图象如下：    （2）当时，，对称轴为，开口向上， 可得在时单调递减； 当时，，开口向下，对称轴为， 所以上单调递减；在区间上单调递增， 综上，可得函数在区间和上单调递减；在区间上单调递增. （3）由图象可得当时，最大值为， 当时，最小值为， 所以函数在区间上的最大值为4，最小值为. 【考点题型五】函数的奇偶性判断 【例5】.（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 因为，且函数定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数. （2）任取， 所以，， 则， 所以， 故在上单调递减； （3）可转化为， 则，所以，解得， 故的范围为. 【变式5-1】.（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）下列说法中错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数，是偶函数 D．函数既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】C 【详解】对于A，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则，所以函数是奇函数； 对于B，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则，所以函数是偶函数； 对于C，函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数，既不是奇函数，也不是偶函数； 对于D，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则且， 因此函数既不是奇函数，也不是偶函数. 所以选项中C的说法不正确， 故选：C. 【变式5-2】.（23-24高一上·北京·期中）下列函数中为偶函数的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，函数的定义域为，关于数0不对称，是非奇非偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为，是奇函数，B不是； 对于C，函数的定义域为，，是偶函数，C是； 对于D，函数的定义域为，是奇函数，D不是. 故选：C 【变式5-3】.（23-24高一上·四川内江·期中）（多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，的定义域为，且，即为奇函数，A错误； 对于B，的定义域为，， 则为偶函数， 当时，函数在上单调递增，B正确； 对于C，的定义域为，，即为偶函数， 函数在上单调递增，C正确； 对于D，的定义域为，且， 为偶函数，在上单调递减，D错误. 故选：BC 【变式5-4】.（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)为奇函数 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由，且定义域关于原点对称，故为奇函数. （2）任取，且， ， 因为，且， 故，，，，， 所以，， 故函数在上单调递增； （3）由（1）（2）为奇函数，且在上单调递增， 变形为， 则要满足，解得：， 故不等式的解集为 【变式5-5】.（23-24高一上·北京·期中）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)用分段函数的形式表示函数的解析式，并直接在本题给出的坐标系中画出函数的图像； (3)用表示，中的较大者，即 ，若 ，则求 的值 . 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)，图象见解析 (3)或 【详解】（1）函数为上的奇函数， 因为， 所以函数为上的奇函数； （2）， 图象如图所示， （3），若，则， 此时，，满足题意； 若，显然时，无解； 因此，，解得，此时满足题意． 所以或 【考点题型六】函数的奇偶性的应用 【例6】.【例6】.（23-24高一下·浙江·期中）已知函数，若，则 ． 【答案】6 【详解】解：令，， 所以为奇函数， 所以，所以， 所以，所以． 故答案为：6. 【变式6-1】.（23-24高一上·福建莆田·期中）设函数若为奇函数，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】因是奇函数， 故. 故选：A. 【变式6-2】.（23-24高一上·广东韶关·期中）如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 所以， 又因为为奇函数，所以， 所以，即， 所以当时，. 故选：A. 【变式6-3】.（23-24高一上·辽宁阜新·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以且，则， 所以，则. 故选：D． 【变式6-4】.（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数为偶函数，则实数 ． 【答案】 【详解】因为， 该函数的定义域为， 因为函数为偶函数，则， 即， 可得对任意的恒成立，故，解得. 故答案为：. 【变式6-5】.（23-24高一上·北京·期中）已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ． 【答案】 【详解】函数在上为奇函数，且当时，， 当时，， 所以. 故答案为：. 【变式6-6】（23-24高一上·四川内江·期中）已知奇函数， (1)求实数的值；并作出的图象； (2)若函数在区间上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1)；图象见解析 (2) 【详解】（1）设，则，， 函数是奇函数，， ； 如下图： （2）由图象可知，， ， 故a的取值范围为：． 【考点题型七】函数的单调性与奇偶性的综合应用 【例7】.（24-25高益上·福建三明·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得， 因为，所以，所以， 所以当时，， 当时，， 则， 综上所述，． （2）任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以，即， 故在上为增函数； 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又由在上为增函数， 所以， 解得， 故原不等式的解集为． 【变式7-1】.（23-24高一上·北京·期中）已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为定义在上的偶函数，且，可得， 且在上为减函数，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 【变式7-2】.（23-24高一上·福建莆田·期末）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为偶函数在区间上是增函数， 所以在区间上单调递减， 不等式等价于，等价于， 即，解得，即满足的取值范围是. 故答案为： 【变式7-3】.（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）函数，经过点，则关于的不等式解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的图象经过点，得， 则， 所以函数在上单调递减，在上单调递减， 所以在R上单调递减， 又，即函数是奇函数， 不等式， 则，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：B. 【变式7-4】.（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，定义在R上的奇函数在上单调递减，且， 则在上单调递减，且，， 所以当时，， 当时，， 所以由可得： 或或， 解得或或，即或， 所以满足的的取值范围是. 故选：D. 【变式7-5】.（22-23高一上·广东东莞·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象． (1)画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值． 【答案】(1)图象见解析，递增区间为， (2) (3) 【详解】（1） 函数是定义在上的偶函数， 即函数的图象关于轴对称，其递增区间为，； （2）根据题意，令，则，则， 又由函数是定义在上的偶函数， 则，则； （3）根据题意，，则， 则，其对称轴为， 当时，即时，在区间上为增函数，； 当时，即时，； 当时，即时，在区间上为减函数，， 则． 【变式7-6】.（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象； (1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3). 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，即函数的图象关于原点对称， 则函数图象如图所示． 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）根据题意， 令，则，则， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 即， 所以. （3）当时，， 则， 其对称轴为， 当时，即，则， 当时，即，则， 故. 【考点题型八】抽象函数的单调性和奇偶性 【例8】.（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由， 则， 又当时，， 则， ； （2）令，则，即， 当时，，且， 即， 即在上恒成立， 由，可知， 令，，且，即， 则， 所以， 即在上单调递增； （3）由已知， 又由（1）得， 所以， 又函数在上单调递增， 则恒成立， 所以恒成立， 又， 即， 解得. 【变式8-1】.（23-24高一下·湖南·期中）定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（    ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 【答案】B 【详解】任取，令， 则 ， 因为， 所以， 所以， 所以在上单调递增. 故选：B. 【变式8-2】.（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】D 【详解】由题意知，在函数中，2023， 当时，，解得， 若函数是上的奇函数，则该函数的图象必过原点，即有，故B错误. 当时，，解得， 无法得到，故A错误. 在函数中，， 所以是奇函数，故C错误，D正确. 故选：D. 【变式8-3】.（23-24高二下·浙江·期中）（多选）已知为偶函数，对，且，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，因为为偶函数， 所以，则， 令，得， 因为，， 令，得， 又，所以，故A正确； 对于B，在中， 令，得，即，得， 在中，令，得，故B错误； 对于CD，因为，所以， 所以，又，， 则，所以，故， 所以函数是周期为6的函数， 故，故C错误，D正确. 故选：AD 【变式8-4】.（23-24高三下·江西·开学考试）（多选）已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为奇函数 D．为上的减函数 【答案】ABC 【详解】A：令，代入， 得，解得，故A正确； B：令，代入， 得，又，所以； 令，代入， 得， 令，代入， 得，所以，故B正确； C：令，代入， 得，则， 所以函数为奇函数，故C正确； D：由选项AB知，，，则， 所以函数不为R上的减函数，故D错误. 故选：ABC 【变式8-5】.（24-25高三上·吉林白城·期中）定义在上的函数，满足对任意x，，有，且. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性，并证明你的结论； (3)当时，，解不等式. 【答案】(1)， (2)奇函数，证明见解析 (3) 【详解】（1）令，得，所以. 令，，得， 所以. （2）为奇函数，证明如下： 由题意，任意x，， 令得，，即， 所以函数为奇函数. （3）设，，且，则， 所以， 所以， 故在上为增函数. 等价于， 所以，解得， 故原不等式的解集为. 【变式8-6】.（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）∵， 令，则， ∴； （2）由，可得， 则得，， 设，由， 因时，有，依题意，，即， 所以函数在为增函数； （3）因，∴， 又由，则 ， 由可得， 即，即，因函数在为增函数 故可得，， 解得，即不等式的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$