专题06 幂函数（考点清单，6个考点梳理+题型解读+提升训练）高一数学上学期北师大版必修第一册

专题06 幂函数（6个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 注意：幂函数的特征 (1)xα的系数是1； (2)xα的底数x是自变量； (3)xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数． 【清单02】集常用幂函数的图像 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象(如图)． 【清单03】常用幂函数的性质 函数特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减 在(－∞，0]上单调递减 在(－∞，0)上单调递减 【清单04】幂函数的单调性 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； (3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． 【清单05】幂函数的奇偶性 （1）幂函数y＝xα(a∈R)，当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数． 幂函数（且p与q互质） 【清单06】比较幂大小的三种常用方法: 【考点题型一】幂函数的解析式 【例1】.（2024高一上·北京·期末）已知函数是幂函数，若，则 ． 【答案】2 【详解】设，是常数，则，解得 则． 故答案为：2． 【变式1-1】.（23-24高一上·广东湛江·期中）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】设，由，得， ，则. 故选：D 【变式1-2】.（23-24高一上·安徽安庆·期中）已知函数是幂函数，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【详解】由题知，解得， ， 故选：C. 【变式1-3】.（23-24高一上·广东韶关·期中）已知函数是幂函数，则的值为 ． 【答案】或 【详解】由题意知，，解得或. 故答案为：或. 【考点题型二】幂函数的定义域和值域 【例2】.（2024高一下·上海杨浦·开学考试）已知幂函数的图像不经过原点，则实数 . 【答案】 【详解】由已知函数为幂函数， 得，解得或， 当时，，定义域为，函数图像不经过原点， 当时，，定义域为，且，函数图像经过原点， 综上所述：， 故答案为：. 【变式2-1】.（24-25高一上·上海·课后作业）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个． 【答案】3 【详解】解：①的定义域为； ②的定义域为； ③的定义域为； ④的定义域为； ⑤的定义域为； ⑥的定义域为． 故定义域为的有①③⑥，共3个， 故答案为：3． 【变式2-2】.（24-25高一上·广东阳江·阶段练习）下列四个幂函数：①；②；③；④的值域为同一区间的是 .（只需填写正确答案的序号） 【答案】②③ 【详解】对于①，，则其值域为；对于②，，则其值域为； 对于③，，则其值域为，对于④，，则其值域为. 综上符合题意的是②③. 故答案为：②③. 【变式2-3】.（24-25高一·上海·课堂例题）若幂函数（为整数）的定义域为，求的值． 【答案】0或1或2 【详解】若幂函数的定义域为， 则，得，且， 所以. 【考点题型三】幂函数的图像 【例3】.（2024高三·全国·对口高考）给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（    ）                 A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤ C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤① 【答案】C 【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足； 图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足； 故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤. 故选：C 【变式3-1】.（23-24高一上·全国·期中）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】设幂函数，则，即，解得，即， 的定义域是，，函数为偶函数， 由，则在上递增且越来越慢. 故选：A. 【变式3-2】.（23-24高一上·北京·期中）已知幂函数的图象不过原点，则实数m的取值为 ． 【答案】 【详解】因为为幂函数，则，解得或， 若，则不过原点，符合题意； 若，则过原点，不合题意； 综上所述：实数m的取值为. 故答案为：. 【变式3-3】.（2024高一上·福建泉州·期中）已知幂函数，其图像与坐标轴无交点，则实数m的值为 ． 【答案】 【详解】由幂函数知， 得或. 当时，图象与坐标轴有交点， 当时，与坐标轴无交点， ∴. 故答案为: 【变式3-4】.（24-25高一上·全国·课后作业）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于B，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于C，由函数的图象可知， 由的图象可知且，符合题意，正确； 对于D，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，错误. 故选：C 【考点题型四】幂函数的性质 【例4】.（23-24高二下·福建南平·期中）已知幂函数（）在定义域上不单调． (1)试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)奇函数，理由见详解 (2) 【详解】（1）因为为幂函数，则，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 综上所述：，. 函数为奇函数，理由如下： 因为的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. （2）由及为奇函数， 可得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. 【变式4-1】.（23-24高一上·福建莆田·期中）下面函数中既是奇函数又是上单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由奇函数的定义，函数的定义域关于原点对称，排除D项， 又由，排除A项， 因在上单调递减，故排除B项， 而是奇函数，在上单调递增，符合要求. 故选：C. 【变式4-2】.（23-24高一上·广东湛江·期中）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据幂函数的性质可知：为奇函数，为偶函数，为非奇非偶函数， 故A正确，BD错误， 且为偶函数，所以为非奇非偶函数，C错误； 故选：A． 【变式4-3】.（23-24高二下·浙江·期中）幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】因为幂函数，在区间上是减函数， 所以，解得：， 因为，得， 当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去， 当时，函数是偶函数，关于轴对称，故舍去， 当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去， 所以. 故选：A 【变式4-2】.（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【详解】因为函数是偶函数且在上是增函数， 所以函数在上单调递减， 所以，即，解得， 又因为，所以或或， 当或时，，此时为奇函数，不满足题意； 当时，，此时为偶函数，满足题意； 所以. 故选：B 【变式4-3】.（23-24高一上·江苏南通·期中）已知幂函数为偶函数在上单调递减，则的解析式可以为 写一个即可 【答案】 答案不唯一 【详解】因为幂函数 在 上单调递减，所以 ， 又因为 为偶函数， 所以 适合题意． 故答案为: 答案不唯一. 【变式4-4】.（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知，若幂函数为奇函数，且在上严格单调递减，则 . 【答案】或 【详解】由幂函数的性质知，，在第一象限内，当时，函数单调递减，当为奇数时，函数为奇函数， 所以当或时，幂函数在上单调递减，且为奇函数. 故答案为：或 【变式4-5】.（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知幂函数的图象关于y轴对称. (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得或． 当时，，则， ，则函数图象不关于轴对称，故舍去， 当时，则，定义域为，关于原点对称， 且，则此时为偶函数，图象关于轴对称， 故． （2） ， 因为， ， 故在上的值域为． 【变式4-6】.（23-24高一上·河南开封·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数. (1)求和的值； (2)若实数满足，求的最小值. 【答案】(1)或， (2)2 【详解】（1）幂函数，则，解得或， 幂函数在上是减函数，故，解得， ，故或，幂函数图象关于轴对称， 当时，，图象关于轴对称，符合题意； 当时，，图象关于原点对称，不合题意， 综上所述：或，； （2），，则， . 当且仅当，，即时等号成立. 所以的最小值是2. 【考点题型五】比较幂大小 【例5】.（23-24高一上·浙江杭州·期中）（多选）已知幂函数的图像关于y轴对称，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】因为幂函数的图像关于y轴对称， 所以函数为偶函数，则，即， 又，由幂函数的单调性可知，函数在上单调递减， 所以，故B正确，A错误； 因为，在上单调递减，且函数为偶函数 则，故D正确，C错误. 故选：BD 【变式5-1】.（2024高三·河北·学业考试）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于幂函数在上单调递增，又，，， ，所以，则. 故选：D. 【变式5-2】.（2024高一下·浙江·期中）记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， ， ，由幂函数在上单调递增，所以. 故选：C 【变式5-3】.（23-24高一上·河北保定·期中）（多选）已知函数图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A． B．，都有 C．若，则 D． 【答案】ACD 【详解】由题设，，可得，即， 且在定义域上为增函数、， 故AD正确，B选项错误. 时有，故C正确． 故选：ACD 【变式5-4】.（23-24高一上·广西钦州·期中）已知是幂函数. (1)求、的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得； （2）由（1）可知，定义域为，且， 所以是上的单调递增函数， 又因为， 所以，解得， 所以的取值范围是. 【考点题型六】幂函数综合应用 【例6】.（23-24高一上·山东烟台·期中）已知幂函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)若存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的解析式为， 则，解得，因此． （2）因为，所以． 令，则，且． 令，， 因为在单调递增，在单调递减，所以． 因为存在，使得，所以． 所以．又因为，所以的取值范围为. 【变式6-1】.（23-24高一下·江苏镇江·期中）写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ． ①； ②对于任意两个不同的正数，都有恒成立； ③对于任意两个不同的实数，都有． 【答案】（答案不唯一） 【详解】当时， 对于①，，故满足①； 对于②，由对于任意两个不同的正数，都有恒成立， 得函数在上单调递增， 而函数在上单调递增，故满足②； 对于③，任取， 则， 因为，所以， 即， 所以，故满足③. 故答案为：（答案不唯一）. 【变式6-2】.（23-24高一上·福建莆田·期中）已知幂函数的定义域为全体实数． (1)求的解析式； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：因为函数为幂函数， 可得，即，解得或 当时，，此时函数的定义域为，不符合题意； 当时，，此时函数的定义域为，符合题意， 所以函数的解析式为. （2）由不等式在上有解，即不等式在上有解， 令，只需函数在上的最大值大于， 因为图象开口向上，且对称轴为， 可得在上单调递减，所以， 由，解得，所以实数的取值范围是． 【变式6-3】.（23-24高一上·湖北孝感·期中）幂函数为偶函数，. (1)求的解析式； (2)若对于恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为幂函数为偶函数， ∴，解得或， 当时，，定义域为， ，所以为偶函数，符合题意； 当时，，定义域为， ，所以为奇函数，不合题意， 综上， （2）因为， 所以对于恒成立，即对于恒成立， 当时，得恒成立，则； 当时，得， ，当且仅当时等号成立，故， 当时，得， ， 当且仅当时等号成立，故， 综上，. 【变式6-4】.（23-24高一上·山东济宁·期中）已知幂函数在上单调递增，函数. (1)当时，记、的值域分别为集合，，设：，：，若是成立的必要条件，求实数的取值范围. (2)设，且在上单调，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为是幂函数，又函数在上单调递增， 则有，解得，所以，当时，，即， 函数是上的增函数，当时，，即， 因，是成立的必要条件，则，显然， 则，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）可得， 又在上单调，所以或， 解得或， 即实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 幂函数（6个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 注意：幂函数的特征 (1)xα的系数是1； (2)xα的底数x是自变量； (3)xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数． 【清单02】集常用幂函数的图像 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象(如图)． 【清单03】常用幂函数的性质 函数特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减 在(－∞，0]上单调递减 在(－∞，0)上单调递减 【清单04】幂函数的单调性 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； (3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． 【清单05】幂函数的奇偶性 （1）幂函数y＝xα(a∈R)，当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数． 幂函数（且p与q互质） 【清单06】比较幂大小的三种常用方法: 【考点题型一】幂函数的解析式 【例1】.（2024高一上·北京·期末）已知函数是幂函数，若，则 ． 【变式1-1】.（23-24高一上·广东湛江·期中）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式1-2】.（23-24高一上·安徽安庆·期中）已知函数是幂函数，则（    ） A． B．2 C． D．1 【变式1-3】.（23-24高一上·广东韶关·期中）已知函数是幂函数，则的值为 ． 【考点题型二】幂函数的定义域和值域 【例2】.（2024高一下·上海杨浦·开学考试）已知幂函数的图像不经过原点，则实数 . 【变式2-1】.（24-25高一上·上海·课后作业）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个． 【变式2-2】.（24-25高一上·广东阳江·阶段练习）下列四个幂函数：①；②；③；④的值域为同一区间的是 .（只需填写正确答案的序号） 【变式2-3】.（24-25高一·上海·课堂例题）若幂函数（为整数）的定义域为，求的值． 【考点题型三】幂函数的图像 【例3】.（2024高三·全国·对口高考）给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（    ）                 A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤ C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤① 【变式3-1】.（23-24高一上·全国·期中）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式3-2】.（23-24高一上·北京·期中）已知幂函数的图象不过原点，则实数m的取值为 ． 【变式3-3】.（2024高一上·福建泉州·期中）已知幂函数，其图像与坐标轴无交点，则实数m的值为 ． 【变式3-4】.（24-25高一上·全国·课后作业）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】幂函数的性质 【例4】.（23-24高二下·福建南平·期中）已知幂函数（）在定义域上不单调． (1)试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由； (2)若，求实数的取值范围． 【变式4-1】.（23-24高一上·福建莆田·期中）下面函数中既是奇函数又是上单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（23-24高一上·广东湛江·期中）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】.（23-24高二下·浙江·期中）幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-2】.（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C．0 D．3 【变式4-3】.（23-24高一上·江苏南通·期中）已知幂函数为偶函数在上单调递减，则的解析式可以为 写一个即可 【变式4-4】.（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知，若幂函数为奇函数，且在上严格单调递减，则 . 【变式4-5】.（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知幂函数的图象关于y轴对称. (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域. 【变式4-6】.（23-24高一上·河南开封·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数. (1)求和的值； (2)若实数满足，求的最小值. 【考点题型五】比较幂大小 【例5】.（23-24高一上·浙江杭州·期中）（多选）已知幂函数的图像关于y轴对称，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【变式5-1】.（2024高三·河北·学业考试）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】.（2024高一下·浙江·期中）记，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】.（23-24高一上·河北保定·期中）（多选）已知函数图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A． B．，都有 C．若，则 D． 【变式5-4】.（23-24高一上·广西钦州·期中）已知是幂函数. (1)求、的值； (2)若，求实数的取值范围. 【考点题型六】幂函数综合应用 【例6】.（23-24高一上·山东烟台·期中）已知幂函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)若存在，使得，求实数a的取值范围． 【变式6-1】.（23-24高一下·江苏镇江·期中）写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ． ①； ②对于任意两个不同的正数，都有恒成立； ③对于任意两个不同的实数，都有． 【变式6-2】.（23-24高一上·福建莆田·期中）已知幂函数的定义域为全体实数． (1)求的解析式； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 【变式6-3】.（23-24高一上·湖北孝感·期中）幂函数为偶函数，. (1)求的解析式； (2)若对于恒成立，求的取值范围. 【变式6-4】.（23-24高一上·山东济宁·期中）已知幂函数在上单调递增，函数. (1)当时，记、的值域分别为集合，，设：，：，若是成立的必要条件，求实数的取值范围. (2)设，且在上单调，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$