第三章指数运算与指数函数（期中知识清单）高一数学上学期北师大版

第三章 指数运算与指数函数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 指数幂的拓展 1.1 整数指数幂 在初中，我们学习了整数指数幂。给定正数 和正整数 ， 表示 个 的乘积，并规定 ，。 示例：；；。 1.2 正分数指数幂 给定正数 和正整数 ，（，且 ， 互素），若存在唯一的正数 ，使得 ，则称 为 的 次幂，记作 。这就是正分数指数幂。 示例：若 ，则 ；若 ，则 。 有时，也把 写成 的形式。例如，。 注意：需要强调的是，在指数幂的概念中，总有 。于是，尽管有 ，但不可以写成 的形式。 1.3 负分数指数幂 类似负整数指数幂的定义，可以定义负分数指数幂。给定正数 和正整数 ，（，且 ， 互素），定义 示例：。 1.4 无理数指数幂 一般地，给定正数 ，对于任意的正无理数 ，可以用类似的方法定义一个实数 。这样，指数幂中指数的范围就拓展到了全体实数。 示例：。 2. 指数幂的运算性质 2.1 指数幂的运算性质 我们知道，整数指数幂有运算性质：，，，其中 ， 是正数，， 是正整数。 对于这些性质，可以将 ， 推广到实数。也就是说，对于任意正数 ， 和实数 ，，实数指数幂均满足下面的运算性质： 示例：若 ，，则 ；。 3. 指数函数 3.1 指数函数的概念 根据指数幂的定义，当给定正数 ，且 时，对于任意的实数 ，都有唯一确定的正数 与之对应。因此， 是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数。 由定义可知，指数函数 具有以下基本性质： （1）定义域是 ，函数值大于 ； （2）图象过定点 。 示例：， 都是指数函数。 3.2 指数函数的图象与性质 一般地，当 时，指数函数 的定义域是 ，值域是 ，过定点 ，在 上是增函数。当 值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当 值趋近于负无穷大时，函数值趋近于 。 对于函数 和 （）：当 时，；当 时，；当 时，。 一般地，当 时，指数函数 的定义域是 ，值域是 ，过定点 ，在 上是减函数。当 值趋近于正无穷大时，函数值趋近于 ；当 值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大。 对于函数 和 （）：当 时，；当 时，；当 时，。 指数函数的图象和性质汇总如下表： 项目 定义域 值域 过定点 过定点 ，即 时 过定点 ，即 时 函数值范围 当 时，；当 时， 当 时，；当 时， 单调性 在 上是增函数 在 上是减函数 变化趋势 当 值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当 值趋近于负无穷大时，函数值趋近于 当 值趋近于正无穷大时，函数值趋近于 ；当 值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大 示例： 与 ，因为 ，所以当 时 ，当 时 。 3.3 底数互为倒数的两个指数函数图象的关系 一般地，指数函数 和 （，且 ）的图象关于 轴对称，且它们在 上的单调性相反。 示例： 与 的图象关于 轴对称； 在 上是增函数， 在 上是减函数。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 分数指数幂与根式的互化 正分数指数幂与根式可互化：（，， 均为正整数，）；反过来 ，负指数化为倒数 。 1.2 多重根式化分数指数幂 根号套根号时，根指数相乘、并入指数：（）。 1.3 指数幂运算性质的逆用 ，，（，）。凑项、整体求值时经常逆用，如 。 1.4 指数式整体求值 已知 （，），则 ，。 【使用提醒】，故 ，即 ；开方求 时需先判断其正负。 1.5 底数互为倒数的指数式 （，），即底数取倒数、指数变号，如 。 1.6 指数型函数过定点 函数 （，）的图象恒过定点 （令 ，则 ）。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 指数幂的化简求值 先统一化为分数指数幂（），再利用运算性质 、 合并同底幂、化最简，最后按题目要求化回根式或代入求值。如化简 。 2.2 指数式比较大小 先看能否化成同底（用幂的运算性质），再用指数函数的单调性比较；底数不同、指数也不同时，借助中间量 或 （指数函数值恒正、恒过定点 ）分界比较。如比较 与 ：，，故 。 2.3 求指数型复合函数的值域 先求出内层 的取值范围，再把 看成关于 的指数函数，利用指数函数的单调性及值域 求解。如 ：由 ，得 。 2.4 解指数方程与不等式 把等式或不等式两边化为同底的指数幂，再利用指数函数的单调性把”指数的方程或不等式”转化为代数方程或不等式（底数 时单调性同向， 时反向）。如 化为 ，得 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 底数化同 把 、、、 写成 、 的幂，便于比较或合并 ， 负指数化倒数 见到负指数先写成倒数，再算正指数 中间量法 异底异指难比时，与 、 比较分界 同指数幂比较 利用 或 图象定底数大小 画直线 ，与各指数函数图象交点的纵坐标即底数值 与 交于 4. 常见考试模型 4.1 指数幂化简求值模型 公式：同底幂相乘指数相加 ，幂的乘方指数相乘 ，积的乘方 （，）。 限定：底数须为正；负底数只能对整数指数适用。 示例：如 。 4.2 指数式比较大小模型 公式：， 时在 上递增， 时在 上递减；指数函数值域为 。 限定：须先判断底数 与 的大小关系以确定单调性；异底要先化同底或取中间量。 示例：如 （，减函数）。 4.3 指数型复合函数模型 公式：形如 （其中 ）的函数，其定义域由 确定，值域由 的范围结合 的单调性确定。 限定： 且 ；内层 的取值范围决定外层指数函数的取值区间。 示例：如 的值域为 ； 的值域为 。 4.4 指数函数过定点模型 公式：（，）恒过定点 。 限定：令指数部分 求出 ，再代入得 ；含系数 时先写成 ，再令 求 。 示例：如 过定点 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：分数指数幂与根式互化时根指数与被开方数的指数位置颠倒 典例：用分数指数幂表示 。 错解：。 正解：（根指数 在分母、被开方数的指数 在分子）。 原因：概念混淆。互化规则是 ，即根指数 对应分母、被开方数的指数 对应分子，学生常把分子分母位置写反，导致结果颠倒。 易错点 2：负数不能作分数指数幂的底数 典例：计算 。 错解：。 正解： 无意义（分数指数幂要求底数 ）； 正确，但不可写成 的形式；。 原因：条件遗漏。分数指数幂 要求底数 ，学生忽略了这一隐含条件，把根式 直接搬成分数指数幂 ，误以为两者完全等价。 易错点 3：指数幂运算性质张冠李戴（幂的乘方与同底数幂相乘混淆） 典例：计算 。 错解：。 正解：。 原因：概念混淆。幂的乘方 （指数相乘），同底数幂相乘 （指数相加），学生把两条性质记混，导致指数运算错误。 易错点 4：判断指数函数时忽略底数的限制 典例：判断下列函数是否是指数函数：，，。 错解：三个都是指数函数。 正解：三个都不是指数函数。指数函数须形如 （ 且 ）， 系数不为 ， 底数为负， 是常函数，均不符合定义。 原因：概念理解不完整。学生只记住”形如 “，却漏掉” 且 “以及”系数为 、指数只能是 “的结构要求。 易错点 5：指数函数比较大小忽略底数的分类讨论 典例：已知 （ 且 ），比较 与 的大小。 错解：由 得 。 正解：当 时， 在 上是增函数，故 ；当 时， 在 上是减函数，故 。 原因：漏分类讨论。指数函数的单调性取决于底数 与 的大小，学生默认 直接得 ，忽略了 时单调性相反、结论也要反向。 易错点 6：求指数型函数过定点或值域时忽略平移变换 典例：求函数 的图象所过的定点。 错解：令 ，得 ，故过定点 。 正解：令 ，得 ，此时 ，故过定点 。 原因：转化失误。形如 的图象是把 的图象平移得到的，定点由指数部分取 （即 ）确定，而不是简单地令 ；学生未把函数化成 的标准形式来识别平移。 学科网（北京）股份有限公司 $