第3章 指数运算与指数函数 章末总结-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（北师大版）

章末总结 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 [知识辨析] 判断对错.(正确的画“√”,错误的画“×”) 1.a2·=a.(　×　) 2.指数函数的图象一定在x轴上方.(　√　) 3.函数y=2x-1是指数函数.(　×　) 4.因为a0=1(a>0,且a≠1),所以函数y=ax恒过点(0,1).(　√　) 5.函数y=ax(a>0,且a≠1)的最小值为0.(　×　) 6.函数y=2x与y=() x的图象关于y轴对称.(　√　) 7.0的任何分数指数幂都等于0.(　×　) 8.与一定相等.(　×　) 题型一　有理数指数幂的运算 [例1] 化简:(1)(×(÷; (2)() 4() 4. 解:(1)原式=(×(1÷1=2-1×103×1=2-1×1=. (2)原式={[(a9}4·{[(a9}4=a2·a2=a4. 指数式的运算首先要注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算,其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的. 题型二　指数函数图象 [例2] 如图,二次函数y=ax2+bx与指数函数y=() x的图象只可能为(　　) 解析:根据指数函数y=() x可知a,b同号且不相等,则二次函数y=ax2+bx的对称轴-<0,故可排除B,D;又因为二次函数y=ax2+bx过坐标原点,所以C正确.故选C. 求解与指数函数的图象有关的问题,首先应明确指数函数的单调性与底数的大小有关以及指数函数一定过定点的性质.而涉及指数型复合函数的图象,还要综合利用函数图象的平移、对称变换等知识. 题型三　指数函数性质的综合应用 [例3] 已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求a,b的值; (2)判断f(x)的单调性,并用定义证明; (3)若存在t∈R,使f(k+t2)+f(4t-2t2)<0成立,求k的取值范围. 解:(1)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.即=0,所以a=1. 因为f(-1)=-f(1),所以=-,即=,所以2b+1=b+2,所以b=1. 经验证符合题意.所以a=1,b=1. (2)由(1)知f(x)=. 函数f(x)在R上单调递减, 证明如下: 任取x1,x2∈R,且x1<x2, f(x1)-f(x2)=-=-, 因为x1<x2,所以<,-<0, 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 所以f(x)在R上单调递减. (3)因为f(k+t2)+f(4t-2t2)<0,f(x)是奇函数, 所以f(k+t2)<f(2t2-4t). 又因为f(x)在R上单调递减,所以k+t2>2t2-4t,所以k>t2-4t. 设g(t)=t2-4t,所以问题转化为k>g(t)min, g(t)min=g(2)=-4,所以k>-4. 所以k的取值范围为(-4,+∞). 求解指数(型)函数与函数的奇偶性、单调性有关的综合问题,要充分利用函数的奇偶性、单调性的定义以及指数幂的运算法则,结合指数函数的性质求解.如本例中求a的值,就是利用了奇函数在原点处有定义时,一定有f(0)=0的性质. 学科网（北京）股份有限公司 $