第二十一章一元二次方程（期中知识清单）九年级数学上学期新教材华东师大版

第二十一章 一元二次方程　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 一元二次方程的概念 1.1 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫做一元二次方程。 示例： 是一元二次方程； 最高次数是 ，不是一元二次方程。 1.2 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是 （、、 是已知数，），其中 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项。 示例：方程 中，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 。 注意：一般形式中必须限定 ，否则方程退化为一元一次方程，就不再是一元二次方程。 2. 一元二次方程的解法 2.1 直接开平方法 对于方程 ，意味着 是 的平方根，所以 ，即 。这里得到了方程的两个根，通常也表示成 ，。这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 示例：解 ，直接开平方，得 ，即 ，。 注意：直接开平方法适用于形如 （）或 （）的方程。 示例：解 ，直接开平方，得 ，所以 ，。 2.2 因式分解法 将方程左边用平方差公式分解因式，得 ，必有 或 。分别解这两个一元一次方程，得 ，。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 示例：解 ，分解因式得 ，所以 或 ，即 ，。 注意：用因式分解法时，应先把方程化为”一边是两个一次因式的乘积，另一边是 “的形式，再降次求解。 2.3 配方法 通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解。这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 示例：解 ，两边都加上 ，得 ，即 ，再直接开平方求解。 2.4 公式法 一元二次方程 （）的求根公式是 将一元二次方程的系数 、、 的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 示例：解 ，其中 ，，，代入求根公式得 ，即 ，。 注意：确定 、、 的值时，要注意它们的符号。 2.5 一元二次方程根的判别式 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号 来表示（ 是希腊字母），用它可以直接判断一元二次方程 （）的实数根的情况： 的取值 根的情况 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 示例：方程 中，，方程有两个不相等的实数根。 2.6 一元二次方程的根与系数的关系 设一元二次方程 的两根为 、，那么 对于一般形式的一元二次方程 （，）的两根 、，有 示例：方程 中，，，不必解方程即可求出。 注意：一元二次方程的根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达发现的，习惯上也称为韦达定理。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 缺项方程的根的特征 时， 可提公因式：，有一根为 ，另一根为 ； 时， 化为 ，当 、 异号时有两根，且两根互为相反数。 1.2 特殊值根判定 方程 （）化为一般形式后：若 ，则有一根 ，另一根为 ；若 ，则有一根 ，另一根为 。 1.3 两根对称式速算 设 ，，则 ；；；。 【使用提醒】使用前先验证 ，方程确有两个实数根。 1.4 两根符号判定 两正根： 且 且 ；两负根： 且 且 ；一正一负：。 【使用提醒】判两正根、两负根时， 与和、积的符号条件缺一不可；一正一负只看 （此时 恒正，不必再验证）。 1.5 逆用根与系数构造方程 以 、 为两根的一元二次方程可取 。 1.6 配方求二次三项式的最值 ： 时在 处取最小值 ， 时取最大值。如 ，最小值为 ，此时 。 【使用提醒】若题目限定了 的取值范围，最值点需结合范围讨论，顶点不在范围内时最值在端点处取得。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 解法选择策略 缺常数项先提公因式，形如 或 的直接开平方；能分解因式的先因式分解；不易分解用公式法，先算 再代入；配方法在题目指定或推导时使用。如解 ：移项得 ，，。 2.2 判别式求参数范围的规范流程 化一般形式（二次项系数含参数时先写明系数 ）→ 算 → 按”根的情况”列等式或不等式 → 解出参数并回检系数 。特例：题目只说”有实数根”且二次项系数含参，须分系数为 （一次方程）与不为 （）两类，取并集。如 有实数根： 时方程为 有根； 时 ，综上 。 2.3 不解方程求对称式的值 化一般形式 → 确认 → 由根与系数的关系写出 与 → 把目标式变形为只含 、 的对称式（用 1.3），整体代入。如 ：，，则 。 2.4 利用根的定义降次求值 把根 代入方程得 ，即 ，逐次替换降次后整体代入。如 是 的根，则 ，。 2.5 根据定义求参数（“一元二次方程”双条件） 含参方程是”一元二次方程”须同时满足：最高次数为 ，且二次项系数 。先令指数等于 ，再排除使系数为 的值。如 是一元二次方程： 且 ，故 。 2.6 换元法解复杂方程 同一代数式（如 ）重复出现两次以上时，设其为 ，先解 的一元二次方程，再逐个回代解 。如 ：设 ，得 或 ； 时 或 ； 时无实数解，舍去。 【使用提醒】回代后无实数解的 值一律舍去。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 配方速记 加”一次项系数一半的平方”：；二次项系数不是 先化为 十字相乘法分解 找 、 使 且 ，则 ，根为 、 计算防错顺序 先化一般形式、确认系数符号再算 ； 为负时 加括号， 先定符号再乘 ： 夹逼法估算无理数根 由 确定无理数根的整数部分或区间 的正根 ，由 得 配方法比较大小 / 判断非负性 作差后配方写成”平方 常数”判定正负，并单独说明取等条件 ，故 ，当 时取等号 4. 常见考试模型 4.1 平均增长率 / 下降率模型 公式：两期 （ 为基量， 为变化率，增长用加、下降用减）。 限定：下降率须 ，负根舍去。 示例：如 ，得 （舍负），。 4.2 翻一番模型 公式：两年后产值翻一番 ，即 。 限定：增长率 ，负根舍去。 示例：产值翻一番：，。 4.3 面积边框模型 公式：四周等宽 的边框或小道：；长 、宽 的矩形内横纵各开一条等宽 的小道：（把小道平移到两边）。 限定：解出的 须使每条边长为正，否则舍去。 示例：如长 、宽 的试验田内横纵各开一条等宽小道后种植面积 ：， 或 （舍 ），故 。 4.4 营销利润模型 公式：总利润 （单件利润 ）（原销量 每变价 元的销量变化 ），即 型（涨价则 ）。 限定：售价高于进价、销量非负，不合题意的根舍去。 示例：如 ，即 ， 或 ，均符合题意。 4.5 数字问题模型 公式：连续整数设 、、；连续奇数、偶数设 、、。 限定：解出的 须符合实际（如正整数、数位不为 ）。 示例：如两个连续奇数之积为 ：，（舍 ），即 、。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：含参方程是”一元二次方程”，漏了二次项系数 ≠ 0 典例：若 是关于 的一元二次方程，求 的值。 错解：由 得 ，所以 。 正解：由题意得 且 。由 得 ，又 ，所以 。 原因：概念理解错误。“一元二次方程”的定义包含两个缺一不可的条件：未知数的最高次数是 、二次项系数不为 。学生只盯着”次数”这个显性条件列式，忽略了 时二次项消失、方程退化为一元一次方程。凡由定义反求参数，都要回代检查系数是否为 。 易错点 2：两边约去含未知数的因式，丢根 典例：解方程：。 错解：两边同除以 ，得 。 正解：移项得 ，即 ，所以 或 ，即 ，。 原因：思维层面的解法错误。把解一元一次方程时”两边同除以同一个非零数”的习惯，迁移到了含未知数的式子上。 的值随 变化， 时它恰为 ，两边同除导致失根。因式分解法解方程的依据是”两个因式之积为 ，则至少一个因式为 “，必须先移项使一边为零，再分解降次，绝不能随意约去含未知数的因式。 易错点 3：“方程有实数根”不等于”二次方程有实数根”，漏讨论二次项系数为 0 典例：关于 的方程 有实数根，求 的取值范围。 错解：方程有实数根，则 ，即 ，所以 或 。 正解：① 当 即 时，方程为 ，不成立，无实数根；② 当 时，，得 或 ，且 。综上， 或 。 原因：漏分类讨论。学生把”有实数根”直接翻译成”“，默认方程已经是二次方程；当二次项系数含参数时，必须先讨论系数为 的退化情形——此时方程可能是一次方程（有根），也可能是矛盾方程（无根）。本题恰好是矛盾方程， 必须剔除；而”有两个不相等的实数根”类题目则必须强调系数 ，两种问法的隐含条件不同。 易错点 4：实际问题的解不检验，保留不合题意的根 典例：一块长方形木板长 ，宽 ，四周锯下等宽的边框后，剩余部分面积为 ，求边框的宽度。 错解：设边框宽 ，则 ，展开得 ，即 ，解得 ，。所以边框宽度为 或 。 正解：解得 ，。检验：当 时，剩余部分的宽为 ，边长不能为负，不合题意，舍去。所以边框宽度为 。 原因：忽略隐含条件。列方程只保证了”面积等于 “这一数量关系，但根必须回到实际情境检验：剩余部分的长、宽都要为正（ 必须小于长、宽的一半）。学生潜意识认为”方程解出来就是对的”，缺少”解方程 → 检验 → 作答”的完整意识；一元二次方程有两个根，应用题舍根是常态而不是例外。 易错点 5：完全平方式只配正的一次项系数，漏负值 典例：若 是完全平方式，求 的值。 错解：因为 ，所以 ，即 。 正解：完全平方式要求一次项系数为 ，即 或 ，解得 或 。此时原式分别为 或 。 原因：漏分类讨论。学生把”完全平方式”默认为” 的形式”，忽略了 也是完全平方式，一次项系数可以取负。根源是对完全平方公式 中”“只记了”＋“。凡”待定系数 常数的两倍”构造完全平方式，都要成对取值。 易错点 6：用根与系数的关系前不验证 Δ ≥ 0 典例：已知一元二次方程 的两根为 、，求 的值。 错解：由根与系数的关系得 ，，所以 。 正解：先看根是否存在：，方程没有实数根，因此 、 不存在， 的值无从谈起。 原因：忽略使用前提。根与系数的关系成立的前提是方程有实数根（），学生一看到含 、 的题目就直接套公式求值，跳过了”方程是否有实数根”的验证。这类题目正是围绕这个前提设坑：系数凑出 ，错的不是计算而是第一步。 学科网（北京）股份有限公司 $