第十章数的开方（期中知识清单）八年级数学上学期新教材华东师大版

第10章 数的开方　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 平方根 1.1 平方根的定义 如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根。 示例：因为 ，所以 是 的一个平方根；又因为 ，所以 也是 的一个平方根。 和 都是 的平方根。 1.2 平方根的性质 一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。显然，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立即可以得到另一个。 的取值 平方根的情况 有两个平方根，它们互为相反数 平方根只有一个，就是 ，也叫做 的算术平方根，记作 ，即 因为任何有理数的平方都不可能是负数，所以负数没有平方根 注意：根据平方根的意义，可以利用平方运算来探求一个数的平方根。 示例：求 的平方根。因为 ，，除了 和 以外任何数的平方都不等于 ，所以 的平方根是 。 1.3 算术平方根 正数 的正的平方根，叫做 的算术平方根，记作 ，读作”根号 “；另一个平方根是它的相反数，即 。因此，正数 的平方根可以记作 ，其中 称为被开方数。 注意：（）表示 的算术平方根，它一定是非负数。 示例： 的算术平方根是 ， 的平方根是 。 1.4 开平方 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。将一个正数开平方，关键是找出它的算术平方根。 示例： 的算术平方根是 ，因此 的平方根是 。 2. 立方根 2.1 立方根的定义 如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根。 示例：因为 ，所以 是 的立方根。 2.2 立方根的性质 任何数的立方根如果存在的话，必定只有一个。 的取值 立方根的情况 立方根是正数 立方根是 立方根是负数 示例： 的立方根是 ； 的立方根是 ； 的立方根是 。 2.3 立方根的记法与开立方 数 的立方根，记作 ，读作”三次根号 “。其中， 是被开方数， 是根指数。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 示例： 的立方根是 。 3. 实数 3.1 无理数 无限不循环小数叫做无理数。、、 等都是无理数。 注意：有理数包括整数和分数，而任何一个分数写成小数的形式，只可能是有限小数或者无限循环小数。 示例： 是无限不循环小数，是无理数；、 是有理数。 3.2 实数 有理数和无理数统称为实数。 示例：、、、、 都是实数。 3.3 实数与数轴上的点一一对应 数轴上的每一个点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）都可以用数轴上的一个点来表示。换句话说，实数与数轴上的点一一对应。 图1：两个边长为 的正方形拼成的大正方形 示例：将两个边长为 的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个面积为 的大正方形，所以大正方形的边长为 ；即边长为 的正方形的对角线长是 ，据此可以在数轴上找到表示 的点。 3.4 实数的性质与运算 在七年级上学期学过的有关有理数的相反数和绝对值等概念、大小比较法则、运算法则以及运算律，对于实数也适用。 从有理数扩充到实数以后，正数总可以开平方、开立方。在实数范围内，任意一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 的平方根是 ；负数没有平方根。任意一个实数有且只有一个立方根。 涉及无理数的大小比较和运算，通常可以取它们的近似值来进行。 示例：比较 与 的大小：，，所以 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 算术平方根的非负性 （）表示 的算术平方根，恒有 ，且 的条件是 。对任意实数 ，，。 【使用提醒】几个非负数之和为 ，则每一个都等于 ，常据此由”“反求各未知量。 1.2 平方根、立方根等于本身的数 平方根等于它本身的数是 ；算术平方根等于它本身的数是 和 ；立方根等于它本身的数是 、、。 1.3 与 的区别 （其中 ）；，即 时等于 ， 时等于 。 【使用提醒】 先平方、再开方，结果为算术平方根，恒非负，等于 而不是 。 1.4 常见完全平方数与完全立方数速记 ，，，，，，，，；，，，，，。 1.5 估算无理数（夹逼法） 若 （、 为正整数），则 ，据此可确定 在哪两个相邻整数之间，进而求其整数部分。如 ，则 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求一个正数的平方根的规范步骤 先求它的算术平方根 ，再在前面添”“号得平方根 ； 的平方根只有 ，负数没有平方根。如 ：，故 的平方根是 。 2.2 求立方根的规范步骤 借助立方运算求 ：先定符号（立方根与 同号），再求绝对值部分的立方根。如 ：符号为负，又 ，故 。 2.3 实数比较大小的方法 无理数与无理数、无理数与有理数比较大小，先取近似值再比较；两个正无理数也可平方后比较被开方数。如比较 与 ：两边平方得 与 ，故 。 2.4 实数运算取近似值的规则 取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位，最后一步再按要求精确度四舍五入。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 小数开方先化分数 被开方数是小数时，先化成分数再开方 分数开方 分子、分母分别开平方（开立方） 无理数快速识别 开方开不尽的根式、、无限不循环小数是无理数；有限小数、无限循环小数、能开尽的根式是有理数 是有理数， 是无理数 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：混淆平方根与算术平方根，把”平方根”当成”正的根” 典例：求 的平方根。 错解：，所以 的平方根是 。 正解： 的平方根是 ；而 表示 的算术平方根（即正的平方根），不是平方根。 原因：概念混淆。一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而算术平方根专指其中正的那一个。学生把符号 的读法”根号 “与”平方根”等同，误以为 就是平方根的全部。区分要点：符号 表示算术平方根，平方根要在前面加”“。 易错点 2：认为负数也有平方根，或对 中被开方数为负的情况直接开方 典例：判断： 是否正确？ 错解：正确。因为 ，所以 。 正解：不正确。因为任何数的平方都不可能是负数，所以负数没有平方根， 无意义。 原因：忽略被开方数须非负这一前提。 成立的前提是 。学生在 的惯性下，把被开方数 误当成 来开方，未先检查被开方数的符号。 易错点 3：认为”无限小数就是无理数”或”带根号的数都是无理数” 典例：判断下列各数是否为无理数：（即 ）；。 错解： 是无限小数，是无理数； 带根号，是无理数。 正解： 是无限循环小数，是有理数；，是有理数。 原因：无理数概念理解错误。无理数是”无限不循环小数”，必须同时满足”无限”和”不循环”；无限循环小数（如 ）是有理数。带根号的数不一定是无理数， 就是有理数，只有开方开不尽的（如 ）才是无理数。 易错点 4：求平方根时漏掉负根 典例：若 ，求 。 错解：。 正解：，即 或 。 原因：遗漏分类讨论。一个正数有两个平方根，它们互为相反数。学生由 只想到 ，漏掉了 。凡由”平方”反求原数，都要成对考虑正负两个平方根（ 时只有一个）。 易错点 5：把平方根的性质错误迁移到立方根 典例：判断：负数没有立方根。 错解：正确。负数既没有平方根，也没有立方根。 正解：错误。任意一个实数都有且只有一个立方根，负数的立方根是负数，如 ；负数没有的是平方根。 原因：概念迁移错误。学生记住了”负数没有平方根”，却把它套用到立方根上。平方根与立方根性质不同：正数有两个平方根、 的平方根是 、负数没有平方根；而任意实数（含负数）都有且只有一个立方根。 易错点 6：忽略算术平方根的非负性，把 错写成 典例：化简 。 错解：。 正解：，即 。 原因：概念理解错误。 表示”先平方、后开平方”，其结果是算术平方根（非负），应等于 。学生误以为”开平方与平方互相抵消”，直接把根号与平方约去，忽略了算术平方根恒非负这一性质。 学科网（北京）股份有限公司 $