专题02 整式的乘除（期中知识清单）八年级数学上学期新教材华东师大版

专题02 整式的乘除（5知识&15题型&3易错&2方法清单） 【清单01】幂的运算 ①同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 符号表示： . ②幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘 符号表示： . ③积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 符号表示： . ④同底数幂的除法：底数不变，指数相减 符号表示： . 【清单02】整式的乘法 ①单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘，只要将 、 分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。 具体步骤：①系数相乘：将两个单项式的数字系数相乘，得到结果的系数； ②同底数幂相乘：将相同字母的指数相加； ③不同字母保留：无相同字母的项直接合并； ②单项式与多项式相乘：将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。 ③多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 符号表示： 【清单03】乘法公式 ①平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 符号表示： ②完全平方和（差）：两个数和（差）的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍 符号表示： 【清单04】整式的除法 ①单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 具体步骤：①系数相除：将两个单项式的数字系数相除，得到结果的系数。 ②同底数幂相除：对相同字母的幂进行减法运算 ③不同字母的处理：被除数独有的字母，直接保留在结果中。 ②多项式除以单项式：先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 符号表示： 【清单05】因式分解 ①因式分解的定义：把一个多项式化为几个 的形式，叫做多项式的因式分解。 ②公因式定义：多项式中的每一项都含有一个相同的因式，我们称之为公因式。 ③提取公因式法步骤：（1）确定公因式： a.系数：取各项系数的最大公约数 b.字母部分：取各项共有的字母，并选择最低指数 （2）提取公因式：将公因式提到括号外，原多项式每一项分别除以公因式，结果写在括号内。 ④公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 a.平方差公式： b.完全平方公式： c.立方和公式： d.立方差公式： ⑤十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。 【题型一】利用幂的运算判断式子是否正确 【例1】(2025·浙江省湖州市·三模)下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】(23-24八上·点福建福州第十九中学·期中)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】(24-25八上·辽宁丹东第十七中学·期中)下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】(24-25八上·福建泉州第六中学·期中)下列各式中：①；②；③；④；⑤，正确个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型二】利用幂的运算计算代数式的值 【例2】(24-25七下·江苏南京将军山中学·期中)若，，则的值是 ． 【变式2-1】(24-25八上·江苏无锡锡北片区·期中)若，，的值为 ． 【变式2-2】(24-25八上·内蒙古包头第二十九中学·期中)，，则 ． 【变式2-3】(24-25八上·内蒙古包头第三十五中学·期中)若，，则的值是 ． 【变式2-4】(24-25八上·甘肃天水麦积区·期中)已知，，求 (1)； (2)． 【题型三】已知代数式求字母（或代数式）的值 【例3】(24-25八下·黑龙江大庆庆新中学·期中)已知，则的值为 ． 【变式3-1】(24-25八上·吉林长春朝阳区长春力旺实验初级中学·期中)若，则的值等于 ． 【变式3-2】(23-24七下·江西九江外国语学校·期中)若m，n满足，则 ． 【变式3-3】(24-25八上·湖南邵阳城步苗族自治县十校联考·期中)计算： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【题型四】利用幂的运算表示代数式 【例4】(24-25八上·江苏徐州睢宁县·期中)若a、b是正整数，且满足，则a与b的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】(24-25八上·福建福州连江县·期中)若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】(24-25八上·河北廊坊固安县·期中)若，则m与n之间的关系为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】(24-25八上·陕西西安长安区·期中)已知，那么之间满足的等量关系是 ． 【题型五】幂的运算综合题（解答题） 【例5】(24-25八上·浙江杭州西湖区文理中学·期中)根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．请逆向运用幂的运算法则，解决以下问题： (1)若，，求的值； (2)若，求与的值． 【变式5-1】(24-25八上·浙江杭州开元中学·期中)在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【变式5-2】(24-25八上·安徽亳州蒙城县三义路中学·期中)按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 【变式5-3】(24-25八上·河南郑州新郑·期中)（1），，求的值； （2）若，，求． 【题型六】幂的运算中简便运算 【例6】(24-25八上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·期中)计算是（  ） A．8 B． C． D． 【变式6-1】计算的结果是（   ） A． B． C．3 D． 【变式6-2】(24-25·四川宜宾叙州区万菁初级中学·期中)计算： ． 【变式6-3】计算 ． 【题型七】整式的乘除混合运算 【例7】计算： (1)； (2)． 【变式7-1】(24-25八上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·期中)计算 (1) (2) (3) (4) 【变式7-2】(23-24八上·点福建福州第十九中学·期中)计算： (1) (2) 【变式7-3】(24-25八上·黑龙江绥化第四中学校·期中)计算： (1) (2) 【题型八】整式乘除中无关题型 【例8】(24-25八上·甘肃天水武山县百泉初级中学·期中)若与的乘积中不含和的项，求m、n的值． 【变式8-1】(24-25八上·四川成都石室天府中学·期中)关于x的代数式化简后不含的项和常数项． (1)分别求m、n的值； (2)求的值． 【变式8-2】(24-25八上·江西抚州金溪县实验中学·期中)已知将乘开的结果不含和项． (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【变式8-3】(24-25八上·湖南岳阳云溪区九校联考·期中)已知、均为常数，若的乘积既不含有二次项又不含有一次项，则的值是多少？ 【题型九】整式的乘除实际应用 【例9】(24-25八下·黑龙江大庆庆新中学·期中)小红家有一块L形的菜地，现要把L形的菜地按如图所示分成面积相等的两个梯形种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是，下底都是，高都是，请你帮小红算一算这块L形菜地的面积共有多少，并求出当，时，这块L形菜地的总面积． 【变式9-1】(24-25八上·陕西咸阳彬州公刘中学·期中)幸福小区有一块长方形空地，该小区物业计划在这块空地的两个角留边长相同的正方形地块修建两个鱼池，然后在剩余部分（阴影部分）铺上草坪，相应的长度如图所示． (1)用含，的代数式表示铺草坪的面积； (2)如果铺草坪每平方米的价格是元，那么当，时，铺这块草坪一共需要花费多少元？ 【变式9-2】(24-25七下·江苏泰州海陵区六校·期中)如图，某学校有一块长为，宽为的长方形土地，计划在阴影部分的区域进行绿化，中间修建一个边长为的正方形喷水池． (1)求绿化面积是多少平方米； (2)当，时，求绿化面积． 【变式9-3】(24-25八上·广东梅州五华县·期中)如图，某公园内有一块长为，宽为的长方形地块，计划在中间留一块长为、宽为bm的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化． (1)求绿化的面积； (2)若，，绿化成本为110元，则完成绿化共需要多少元？ 【题型十】判断是否能用乘法公式 【例10】(24-25八上·四川眉山东坡区思蒙镇初级中学·期中)下列各式中用平方差公式计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式10-1】(24-25八上·上海西延安中学·期中)下列各式不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】(24-25八上·山东菏泽牡丹区·期中)下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【变式10-3】(24-25七下·安徽合肥·期中)下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型十一】乘法公式与几何图形 【例11】(24-25八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中)如图所示，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】(24-25八上·上海西延安中学·期中)有两个正方形、，将放在的内部得图，将、并列放置后得图，如果图和图中阴影部分的面积分别为和，则正方形、的面积之和是 ． 【变式11-2】(24-25八上·浙江宁波慈溪中部区域·期中)如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，那么阴影部分的面积是 ． 【题型十二】乘法公式中相关计算 【例12】(24-25八上·上海西延安中学·期中)已知，那么 ． 【变式12-1】(23-24七上·湖南湘潭湘钢一中教育集团十二中校区·期中)已知 ． 【变式12-2】(24-25八上·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)若，，则 ． 【变式12-3】(24-25八上·江苏苏州中学园区校·期中)若，，则 ． 【题型十三】因式分解混合运算 【例13】(24-25八上·云南昆明三中、滇池中学·期中)分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式13-1】(24-25八上·上海西延安中学·期中)因式分解：． 【变式13-2】(23-24八上·四川乐山马边彝族自治县·期中)因式分解： (1)． (2)． 【变式13-3】(24-25八下·四川成都武侯区西川中学·期中)因式分解： (1)； (2)． 【题型十四】因式分解中整除问题 【例14】(24-25八下·江西上饶婺源县·期中)对于任意整数，多项式都是能被（ ）整数． A． B． C． D． 【变式14-1】(24-25八下·四川达州渠县临巴中学·期中)当m为自然数时，下列一定能整除的数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式14-2】(24-25八下·河南郑州高新区朗悦慧外国语中学·期中)对任意整数n，都能（    ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【题型十五】整式乘除中化简求值问题不化简直接进行求值 【例15】(24-25八上·辽宁沈阳沈北新区·期中)阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1984， 代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)分解因式； (2)若，求的最大值； 【变式15-1】(24-25八下·辽宁锦州实验学校·期中)阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1990， 代数式：的最小值是1990． 例如：分解因式： 解：原式 ． 根据材料用配方法解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)分解因式； (3)若，求的最大值； (4)当，为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【变式15-2】(24-25八下·四川达州通川区铁路中学·期中)阅读材料： 若一个整式等于整式与整式之积，则称整式和整式为整式的因式．如： ①， ∴和是的因式， ， ∴和是的因式； ②若是的一个因式，求常数a的值． 解：∵是的一个因式， ∴存在一个整式，使得， ∴当时，， ∴，解得． 解决问题： (1)若是的一个因式，则 ； (2)若是的一个因式，求的值． 【变式15-3】(24-25七下·浙江宁波海曙区储能学校·期中)如图，有若干张的边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的三种纸片． (1)如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，其中．请你将它们拼成一个大长方形（画出图示），并运用面积之间的关系，将多项式分解因式． (2)已知长方形②的周长为6，面积为1，求小正方形①与大正方形③的面积之和． 【题型一】整式乘除中化简求值问题不化简直接进行求值 【例1】(24-25八下·黑龙江大庆庆新中学·期中)先化简，再求值∶，其中，． 【变式1-1】(24-25八上·广西百色县级·期中)先化简，再求值：，其中． 【变式1-2】(24-25八上·宁夏银川唐徕中学南校区·期中)先化简，再求值：，其中，． 【变式1-3】(24-25八上·江苏南京玄武区南京外国语学校·期中)先化简，再求值，其中． 【变式1-4】(23-24八上·北京工业大学实验学校·期中)先化简，再求值：，其中，． 【变式1-5】(23-24八上·福建泉州第一中学·期中)先化简，再求值：，其中． 【题型二】求完全平方中的字母系数容易漏掉解 【例2】(24-25八上·河北秦皇岛海港区·期中)若是一个完全平方式，则m的值等于 ． 【变式2-1】(23-24八上·江西九江外国语学校·期中)若是一个完全平方式，那么m的值是 ． 【变式2-2】如果是一个完全平方式，那么k的值是 ． 【变式2-3】(23-24七下·辽宁丹东第七中学·期中)若是完全平方式，则m的值是 ． 【题型三】判定是否为因式分解时因式分解对象跟结果弄错 【例3】(23-24八上·四川成都锦江区·期中)下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】(24-25八上·四川成都七中英才学校·期中)下列由左边到右边的变形，是因式分解且正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】(23-24八上·四川乐山马边彝族自治县·期中)下列从左到右的变形，是因式分解的是(　　) A． B． C． D． 【变式3-3】(24-25八上·山东淄博张店区·期中)下列从左到右的等式变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【题型一】利用幂的运算中幂的乘方比较大小 ①化为同指数进行比较：例如，可以化为即为，同指数比较底数即可。 ②化为同底数进行比较：例如，，可以化为即为，同底数比较指数即可。 【例1】(24-25八上·广西贵港覃塘区·期中)已知，那么大小顺序为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】已知，，，则有（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】(23-24八上·湖南湘潭湘钢一中教育集团十二中校区·期中)已知，，，请将，，按照从小到大的顺序排列 ． 【变式1-3】(24-25八上·安徽六安舒城县仁峰实验学校·期中)阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【题型二】（x+p）（x+q）型多项式乘法 此题型主要解题方程是将（x+p）（x+q）利用多项式乘以多项式展开后跟原式进行对比，对应位置的系数相等即可求解 【例2】(24-25八上·四川成都崇州崇庆中学实验学校·期中)如果，那么m、n的值分别是（   ） A．，12 B．7，12 C．， D．7， 【变式2-1】(24-25八上·重庆大学城第三中学校·期中)若，则的值是（   ） A． B． C．5 D．7 【变式2-2】若，则 ， ． 【变式2-3】(24-25八上·安徽亳州涡阳县第八中学·期中)若，则 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的乘除（5知识&15题型&3易错&2方法清单） 【清单01】幂的运算 ①同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 符号表示： ②幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘 符号表示： ③积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 符号表示： ④同底数幂的除法：底数不变，指数相减 符号表示： 【清单02】整式的乘法 ①单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。 具体步骤：①系数相乘：将两个单项式的数字系数相乘，得到结果的系数； ②同底数幂相乘：将相同字母的指数相加； ③不同字母保留：无相同字母的项直接合并； ②单项式与多项式相乘：将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。 ③多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 符号表示： 【清单03】乘法公式 ①平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 符号表示： ②完全平方和（差）：两个数和（差）的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍 符号表示： 【清单04】整式的除法 ①单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 具体步骤：①系数相除：将两个单项式的数字系数相除，得到结果的系数。 ②同底数幂相除：对相同字母的幂进行减法运算 ③不同字母的处理：被除数独有的字母，直接保留在结果中。 ②多项式除以单项式：先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 符号表示： 【清单05】因式分解 ①因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。 ②公因式定义：多项式中的每一项都含有一个相同的因式，我们称之为公因式。 ③提取公因式法步骤：（1）确定公因式： a.系数：取各项系数的最大公约数 b.字母部分：取各项共有的字母，并选择最低指数 （2）提取公因式：将公因式提到括号外，原多项式每一项分别除以公因式，结果写在括号内。 ④公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 a.平方差公式： b.完全平方公式： c.立方和公式： d.立方差公式： ⑤十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。 【题型一】利用幂的运算判断式子是否正确 【例1】(2025·浙江省湖州市·三模)下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 利用合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法等运算法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，不是同类项，无法合并，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、 ，该选项错误，不符合题意； D、 ，该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】(23-24八上·点福建福州第十九中学·期中)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的除法，解题关键是掌握同底数幂的除法法则． 直接利用同底数幂的除法法则求解． 【详解】解：， 故选：B． 【变式1-2】(24-25八上·辽宁丹东第十七中学·期中)下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法． 分别根据积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法计算即可． 【详解】A． ，原计算错误 B． ，不是同类项，无法合并，原计算错误 C． ，原计算错误 D． ，原计算正确 故选：D 【变式1-3】(24-25八上·福建泉州第六中学·期中)下列各式中：①；②；③；④；⑤，正确个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方运算，熟记各自的运算法则是解本题的关键，根据运算法则逐一判断即可． 【详解】解：，正确； ，错误； ，错误； 与不是同类项，不能合并，错误； ，错误； 综上，正确的有①，共1个． 故选：A． 【题型二】利用幂的运算计算代数式的值 【例2】(24-25七下·江苏南京将军山中学·期中)若，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可． 【详解】解：当，时， ， 故答案为：． 【变式2-1】(24-25八上·江苏无锡锡北片区·期中)若，，的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查同底数幂的除法的逆运算，根据同底数幂的除法运算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：2． 【变式2-2】(24-25八上·内蒙古包头第二十九中学·期中)，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方，根据同底数幂相乘以及幂的乘方的运算法则将所求式子变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】(24-25八上·内蒙古包头第三十五中学·期中)若，，则的值是 ． 【答案】27 【分析】本题考查了同底数幂的乘除运算法则，解题的关键是将所求式子变形为与已知条件相关的形式，再代入求值． 先根据幂的运算法则，把变形为，再结合，将已知条件代入计算． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式2-4】(24-25八上·甘肃天水麦积区·期中)已知，，求 (1)； (2)． 【答案】(1)241 (2)5400 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得； （2）先根据同底数幂乘法的逆用可得，再根据幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 【题型三】已知代数式求字母（或代数式）的值 【例3】(24-25八下·黑龙江大庆庆新中学·期中)已知，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了幂的乘方逆用，同底数幂相乘，解一元一次方程，已知字母的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点．先逆用幂的乘方运算法则和同底数幂乘法运算法则进行计算，转化为关于待求字母的一元一次方程求解，再代入代数式求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴． 故答案为：4． 【变式3-1】(24-25八上·吉林长春朝阳区长春力旺实验初级中学·期中)若，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的变形，同底数幂乘法的运算法则，掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 由可得：，运用整体思想将代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式3-2】(23-24七下·江西九江外国语学校·期中)若m，n满足，则 ． 【答案】32 【分析】本题主要考查了同底数幂相除，幂的乘方的逆用， 先求出，再根据解答即可. 【详解】解：因为， 所以， 所以. 故答案为：32. 【变式3-3】(24-25八上·湖南邵阳城步苗族自治县十校联考·期中)计算： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)64 (2)16 【分析】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法，解题的关键是掌握幂的乘方及其逆运算、同底数幂的乘法法则． （1）将代入原式计算即可； （2）由，知，代入原式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ． ． 【题型四】利用幂的运算表示代数式 【例4】(24-25八上·江苏徐州睢宁县·期中)若a、b是正整数，且满足，则a与b的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键．根据已知等式可得，则． 【详解】解：∵， ， ， ，即， 故选：C． 【变式4-1】(24-25八上·福建福州连江县·期中)若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键． 根据已知等式可得，则． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：B． 【变式4-2】(24-25八上·河北廊坊固安县·期中)若，则m与n之间的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂除法运算，根据题意可得，进一步可得． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：D． 【变式4-3】(24-25八上·陕西西安长安区·期中)已知，那么之间满足的等量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，根据幂的乘方计算法则得到，再由题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型五】幂的运算综合题（解答题） 【例5】(24-25八上·浙江杭州西湖区文理中学·期中)根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．请逆向运用幂的运算法则，解决以下问题： (1)若，，求的值； (2)若，求与的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查幂的相关运算，涉及同底数幂的乘法及其逆运算，幂的乘方的逆运算，积的乘方，解方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，得，再代入求值即可； （2）利用同底数幂的乘法，幂的乘方的逆运算，积的乘方，将化简得，得出，，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，． 【变式5-1】(24-25八上·浙江杭州开元中学·期中)在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）由幂的乘方的逆运算法则得到，则，据此可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到，进一步可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-2】(24-25八上·安徽亳州蒙城县三义路中学·期中)按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 【答案】(1)64 (2)56 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用幂的乘方，同底数幂的乘法法则，整理，再将整体代入运算即可； （2）利用积的乘方，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】（1）解： 当， 则原式． （2）解： 当， 则原式． 【变式5-3】(24-25八上·河南郑州新郑·期中)（1），，求的值； （2）若，，求． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）化简，再将已知代入即可； （2）由，，可得，，求出、的值即可求解． 【详解】解：（1），， ∴ ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 【题型六】幂的运算中简便运算 【例6】(24-25八上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·期中)计算是（  ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，先整理原式，再结合积的乘方的逆运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式6-1】计算的结果是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，掌握积的乘方法则并能逆用是关键；把拆成，再逆用积的乘方即可求解． 【详解】解： ． 故选：B． 【变式6-2】(24-25·四川宜宾叙州区万菁初级中学·期中)计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将原式化为，再逆用积的乘方计算即可； 【详解】解：原式 ． 【变式6-3】计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方的逆用，掌握两个法则是关键；由原式可化为，再逆用积的乘方即可求解． 【详解】解： ． 故答案为： 【题型七】整式的乘除混合运算 【例7】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的四则混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先计算单项式乘多项式，再计算多项式除以单项式即可； （2）分别按照多项式乘多项式、单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式7-1】(24-25八上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·期中)计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方、单项式乘单项式、整式的四则混合运算法则等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据积的乘方、幂的乘方化简，然后再根据单项式乘单项式运算法则计算即可； （2）直接运用整式的四则混合运算法则计算即可； （3）直接运用整式的四则混合运算法则计算即可； （4）直接运用整式的四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式7-2】(23-24八上·点福建福州第十九中学·期中)计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，幂的运算： （1）先计算单项式乘多项式，再合并同类项； （2）利用乘法交换律及同底数幂乘法法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-3】(24-25八上·黑龙江绥化第四中学校·期中)计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟知单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型八】整式乘除中无关题型 【例8】(24-25八上·甘肃天水武山县百泉初级中学·期中)若与的乘积中不含和的项，求m、n的值． 【答案】的值为6，的值为3 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再根据含和的项的系数都等于0，据此求解即可得． 【详解】解： ， ∵与的乘积中不含和的项， ∴， 解得， 所以的值为6，的值为3． 【变式8-1】(24-25八上·四川成都石室天府中学·期中)关于x的代数式化简后不含的项和常数项． (1)分别求m、n的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查已知多项式乘积不含某项求字母的、积的乘方的逆运算、代数式求值，熟练掌握整式的四则混合运算法则，正确得到、的方程是解答的关键，尤其（2）中利用积的乘方的逆运算求解是关键． （1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含和常数项得出，，即可解答； （2）根据幂的运算法则得出，根据（1）中得出的和的值，即可解答． 【详解】（1）解： ∵不含的项和常数项 ∴，， ∴，； （2）解：， 由（1）知，，， ∴原式． 【变式8-2】(24-25八上·江西抚州金溪县实验中学·期中)已知将乘开的结果不含和项． (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、二元一次方程组等知识，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题关键． （1）先计算多项式乘以多项式，再根据结果中含和项的系数等于0建立方程组，解方程组即可得； （2）先计算多项式乘以多项式，再将的值代入计算即可得． 【详解】（1）解： ， ∵将乘开的结果不含和项， ∴，， 解得，． （2）解： ， 将，代入得：原式． 【变式8-3】(24-25八上·湖南岳阳云溪区九校联考·期中)已知、均为常数，若的乘积既不含有二次项又不含有一次项，则的值是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的积不含某项，完全平方公式，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握多项式乘多项式的计算法则．先根据多项式乘多项式的计算法则计算出，然后根据不含某一项，即这一项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵既不含x的二次项，也不含x的一次项， ∴， 解得， ∴． 【题型九】整式的乘除实际应用 【例9】(24-25八下·黑龙江大庆庆新中学·期中)小红家有一块L形的菜地，现要把L形的菜地按如图所示分成面积相等的两个梯形种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是，下底都是，高都是，请你帮小红算一算这块L形菜地的面积共有多少，并求出当，时，这块L形菜地的总面积． 【答案】， 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，多项式乘多项式与图形面积，解题关键是掌握多项式乘以多项式法则． 先列出算式，再利用多项式乘以多项式法则化简，再代入求值． 【详解】解：这块L形菜地的面积共有 当，时， 原式 ∴当，时，这块L形菜地的总面积为． 【变式9-1】(24-25八上·陕西咸阳彬州公刘中学·期中)幸福小区有一块长方形空地，该小区物业计划在这块空地的两个角留边长相同的正方形地块修建两个鱼池，然后在剩余部分（阴影部分）铺上草坪，相应的长度如图所示． (1)用含，的代数式表示铺草坪的面积； (2)如果铺草坪每平方米的价格是元，那么当，时，铺这块草坪一共需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)铺这块草坪一共需要花费元 【分析】此题考查了根据实际问题列代数式表示的能力，关键是能准确理解题意，并列式、化简． （1）运用长方形和正方形的面积公式进行列式、化简； （2）将，代入（2）题结果，再算出一共的花费． 【详解】（1）解：由题意得，铺草坪的面积为： ； （2）解：由题意得，当，时，铺这块草坪一共需要的总费用为： （元）， 当，时，铺这块草坪一共需要花费元． 【变式9-2】(24-25七下·江苏泰州海陵区六校·期中)如图，某学校有一块长为，宽为的长方形土地，计划在阴影部分的区域进行绿化，中间修建一个边长为的正方形喷水池． (1)求绿化面积是多少平方米； (2)当，时，求绿化面积． 【答案】(1)绿化面积为平方米 (2)绿化面积为平方米 【分析】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征以及多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． （1）根据，用代数式表示即可； （2）把，代入（1）中的代数式求值即可． 【详解】（1）解： ， 绿化面积为平方米； （2）解：当，时， （平方米）， 答：绿化面积为平方米． 【变式9-3】(24-25八上·广东梅州五华县·期中)如图，某公园内有一块长为，宽为的长方形地块，计划在中间留一块长为、宽为bm的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化． (1)求绿化的面积； (2)若，，绿化成本为110元，则完成绿化共需要多少元？ 【答案】(1) ． (2)20130元． 【分析】本题主要考查了整式的混合运算和代入求值，解决此题的关键是正确的计算， （1）根据矩形的面积等于长乘以宽，得到整式的混合运算，再计算即可得到答案； （2）分别代入求值即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得： 故绿化的面积为 ． （2）解：若，时， ∴（元）， 答：完成绿化共需要花费20130元． 【题型十】判断是否能用乘法公式 【例10】(24-25八上·四川眉山东坡区思蒙镇初级中学·期中)下列各式中用平方差公式计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用平方差公式计算，由平方差公式逐一判断即可． 【详解】解：A.，原选项计算错误，故不符合题意； B.，原选项不能用平方差公式计算，故不符合题意； C.，原选项计算正确，故符合题意； D.，原选项不能用平方差公式计算，故不符合题意； 故选：C． 【变式10-1】(24-25八上·上海西延安中学·期中)下列各式不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，熟知平方差公式的特征是解题的关键．平方差公式为，需满足两括号中有一项相同，另一项互为相反数，根据这个特征一一判断即可． 【详解】解：A、，满足a相同，与相反，可用平方差公式，结果为； B、可调整为满足y相同，与相反，可用平方差公式，结果为； C、可调整为满足相同，与相反，可用平方差公式，结果为； D、可调整为，两括号为同一二项式的相反数，结果为完全平方的负数，无法用平方差公式． 故选：D． 【变式10-2】(24-25八上·山东菏泽牡丹区·期中)下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查乘法公式的应用，包括平方差公式和完全平方公式，需判断各选项是否符合公式结构． 【详解】A、， 两括号中的项分别为和，既无相同项也无相反项，无法直接应用乘法公式，需逐项展开； B、， 将第二个括号提取负号，得：， 符合完全平方公式，可用乘法公式计算； C、， 第二个括号可整理为，但两括号中的项与无相同或相反项，无法直接应用乘法公式； D、 两括号中的项分别为和，无相同项或相反项，需逐项展开，无法直接应用乘法公式． 故选：B． 【变式10-3】(24-25七下·安徽合肥·期中)下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐一分析各选项的运算是否正确，利用单项式除法、平方差公式、积的乘方及完全平方公式进行判断．熟练掌握单项式除法、平方差公式、积的乘方及完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项A错误； B、，故选项B错误； C、，故选项C错误； D、，故选项D正确． 故答案为：D． 【题型十一】乘法公式与几何图形 【例11】(24-25八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中)如图所示，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，运用不同的方法表示阴影部分的面积是解题的关键． 将左右两边图形阴影部分面积表示出来，根据阴影面积相等即可作答． 【详解】解：左图可得阴影部分面积为：， 右图可得阴影部分面积为：， 所以， 故选D． 【变式11-1】(24-25八上·上海西延安中学·期中)有两个正方形、，将放在的内部得图，将、并列放置后得图，如果图和图中阴影部分的面积分别为和，则正方形、的面积之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是平方差公式与图形面积、多项式乘多项式与图形面积，解题关键是从图中提取出正确信息． 设正方形的边长为，正方形的边长为，得出，求出后可得、，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 依题得：， 得， 即， ， ，， ， ． 即正方形、的面积之和是． 故答案为：． 【变式11-2】(24-25八上·浙江宁波慈溪中部区域·期中)如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，那么阴影部分的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的变形是关键．阴影部分的面积就是两个三角形的面积之和，用、的代数式表示后，整体代入，即可． 【详解】解：如图，连接， ， ． 故答案为：24． 【题型十二】乘法公式中相关计算 【例12】(24-25八上·上海西延安中学·期中)已知，那么 ． 【答案】 【分析】将给定的多项式进行配方，转化为几个平方项相加等于的形式，再根据平方项的非负性求出、的关系，进而求出的值．本题主要考查了完全平方公式的应用以及平方数的非负性，熟练掌握完全平方公式，并能根据其结构特征对多项式进行配方，再结合平方数的非负性求解是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ，， 且， 解得，， ． 故答案为：． 【变式12-1】(23-24七上·湖南湘潭湘钢一中教育集团十二中校区·期中)已知 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的形式及用法是解题的关键．本题可根据平方差公式对进行变形，再将已知条件代入变形后的式子进行计算． 【详解】解：根据平方差公式， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式12-2】(24-25八上·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式将已知等式代入，进行计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：． 【变式12-3】(24-25八上·江苏苏州中学园区校·期中)若，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了代数式求值以及多项式乘以多项式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先通过，，求得，然后把，代入，即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， 把，代入， 即， 故答案为：； 【题型十三】因式分解混合运算 【例13】(24-25八上·云南昆明三中、滇池中学·期中)分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． （1）利用完全平方公式进行分解，即可解答； （2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答； （3）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答； （4）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式13-1】(24-25八上·上海西延安中学·期中)因式分解：． 【答案】 【分析】本题可将与分别看作与 ，这样就符合平方差公式的形式，然后对式子进行因式分解，最后再对分解后的式子进行化简．本题主要考查了平方差公式以及整式的运算，熟练掌握平方差公式，并能准确识别式子中对应的与 ，以及整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解： 【变式13-2】(23-24八上·四川乐山马边彝族自治县·期中)因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： 【变式13-3】(24-25八下·四川成都武侯区西川中学·期中)因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握提公因式法、运用公式法这两种因式分解的方法是解题的关键． 先根据单项式乘多项式法则计算，再利用完全平方公式分解因式即可； 先变形，再提公因式即可； 【详解】（1）解： ； （2） ． 【题型十四】因式分解中整除问题 【例14】(24-25八下·江西上饶婺源县·期中)对于任意整数，多项式都是能被（ ）整数． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，综合运用提取公因式和公式法进行因式分解成为解题的关键． 先将多项式因式分解，然后根据因式分解的结果判断即可． 【详解】解： ， 所以能被8整除． 故选B． 【变式14-1】(24-25八下·四川达州渠县临巴中学·期中)当m为自然数时，下列一定能整除的数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用．把原式利用平方差公式进行因式分解，可得无论取何自然数，恒为8的倍数，即可求解． 【详解】解： ∴无论取何自然数，恒为8的倍数， ∴一定能被8整除． 故选：D 【变式14-2】(24-25八下·河南郑州高新区朗悦慧外国语中学·期中)对任意整数n，都能（    ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式因式分解，根据平方差公式，分解因式后判断，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴故一定能被3整除， 故选：A． 【题型十五】整式乘除中化简求值问题不化简直接进行求值 【例15】(24-25八上·辽宁沈阳沈北新区·期中)阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1984， 代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)分解因式； (2)若，求的最大值； 【答案】(1) (2)1314 【分析】本题考查了因式分解，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题例进行配方，继而利用平方差公式因式分解即可； （2）根据题例进行配方，根据平方大于等于0的性质进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 的最大值1314． 【变式15-1】(24-25八下·辽宁锦州实验学校·期中)阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1990， 代数式：的最小值是1990． 例如：分解因式： 解：原式 ． 根据材料用配方法解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)分解因式； (3)若，求的最大值； (4)当，为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 (4)当，时，有最小值，最小值为 【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质和配方法的运用，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． （1）根据完全平方公式即可求解； （2）根据例题方法，根据完全平方公式与平方差公式，因式分解，即可求解． （3）模仿题目中的方法，用配方法求最大值即可； （4）模仿题目中的方法，用配方法求最小值即可； 【详解】（1）解：∵多项式是一个完全平方式 ∴， ∴ 故答案为：． （2） （3） ∵， ∴， ∴， 当时，y的最大值为； （4） ， 当，时，原式取最小值． ∴当，时，多项式有最小值． 【变式15-2】(24-25八下·四川达州通川区铁路中学·期中)阅读材料： 若一个整式等于整式与整式之积，则称整式和整式为整式的因式．如： ①， ∴和是的因式， ， ∴和是的因式； ②若是的一个因式，求常数a的值． 解：∵是的一个因式， ∴存在一个整式，使得， ∴当时，， ∴，解得． 解决问题： (1)若是的一个因式，则 ； (2)若是的一个因式，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的意义和算术平方根，主要考查学生的理解能力和阅读能力，题目比较好，运用类比的方法解决问题 （1）根据②中的例子，类比可得结论； （2）根据多项式乘法将等式展开有，根据当时，则①，当时，则②，联立可求常数a，b的值．可得结论． 【详解】（1）解：∵是的一个因式， ∴存在一个整式，使得， ∴当时，， ∴， 解得， 故答案为：3； （2）解：∵是的一个因式， ∴存在一个整式，使得， ∴当，即时，， 当时，，即， 当时，，即， 解得：，， ∴． 【变式15-3】(24-25七下·浙江宁波海曙区储能学校·期中)如图，有若干张的边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的三种纸片． (1)如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，其中．请你将它们拼成一个大长方形（画出图示），并运用面积之间的关系，将多项式分解因式． (2)已知长方形②的周长为6，面积为1，求小正方形①与大正方形③的面积之和． 【答案】(1)图见解析； (2)7 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式与几何图形的面积问题： （1）根据，用1个小正方形①，3个长方形和2个大正方形拼成1个大的长方形，根据长方形的面积分解因式即可； （2）根据题意得到，利用完全平方公式变形求出即可． 【详解】（1） 解：（1）如图， 拼成边为和的长方形 ∴； （2）由题意，得：， ∴； 故小正方形①与大正方形③的面积之和为7． 【题型一】整式乘除中化简求值问题不化简直接进行求值 【例1】(24-25八下·黑龙江大庆庆新中学·期中)先化简，再求值∶，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，多项式乘以多项式，解题关键是掌握多项式乘以多项式法则． 先利用多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解： 当，时， 原式 【变式1-1】(24-25八上·广西百色县级·期中)先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查的是整式的加减混合运算，化简求值，先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，最后把代入进行计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 【变式1-2】(24-25八上·宁夏银川唐徕中学南校区·期中)先化简，再求值：，其中，． 【答案】． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式1-3】(24-25八上·江苏南京玄武区南京外国语学校·期中)先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先利用多项式乘多项式法则化简得到，将代入计算即可． 【详解】解：， ， 原式． 【变式1-4】(23-24八上·北京工业大学实验学校·期中)先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值，根据整式的运算法则先化简，再将，代入式子中计算即可求出答案． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【变式1-5】(23-24八上·福建泉州第一中学·期中)先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据完全平方公式，平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【题型二】求完全平方中的字母系数容易漏掉解 【例2】(24-25八上·河北秦皇岛海港区·期中)若是一个完全平方式，则m的值等于 ． 【答案】或 【分析】根据完全平方公式的形式，确定中间项与首末两项的关系，从而求出的值．本题主要考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 【详解】解：∵是完全平方式，且， ∴， 即， 当时，； 当时，． 故答案为：或． 【变式2-1】(23-24八上·江西九江外国语学校·期中)若是一个完全平方式，那么m的值是 ． 【答案】21或 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据完全平方式的形式整理，再根据对应系数相等解答即可. 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 即， 解得或. 故答案为：21或. 【变式2-2】如果是一个完全平方式，那么k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式2-3】(23-24七下·辽宁丹东第七中学·期中)若是完全平方式，则m的值是 ． 【答案】7或 【分析】本题考查了完全平方式，掌握是解题的关键．因为首末两项是x和4的平方，所以中间项为加上或减去x和4的乘积的2倍，故，解得m的值即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：7或． 【题型三】判定是否为因式分解时因式分解对象跟结果弄错 【例3】(23-24八上·四川成都锦江区·期中)下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，逐一分析每个选项从左到右的变形是否将多项式化为几个整式积的形式．本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题的关键． 【详解】解：A、等式的右边不是多项式的乘积的形式，不是因式分解，此项不符合题意； B、等式的右边不是多项式的乘积的形式，不是因式分解，此项不符合题意； C、等式的右边不是乘积的形式，不是因式分解，此项不符合题意； D、等式的右边是乘积的形式，且左右两边相等，是因式分解，此项符合题意． 故选：D． 【变式3-1】(24-25八上·四川成都七中英才学校·期中)下列由左边到右边的变形，是因式分解且正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义，和提取公因式法因式分解，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，结合因式分解的定义和方法进行判断即可． 【详解】解：A中，是乘法运算，不是因式分解，则选项不符合题意， B中，中等号右边不是积的形式，不是因式分解，则选项不符合题意， C中，，故该选项因式分解错误，则选项不符合题意， D中，，是因式分解且正确，则选项符合题意， 故选：D． 【变式3-2】(23-24八上·四川乐山马边彝族自治县·期中)下列从左到右的变形，是因式分解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的概念，根据因式分解的特征逐项判断即可．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式． 【详解】A、是因式分解，运用平方差公式分解，符合因式分解的定义，本选项符合题意； B、不是因式分解，此选项是将前两个整式做了乘法，不符合因式分解的定义，本选项不合题意； C、不是因式分解，此选项是整式的乘法，不符合因式分解的定义，本选项不合题意； D、不是因式分解，等号右边几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义，本选项不合题意； 故选：A． 【变式3-3】(24-25八上·山东淄博张店区·期中)下列从左到右的等式变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的判定，理解定义是关键． 因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）． 【详解】解：A、，等号右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、，等号右边是积的形式，符合定义，符合题意； C、，等号右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、，等号右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：B ． 【题型一】利用幂的运算中幂的乘方比较大小 ①化为同指数进行比较：例如，可以化为即为，同指数比较底数即可。 ②化为同底数进行比较：例如，，可以化为即为，同底数比较指数即可。 【例1】(24-25八上·广西贵港覃塘区·期中)已知，那么大小顺序为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，解题的关键是熟记幂的乘方的公式，注意公式的逆用． 本题应先将、d化为指数都为2的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出结果． 【详解】解：，，，， ∵， ∴ ， 故选：D． 【变式1-1】已知，，，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方，先根据幂的乘方化成底指数相同的幂，再进行比较大小即可． 【详解】解：，，，， ∴， 故选：C． 【变式1-2】(23-24八上·湖南湘潭湘钢一中教育集团十二中校区·期中)已知，，，请将，，按照从小到大的顺序排列 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，由，，，然后根据即可求解，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：由，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】(24-25八上·安徽六安舒城县仁峰实验学校·期中)阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，据此可得答案； （2）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，， ，据此可得答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则可得，，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，， ，且， ∴， ∴； （3）解：，， 又∵， ∴． 【题型二】（x+p）（x+q）型多项式乘法 此题型主要解题方程是将（x+p）（x+q）利用多项式乘以多项式展开后跟原式进行对比，对应位置的系数相等即可求解 【例2】(24-25八上·四川成都崇州崇庆中学实验学校·期中)如果，那么m、n的值分别是（   ） A．，12 B．7，12 C．， D．7， 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据多项式乘多项式法则计算即可． 【详解】解：， 又， ，， 故选：A． 【变式2-1】(24-25八上·重庆大学城第三中学校·期中)若，则的值是（   ） A． B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据，再结合，得出，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B 【变式2-2】若，则 ， ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，首先根据多项式乘多项式的法则，用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项，求得结果后，即可得到P和q的值． 【详解】解：， ∴，， 故答案为：1，． 【变式2-3】(24-25八上·安徽亳州涡阳县第八中学·期中)若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．先利用多项式乘多项式法则计算等号的左边，再根据等式的性质确定p、q，然后再求解即可． 【详解】解： ， 又 ， ，， ， 故答案为：8． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $