专题03 全等三角形（期中知识清单）八年级数学上学期新教材华东师大版

专题03 全等三角形（4知识&18题型&3易错&4方法清单） 【清单01】命题、定义、定理和证明 ①命题的定义 （1）三角形的内角和等于180°； （2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； （3）两直线平行、同位角相等； （4）直角都相等。 它们都是判断某一件事情的语句，像这样表示 叫做命题。 许多命题是由 和 两部分组成的.条件是已知事项；结果是由已知事项推出的事项。这样的命题通常可以写成“ ”的形式。用“如果”开始的部分就是条件，用“那么”开始的部分就是结论。 ② 定义：陈述与客观事实或逻辑规则一致，能够被证明为正确的命题。 ③ 定义：陈述与事实或逻辑矛盾，可被证伪的命题。 ④例如，我们用“在同一平面内不相交的两条直线”来说明“平行线”所包含的意义，这样的语句叫做这次名词的 。 ⑤数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做 。 ⑥根据条件、定义及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做 。 【清单02】全等三角形的判定 ①全等三角形的判定定理1：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“ ”或“ ” 如图1所示 符号表示：在△ABC和△EFD中，若，则△ABC≌△EFD（SAS） ②全等三角形的判定定理2：两角及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“ ”或“ ” 如图1所示，符号表示在△ABC和△EFD中，若，则△ABC≌△EFD（ASA） ③全等三角形的判定定理3：两角及其两角的任意一对边相等的两个三角形全等，简写为“ ”或“ ” 如图1所示，符号表示在△ABC和△EFD中，若，则△ABC≌△EFD（AAS） ④全等三角形的判定定理4：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“ ”或“ ” 如图1所示，符号表示在△ABC和△EFD中，若，则△ABC≌△EFD（SSS） ④全等三角形的判定定理5：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“ ”或“ ” 如图2所示 符号表示：在Rt△ABC和Rt△EFD中，若，则△ABC≌△EFD（HL） 【清单03】等腰三角形 ①等腰三角形的定义：有 的三角形叫做等腰三角形。如图3所示 等腰三角形中，相等的两边叫做 ，另一边叫做 ，两腰的夹角叫做 ，腰和底边的夹角叫做 。 ②等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等，简写成“ ” ③等腰三角形的性质定理2：等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合。简写成“ ” ④ 的三角形叫做等边三角形。等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60° ⑤等腰三角形的判定1：有两个角相等的三角形叫做等腰三角形。简写为“ ” ⑥等边三角形的判定1：三个角都 的三角形是等边三角形。 ⑦等边三角形的判定2：有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形。 【清单04】逆命题和逆定理 ①在两个命题中，如果第一个命题的 是第二个命题的 ，而第二个命题的 是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做 。如果把其中一个命题叫做 ，那么另一个命题就叫做它的 。 ②如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定义叫做 ，其中的一个定理叫做另一个定理的 。 ③线段垂直平分线的性质定理： 。 ④线段垂直平分线的判定定理： 。 ⑤角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 ⑥角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 【题型一】判断命题的真假 【例1】下列说法错误的是（    ） A．判断命题的真假需要证明 B．举反例是一种证明的方法 C．证明假命题举一个反例即可 D．证明真命题举一个成立的例子即可 【变式1-1】(24-25八上·广西桂林宝贤中学·期中)下列命题中的假命题是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等，两直线平行 【变式1-2】(24-25八上·湖南怀化洪江实验中学·期中)下列命题中，真命题是（   ） A．同位角相等 B．邻补角相等 C．等角的余角互余 D．对顶角相等 【变式1-3】(24-25八上·湖南张家界桑植县·期中)下列命题中，是真命题的是（   ） A．有一个角对应相等的两个等腰三角形全等 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．直角的补角仍然是直角 D．同旁内角互补 【题型二】全等三角形的性质相关求解 【例2】如图，，点在边上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】(23-24八上·河南安阳第十中学、七中、十一中等十校联考·期中)如图，，，在同一直线上，且，，与，与是对应点，，则（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【变式2-2】(23-24八上·河南驻马店泌阳县·期中)如图，已知，添加下列条件，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】(24-25八上·上海西延安中学·期中)如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 ． 【变式2-4】(24-25八上·江苏无锡经开区·期中)如图，交于点F，则的度数是 °． 【题型三】添加一个条件使得三角形全等 【例3】如图，已知，，要说明，若以“”为依据，还需添加的一个条件为 ． 【变式3-1】(24-25八上·河南安阳第十中学、七中、十一中等十校联考·期中)如图，已知，请你添加一个条件，使，你添加的条件是 （填一个即可） 【变式3-2】(24-25八上·福建泉州第六中学·期中)已知：如图，，，要使，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理合适的是（   ） A． B． C． D． 【题型四】破碎玻璃修复问题 【例4】如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（　　）去配 A．① B．② C．③ D．①和② 【变式4-1】(24-25八下·上海青浦区实验中学·期中)如图，小明不慎把三角形玻璃打碎成四块，他只要带哪一块去即可定制出和原来一样的三角形玻璃？（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式4-1】一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（　　）    A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、2或2、3去就可以了 C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、4或2、3或3、4去均可 【变式4-2】(24-25八上·北京京源学校·期中)小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第 块去，这利用了三角形全等中的 原理． 【题型五】利用全等三角形的判定进行简单证明 【例5】如图，E、C是上两点，且，，，猜想与的关系，并证明你的猜想． 【变式5-1】(24-25八上·甘肃张掖山丹县·期中)如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 【变式5-2】已知，如图，为的高，E为上一点，交于F，且有，，求证： (1)； (2)． 【变式5-3】(24-25八下·黑龙江大庆庆新中学·期中)如图，平分，且，试说明∶ (1)； (2)． 【题型六】全等三角形的性质与判定综合求角度 【例6】如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】(24-25八上·陕西渭南富平县·期中)如图，在中，平分交于点，，过点作交于点，延长至点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在中，，点D在上，点F在上，于点E，，，若，则 的度数为 ． 【变式6-3】(24-25八上·辽宁鞍山立山区·期中)如图，在中，，点为边上一点，，，则 ． 【题型七】全等三角形的性质与判定综合求线段长度 【例7】如图，，则 ． 【变式7-1】如图，，，，于D，，，则 ． 【变式7-2】(24-25八上·辽宁朝阳北票·期末)如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ． 【变式7-3】(24-25八上·四川成都武侯区西川实验学校·期中)如图，若，，，则的长为 ． 【题型八】全等三角形中的实际应用 【例8】茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知，，，其中的周长为，，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为 cm． 【变式8-1】(24-25八上·辽宁鞍山立山区·期中)如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为 ． 【变式8-2】(24-25八上·四川成都石室天府中学·期中)如图，为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，测得的长是15米，则A，B两点间的距离为 米． 【变式8-3】(24-25八下·重庆巫山县高唐初级中学·期中)如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，米，水平距离米，则点C与点B的高度差为 米． 【题型九】全等三角形的性质与判定综合（基础题） 【例9】如图，，点D在边上， 和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【变式9-1】如图，，是的高线，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【变式9-2】(24-25八上·广西防城港防城区·期中)如图，在和中，，E是的中点，，垂足为F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式9-3】(24-25八上·湖南衡阳衡山县·期末)如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【题型十】全等三角形中尺规作图问题 【例10】如图，点、在的两边上，且． (1)请按下列语句用直尺和圆规作图：作，垂足为，的平分线交的延长线于点，连接不写作法，保留作图痕迹 (2)作图后，该图中有 对全等三角形． 【变式10-1】(23-24八上·河北石家庄外国语教育集团·期中)作图题： 如图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，点是图的一个格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图中画，使； (2)在图中画，使； (3)在图中画，使． 【变式10-2】(24-25八上·吉林长春朝阳区长春新区北湖明达学校·期末)图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形． 要求： (1)三角形的三个顶点都在格点上． (2)与全等，且位置不同． 【变式10-3】(24-25八上·浙江宁波海曙区·期中)如图，在方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正方形的边长为 (1)在图甲中画一个面积为8的等腰三角形； (2)在图乙中画一个三角形与全等，且有一条公共边． 【题型十一】全等三角形的性质与判定综合（培优题） 【例11】在中，，点在边上，连接，． (1)如图①，求证：为等边三角形； (2)如图②，点在边上，连接交于点，若，求的度数． 【变式11-1】(23-24八上·点福建福州第十九中学·期中)在等边中，点E是上的动点，点E与点A，B不重合，点D在的延长线上，且． (1)如图1，若点E是的中点，求证：． (2)如图2，若 E不是的中点，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与的数量关系，若成立，请说明理由． 【变式11-2】如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点F，连接交于点G． (1)求证：G为中点； (2)若，求的度数． 【题型十二】全等三角形综合之动点问题 【例12】如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动（   ）秒时，与全等．(注：点E与A不重合) A．4或12 B．12或16 C．4或16 D．4或12或16 【变式12-1】(24-25七下·河北保定第十七中学·期中)如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为秒，连接，．当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式12-2】(24-25八下·广西百色·期末)如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)　　．（用的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以 秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式12-3】(24-25八上·上海崇明区正大中学，东门中学，实验中学·期中)如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 【题型十三】利用等腰三角形的性质和判定求角度 【例13】若等腰三角形的顶角为，则它的底角度数为（　　） A． B．或 C．或 D． 【变式13-1】(23-24八·江苏无锡·期中)如图，四边形中，，点B关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】(24-25九·浙江杭州西湖区西溪中学·期中)如图，将纸片绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】(24-25八上·广东珠海文园中学（集团）·期中)如图，在中，点在上，，，将沿着翻折得到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型十四】利用等腰三角形的性质和判定求线段长度 【例14】如图，是的角平分线，过点作，分别交及的外角的平分线于点，．若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式14-1】(24-25八上·湖南吉首第七初级中学·期中)如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若的周长为，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【变式14-2】(24-25八上·安徽淮南田家庵区·期末)如图，在中，是高和的交点，，则线段的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式14-3】(24-25八下·贵州贵阳观山湖区远大中学·期中)如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型十五】垂直平分线的性质与判定相关求解 【例15】如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】(24-25八下·江西景德镇乐平·期中)如图，在中，为内一点，过点的直线分别交于点，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式15-2】(24-25八上·河北石家庄第十七中学·期中)如图，在中，是的垂直平分线， 的周长为13，的周长为（　　） A．16 B．13 C．19 D．23 【变式15-3】(25-26八·期中数学试卷·期中)如图，在等边三角形中，是边上的高，E是上一点．若，则 度． 【题型十六】角平分线的性质与判定相关求解 【例16】如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接，，若，则的长为 ． 【变式16-1】(24-25八上·江苏南通如皋·期中)如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，的周长为10，，的面积是7，则的面积是 ． 【变式16-2】(25-26八上·广东珠海香洲区·开学考)如图，的外角和的平分线相交于点F，连接．若，则 ． 【变式16-3】(24-25八上·辽宁鞍山立山区·期中)如图，是的平分线，于点E，，，，则的长是 ． 【题型十七】互逆命题和互逆定理 【例17】下列命题的逆命题成立的是（   ） A．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．如果两个角是直角，那么它们相等 D．等边三角形是锐角三角形 【变式17-1】(23-24八上·广西桂林宝贤中学·期中)下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．若，则 D．若，则 【变式17-2】(24-25八下·甘肃庆阳镇原县·期中)下列说法中正确的是（   ） A．命题一定有逆命题 B．所有定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是真命题 【变式17-3】(24-25八下·山西运城稷山县·期中)下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补． B．五边形是多边形 C．如果，，则． D．两个全等三角形的面积相等 【题型十八】垂直平分线和角平分线综合 【例18】已知，平分． (1)如图①，若，，求证：平分； (2)如图②，若，求证：． 【变式18-1】(24-25七下·陕西咸阳永寿县蒿店中学·期中)【问题背景】 如图，与均为等腰直角三角形，，，，点在上，过点作，交的延长线于点． 【问题解决】 （1）如图1，与相等吗？为什么？ （2）如图1，若，求四边形的面积； 【问题拓展】 （3）如图2，过点作于点，若，求的长度． 【变式18-2】(23-24八上·河南安阳第十中学、七中、十一中等十校联考·期中)如图，、均是的两边，的垂直平分线交的垂直平分线于点． (1)若的周长为，求的长． (2)若，求的度数． (3)若、是线段的三等分点（点在点的左侧），直接判断的形状． 【变式18-3】(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【题型一】混淆全等三角形的判定方法“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”导致依据错误 【例1】工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】(24-25八上·江苏泰州泰兴·期末)如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】(24-25八·新疆伊犁哈萨克巩留县第二中学·期中)如图，将两根钢条 、的中点O连在一起，使 、可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出的长等于内槽宽；那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【变式1-3】(24-25八上·河南新乡七中·期末)如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 【题型二】等腰三角形的中线相关求解中得出结果后没有检验是否能构成三角形错误 【例2】已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2-1】在等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为15或12两个部分，则该等腰三角形的底边长等于 ． 【变式2-2】(24-25八下·山西运城临猗县部分学校·期中)如图，等腰中，，为腰的中线，将的周长分成长和的两段，则等腰的腰长为 ． 【题型三】混淆垂直平分线和角平分线与尺规作图的步骤 【例3】如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 【变式3-1】如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】(24-25九上·辽宁鞍山铁西区·期中)如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】(24-25八下·四川成都青羊区树德中学·期中)如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，连接，分别与边相交于点D，．若，的周长为18，则的周长为（   ） A．20 B．24 C．25 D．30 【题型一】辅助线之连接两点构造全等 常见的两种模型如图所示 ①如图1所示，连接AC，再结合已知条件可证的△ABC≌△CDA ②如图2所示，连接OC，再结合已知条件可证的△AOC≌△COB 【例1】如图：△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE＝3，AC＝6，则AD的长为（　　） A．3 B．6 C．9 D．4 【变式1-1】(24-25八上·江苏如皋外国语初级中学·期中)如图，已知，，与交于点D，则对于下列结论：①；②；③D在的平分线上．其中正确的是 （    ） A．① B．② C．①和② D．①②③ 【变式1-2】如图，在中，，于点，交于点．若，，，则 ． 【题型二】辅助线之倍长中线法证明全等 在△ABC中，D为AC的中点 如图所示，延长BD至点E，使得BD=DE，连接EC 【例2】如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2-1】(24-25八上·广东广州番禺区桥兴中学·期中)如图，已知在中．，，，连接，则的取值范围是 ． 【变式2-2】(24-25八上·重庆石柱县第一初级中学·期中)如图，在中，平分，E为的中点，．求证：． 【变式2-3】(24-25八上·北京三帆中学·期中)老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长中线至点Q，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系，可得． 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： (1)直接写出的取值范围是___________； (2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明． 【题型三】辅助线之旋转模型证明全等 模型一：遇60°旋转60°，造等边三角形 如图所示，将△ABP绕点A旋转60°至△ACP1，连接PP1，可证得△APP1是等边三角形 模型二：遇90°旋转90°，造等腰三角形 如图所示，将△ABP绕点B旋转90°至△CBP1，连接PP1，可证得△PBP1是等腰三角形 【例3】如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式3-1】(24-25八上·山东济南章丘区·期末)和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【变式3-2】(24-25八上·贵州黔东南苗族侗族·期末)【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 【变式3-3】(23-24八上·贵州遵义·期末)在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【题型四】辅助线之垂线模型证明全等 常考模型：一线三垂直模型 如图所示，AD⊥DB，CE⊥BE，△ABC是直角三角形，可证得△ADB≌△BEC 【例4】(1)如图①，点A是线段上一点，，，，，求证：； (2)如图②，若点A在直线上，（1）中其他条件不变，有什么数量关系？并证明． 【变式4-1】(24-25八上·上海曹杨第二中学附属实验中学·月考)某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【变式4-2】(24-25八上·河南郑州外国语中学、枫杨外国语、朗悦慧外国语等联考·期中)【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【变式4-3】(24-25八上·湖南长沙宁乡六校联考·期中)（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题：如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，直线PQ经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若、，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时．求此时的值．（直接写出结果） 1 / 99 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形（4知识&18题型&3易错&4方法清单） 【清单01】命题、定义、定理和证明 ①命题的定义 （1）三角形的内角和等于180°； （2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； （3）两直线平行、同位角相等； （4）直角都相等。 它们都是判断某一件事情的语句，像这样表示判断的语句叫做命题。 许多命题是由条件和结论两部分组成的.条件是已知事项；结果是由已知事项推出的事项。这样的命题通常可以写成“如果......，那么......”的形式。用“如果”开始的部分就是条件，用“那么”开始的部分就是结论。 ②真命题定义：陈述与客观事实或逻辑规则一致，能够被证明为正确的命题。 ③假命题定义：陈述与事实或逻辑矛盾，可被证伪的命题。 ④例如，我们用“在同一平面内不相交的两条直线”来说明“平行线”所包含的意义，这样的语句叫做这次名词的定义。 ⑤数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。 ⑥根据条件、定义及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。 【清单02】全等三角形的判定 ①全等三角形的判定定理1：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS” 如图1所示 符号表示：在△ABC和△EFD中，若，则△ABC≌△EFD（SAS） ②全等三角形的判定定理2：两角及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA” 如图1所示，符号表示在△ABC和△EFD中，若，则△ABC≌△EFD（ASA） ③全等三角形的判定定理3：两角及其两角的任意一对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS” 如图1所示，符号表示在△ABC和△EFD中，若，则△ABC≌△EFD（AAS） ④全等三角形的判定定理4：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS” 如图1所示，符号表示在△ABC和△EFD中，若，则△ABC≌△EFD（SSS） ④全等三角形的判定定理5：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或“HL” 如图2所示 符号表示：在Rt△ABC和Rt△EFD中，若，则△ABC≌△EFD（HL） 【清单03】等腰三角形 ①等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。如图3所示 等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 ②等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角” ③等腰三角形的性质定理2：等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合。简写成“等腰三角形的三线合一” ④三条边都相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60° ⑤等腰三角形的判定1：有两个角相等的三角形叫做等腰三角形。简写为“等角对等比” ⑥等边三角形的判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 ⑦等边三角形的判定2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 【清单04】逆命题和逆定理 ①在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第二个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。 ②如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定义叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。 ③线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 ④线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 ⑤角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 ⑥角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 【题型一】判断命题的真假 【例1】下列说法错误的是（    ） A．判断命题的真假需要证明 B．举反例是一种证明的方法 C．证明假命题举一个反例即可 D．证明真命题举一个成立的例子即可 【答案】D 【详解】本题考查命题的真假判断及证明方法，需逐一分析各选项的正确性，熟练掌握命题相关知识点是解此题的关键． 【分析】解：A、判断命题的真假需要证明：无论是真命题还是假命题，均需通过逻辑推理或举反例进行验证，而举反例本身属于证明方法的一种，故原说法正确，不符合题意； B、举反例是一种证明的方法：举反例是证明命题为假的常用方法，属于反证法的一种形式，故原说法正确，不符合题意； C、证明假命题举一个反例即可：若命题为假，存在至少一个反例，举出即可证明其不成立，故原说法正确，不符合题意； D、证明真命题举一个成立的例子即可：真命题需满足所有情况均成立，仅举一个特例无法保证普遍性，例如，命题“所有偶数都是4的倍数”中，4和8符合条件，但2不符合，说明单举例子不能证明命题为真，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】(24-25八上·广西桂林宝贤中学·期中)下列命题中的假命题是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理及对顶角的性质逐一判断即可，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、同位角相等，两直线平行：这是平行线的判定定理之一，正确，故不符合题意； B、内错角相等，两直线平行：这是平行线的判定定理之一，正确，故不符合题意； C、同旁内角互补，两直线平行：这是平行线的判定定理之一，正确，故不符合题意； D、对顶角相等，两直线平行：对顶角相等是几何性质，但该性质与两直线是否平行无关，例如，两条相交直线形成的对顶角相等，但两直线不平行，因此命题的条件与结论无必然联系，是假命题，故符合题意； 故选：D． 【变式1-2】(24-25八上·湖南怀化洪江实验中学·期中)下列命题中，真命题是（   ） A．同位角相等 B．邻补角相等 C．等角的余角互余 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】此题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．根据平行线的性质，邻补角的定义，余角的性质，对顶角的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题； B．邻补角互补，不一定相等，故原命题是假命题； C．等角的余角相等，故原命题是假命题； D．对顶角相等，是假命题； 故选D． 【变式1-3】(24-25八上·湖南张家界桑植县·期中)下列命题中，是真命题的是（   ） A．有一个角对应相等的两个等腰三角形全等 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．直角的补角仍然是直角 D．同旁内角互补 【答案】C 【分析】本题主要考查了判断命题真假，全等三角形的判定，平行线的性质，补角的定义等知识点，熟练掌握真假命题的判断方法是解题的关键：要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明），要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 根据全等三角形的判定方法，平行线的性质，补角的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 有一个角对应相等的两个等腰三角形不一定全等，故本选项命题是假命题，选项不符合题意； B. 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，选项不符合题意； C. 直角的补角仍然是直角，故本选项命题是真命题，选项符合题意； D. 两直线平行，同旁内角互补，故本选项命题是假命题，选项不符合题意； 故选：． 【题型二】全等三角形的性质相关求解 【例2】如图，，点在边上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质推出，由三角形的外角性质得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式2-1】(23-24八上·河南安阳第十中学、七中、十一中等十校联考·期中)如图，，，在同一直线上，且，，与，与是对应点，，则（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】B 【分析】此题考查全等三角形的性质，根据三角形全等得到，，由此求出即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-2】(23-24八上·河南驻马店泌阳县·期中)如图，已知，添加下列条件，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 根据全等三角形的判定：，可得答案． 【详解】解：由题意得，， A、添加不能判定三角形全等，符合题意； B、在与中， ， ，不符合题意； C、在与中， ， ，不符合题意； D、在与中， ， ，不符合题意； 故选：A． 【变式2-3】(24-25八上·上海西延安中学·期中)如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，根据，得出，，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：20． 【变式2-4】(24-25八上·江苏无锡经开区·期中)如图，交于点F，则的度数是 °． 【答案】50 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的对应角相等，三角形的外角等于两个不相邻的内角和是解题关键．设与交于点O，根据全等三角形的性质可知，结合题意即得出，最后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点O， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：50． 【题型三】添加一个条件使得三角形全等 【例3】如图，已知，，要说明，若以“”为依据，还需添加的一个条件为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 分析由证明所需的条件，结合已知，即可得需要添加的条件． 【详解】 解：还需添加的一个条件为或，理由如下： 添加时， 在和中， ， ∴， 添加时， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 故答案为：或． 【变式3-1】(24-25八上·河南安阳第十中学、七中、十一中等十校联考·期中)如图，已知，请你添加一个条件，使，你添加的条件是 （填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 利用全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】(24-25八上·福建泉州第六中学·期中)已知：如图，，，要使，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理合适的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，解题的关键是注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．利用全等三角形的判定方法分别进行分析即可． 【详解】解：A、添加条件判定用的判定方法是，正确； B、添加条件不能判定，错误； C、添加条件判定用的判定方法是，错误； D、添加条件判定用的判定方法是，错误． 故选：A． 【题型四】破碎玻璃修复问题 【例4】如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（　　）去配 A．① B．② C．③ D．①和② 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定，已知两角及其夹边，就可以确定一个三角形， 本题考查了全等三角形的判定方法：， 要求学生要对常用的几种方法熟练掌握 【详解】解：第③块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块不能配一块与原来完全一样的； 第②块只保留了原三角形的部分边，根据这两块中的任意一块均不能配一块与原来完全一样的； 第①块不仅保留了原三角形的两个角还保留了一边，则可根据来配一块与原来一样的玻璃. 故选A． 【变式4-1】(24-25八下·上海青浦区实验中学·期中)如图，小明不慎把三角形玻璃打碎成四块，他只要带哪一块去即可定制出和原来一样的三角形玻璃？（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理进行判定即可． 【详解】解：①只能确定一个角，不能确定全等三角形； ②边和角都不能确定，故不能确定全等三角形； ③能确定两个角及其夹边，能确定全等三角形； ④边和角都不能确定，故不能确定全等三角形； 根据全等三角形的判定定理，进行判定即可定制出和原来一样的三角形玻璃． 故选C． 【变式4-1】一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（　　）    A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、2或2、3去就可以了 C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、4或2、3或3、4去均可 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形判定的应用；确定一个三角形的大小、形状，可以用全等三角形的几种判定方法．做题时要根据实际问题找条件．带1、4可以用“角边角”确定三角形；带3、4也可以用“角边角”确定三角形． 【详解】解：带3、4可以用“角边角”确定三角形， 带1、4可以用“角边角”确定三角形， 故选：C． 【变式4-2】(24-25八上·北京京源学校·期中)小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第 块去，这利用了三角形全等中的 原理． 【答案】 2 角边角 【分析】本题考查了全等三角形的应用．根据全等三角形的判断方法解答． 【详解】解：由图可知，带第2块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃． 故答案为：2；角边角． 【题型五】利用全等三角形的判定进行简单证明 【例5】如图，E、C是上两点，且，，，猜想与的关系，并证明你的猜想． 【答案】且，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键； 由E、C是BF上两点，，推导出，由，得到，而，即可根据证明，得，，即可得到． 【详解】且，理由如下： E、C是BF上两点，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 且． 【变式5-1】(24-25八上·甘肃张掖山丹县·期中)如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定有关知识，根据等式的性质可得，运用证明与全等，得到，利用同位角相等，两直线平行得到结论． 【详解】证明：， ， ， 在与中， ， ， ． 【变式5-2】已知，如图，为的高，E为上一点，交于F，且有，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余． （1）通过“”证明即可． （2）因为，易得，结合，由锐角互余的三角形是直角三角形，即可作答． 【详解】（1）证明：∵为的高， ∴． 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴，即． ∵在中，， ∴在中，， ∴， ∴． 【变式5-3】(24-25八下·黑龙江大庆庆新中学·期中)如图，平分，且，试说明∶ (1)； (2)． 【答案】(1)过程见解析 (2)过程见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义， （1）根据角平分线的定义可得，说明得，，再利用即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质得，再根据，即可得出结论； 掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）由（1）知：， ∴， 又∵， ∴， 即． 【题型六】全等三角形的性质与判定综合求角度 【例6】如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识点，根据三角形的知识求出相应各个角的度数是解题的关键． 根据三角形的内角和求出，再求出，然后通过证明、并利用全等三角形的性质，再利用外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴. 故选：B． 【变式6-1】(24-25八上·陕西渭南富平县·期中)如图，在中，平分交于点，，过点作交于点，延长至点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，平行线的性质． 根据题意证明得出，根据邻补角互补得出,根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式6-2】如图，在中，，点D在上，点F在上，于点E，，，若，则 的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证是解题的关键． 通过证明，可得，得出，根据即可解题． 【详解】解：∵，， ∴，， 在和中， ， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式6-3】(24-25八上·辽宁鞍山立山区·期中)如图，在中，，点为边上一点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，由可得，可得，由平角的性质和三角形内角和定理可得，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型七】全等三角形的性质与判定综合求线段长度 【例7】如图，，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 先根据“角角边”证明，可得，再根据得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. 故答案为：6. 【变式7-1】如图，，，，于D，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，根据证明，可得，再结合得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式7-2】(24-25八上·辽宁朝阳北票·期末)如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ． 【答案】4.1 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算即可，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ， ∵， ， ∵， ， ，， ， 故答案为：4.1． 【变式7-3】(24-25八上·四川成都武侯区西川实验学校·期中)如图，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型八】全等三角形中的实际应用 【例8】茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知，，，其中的周长为，，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为 cm． 【答案】45 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，首先证明，可得，即可知与的周长相等，从而得整个金属框架所需这种材料的长度为的周长的2倍减去长度即可． 【详解】解： ， ， 即， 在和中， ， ， ， 的周长为，， 制成整个金属框架所需这种材料的长度为， 故答案为：45． 【变式8-1】(24-25八上·辽宁鞍山立山区·期中)如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，根据O是的中点，得到，，再证明，即可得出答案，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：∵O是的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式8-2】(24-25八上·四川成都石室天府中学·期中)如图，为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，测得的长是15米，则A，B两点间的距离为 米． 【答案】15 【分析】本题考查全等三角形的应用，证明得到即可解答． 【详解】解：由题意，，， 在和中， ， ∴， ∴． ∵的长是15米， ∴A，B两点间的距离为15米． 故答案为：15． 【变式8-3】(24-25八下·重庆巫山县高唐初级中学·期中)如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，米，水平距离米，则点C与点B的高度差为 米． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质. 作于F，于G，根据可证，根据全等三角形的性质可得米，根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差． 【详解】解：作于F，于G， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴米， 则（米）． 故答案为：． 【题型九】全等三角形的性质与判定综合（基础题） 【例9】如图，，点D在边上， 和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据，可得； （2）由（1）可知：，结合，等量代换可得，进而可证，进而可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）证明：由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴，                                     在和中， ， ∴． 【变式9-1】如图，，是的高线，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)的面积为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先求得，再证明，即可得出结论； （2）根据，得到，求出，，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式9-2】(24-25八上·广西防城港防城区·期中)如图，在和中，，E是的中点，，垂足为F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）先证，进而证明，可得； （2）由，得．再结合E是的中点，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ． 在和中， ， ． （2）解：由，得． E为的中点， ∴． ， ， ． 【变式9-3】(24-25八上·湖南衡阳衡山县·期末)如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； （1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， 与的周长和为 ． 【题型十】全等三角形中尺规作图问题 【例10】如图，点、在的两边上，且． (1)请按下列语句用直尺和圆规作图：作，垂足为，的平分线交的延长线于点，连接不写作法，保留作图痕迹 (2)作图后，该图中有 对全等三角形． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了基本作图，角平分线的作法，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，是基础题，难度不大． （1）作的平分线，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得，以点为圆心，以任意长为半径画弧，与、分别相交，再以交点为圆心，以大于两交点之间距离的一半为半径画弧，相交于一点，然后作出角平分线，作线段即可； （2）根据对称性找出全等三角形． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：根据对称性，，，，共3对． 故答案为：3 【变式10-1】(23-24八上·河北石家庄外国语教育集团·期中)作图题： 如图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，点是图的一个格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图中画，使； (2)在图中画，使； (3)在图中画，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（）根据网格线的特点及轴对称的性质作图； （）根据网格线的特点及旋转的性质作图； （）根据网格线的特点及平移的性质作图； 此题考查了作图的应用，掌握网格线的特点及全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）如图： ∴即为所求； （2）如图： ∴即为所求； （3）如图： ∴即为所求． 【变式10-2】(24-25八上·吉林长春朝阳区长春新区北湖明达学校·期末)图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形． 要求： (1)三角形的三个顶点都在格点上． (2)与全等，且位置不同． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用全等三角形的判定方法，画出图形即可； （2）利用全等三角形的判定方法，画出图形即可． 【详解】（1）如图，即为所求 （2）如图，即为所求 【点睛】本题考查作图，全等三角形的判定的知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式10-3】(24-25八上·浙江宁波海曙区·期中)如图，在方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正方形的边长为 (1)在图甲中画一个面积为8的等腰三角形； (2)在图乙中画一个三角形与全等，且有一条公共边． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在图甲中画一个面积为8的等腰三角形； （2）在图乙中画一个以为公共边的三角形与全等． 【详解】（1）解：如图甲中，即为所求（答案不唯一）； （2）解：如图乙中，即为所求（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了作图应用与设计作图，全等三角形的判定，等腰三角形的判定和三角形的面积，解决本题的关键是借助网格解决问题． 【题型十一】全等三角形的性质与判定综合（培优题） 【例11】在中，，点在边上，连接，． (1)如图①，求证：为等边三角形； (2)如图②，点在边上，连接交于点，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数是 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定、三角形内角和及全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后根据等边三角形的判定定理可进行求解； （2）由（1）可得，则可证，然后问题可求解 【详解】（1）证明：如题图①， ， ． ， ， ． ， ， ∴是等边三角形． （2）解：如题图②， ∵是等边三角形， ． 在和中， ， ， ， 的度数是． 【变式11-1】(23-24八上·点福建福州第十九中学·期中)在等边中，点E是上的动点，点E与点A，B不重合，点D在的延长线上，且． (1)如图1，若点E是的中点，求证：． (2)如图2，若 E不是的中点，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与的数量关系，若成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用等边三角形的性质得，平分，，结合等边对等角得，则，即； （2）过E作交于F，结合为等边三角形，证明为等边三角形，则，再整理得，证明，得，故，即可作答． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，E是的中点， ∴，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过E作交于F， ∴ ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴ 【变式11-2】如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点F，连接交于点G． (1)求证：G为中点； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定；熟练掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而根据等腰三角形的性质可进行求证； （2）与交于点M，由（1）可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵和为等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分， 又∵， ∴， 即G为的中点； （2）解：如图，与交于点M， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 【题型十二】全等三角形综合之动点问题 【例12】如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动（   ）秒时，与全等．(注：点E与A不重合) A．4或12 B．12或16 C．4或16 D．4或12或16 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，此题要分三种情况：①当E在线段上，时；②当E在上，时；③当E在上，时，分别进行计算即可． 【详解】解：分以下三种情况讨论： ①当E在线段上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）； ③当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）． 综上所述，当点E运动4或12或16秒时，与全等． 故选：D． 【变式12-1】(24-25七下·河北保定第十七中学·期中)如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为秒，连接，．当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由题意可得，，，再分和两种情况解答即可，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是边长为的正方形， ∴，， ∵， ∴， 由题意得，， ∴， 当，时，， ∴， ∴； 当，时，， ∴， ∴； 综上，的值为或， 故选：． 【变式12-2】(24-25八下·广西百色·期末)如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)　　．（用的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以 秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或2． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边． （1）根据点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）当时，根据三角形全等的条件可得当时，进而得出答案； （3）题干未指明全等三角形边的对应情况，需要分两种情况①当时；②当时，分别讨论计算出的值，进而得到的值． 【详解】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒时，， 则； 故答案为：； （2）当时， 则， 故， 解得：； （3）①如图1，当，则，， ， ，即，解得：， ∵，即，解得：秒）． ②如图2，当，则，． ， ， ，即，解得：， ∵，即，解得：； 综上所述：当秒或秒时与全等． 【变式12-3】(24-25八上·上海崇明区正大中学，东门中学，实验中学·期中)如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 【答案】(1)， (2)，；， 【分析】本题考查了全等三角形的判定，一元一次方程解决动点问题，全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定是解决问题的关键． （1）先求得，再求得，然后利用证明，从而可说明，再求得，从而可得； （2）先用表示出，再分“，”、“，”两种情况，分别求得相应的与的值． 【详解】（1）解：当时，与全等；线段和线段的位置关系是：，理由如下： ∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3，且运动的时间， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）依题意得：，， ∵， ∴， 又∵，， 当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， 解得：， ②当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， 解得：， 综上所述：当时， ；当时， ． 【题型十三】利用等腰三角形的性质和判定求角度 【例13】若等腰三角形的顶角为，则它的底角度数为（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【来源】2024-2025年苏科版八年级数学上册期中检测卷 【分析】本题考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质．理解三角形内角和等于和等腰三角形的两个底角相等是解决此题的关键． 根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：该三角形底角的度数为． 故选：A． 【变式13-1】(23-24八·江苏无锡·期中)如图，四边形中，，点B关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．连接，过A作于F，得到，依据，，即可得出，再根据直角三角形两锐角互余，即可得到． 【详解】解：如图，连接，过A作于F， ∵点B关于的对称点恰好落在上， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 【变式13-2】(24-25九·浙江杭州西湖区西溪中学·期中)如图，将纸片绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．设与交于点，根据旋转角，求得，，根据等边对等角求得的度数，根据三角形内角和定理即可得答案． 【详解】解：设与交于点， ∵将纸片绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式13-3】(24-25八上·广东珠海文园中学（集团）·期中)如图，在中，点在上，，，将沿着翻折得到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，还应理解翻折的性质．证明，利用三角形外角性质求出的度数，即可得到的度数，由翻折得，由此根据得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 由翻折得， ∴， 故选：A． 【题型十四】利用等腰三角形的性质和判定求线段长度 【例14】如图，是的角平分线，过点作，分别交及的外角的平分线于点，．若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行线的性质及角平分线的概念，得出，，则，即可得出结论． 【详解】解：是的角平分线，是的外角的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ， 故选：C． 【变式14-1】(24-25八上·湖南吉首第七初级中学·期中)如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若的周长为，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等角对等边判定等腰三角形，平行线的性质，掌握等腰三角形的判定是关键，根据角平分线的定义，角平分线的定义得到，结合题意得到的周长为，由的周长为，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为16， 故选：D ． 【变式14-2】(24-25八上·安徽淮南田家庵区·期末)如图，在中，是高和的交点，，则线段的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，根据三角形内角和定理、等腰三角形性质等可得到，根据，推出，根据证，推出即可． 【详解】解：∵是的高， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：A． 【变式14-3】(24-25八下·贵州贵阳观山湖区远大中学·期中)如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质和等边三角形的判定与性质．由旋转的性质及，可得是等边三角形，从而，则由．计算即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点A按顺时针旋转一定角度得到， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 【题型十五】垂直平分线的性质与判定相关求解 【例15】如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握其运用是解题的关键．根据垂直平分线的性质可得，则，可得的值，根据的周长的计算方法即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴ ∵的周长为，即， ∴， ∵的周长为，且， ∴． 故选：C． 【变式15-1】(24-25八下·江西景德镇乐平·期中)如图，在中，为内一点，过点的直线分别交于点，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质，由，可得，根据线段垂直平分线的性质可得：，，推出，再结合三角形的外角性质可得，最后根据平角的定义即可求解． 【详解】解：由条件可知， 在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上， ， ， ，， ， ． 故选：C． 【变式15-2】(24-25八上·河北石家庄第十七中学·期中)如图，在中，是的垂直平分线， 的周长为13，的周长为（　　） A．16 B．13 C．19 D．23 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，结合已知条件即可得到的周长． 【详解】解： 是的垂直平分线， ， 的周长为13， ， ， ， 的周长为， 故选：C． 【变式15-3】(25-26八·期中数学试卷·期中)如图，在等边三角形中，是边上的高，E是上一点．若，则 度． 【答案】25 【分析】本题考查等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，先判断出是的垂直平分线，进而求出，即可得出结论． 【详解】解：∵三角形是等边三角形，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∵点E在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：25． 【题型十六】角平分线的性质与判定相关求解 【例16】如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，根据，平分，，得出，证明，得出，证明，得出，即可得，从而求出． 【详解】解：∵，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【变式16-1】(24-25八上·江苏南通如皋·期中)如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，的周长为10，，的面积是7，则的面积是 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质、等角对等边等知识点，正确作出辅助线并灵活运用相关知识成为解题的关键。 如图：过点O作于M，作于N，于D，连接，根据三角形面积可得，再根据角平分线的性质可得；然后根据角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边可得，则，进而得到，即，最后根据的面积以及三角形的面积公式求解即可。 【详解】解：如图：过点O作于M，作于N，于D，连接， ∵，的面积是7， ∴,即，解得：， ∵和的平分线相交于点O， ∴， ∵在中，的平分线与的平分线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， ∵， ∴的面积． 故答案为：17． 【变式16-2】(25-26八上·广东珠海香洲区·开学考)如图，的外角和的平分线相交于点F，连接．若，则 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理以及判定定理． 过F作于M，于N，于K，由角平分线的性质定理推出，，得到，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，求出． 【详解】解：过F作于M，于N，于K， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵于M，于N， ∴平分， ∴． 故答案为：． 【变式16-3】(24-25八上·辽宁鞍山立山区·期中)如图，是的平分线，于点E，，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，过D作于F，根据角平分线的性质得到，又，，，由此可以得到关于的方程，解方程即可求出． 【详解】解：如图，过D作于F， ∵是的平分线，于点E， ∴， 而， ∴， ∴， 而， ∴． 故答案为：． 【题型十七】互逆命题和互逆定理 【例17】下列命题的逆命题成立的是（   ） A．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．如果两个角是直角，那么它们相等 D．等边三角形是锐角三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查逆命题，命题真假的判定，分别写出各选项的逆命题，并判断其正确性． 【详解】解：A、原命题：“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”， 逆命题：“如果两个实数的平方相等，那么它们相等”， 反例：和的平方相等但本身不相等，逆命题不成立； B、原命题：“两直线平行，同旁内角互补”， 逆命题：“如果同旁内角互补，那么两直线平行”， 根据平行线的判定定理，同旁内角互补可推出两直线平行，逆命题成立； C、原命题：“如果两个角是直角，那么它们相等”， 逆命题：“如果两个角相等，那么它们是直角”， 反例：两个的角相等但不是直角，逆命题不成立； D、原命题：“等边三角形是锐角三角形”， 逆命题：“锐角三角形是等边三角形”， 反例：存在锐角三角形不是等边三角形（如三内角分别为的三角形），逆命题不成立； 故选：B． 【变式17-1】(23-24八上·广西桂林宝贤中学·期中)下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题真假、写出命题的逆命题，分别写出各选项的逆命题，并根据对顶角的定义、平行线的判定与性质、绝对值的意义判断其真假即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、原命题对顶角相等的逆命题为相等的角是对顶角；反例：两个直角相等但不是对顶角，故逆命题为假，故不符合题意； B、原命题两直线平行，同位角相等的逆命题为同位角相等，两直线平行；根据平行线判定定理，同位角相等则两直线平行，故逆命题为真，符合题意； C、原命题若，则的逆命题为若，则；反例：时但，故逆命题为假，故不符合题意； D、原命题若，则的逆命题为若，则；反例：，时但，故逆命题为假，故不符合题意； 故选：B． 【变式17-2】(24-25八下·甘肃庆阳镇原县·期中)下列说法中正确的是（   ） A．命题一定有逆命题 B．所有定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是真命题 【答案】A 【分析】本题主要考查了命题与逆命题的关系，正确判定命题的真假成为解题的关键． 根据命题与逆命题的关系逐项分析即可解答． 【详解】解：A． 命题由条件和结论组成，交换条件和结论即可得到逆命题，因此命题一定有逆命题，正确，符合题意； B． 定理的逆命题不一定为真，即不一定有逆定理，例如“全等三角形对应角相等”的逆命题“对应角相等的三角形全等”不成立，故错误，不符合题意； C． 真命题的逆命题不一定是真命题．例如“对顶角相等”是真命题，其逆命题“相等的角是对顶角”为假，错误，不符合题意； D． 假命题的逆命题不一定是真命题．例如“若两个角相等，则它们是对顶角”是假命题，其逆命题“若两个角是对顶角，则它们相等”为真；但若原命题为“若今天下雨，则地湿”，其逆命题“若地湿，则今天下雨”可能为假，故错误，不符合题意． 故选A． 【变式17-3】(24-25八下·山西运城稷山县·期中)下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补． B．五边形是多边形 C．如果，，则． D．两个全等三角形的面积相等 【答案】A 【分析】本题考查了命题的相关概念、平行线的性质、多边形的概念、有理数的运算、全等三角形的判定定理，正确写出各选项的逆命题是解题关键． 先写各选项的逆命题，再根据平行线的性质、多边形的概念、有理数的运算、全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、逆命题：同旁内角互补，两直线平行． 由平行线的判定可知，逆命题正确，是真命题； B、逆命题：多边形是五边形． 多边形不一定是五边形，逆命题错误，则是假命题； C、逆命题：如果，则，． 逆命题错误，则是假命题； D、逆命题：面积相等的两个三角形是全等三角形． 由三角形全等的判定定理可知，逆命题错误，是假命题； 故选：A． 【题型十八】垂直平分线和角平分线综合 【例18】已知，平分． (1)如图①，若，，求证：平分； (2)如图②，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点E作于点F，由平分可得，利用可证得，即可得到结论成立； （2）延长和相交于点M，由，平分可得是等腰三角形，即，再由得，利用可证得，即可得到结论成立． 【详解】（1）证明：如图：过点E作于点F，则， 平分，，且， ，， 又， ， ， ， ， 平分； （2）证明：如图，延长和相交于点M， ，平分， ，， 是等腰三角形，即， 又， ，即， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线判定定理和性质定理，平行线性质，以及等角对等边，解题的关键是正确作出辅助线，构造出全等三角形进行解题． 【变式18-1】(24-25七下·陕西咸阳永寿县蒿店中学·期中)【问题背景】 如图，与均为等腰直角三角形，，，，点在上，过点作，交的延长线于点． 【问题解决】 （1）如图1，与相等吗？为什么？ （2）如图1，若，求四边形的面积； 【问题拓展】 （3）如图2，过点作于点，若，求的长度． 【答案】（1），理由见解析；（2）50；（3）5 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，能准确找出三角形全等的条件是解答本题的关键． （1）根据证明，得出，再结合平角的定义可得结论； （2）由全等三角形的性质得，可得四边形的面积，求出等腰直角三角形的面积即可； （3）证明是的角平分线，根据角平分线性质定理得． 【详解】解：（1），理由如下： ∵与均为等腰直角三角形，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴； （2）∵， ∴， ∴四边形的面积， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴四边形的面积为50； （3）∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式18-2】(23-24八上·河南安阳第十中学、七中、十一中等十校联考·期中)如图，、均是的两边，的垂直平分线交的垂直平分线于点． (1)若的周长为，求的长． (2)若，求的度数． (3)若、是线段的三等分点（点在点的左侧），直接判断的形状． 【答案】(1) (2) (3)是等边三角形 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定等，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质进行求解即可； （2）利用线段垂直平分线的性质得到，，然后利用三角形的内角和定理及平角的概念即可求解； （3）利用三等分点得出，再利用线段的垂直平分线的性质得出，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵垂直平分线段，垂直平分线段， ， ∵的周长为， 即， ∴, ∴的长为：； （2）解：∵垂直平分线段，垂直平分线段， ， ∴， ∴， ， ∴； （3）解：是等边三角形，理由如下： ∵、是线段的三等分点， ∴， 由（1）得， ∴， ∴是等边三角形． 【变式18-3】(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)32 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）解：证明：过点作于于， 平分， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 【题型一】混淆全等三角形的判定方法“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”导致依据错误 【例1】工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1-1】(24-25八上·江苏泰州泰兴·期末)如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用． 图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，可以通过画出与书上完全一样的三角形， 故选：A． 【变式1-2】(24-25八·新疆伊犁哈萨克巩留县第二中学·期中)如图，将两根钢条 、的中点O连在一起，使 、可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出的长等于内槽宽；那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形判定方法的应用．由是、的中点， 可得：，，再由，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 【详解】解：∵是 、的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， 故选：A． 【变式1-3】(24-25八上·河南新乡七中·期末)如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 故选：D． 【题型二】等腰三角形的中线相关求解中得出结果后没有检验是否能构成三角形错误 【例2】已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形中线的性质，一元一次方程的应用，根据题意先画出图形，设腰，由中线性质可得，再分和两种情况，列出方程解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，中，，为的中线， 设腰， ∵为的中线， ∴， ∵中线将它的周长分成和两部分, 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴等腰三角形的腰长为或， 故选：． 【变式2-1】在等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为15或12两个部分，则该等腰三角形的底边长等于 ． 【答案】7或11 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确给出哪一部分长一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．因为已知条件给出的15或12两个部分，哪一部分是腰长与腰长一半的和不明确，所以分两种情况讨论． 【详解】解：根据题意， ①当15是腰长与腰长一半时，，解得， 所以底边长； ②当12是腰长与腰长一半时，，解得， 所以底边长． 所以底边长等于7或11． 故答案为：7或11． 【变式2-2】(24-25八下·山西运城临猗县部分学校·期中)如图，等腰中，，为腰的中线，将的周长分成长和的两段，则等腰的腰长为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用． 题中没有指明哪部分的周长大，故应该分两种情况进行分析，从而求解． 【详解】解：①当，时， ∵为腰的中线， ∵ ∴， ， ∴， ②当，时 ∵ ∴， ， ∴， 故答案为：或． 【题型三】混淆垂直平分线和角平分线与尺规作图的步骤 【例3】如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的作图与性质，熟记角平分线的性质是解题关键．作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：作于E，如图， 由题意得平分，而 ∴， ∴的面积． 故选：B． 【变式3-1】如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图，垂直平分线的性质，等腰三角形性质的应用，由作图，得到是线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质，得到，得到等腰三角形的两底角相等，再利用等腰三角形得到的度数，从而得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式3-2】(24-25九上·辽宁鞍山铁西区·期中)如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，等边对等角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据线段垂直平分线的性质得出，进而求出的度数． 【解答】解：由作图可知：垂直平分线段， 可得， 则， 故， 故选：A 【变式3-3】(24-25八下·四川成都青羊区树德中学·期中)如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，连接，分别与边相交于点D，．若，的周长为18，则的周长为（   ） A．20 B．24 C．25 D．30 【答案】B 【分析】本题考查中垂线的性质，根据作图可知垂直平分线段，进而得到，，推出，再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ，， ， 的周长， ， 的周长 故选：B 【题型一】辅助线之连接两点构造全等 常见的两种模型如图所示 ①如图1所示，连接AC，再结合已知条件可证的△ABC≌△CDA ②如图2所示，连接OC，再结合已知条件可证的△AOC≌△COB 【例1】如图：△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE＝3，AC＝6，则AD的长为（　　） A．3 B．6 C．9 D．4 【答案】A 【分析】首先证明，再利用勾股定理即可求解． 【详解】如图连接BD， ， ， ， ， 在中，， ∴， 在中，，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形全等的证明和勾股定理，解题的关键是能通过已知的条件结合三角形全等的判定方法来证明三角形全等，结合垂直关系和边的等量代换运用勾股定理求边长． 【变式1-1】(24-25八上·江苏如皋外国语初级中学·期中)如图，已知，，与交于点D，则对于下列结论：①；②；③D在的平分线上．其中正确的是 （    ） A．① B．② C．①和② D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．直接利用定理即可判断①正确；先根据全等三角形的性质可得，再利用定理即可判断②正确；连接，证出，由此即可判断③正确． 【详解】解：在和中， ， ，结论①正确； ， ∵，， ，即， 在和中， ， ，结论②正确； 如图，连接， ， ， 在和中， ， ， ， 即在的平分线上，结论③正确； 综上，正确的是①②③． 故选：D． 【变式1-2】如图，在中，，于点，交于点．若，，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握斜边直角边的证明方法是解题的关键．连接，先证明，推出，最后利用解得答案． 【详解】解：连接，如图所示： ，， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：6． 【题型二】辅助线之倍长中线法证明全等 在△ABC中，D为AC的中点 如图所示，延长BD至点E，使得BD=DE，连接EC 【例2】如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】延长至，使得，连接．则，先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接．则， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ∴ 在中，，即， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 【变式2-1】(24-25八上·广东广州番禺区桥兴中学·期中)如图，已知在中．，，，连接，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】通过延长构造全等三角形，将、与的关系转化到一个三角形中，再利用三角形三边关系求解的取值范围．本题主要考查了三角形三边关系以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形三边关系和全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：延长到点，使，连接． ∵，，， ∴． ∴． 在中，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】(24-25八上·重庆石柱县第一初级中学·期中)如图，在中，平分，E为的中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形：延长至点，使，证明，得到，再证明，即可得出结论． 【详解】证明：延长至点，使，连接，则：， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式2-3】(24-25八上·北京三帆中学·期中)老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长中线至点Q，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系，可得． 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： (1)直接写出的取值范围是___________； (2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰直角三角形，关键是“倍长中线”，构造全等三角形． （1）延长中线至点Q，使；连接，得到，判定，推出，由三角形三边关系定理得，即可得到， （2）延长到K，使，连接，得到，判定，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1，延长中线至点Q，使；连接， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 由三角形三边关系定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． （2）如图2，，理由如下： 延长到K，使，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型三】辅助线之旋转模型证明全等 模型一：遇60°旋转60°，造等边三角形 如图所示，将△ABP绕点A旋转60°至△ACP1，连接PP1，可证得△APP1是等边三角形 模型二：遇90°旋转90°，造等腰三角形 如图所示，将△ABP绕点B旋转90°至△CBP1，连接PP1，可证得△PBP1是等腰三角形 【例3】如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 【变式3-1】(24-25八上·山东济南章丘区·期末)和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式3-2】(24-25八上·贵州黔东南苗族侗族·期末)【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍成立，理由见解答过程；（3）．理由见解答过程． 证明见解析 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）根据可判定，进而得出，，再根据判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先根据判定，进而得出，，再根据判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先根据判定，再根据判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）．理由如下： 如图1，延长到点，使，连接， ， ， 又， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 即， ； 在与中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍成立，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， 又， ， ； （3）． 证明：如图3，延长到点，使，连接， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 【变式3-3】(23-24八上·贵州遵义·期末)在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型四】辅助线之垂线模型证明全等 常考模型：一线三垂直模型 如图所示，AD⊥DB，CE⊥BE，△ABC是直角三角形，可证得△ADB≌△BEC 【例4】(1)如图①，点A是线段上一点，，，，，求证：； (2)如图②，若点A在直线上，（1）中其他条件不变，有什么数量关系？并证明． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析 【分析】（1）证明即可根据三角形全等的性质得到结论； （2）证明即可根据三角形全等的性质得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ． ． 又 ， ． （2）解：．理由如下： ， ， ． ， ， ． ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用同角的余角相等证明角相等是解题关键． 【变式4-1】(24-25八上·上海曹杨第二中学附属实验中学·月考)某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质； （1）证明得，由此即可得出、、的数量关系； （2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 【变式4-2】(24-25八上·河南郑州外国语中学、枫杨外国语、朗悦慧外国语等联考·期中)【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)21 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． 【变式4-3】(24-25八上·湖南长沙宁乡六校联考·期中)（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题：如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，直线PQ经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若、，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时．求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理． （1）利用平角的定义即可求解； （2）先证明出，得出，，即可得出结果； （3）由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分类讨论，分别画出图形，结合图形列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： ∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （3）当点移动到点时，，移动到点时，； 当点移动到点时，，移动到点时，； 分以下三种情况： ①当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴， 不在范围内，不符合题意； ④当E到达A后，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 1 / 99 学科网（北京）股份有限公司 $