重难点专题 反比例函数的图像与性质（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

重难点专题 反比例函数的图像与性质 重难点一 判断反比例函数图像所在象限；与k值相关的问题 1.① 已知k正负，判断双曲线在哪两个象限:当k>0时，双曲线两支分别在第一、三象限；当k<0时双曲线两支分别在第二、四象限.② 给出图像经过哪些象限，反推参数k或者参数范围. 2. 若解析式含参数，结合象限列出不等式，解出参数取值范围. 1.已知反比例函数的图像过第二、四象限，则的取值可能是（　　） A．2 B． C．1 D．0 【分析】根据分比例函数的性质即可解答，根据反比例函数的图像过第二、四象限得到是解答本题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图像过第二、四象限， ∴，即B选项符合题意． 故选B． 2.反比例函数与一次函数在同一坐标系的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【分析】分别根据反比例函数与一次函数的性质对各选项进行逐一分析，即可获得答案． 【详解】解：A、由反比例函数的图像可知，，由一次函数的图像可知，两结论矛盾，故本选项错误，不符合题意； B、由反比例函数的图像可知，，由一次函数的图像可知，故本选项正确，符合题意； C、由反比例函数的图像可知，，由一次函数的图像可知，两结论矛盾，故本选项错误，不符合题意； D、由反比例函数的图像可知，，由一次函数的图像可知，但由一次函数图像与轴交点可知，与题目不符，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 3.在同一平面直角坐标系内，二次函数的图象与反比例函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象的综合判断．根据二次函数和反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可．熟练掌握二次函数和反比例函数的性质，是解题的关键． 【详解】解：当抛物线的开口向上，对称轴在轴右侧时，， ∴，双曲线在二、四象限；故A错误； 当抛物线的开口向下，对称轴在轴右侧时，， ∴，双曲线在二、四象限；故B错误，C正确； 当抛物线的开口向下，对称轴在轴左侧时，， ∴，双曲线在一、三象限；故D错误； 故选C． 4.如图，二次函数的图象如图，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象大致是(　　)    A．   B．   C．   D．   【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象、反比例函数的图象和性质；根据二次函数（）的图象可得，从而得到，，进而得到一次函数经过第二、四象限，一次函数经过第二、三、四象限，即可求解． 【详解】解：根据二次函数（）的图象得： ， ∴，， ∴一次函数经过第二、四象限，一次函数经过第二、三、四象限． 故选：A 5.（2026年湖北省中考）反比例函数的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是______． 【分析】对于反比例函数，当比例系数时，图象位于第一、第三象限，据此列出关于的不等式，求解得到的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、第三象限， ， 解得， ∴只要取大于的任意实数都符合条件，例如（答案不唯一）． 6.已知是关于x的反比例函数． (1)若时，y随x的增大而减小，求m的值； (2)若该反比例函数图象经过第二象限内点，求n的值． 【分析】（1）根据反比例函数图象的性质解题即可； （2）根据反比例函数图象的性质求出解析式，然后代入点的坐标解题即可． 【详解】（1）解：由题意可知， 解得． （2）由题意可知， 解得． 即， 所以， ． 7.已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于和两点．    (1)求k和n的值； (2)若点也在反比例函数图象上，求当时，函数值y的取值范围； (3)直接写出关于x的不等式的解集 ． 【分析】此题考查一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求函数解析式，利用图象求函数值的范围，求不等式的解集： （1）将点的坐标代入一次函数解析式及反比例函数解析式即可求出k和n的值； （2）根据反比例函数的增减性解答； （3）即为反比例函数图象在一次函数图象上方，据此解答． 【详解】（1）解：当时，， ∴点B的坐标为． ∵反比例函数的图象过点， ∴． （2）∵， ∴当时，y随x值增大而减小， ∵时，时， ∴当时，； （3）由图象可知，不等式的解集是或， 故答案为或． 重难点二 反比例函数增减性相关问题 1. 给出k范围，判断增减性；或者给出自变量大小，比较y的大小.增减性规则：当 k>0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大. 2. 比较函数值大小两步：① 先判断几个自变量对应的点是否在同一个象限 ② 同象限：直接用增减性比较；跨象限：利用象限正负判断函数值正负，正数＞负数，直接比大小. 特别注意： 不能省略“在每个象限内”，不能直接说：k>0时，y随x增大而减小. 1.下列函数y随x的增大而增大的有（    ）个 ①   ②   ③  ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查函数性质，根据一次函数、二次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围逐项分析判断即可． 【详解】解：①，，y随x的增大而减小，故①不符合题意； ②，，函数图像开口方向向下，时，y随x的增大而增大，故②符合题意； ③，，函数位于第二、四象限，在每一象限内，从左往右上升，y随x的增大而增大，故③符合题意； ④，，函数图像开口方向向上，但没有给自变量范围，无法判断，故④不符合题意， 综上所述，符合题意得由②③，共两个， 故选：B． 2.已知点，是反比例函数图象上的点，若，则一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质．根据函数解析式知可得该反比例函数的图象在第二、四象限，又因为，所以点在第四象限，点在第在二象限，至此，结合各个象限中点的坐标特征即可得解． 【详解】解：， 反比例函数的图象在第二、四象限， 又， ∴点，在第四象限，点，在第在二象限， ． 故选：D． 3.（2026年湖北省中考）已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，点在函数的图象上，，，均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当时，下列大小关系不可能的是（     ） A． B． C． D． 【分析】先求出三个函数图象在第一象限的交点，再根据图象分情况解答即可； 【详解】解：联立与得，整理得，解得：， 联立与得，解得：或， 联立与得，整理得，解得：或， ∴函数、函数、函数的图象在第一象限交于点， 故三个函数的图象位于第一象限的部分， 当时，，B选项可能； 当时，根据图象可得，，A选项可能； 当时，根据图象可得，，C选项可能； 综上，D选项不可能． 4.若点,,在反比例函数的图象上,则则的大小关系是 【分析】考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数所在象限为二、四，其中在第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，进而判断在同一象限内的点B和点C的纵坐标的大小即可． 【详解】解：∵反比例函数的比例系数为， ∴图象的两个分支在二、四象限； ∵第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点A在第二象限，点B、C在第四象限， ∴最大， ∵，y随x的增大而增大， ∴， ∴． 5.反比例函数，，在同一坐标系中的图象如图所示，则，，的大小关系为 【分析】本题考查了反比例函数的图象的性质．时，反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；时，反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．先根据函数图象所在的象限判断出的符号，再用取特殊值的方法确定符号相同的反比例函数的取值． 【详解】解：由图知，的图象在第三象限，，的图象在第四象限， ∴， 又当时，有， ∴． 6.反比例函数的图象在第一、三象限，点、、是图象上的三点，则，，的大小关系是 . 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象在第一、三象限，反比例函数图象在第一、三象限，随的增大而减小，再根据三点横坐标的特点即可得出结论是解决问题的关键． 【详解】解：∵的图象在第一、三象限， ∴反比例函数图象在每个象限内随的增大而减小， ∵， ∴点、在第一象限，点在第三象限， ∴，， ∴. 7.已知直线经过点，点关于轴的对称点在反比例函数的图象上，求反比例函数的表达式. 【分析】先求出点的坐标，然后根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求出点的坐标，将点的坐标代入中求出k的值，从而可得出反比例函数的解析式． 【详解】解：当时，， ∴点， ∴点关于轴的对称点坐标为， 把点代入得， ∴反比例函数的表达式为． 8.已知反比例函数的图象上有两点，当时，，求m的取值范围. 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得，而 时，，则，然后解不等式即可； 【详解】解：∵反比例函数的图象上有 当时，， 重难点三 与反比例函数图像上点相关的问题 方法1：把点横坐标x代入解析式，算出对应的y值，对比点的纵坐标，相等则点在图像上；不等则不在.方法2：利用xy=k的形式，计算点坐标乘积，若乘积等于k，则点在双曲线上.xy=k这个形式做题更快，适合选择填空. 1.(2026福建中考）下列各点中，在函数图象上的点是（     ） A． B． C． D． 【分析】反比例函数图象上任意一点的坐标都满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算对应的y值，和点的纵坐标对比即可得出结论． 【详解】解：对于函数 A、当时，， 点在函数的图象上，此选项符合题意； B、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； C、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； D、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意． 2.点在函数图像上，下列说法中错误的是(    ) A．它的图象分布在二、四象限 B．当时，的值随的增大而增大 C．当时，的值随的增大而减小 D．它的图象过点 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象性质，先把点代入，求得，根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大，图象既是轴对称图形又是中心对称图形进行判断即可． 【详解】解：把点代入，得 ， 解得：， ∴， A、∵，∴的图象分布在二、四象限，原说法正确，故此选项不符合题意； B、∵，∴当时，的值随的增大而增大，原说法正确，故此选项不符合题意； C、∵，∴当时，的值随的增大而增大，原说法错误，故此选项符合题意； D、∵把代入，得，∴它的图象过点，原说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 3.（2026年河北省中考）平面直角坐标系中有，，三点．若直线经过原点，则点一定在（     ） A．函数的图象上 B．函数的图象上 C．函数的图象上 D．函数的图象上 【分析】先根据直线过原点设出直线解析式，代入A、B坐标得到与的乘积，再根据C点坐标判断其满足哪个函数解析式． 【详解】解：∵直线经过原点， ∴设直线的解析式为， 把代入解析式得，即， ∴直线的解析式为， 把代入得，即， ∵点的坐标为， ∴点横纵坐标的乘积为， 对函数变形可得，满足点的坐标特征， ∴点一定在函数的图象上．故选B. 4.（2026年广西中考）已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别用表示出和，再整理得到二者的关系式即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴将点坐标代入解析式得：，， 由变形得， 又∵， ∴， 移项得．故选A. 5.若，两点都在反比例函数的图像上，则的值为 【分析】首先利用待定系数法求得该函数解析式，然后再将点代入求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图像上， ∴可有，解得， ∴该函数解析式为， 将点代入反比例函数， 可得. 6.在如图所示的网格中（每个小正方形的边长为1），以点O为原点作平面直角坐标系，则与P不在同一反比例函数图像上的是点 其中，，，， 【分析】先求出点P所在反比函数图象的k值，再依次求出A、B、C所在反比例函数图象的k值，即可解答． 【详解】解：把代入得： 把代入得：， 故点A与点P在同一反比例函数图象上， 把代入得：， 故点B与点P不在同一反比例函数图象上， 把代入得：， 故点C与点P在同一反比例函数图象上. 7.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数的图象交于C、D两点且点C的坐标为，点D的坐标为． (1)直接写出一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出当自变量x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； (3)求的面积． 【分析】（1）先求出点C的坐标，再将、代入，利用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）根据图象法，即可得到答案； （3）先求出点的坐标，得到，再根据，即可求出的面积． 【详解】（1）解：在反比例函数， ， ， 将、代入，得： ，解得：， 一次函数表达式为：； （2）解：一次函数与反比例函数交点、 由图象可知，当或时，一次函数的值大于反比例函数的值； （3）解：一次函数的图象分别与y轴交于点B， 令，则； ， ， ． 重难点四 k的几何意义类题型 双曲线上任意一点P，向x轴、y轴分别作垂线：围成矩形面积=|k|；围成直角三角形面积=|k|. 解题方法：①：已知点求面积：已知反比例解析式，已知图像上一点坐标，直接套用公式求矩形/三角形面积，面积一定是非负数，直接用|k|. ②：已知图形面积，反求k值：根据面积列出等式，求出|k|的值；观察双曲线所在象限，判断k正负； 写出k，注意部分题型有多种情况. 遇到斜边过原点、多个点组合的阴影面积，优先做坐标转化，拆成基础三角形、矩形；图形如果是反比例+坐标轴、原点组合，区分是三角形还是矩形. 1.若函数与函数的图象相交于两点，垂直轴于，则的面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值， 【详解】解：如图：    设点A的坐标为，则， 故的面积为， 与同底等高， ， 故选：A． 2.如图，四边形是平行四边形，在轴上，点在轴上，反比例函数的图象经过第一象限点，且的面积为，则＝（    ）．    A．6 B．3 C．9 D．12 【分析】过点作于点，然后平行四边形的性质可知，进而可得矩形的面积与平行四边形的面积相等，最后根据反比例函数的几何意义可求解． 【详解】解：过点作于点，如图所示：    ， 四边形是平行四边形， ， ， （）， 平行四边形的面积为， ， ； 故选：A． 3.如图，在反比例函数图象上，有点，，，，…，它们的横坐标依次为1，2，3，4，…n分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 …，， 则的值为（    ） A．8 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数k值的几何意义和矩形面积公式，先找到规律，用规律解决问题即可． 【详解】解：根据题意可得：当时，的纵坐标为8； 当时，的纵坐标为4； 当时，的纵坐标为； 当时，的纵坐标为2； 当时，的纵坐标为; ••• 则有 ••• , 故选：D 4.如图，函数的图像与平行于轴的直线分别相交于两点，且点在点的右侧，点在轴上，的面积为2，则    【分析】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数图像上点的坐标特征，根据函数的特征设，，再根据进行求解是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可设，， 则， ∴. 5.如图，直线与反比例函数，的图象交于点A、B，直线与反比例函数，的图象交于C，D，其中常数t，k均大于0，点P，Q分别是x轴、y轴上任意点，设和的面积分别为，，则下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，均为定值；正确的有 .    A．②④⑥ B．①②③ C．④⑥ D．⑤⑥ 【分析】，，，，根据反比例函数的几何意义直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：连接，，，， ∵，，，， ∴，, ∴， 故填②④⑥    6.如图是反比例函数和在x轴上方的图象，轴的平行线分别与这两个函数图象交于、两点，点在轴上，则的面积为 . 【分析】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，利用反比例函数的比例系数的几何意义求出与的面积，从而得出的面积，最后运用平行线之间三角形“同底等高”面积相等的性质，即可得到答案．掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图， 连接、，设交轴于， 轴的平行线分别与这两个函数图象相交于点，， 轴， 点、在反比例函数和在轴上方的图象上， ， ， 轴, 与“同底等高”， ， 故选：A． 7.(2026年甘肃省武威市中考）如图，一次函数 的图象与反比例函数（ ）的图象交于点，与轴交于点 ．在反比例函数图象上有一点，过点 作 轴于点 ，连接 ， ． (1)求一次函数 与反比例函数（ ）的表达式； (2)求四边形 的面积． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得点，点，过点 作 轴于点 ，则 ，根据，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在一次函数 的图象上， ∴ ， ∴ ， ∴一次函数的表达式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴点， ∵ 轴于点 ， ∴ ， ． ∵一次函数与轴交于点 ， 令，解得， ∴点， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 过点 作 轴于点 ，则 ， ∴ ， ∴ ． 8.如图，，关于原点对称，为反比例函数图象上异于的一个点．过作垂直于轴于点． (1)若的坐标为，则的坐标为______； (2)若的面积为，则的值为______； (3)在（）的条件下，若的纵坐标为，求的面积． 【分析】()根据关于原点对称的性质求解即可； ()利用待定系数法求解； ()求出直线的解析式，可得直线交轴一点， 再利用分割法求出的面积； 此题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）∵点与关于原点对称， ∴点， 故答案为：； （2）∵，的面积为， ∴，解得：， 故答案为：； （3）∵的图象过， ∴， ∵若的纵坐标为， ∴点， 设直线解析式为，与轴交于点，如图， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∴点， ∴， ∴． 重难点五 反比例函数图像对称性相关问题 反比例函数双曲线关于原点中心对称；若点(a,b)在双曲线上，则对称点(-a,-b)也一定在双曲线上.部分反比例函数图像还关于直线y=x、y=-x轴对称.看到一个点坐标，利用中心对称性质，直接写出对称点坐标，代入解析式求值，不用重新求k.已知一支双曲线上一点，求另外一支上对称点坐标；判断两点是否关于原点对称等小题. 1.已知点，在函数的图象上，有下列命题： ①此函数的图象是轴对称图形；②若，则； ③连接AB，OA，OB，若，则．其中的真命题是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据题意画出图形，逐项进行判断即可 【详解】解：当，（第一象限）；当，（第二象限） 画图象如图，    所以，①此函数的图象是轴对称图形；故①成立； ②在第一象限内y随x增大而减小，故②成立； ③∵， ∴ 又点在函数的图象上， ∴ 故③成立． 故选：D 2.如图，点A，B分别在反比例函数和的图象上，且轴，连接与反比例函数的图象交于点C，连接，则的面积为（　　）    A． B． C． D．3 【分析】设，则，再利用待定系数法求得直线的解析式，与函数联立成方程组，解方程组即可求得C的坐标，然后代入三角形面积公式求解即可．表示出A、B、C的坐标是解题的关键 【详解】解：设，则， ∴直线为， 由，解得， ∴， ∴ 故选：A．    3.如图，O是坐标原点，平行四边形的顶点A的坐标为，顶点C在轴的负半轴上，反比例函数的图像经过顶点B，则平行四边形的面积为 . 【分析】过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，根据反比例函数系数k的几何意义得，进而求得，进一步得到，根据平行四边形的面积公式即可求得答案． 【详解】解：如图，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，    ∵四边形是平行四边形， ∴轴， ∴直线轴， ∴B、A、D三点共线， ∵， ∴四边形是矩形， ∵函数的图象经过顶点B， ∴， ∵平行四边形的顶点A的坐标为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 4.如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点．    (1)求k的值； (2)将正方形分别沿直线、翻折，得到正方形、．设线段、分别与函数的图象交于点、，求线段所在直线的函数关系式； (3)将函数的图象沿轴向上平移使其过点，得到图象，直接说出图象是否过点？ 【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：正方形的性质，待定系数法确定一次函数与反比例函数解析式，图形的平移，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）由正方形的面积求出边长，进而确定出的坐标，代入反比例解析式求出的值即可； （2）由题意确定出的纵坐标与的横坐标，代入反比例解析式求出相应横坐标与纵坐标，确定出与坐标，利用待定系数法求出直线解析式即可； （3）由题意确定出坐标，利用待定系数法求出平移后的反比例解析式，检验即可． 【详解】（1）解：由题意得：，即， 代入得：； （2）解：由折叠的性质得：，即，， 纵坐标为4，横坐标为4， 把代入得：；把代入得：， ，， 设直线解析式为， 把与坐标代入得：， 解得：，， 则直线解析式为； （3）由题意得：，， 设平移后反比例解析式为， 把坐标代入得：， 平移后反比例解析式为， 把代入得：， 则图象不经过点． 5.（2026年贵州中考）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 【分析】（1）将代入即可求解；然后根据中点得到，再结合点的坐标求解点的坐标即可； （2）由题意可设平移后的，将点代入即可求解，得到点的坐标，再由点的坐标即可求解平移的距离． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 由题意得，轴， ∵， ∴， ∵的中点的坐标为， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，反比例函数解析式为， 由题意可设平移后的， 将点代入，则， 解得， ∴， ∵， ∴平移的距离为． 重难点六 图像综合辨析题（选择压轴类） 同一坐标系，判断反比例+一次函数图像大致匹配是否正确，已知k或者参数范围选图.统一变量法：两个函数解析式里面字母k是同一个，k符号必须保持一致 1. 先看反比例图像，判断k正负；2. 再看一次函数图像特征，看对应的k符号是否和反比例得到的符号一致；3. 符号一致的选项才正确，矛盾选项直接排除. 特别注意：参数k正负不能自相矛盾，这是排除错误选项关键. 1.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点，当一次函数大于反比例函数的值时，的取值范围是　　    A． B． C． D． 【分析】结合图形，一次讨论当，，，，时，反比例函数与一次函数的大小，即可得到答案． 【详解】解：由图象可知： 当时，反比例函数大于一次函数的函数值， 当时，反比例函数等于一次函数的函数值， 当时，一次函数大于反比例函数的函数值， 当时，反比例函数等于一次函数的函数值， 当时，反比例函数大于一次函数的函数值， 即当一次函数大于反比例函数的值时，的取值范围是：， 故选：B． 2.观察函数和的图像可知，不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 【分析】联立函数解析式求出交点坐标，再根据图象即可得到不等式的解集． 【详解】解：联立函数和得到， ， 解得或， 即函数和的图像的交点为和，如图，    观察图象可知，不等式的解集为或， 故选：A 3.如图，等腰中，，，轴，交y轴于点E，且E是的中点．反比例函数的图象经过点A，交于点D．若，则k的值是（    ）    A． B． C． D． 【分析】过点A作，交x轴于点N，根据题中条件求出，设D点的坐标为，则，即可求解． 【详解】解：过点A作，交x轴于点N，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∵轴，E是的中点， ∴， ∴M的横坐标为2，C的横坐标为6， ∵， ∴的横坐标为5， 设D点的坐标为，则， ∵反比例函数的图象经过点A，交于点D， ∴，解得：， ∴D点的坐标为， ∴， 故选：C． 4.如图，正方形对称中心在原点O，四个顶点分别位于两个反比例函数的图象的四个分支上，则实数的值为 .    【分析】如图所示，点在上，证明，根据的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在上，      ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴， ∵点在第二象限， ∴． 5.设函数与的图象的交点坐标为，则的值为 ． 【分析】有两函数的交点为，将代入一次函数与反比例函数解析式中得到与的值，再整体代入计算即可求出值． 【详解】解：把代入 ， 得 ， 把代入， 得， ∴， ， 故答案为：． 6．2026年江西省中考如图，四边形是平行四边形，，，，点在轴上，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)为边上的一点，直线交双曲线另一支于点，当的面积等于的面积的时，求点的坐标． 【分析】（1）如图，过点作轴于点．证明，根据全等三角形的性质可得，进而求得的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解； （2）根据已知可得为的中点，则坐标为．待定系数法求得直线的表达式为，可得直线经过坐标原点，进而根据正比例函函数与反比例函数图象的性质即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点． ∵四边形为平行四边形， ，， ， 又∵， ． ， ． ， ∴反比例函数的表达式为． （2）的面积等于的面积的， 为的中点， 的坐标为． 设直线的表达式为， 则， 解得 ∴直线的表达式为，即直线经过坐标原点， 又∵， ∴由中心对称可得． 7.如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于A，B两点，AC垂直x轴于点C，O为坐标原点，． (1)求反比例函数的解析式和点B的坐标； (2)点D在y轴上，满足的面积和的面积相等，求点D的坐标． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题， （1）根据，设，求出点坐标，即可得到反比例函数的解析式，再联立方程，即可得到点B的坐标； （2）根据题意的面积和的面积相等，可得点到直线的距离和点到直线的距离相等，求得的长度，即可知道将直线向上或向下平移的长度的距离，此时与轴的交点，即可点的坐标，利用数形结合的思想，求得点的坐标，是解题的关键． 【详解】（1）解：设，则， ， 将代入，可得， 解得， ， 将代入反比例函数，可得， 反比例函数的解析式为， 列方程， 解得， 经检验，是原方程的解， ； （2）解：根据（1）可得， 的面积和的面积相等， 点到直线的距离和点到直线的距离相等， 将直线向上或向下平移5个单位长度，此时直线与轴的交点，即可点的坐标， 当向上平移5个单位长度时，此时， 当时，， 当向下平移5个单位长度时，此时， 当时，， 点的坐标为或． 8.已知：一次函数（）的图像与反比例函数的图像交于点和．    (1)求一次函数的表达式； (2)将直线沿轴负方向平移个单位，平移后的直线与反比例函数图像恰好只有一个交点，求的值． 【分析】（1）将点 和 代入反比例函数的解析式，求得的值，确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据题意，写出一次函数变化后的新的图像的解析式，然后根据方程的根的判别式即可求得 值． 【详解】（1）解：∵点和是反比例函数的图像上的点， ∴，， 解得，， ∴，， ∵，在一次函数（）的图像上， ∴，解得， 所以，一次函数的表达式是； （2）将直线沿轴负方向平移个单位，可得， 联立， 消去y可得， 整理可得， 因为只有一个交点， 所以， 解得， 所以，将直线沿轴负方向平移个单位长度，平移后的直线与反比例函数图像恰好只有一个交点． 9.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．    (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)结合函数图象，直接写出时的取值范围； (3)点在轴上，且满足的面积等于4，请求点的坐标． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握三角形的面积的求法，以及反比例函数的图像与性质是解决本题的关键． （1）待定系数法，求解析式即可； （2）根据图像求解即可； （3）先求出直线与x轴的交点P的坐标，再根据，列方程求出的长，进一步求出点P坐标． 【详解】（1）解：由题意可得： 点在反比例函数图象上， ，则， 反比例函数的解析式为， 将代入， 得：，即， 将，代入一次函数解析式中，得 ， 解得：， 一次函数解析式为； （2）由图可得：当或时，；    （3）点在轴上， 设点的坐标为， 一次函数解析式为，令，则， 直线与轴交于点， 由的面积为4，可得： ，即， 解得：或， 点的坐标为或． ✅ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 反比例函数的图像与性质 重难点一 判断反比例函数图像所在象限；与k值相关的问题 1.① 已知k正负，判断双曲线在哪两个象限:当k>0时，双曲线两支分别在第一、三象限；当k<0时双曲线两支分别在第二、四象限.② 给出图像经过哪些象限，反推参数k或者参数范围. 2. 若解析式含参数，结合象限列出不等式，解出参数取值范围. 1.已知反比例函数的图像过第二、四象限，则的取值可能是（　　） A．2 B． C．1 D．0 2.反比例函数与一次函数在同一坐标系的图像可能是（    ） A． B． C． D． 3.在同一平面直角坐标系内，二次函数的图象与反比例函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 4.如图，二次函数的图象如图，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象大致是(　　)    A．   B．   C．   D．   5.（2026年湖北省中考）反比例函数的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是______． 6.已知是关于x的反比例函数． (1)若时，y随x的增大而减小，求m的值； (2)若该反比例函数图象经过第二象限内点，求n的值． 7.已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于和两点．    (1)求k和n的值； (2)若点也在反比例函数图象上，求当时，函数值y的取值范围； (3)直接写出关于x的不等式的解集 ． 重难点二 反比例函数增减性相关问题 1. 给出k范围，判断增减性；或者给出自变量大小，比较y的大小.增减性规则：当 k>0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大. 2. 比较函数值大小两步：① 先判断几个自变量对应的点是否在同一个象限 ② 同象限：直接用增减性比较；跨象限：利用象限正负判断函数值正负，正数＞负数，直接比大小. 特别注意： 不能省略“在每个象限内”，不能直接说：k>0时，y随x增大而减小. 1.下列函数y随x的增大而增大的有（    ）个 ①   ②   ③  ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.已知点，是反比例函数图象上的点，若，则一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3.（2026年湖北省中考）已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，点在函数的图象上，，，均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当时，下列大小关系不可能的是（     ） A． B． C． D． 4.若点,,在反比例函数的图象上,则则的大小关系是 5.反比例函数，，在同一坐标系中的图象如图所示，则，，的大小关系为 6.反比例函数的图象在第一、三象限，点、、是图象上的三点，则，，的大小关系是 . 7.已知直线经过点，点关于轴的对称点在反比例函数的图象上，求反比例函数的表达式. 8.已知反比例函数的图象上有两点，当时，，求m的取值范围. 重难点三 与反比例函数图像上点相关的问题 方法1：把点横坐标x代入解析式，算出对应的y值，对比点的纵坐标，相等则点在图像上；不等则不在.方法2：利用xy=k的形式，计算点坐标乘积，若乘积等于k，则点在双曲线上.xy=k这个形式做题更快，适合选择填空. 1.(2026福建中考）下列各点中，在函数图象上的点是（     ） A． B． C． D． 2.点在函数图像上，下列说法中错误的是(    ) A．它的图象分布在二、四象限 B．当时，的值随的增大而增大 C．当时，的值随的增大而减小 D．它的图象过点 3.（2026年河北省中考）平面直角坐标系中有，，三点．若直线经过原点，则点一定在（     ） A．函数的图象上 B．函数的图象上 C．函数的图象上 D．函数的图象上 4.（2026年广西中考）已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 5.若，两点都在反比例函数的图像上，则的值为 6.在如图所示的网格中（每个小正方形的边长为1），以点O为原点作平面直角坐标系，则与P不在同一反比例函数图像上的是点 其中，，，， 7.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数的图象交于C、D两点且点C的坐标为，点D的坐标为． (1)直接写出一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出当自变量x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； (3)求的面积． 重难点四 k的几何意义类题型 双曲线上任意一点P，向x轴、y轴分别作垂线：围成矩形面积=|k|；围成直角三角形面积=|k|. 解题方法：①：已知点求面积：已知反比例解析式，已知图像上一点坐标，直接套用公式求矩形/三角形面积，面积一定是非负数，直接用|k|. ②：已知图形面积，反求k值：根据面积列出等式，求出|k|的值；观察双曲线所在象限，判断k正负； 写出k，注意部分题型有多种情况. 遇到斜边过原点、多个点组合的阴影面积，优先做坐标转化，拆成基础三角形、矩形；图形如果是反比例+坐标轴、原点组合，区分是三角形还是矩形. 1.若函数与函数的图象相交于两点，垂直轴于，则的面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 2.如图，四边形是平行四边形，在轴上，点在轴上，反比例函数的图象经过第一象限点，且的面积为，则＝（    ）．    A．6 B．3 C．9 D．12 3.如图，在反比例函数图象上，有点，，，，…，它们的横坐标依次为1，2，3，4，…n分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 …，， 则的值为（    ） A．8 B．4 C． D． 4.如图，函数的图像与平行于轴的直线分别相交于两点，且点在点的右侧，点在轴上，的面积为2，则    5.如图，直线与反比例函数，的图象交于点A、B，直线与反比例函数，的图象交于C，D，其中常数t，k均大于0，点P，Q分别是x轴、y轴上任意点，设和的面积分别为，，则下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，均为定值；正确的有 .    A．②④⑥ B．①②③ C．④⑥ D．⑤⑥ 6.如图是反比例函数和在x轴上方的图象，轴的平行线分别与这两个函数图象交于、两点，点在轴上，则的面积为 . 7.(2026年甘肃省武威市中考）如图，一次函数 的图象与反比例函数（ ）的图象交于点，与轴交于点 ．在反比例函数图象上有一点，过点 作 轴于点 ，连接 ， ． (1)求一次函数 与反比例函数（ ）的表达式； (2)求四边形 的面积． 8.如图，，关于原点对称，为反比例函数图象上异于的一个点．过作垂直于轴于点． (1)若的坐标为，则的坐标为______； (2)若的面积为，则的值为______； (3)在（）的条件下，若的纵坐标为，求的面积． 重难点五 反比例函数图像对称性相关问题 反比例函数双曲线关于原点中心对称；若点(a,b)在双曲线上，则对称点(-a,-b)也一定在双曲线上.部分反比例函数图像还关于直线y=x、y=-x轴对称.看到一个点坐标，利用中心对称性质，直接写出对称点坐标，代入解析式求值，不用重新求k.已知一支双曲线上一点，求另外一支上对称点坐标；判断两点是否关于原点对称等小题. 1.已知点，在函数的图象上，有下列命题： ①此函数的图象是轴对称图形；②若，则； ③连接AB，OA，OB，若，则．其中的真命题是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2.如图，点A，B分别在反比例函数和的图象上，且轴，连接与反比例函数的图象交于点C，连接，则的面积为（　　）    A． B． C． D．3 3.如图，O是坐标原点，平行四边形的顶点A的坐标为，顶点C在轴的负半轴上，反比例函数的图像经过顶点B，则平行四边形的面积为 . 4.如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点．    (1)求k的值； (2)将正方形分别沿直线、翻折，得到正方形、．设线段、分别与函数的图象交于点、，求线段所在直线的函数关系式； (3)将函数的图象沿轴向上平移使其过点，得到图象，直接说出图象是否过点？ 5.（2026年贵州中考）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 重难点六 图像综合辨析题（选择压轴类） 同一坐标系，判断反比例+一次函数图像大致匹配是否正确，已知k或者参数范围选图.统一变量法：两个函数解析式里面字母k是同一个，k符号必须保持一致 1. 先看反比例图像，判断k正负；2. 再看一次函数图像特征，看对应的k符号是否和反比例得到的符号一致；3. 符号一致的选项才正确，矛盾选项直接排除. 特别注意：参数k正负不能自相矛盾，这是排除错误选项关键. 1.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点，当一次函数大于反比例函数的值时，的取值范围是　　    A． B． C． D． 2.观察函数和的图像可知，不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 3.如图，等腰中，，，轴，交y轴于点E，且E是的中点．反比例函数的图象经过点A，交于点D．若，则k的值是（    ）    A． B． C． D． 4.如图，正方形对称中心在原点O，四个顶点分别位于两个反比例函数的图象的四个分支上，则实数的值为 .    5.设函数与的图象的交点坐标为，则的值为 ． 6．2026年江西省中考如图，四边形是平行四边形，，，，点在轴上，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)为边上的一点，直线交双曲线另一支于点，当的面积等于的面积的时，求点的坐标． 7.如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于A，B两点，AC垂直x轴于点C，O为坐标原点，． (1)求反比例函数的解析式和点B的坐标； (2)点D在y轴上，满足的面积和的面积相等，求点D的坐标． 8.已知：一次函数（）的图像与反比例函数的图像交于点和．    (1)求一次函数的表达式； (2)将直线沿轴负方向平移个单位，平移后的直线与反比例函数图像恰好只有一个交点，求的值． 9.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．    (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)结合函数图象，直接写出时的取值范围； (3)点在轴上，且满足的面积等于4，请求点的坐标． ✅ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $