培优08 反比例函数与一次函数、二次函数综合（6大题型）数学新教材人教版九年级上册

培优08 反比例函数与一次函数、二次函数综合 思维导图 知识点睛 一 核心知识点 1.反比例函数的基础图象与性质：包括反比例函数的一般形式、图象双曲线的形状特征、的正负决定图象所在的象限（时一、三象限，时二、四象限）、在每个象限内的增减性、的几何意义（与坐标轴围成矩形面积）、反比例函数图象上点的坐标特征（），以及比较反比例函数值或自变量的大小。 2.反比例函数与二次函数、一次函数的图象综合判断：包括由反比例函数图象判断的符号，进而判断二次函数的开口方向、对称轴位置、顶点坐标及与轴交点位置；或由二次函数、一次函数图象反推各系数符号，再判断反比例函数图象所在象限；以及根据两函数交点的横坐标求待定参数的值。 3.一次函数与反比例函数的交点问题：包括联立一次函数（或正比例函数）与反比例函数求交点坐标、由交点坐标利用待定系数法求函数解析式、求一次函数解析式与求反比例函数解析式、由反比例函数图象的对称性求点的坐标（正比例函数与反比例函数交点关于原点对称），以及一次函数图象平移后与反比例函数的新交点问题。 4.函数图象与不等式（图象法解不等式）：包括根据两条直线的交点（函数图象交点）求一元一次不等式的解集、比较一次函数与反比例函数函数值大小（即图象上下位置关系）时自变量的取值范围。 5.函数综合中的面积问题：包括一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积（含三角形面积，如由两交点与坐标轴交点构成的三角形）、已知两点坐标求两点距离、利用坐标割补法求三角形面积、由面积条件反求点的坐标、面积最大值问题（转化为二次函数求最值）。 6.反比例函数与几何图形综合：包括反比例函数与几何综合：利用菱形的性质求线段长与点坐标、利用平行四边形的性质求解点坐标、全等三角形判定与性质、求点到坐标轴的距离、等腰直角三角形与函数图象结合求参数、最短路径问题（将军饮马，作对称点求最小值）。 7.一次函数与反比例函数的实际应用：包括利用一次函数与反比例函数刻画分段变化过程（如饮水机加热降温、教室消毒效果随时间变化、学生听课注意力指标变化），从函数图象获取信息、分段求函数解析式，并利用解析式与不等式解决“是否达到某标准、持续多长时间”等实际判断问题。 二 解题模型 1. 图象综合判断模型（系数符号联动） 由一种函数的图象特征反推参数符号，再代入另一函数判断其图象位置，要求两函数图象同时成立、彼此不矛盾。常见组合：反比例函数＋二次函数、反比例函数＋一次函数、一次函数＋二次函数＋反比例函数三者综合。核心是抓住各函数中同一参数（或相关参数）的符号一致性，如与共用，与中之间的符号相互制约。解题模式为“由已知图象定符号→逐个选项检验符号是否矛盾→排除法锁定答案”。 2. 交点模型（联立方程求交点） 一次函数（含正比例函数）与反比例函数的交点问题贯穿全卷：将两个解析式联立成方程组求解，得交点坐标；反之，已知一个交点的坐标，可代入反比例函数（）与一次函数解析式求出待定参数。特别地，正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点中心对称（坐标均互为相反数），可借此由一点直接写出另一点。 3. 图象法解不等式模型 不等式（或两函数值比较大小）问题统一转化为“看图象上下位置”：一次函数图象在反比例函数图象上方，对应一次函数值大于反比例函数值，此时自变量的取值范围即不等式的解集；下方则相反。解集的边界就是两函数交点的横坐标，通常写出"两段"并集形式（或，注意结合象限与取值范围）。 4. 面积模型（坐标轴割补法） 由函数图象交点、直线与坐标轴交点构成的三角形面积，常用“割补法”：把三角形拆成以坐标轴（或平行于坐标轴的线段）为公共底的几个三角形，分别以水平距离、铅垂距离作高求面积再相加；或由直线与轴交点将三角形分成两部分。已知面积反求点坐标时，设出点坐标（如()），用距离公式表示面积列方程求解，并注意象限对符号的限制。 5. 对称性与几何性质模型 借助反比例函数图象与正比例函数图象交点的中心对称性、点的轴对称（关于轴、轴翻折）、菱形（四边相等、对边平行）、平行四边形（对角线互相平分、对边平行）、全等三角形等几何性质，结合坐标关系（平行于轴的直线上纵坐标相等、平行于轴的直线上横坐标相等）确定点的坐标，再代入函数解析式求参数。 6. 实际应用模型（分段函数） 实际问题中变化过程常由多段函数刻画（一次函数段＋反比例函数段），如“先升温再降温”“先集中再分散”。解题模式：读图象取关键点（转折点、已知点）→分段用待定系数法求解析式并标注自变量取值范围→代入具体值或解不等式判断实际结论（如持续时间、是否达标）。 题型分析 题型1：图象综合问题 【例1】 （25-26九年级上·安徽·期末）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 变式1-1 （2025·宁夏吴忠·三模）已知反比例函数 的图象如图，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 变式1-2 （25-26九年级上·安徽合肥·期中）若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型2：交点问题 【例2】 （25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式2-1 （26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 变式2-2 （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值为______． 题型3：利用图象解不等式问题 【例3】 （25-26八年级下·山东济南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 变式3-1 （25-26八年级下·河南周口·期末）一次函数与反比例函数交于，当时， x的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 变式3-2 （25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点，点的坐标是，点的坐标是． （1）_____ （2）根据函数图象直接写出关于的不等式的解集为_____ 题型4：面积问题 【例4】 （2026·浙江·模拟预测）在坐标系中有函数与函数相交于A、B两点，分别连接坐标原点C，则的面积为（     ） A．4 B． C．3 D． 变式4-1 （2026·山东烟台·中考真题）如图，直线与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于 ，两点，轴，垂足为，连接．若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 变式4-2 （2026·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为． (1)求的值； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积． 题型5：对称性结合几何问题 【例5】 （25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，反比例函数（为常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于、两点，点在第四象限，轴． (1)求的值； (2)以、为边作菱形，求点的坐标； (3)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 变式5-1 （24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)请直接写出不等式的解集； (3)将点沿轴翻折，落在点处，连接、，求的面积． 变式5-2 （2026·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数与反比例函数的图像交于，B两点，x轴上的点C的坐标为． (1)求点A，B的坐标以及反比例函数的表达式． (2)点D在x轴上，当四边形为平行四边形时，点D的坐标为__________． 题型6：实际应用（分段函数）问题 【例6】 （24-25八年级下·重庆·阶段检测）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 变式6-1 （22-23八年级下·江苏宿迁·期末）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分．    (1)求图中点A的坐标； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 变式6-2 （2024·辽宁大连·一模）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 解题技巧 1.待定系数法贯穿始终：凡求函数解析式，优先把图象上已知点的坐标代入对应解析式建立方程；求一次函数解析式通常需两个点，求反比例函数解析式只需一个点（）。交点坐标同时满足两个函数，是沟通两个解析式的桥梁。 2.善用对称性快速求点：正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，已知一点可直接得另一点；涉及"由反比例函数图象的对称性求点的坐标"的题目，直接用中心对称结论，避免重新联立方程组。 3.不等式问题图象化：不等式解集问题一律回到图象：先找交点横坐标定边界，再看"谁在上方"定方向，写出含"或"的并集；注意不要漏掉被省略的象限区间，必要时结合具体解析式验证。 4.面积用坐标轴割补：求三角形面积时优先找坐标轴上的边或平行于坐标轴的边作底，另一顶点到该底所在直线的距离作高；“两交点＋坐标轴交点”型三角形常用“大三角形减部分”或“拆成两个同底三角形”处理。 5.设坐标列方程：由面积、距离等几何条件反求点坐标时，先设未知点坐标（含正负号），把条件写成关于坐标的方程（注意距离要取绝对值），解方程后按象限取舍；涉及“点到坐标轴的距离”时，距离=坐标的绝对值。 6.面积最值转二次函数：二次函数求面积最值时，先把面积表示成关于某一变量的二次函数，再配方（或由顶点公式）求最值，并验证取得最值时点是否满足题设范围。 7.整体代入：分式化简求值、代数式求值类问题，先由交点满足的等式得、之类的整体关系，再整体代入目标式，不必求出具体坐标。 8.分类讨论：与分别讨论，逐个情况判断图象位置与结论；涉及两函数值比较、参数符号判断时，分类讨论是标准动作。 9.平移问题抓“斜率不变”：先由平移规则（上加下减）写出新直线解析式，再与新函数图象联立求新交点；求两交点与坐标轴构成的面积时，利用平移前后距离不变（平行线间距离处处相等）可简算。 10.几何转化与中点公式：最短路径问题（将军饮马）作对称点，将“折线”转化为“直线”，当三点共线时距离和最小；用中点坐标公式处理平行四边形顶点问题（对角线互相平分）。 归纳总结 一、重点 1.反比例函数图象与的关系，的符号决定双曲线所在象限与增减性。 2.待定系数法求一次函数与反比例函数解析式：已知一个交点求反比例函数解析式，再由交点求一次3.函数解析式（待定系数法），这是解答题第一问的固定模式。 4.函数交点与不等式的相互转化，会读图比较两函数图象上下位置并写出解集（两段并集）。 5.用坐标轴割补法求面积，重点是两交点与坐标轴交点构成的三角形面积，“拆成同底三角形”的思路。 6.图象的对称性：正比例函数与反比例函数交点关于原点对称，直接写出对称点坐标。 7.多函数图象综合判断：由与分类讨论，使两函数图象同时成立（符号一致、无矛盾）。 8.特殊四边形与全等与函数结合：菱形四边相等、平行四边形对角线互相平分、全等三角形判定的坐标化应用。 9.实际问题的分段函数建模：分段求解析式、用解析式解不等式判断实际结果。 二、难点 1.多函数图象联动判断：由一种函数图象反推多个系数符号，再与另一函数图象核对，需要同时对开口、对称轴、与轴交点、象限等多个特征进行联动判断，漏判或错判一个特征即出错。 2.几何条件坐标化与多解讨论：需设坐标、列方程（组）并讨论多解，过程长、运算量大。 3.面积最值问题：把面积表示成关于变量的二次函数求最值，要求建立正确的函数关系并验证取值范围。 4.最短路径（将军饮马）综合：作对称点后求“三点共线”时的最小值，需要准确画出对称、求出直线解析式并求交点坐标。 5.实际应用中的分段函数：需准确分段、正确标注自变量范围，且要读图取点（如转折点坐标），稍不留神即代错数据。 6.含分式与一元二次方程的运算：如解分式方程（化为一元二次）、分式化简求值中的整体变形，是综合题的运算难点。 三、易错点 1.解集漏端点、漏一支：不等式“＞和＜”的边界是交点横坐标，端点处两函数值相等，解集两端容易漏写"或"中的某一支（尤其忽略第三象限区间）。 2.系数符号判断混乱：图象综合判断题中只检验了一个函数，未核对两函数参数符号的一致性，或把“开口向上/向下”“称轴在左/右”“与轴交点正负”的对应关系记反。 3.坐标正负与多解取舍：由面积、距离反求坐标时忘记取绝对值，或解出多个值后未按“第三象限”“第一象限”等条件舍去多余解。 4.底高对应错误：求三角形面积时选错底和高，把“到轴的距离”误用为纵坐标本身而不加绝对值；面积公式中混淆铅垂高与水平底。 5.几何性质误用：几何综合中误用对称结论（如把非关于原点对称的点当对称点）、菱形/平行四边形性质用错（如把“对角线平分”写成“对角线相等”）；平行于坐标轴的直线上点的坐标特征（纵/横坐标相等）记错。 6.代入数据错位：已知反比例函数解析式求点坐标时代错与（忘记），或把“点的横坐标/纵坐标”代入错误函数。 7.实际问题分段混乱：分段函数问题中把不同段的点、解析式混用；求“不低于某值的时间”时不会利用两端点时间相减。 8.方程求解丢根增根：解交点联立方程（含因式分解、分式方程）时丢根、增根或未验根；分式化简求值未先变形就直接代入。 四、数学思想 1.数形结合思想：全卷最核心的思想——利用函数图象研究函数性质、解不等式（看图象上下位置）、求交点（看公共点）、比较函数值大小，几乎所有题目都以“读图、画图、用图”为主线。 2.分类讨论思想：判断图象问题时按与分情况讨论；求参数范围、多解取舍时均需分类讨论，保证答案的完备性。 3.对称与转化思想：利用正比例函数与反比例函数图象关于原点中心对称的性质、点的轴对称，以及平行线间距离相等等性质简化计算，实现“以形助数”。 4.方程（组）思想：求解析式用待定系数法（设——代——求），由已知条件设未知量、列方程（组）求解，把几何条件、面积条件转化为代数方程。 5.化归转化思想：把不等式解集问题转化为函数图象位置问题，把代数式求值转化为整体关系代入，把实际问题转化为分段函数模型，处处体现“化未知为已知、化复杂为简单”。 6.坐标法（解析法）思想：通过坐标、距离、中点公式把几何对象“翻译”成代数语言，用代数运算解决几何问题（菱形、平行四边形、全等、面积）。 7.函数建模思想：实际应用题从图象中提取信息、建立函数模型、用模型解决“是否达标”“持续多久”等真实问题，体现数学建模与数学应用的意识。 同步测评 1．（2025·安徽滁州·二模）已知反比例函数（）与二次函数的图象有一个交点的横坐标为1，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．3 2．（2025·广东广州·一模）已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 3．（2025·安徽六安·二模）在同一坐标系中，函数与的图象大致为（   ） A． B． C．D． 4．（26-27九年级上·四川·开学考试）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，下列结论中正确的是（     ） A． B．若，则 C． D．若，则 6．（2026·河北保定·二模）已知点和在反比例函数（）的图象上，直线（）与该反比例函数的图象交于A，C两点，则下列结论正确的是（    ） A．点A在点B的下方 B．点C在点A的上方 C．点B在点C的上方 D．点A，B均在x轴的下方 7．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为_________． 8．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，函数（为常数）和（，）的图象交于点． (1)求和的值； (2)当时，关于的不等式的解集为________． 9．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数与一次函数的函数表达式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集为_________，直接写出以反比例函数与一次函数图象交点横坐标为两根的一元二次方程_________； (3)若点为轴上一点，的面积为10，直接写出点的坐标． 10．（2026·河南周口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，两点的坐标分别是，过两点的直线与轴， 轴分别交于点，双曲线与该直线交于两点． (1)求直线和双曲线的函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，满足，求点P的坐标． 11．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 12．（2026·河南新乡·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出时x的取值范围． 13．（2025·上海·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与y轴交于点C（0，2），已知的面积为6． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出，当时，的取值范围． 14．（2025·四川广元·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集； (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点P在第三象限为反比例函数图像上一点，，求点P的坐标； (3)当时，求x的取值范围． 16．（2025·安徽安庆·二模）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，两点，且点的横坐标和点的纵坐标都是，直线交轴于点． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)请直接写出反比例函数图象在一次函数图象上方时，的取值范围． 17．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）直线与反比例函数的图象交于点． (1)求，的值． (2)设点的坐标为且，过点作平行于轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点，，当时，求的值． 18．（2026·江苏淮安·中考真题）如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图像交于点，连接． (1)求和的值． (2)求的面积． (3)当时，的取值范围是__________． 19．（2026·江苏南通·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，点的横坐标为1． (1)求的值． (2)观察图像，直接写出不等式的解集． 20．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)请直接写出不等式的解集； (2)求一次函数的解析式； (3)求的面积． 21．（26-27九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，直线（k，b为常数）与双曲线（m为常数）相交于，两点． (1)求双曲线与直线的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)连结，，试求的面积． 22．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求，的值； (2)结合图象，直接写出时x的取值范围． 23．（23-24九年级下·湖南娄底·阶段检测）如图直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 23 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优08 反比例函数与一次函数、二次函数综合 思维导图 知识点睛 一 核心知识点 1.反比例函数的基础图象与性质：包括反比例函数的一般形式、图象双曲线的形状特征、的正负决定图象所在的象限（时一、三象限，时二、四象限）、在每个象限内的增减性、的几何意义（与坐标轴围成矩形面积）、反比例函数图象上点的坐标特征（），以及比较反比例函数值或自变量的大小。 2.反比例函数与二次函数、一次函数的图象综合判断：包括由反比例函数图象判断的符号，进而判断二次函数的开口方向、对称轴位置、顶点坐标及与轴交点位置；或由二次函数、一次函数图象反推各系数符号，再判断反比例函数图象所在象限；以及根据两函数交点的横坐标求待定参数的值。 3.一次函数与反比例函数的交点问题：包括联立一次函数（或正比例函数）与反比例函数求交点坐标、由交点坐标利用待定系数法求函数解析式、求一次函数解析式与求反比例函数解析式、由反比例函数图象的对称性求点的坐标（正比例函数与反比例函数交点关于原点对称），以及一次函数图象平移后与反比例函数的新交点问题。 4.函数图象与不等式（图象法解不等式）：包括根据两条直线的交点（函数图象交点）求一元一次不等式的解集、比较一次函数与反比例函数函数值大小（即图象上下位置关系）时自变量的取值范围。 5.函数综合中的面积问题：包括一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积（含三角形面积，如由两交点与坐标轴交点构成的三角形）、已知两点坐标求两点距离、利用坐标割补法求三角形面积、由面积条件反求点的坐标、面积最大值问题（转化为二次函数求最值）。 6.反比例函数与几何图形综合：包括反比例函数与几何综合：利用菱形的性质求线段长与点坐标、利用平行四边形的性质求解点坐标、全等三角形判定与性质、求点到坐标轴的距离、等腰直角三角形与函数图象结合求参数、最短路径问题（将军饮马，作对称点求最小值）。 7.一次函数与反比例函数的实际应用：包括利用一次函数与反比例函数刻画分段变化过程（如饮水机加热降温、教室消毒效果随时间变化、学生听课注意力指标变化），从函数图象获取信息、分段求函数解析式，并利用解析式与不等式解决“是否达到某标准、持续多长时间”等实际判断问题。 二 解题模型 1. 图象综合判断模型（系数符号联动） 由一种函数的图象特征反推参数符号，再代入另一函数判断其图象位置，要求两函数图象同时成立、彼此不矛盾。常见组合：反比例函数＋二次函数、反比例函数＋一次函数、一次函数＋二次函数＋反比例函数三者综合。核心是抓住各函数中同一参数（或相关参数）的符号一致性，如与共用，与中之间的符号相互制约。解题模式为“由已知图象定符号→逐个选项检验符号是否矛盾→排除法锁定答案”。 2. 交点模型（联立方程求交点） 一次函数（含正比例函数）与反比例函数的交点问题贯穿全卷：将两个解析式联立成方程组求解，得交点坐标；反之，已知一个交点的坐标，可代入反比例函数（）与一次函数解析式求出待定参数。特别地，正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点中心对称（坐标均互为相反数），可借此由一点直接写出另一点。 3. 图象法解不等式模型 不等式（或两函数值比较大小）问题统一转化为“看图象上下位置”：一次函数图象在反比例函数图象上方，对应一次函数值大于反比例函数值，此时自变量的取值范围即不等式的解集；下方则相反。解集的边界就是两函数交点的横坐标，通常写出"两段"并集形式（或，注意结合象限与取值范围）。 4. 面积模型（坐标轴割补法） 由函数图象交点、直线与坐标轴交点构成的三角形面积，常用“割补法”：把三角形拆成以坐标轴（或平行于坐标轴的线段）为公共底的几个三角形，分别以水平距离、铅垂距离作高求面积再相加；或由直线与轴交点将三角形分成两部分。已知面积反求点坐标时，设出点坐标（如()），用距离公式表示面积列方程求解，并注意象限对符号的限制。 5. 对称性与几何性质模型 借助反比例函数图象与正比例函数图象交点的中心对称性、点的轴对称（关于轴、轴翻折）、菱形（四边相等、对边平行）、平行四边形（对角线互相平分、对边平行）、全等三角形等几何性质，结合坐标关系（平行于轴的直线上纵坐标相等、平行于轴的直线上横坐标相等）确定点的坐标，再代入函数解析式求参数。 6. 实际应用模型（分段函数） 实际问题中变化过程常由多段函数刻画（一次函数段＋反比例函数段），如“先升温再降温”“先集中再分散”。解题模式：读图象取关键点（转折点、已知点）→分段用待定系数法求解析式并标注自变量取值范围→代入具体值或解不等式判断实际结论（如持续时间、是否达标）。 题型分析 题型1：图象综合问题 【例1】 （25-26九年级上·安徽·期末）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，以及二次函数图象，解决此题的关键是根据反比例函数的性质确定k的正负． 先根据反比例函数图象得到，再根据二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∵二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴二次函数的图象的对称轴在y轴的左侧，且顶点在x轴上． ∴只有A选项符合题意． 故选：A 变式1-1 （2025·宁夏吴忠·三模）已知反比例函数 的图象如图，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质．根据反比例函数的图象得出，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、二、四象限，故本选项不符合题意； B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴与矛盾，故本选项不符合题意； C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、三、四象限，故本选项不符合题意； D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、二、四象限，故本选项符合题意． 故选：D． 变式1-2 （25-26九年级上·安徽合肥·期中）若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象，分为或两种情况得到反比例函数和二次函数图象的位置，逐项判断解答即可． 【详解】当时，反比例函数图象位于一、三象限，二次函数图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方； 当时，反比例函数图象位于二、四象限，二次函数图象开口向上，与y轴交点位于x轴下方； 符合题意的图象为D选项， 故答案为：D． 题型2：交点问题 【例2】 （25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将、两点代入函数，求出的值，再结合图象，根据函数的图象在函数的图象上方部分对应的自变量取值直接作答即可． 【详解】解：将，两点代入， 得，，解得：， ，， 由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， 当时，的取值范围是． 变式2-1 （26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】直接利用图象法找到直线在双曲线上方时的自变量的范围即可. 【详解】解：由图象可知，当时，的取值范围是 或 . 变式2-2 （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】根据反比例函数和一次函数的性质可得，，即，，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴． 题型3：利用图象解不等式问题 【例3】 （25-26八年级下·山东济南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据函数图象得到当或时在上方，即可得到答案． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 根据函数图象可知当或时在上方， 关于的不等式解集是或． 变式3-1 （25-26八年级下·河南周口·期末）一次函数与反比例函数交于，当时， x的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】不等式表示一次函数值小于反比例函数值，结合两个交点坐标及对应函数图象即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为，其函数图象分别位于第二、四象限； 把，代入，得， 解得，即一次函数的表达式为． ∴反比例函数与一次函数的图象如图所示： 由图象可知，当时，的取值范围是或． 变式3-2 （25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点，点的坐标是，点的坐标是． （1）_____ （2）根据函数图象直接写出关于的不等式的解集为_____ 【答案】2；或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点代入反比例函数解析式，即可得答案； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：（1）把点代入，得，解得， 反比例函数的解析式为， 把点代入，得，解得； （2）由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， 关于x的不等式的解集为或， 故答案为：①2；②或． 题型4：面积问题 【例4】 （2026·浙江·模拟预测）在坐标系中有函数与函数相交于A、B两点，分别连接坐标原点C，则的面积为（     ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】首先，设函数的图象与y轴交于点D，根据函数与函数相交于A、B两点，联立两个函数的表达式组成方程组，解方程组即可得出点的坐标，然后求得的长，最后，由即可求得结果． 【详解】解：如图，设函数的图象与y轴交于点D， ∵函数与函数相交于A、B两点， ∴，解得，， ∴，， 将代入函数，得， ∴， ∴， ∴． 变式4-1 （2026·山东烟台·中考真题）如图，直线与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于 ，两点，轴，垂足为，连接．若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用一次函数求出点的坐标，由推出点的坐标，再次利用一次函数求出点的坐标，进而求得反比例函数的解析式，联立一次函数与反比例函数求出点的坐标，最后利用割补法求出的面积． 【详解】解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴，， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ∴反比例函数的解析式为， 联立一次函数与反比例函数得， ，解得或， ∴点的坐标为， ． 变式4-2 （2026·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为． (1)求的值； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积． 【答案】(1)；(2)或；(3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数的对称性可知，，观察函数图象即可求解； （3）直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、，联立直线与反比例函数解析式求出，两点的坐标，再由平移得到，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴，即， ∴在直线上， ∴，解得； （2）解：∵反比例函数的图象与直线相交于，两点，， ∴A、B关于原点对称， ∴， 观察函数图象，可知：当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵将直线向上平移3个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴，， 如图，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、， 当时，； 当时，； ∴，， ∵将直线向上平移3个单位长度得到直线， ∴， ∴． 题型5：对称性结合几何问题 【例5】 （25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，反比例函数（为常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于、两点，点在第四象限，轴． (1)求的值； (2)以、为边作菱形，求点的坐标； (3)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)；(2)；(3)关于的不等式的解集为或 【分析】（1）根据正比例函数的图象经过得到，把代入即可得到的值； （2）把正比例函数和反比例函数解析式联立得到，求出，根据四边形是菱形得到，由轴得到轴，即可求出点的坐标； （3）根据反比例函数（为常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于、两点，根据两个图象的位置即可求出答案． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过 ∴， ∴， 把代入得到，解得； （2）解：由（1）得到， 与联立得到，解得或， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵轴． ∴轴， ∵， ∴点的坐标为； （3）解：∵反比例函数（为常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于、两点， ∴当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴关于的不等式的解集为或． 变式5-1 （24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)请直接写出不等式的解集； (3)将点沿轴翻折，落在点处，连接、，求的面积． 【答案】(1)，；(2)或；(3)16 【分析】本题是一次函数和反比例函数的交点问题，能直接利用函数图象求出不等式的解集是解题的关键． （1）将点坐标代入求得，然后代入即可求得； （2）用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题； （3）求出对称点坐标，求面积． 【详解】（1）解：将代入，得． ， 将代入，求得．，． （2）解：根据函数图象可知：不等式的解集为或． （3）解：将，代入，得，解得， 一次函数的关系式为， 与轴交于点， ∴点沿轴翻折后，得，如图： 设所在直线的函数表达式为， 将，代入，得，解得， 所在直线的函数表达式为． 与轴交点为， ， ， ∴的面积为16． 变式5-2 （2026·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数与反比例函数的图像交于，B两点，x轴上的点C的坐标为． (1)求点A，B的坐标以及反比例函数的表达式． (2)点D在x轴上，当四边形为平行四边形时，点D的坐标为__________． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 ，反比例函数的表达式为；(2) 【分析】（1）将点 的横坐标代入正比例函数求出，从而得到点的坐标．利用对称性求出点的坐标，再将点坐标代入反比例函数求出 ． （2） 利用平行四边形的对角线互相平分的性质，结合点的坐标，推导出点的坐标即可． 【详解】（1）解：点在正比例函数的图象上， ， 点的坐标为， 正比例函数与反比例函数的图象交于 两点， 点与点关于原点对称， 点的坐标为 ， 将点 代入反比例函数 ， 可得，解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：∵点，点，点， 点在轴上，设点的坐标为 ． 线段的中点坐标为，即， 线段的中点坐标为，即， 当四边形为平行四边形时， 可得，，解得， 点D的坐标为． 题型6：实际应用（分段函数）问题 【例6】 （24-25八年级下·重庆·阶段检测）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】(1)3；(2)深消毒阶段为线段的函数关系式；降消毒阶段为反比例函数解析式；(3)消毒有效 【分析】（1）根据图象信息直接解答即可 （2）设线段的函数关系式为，结合和，利用待定系数法解答即可．根据题意，得反比例函数经过点，设反比例函数的解析式为，确定解析式，后代入求值即可． （3）根据解析式为，，当时，； 当时，；确定循环时长，解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，待定系数法，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图象知，当10分钟时，效力为3， 故答案为：3． （2）解：当时， 设直线的函数关系式为，结合和，利用根据题意，得， 解得，所以． 根据题意，得反比例函数经过点， 当时， 设反比例函数的解析式为， 故，解得， 故． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 持续时长为． 故本次消毒有效． 变式6-1 （22-23八年级下·江苏宿迁·期末）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分．    (1)求图中点A的坐标； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】(1)20；(2)见详解 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的指标值； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ，即对应的指标值为20； （2）解：能，理由： 设当时，的解析式为，将、代入得： ，解得， 的解析式为， 当时，，解得， 由（1）得反比例函数的解析式为， 当时，，解得， 时，注意力指标都不低于36， 而， 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36． 变式6-2 （2024·辽宁大连·一模）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 【答案】(1)；(2)加热一次，水温不低于的时间为 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用． （1）待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出的值，即可； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将点代入，得， ∴与之间的函数关系式为， 当时，， ， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：当时，设一次函数的表达式为， 将点代入一次函数的表达式，得，解得：， ∴一次函数的表达式为， 令，则； 在降温过程中，当水温为时，有，则， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 解题技巧 1.待定系数法贯穿始终：凡求函数解析式，优先把图象上已知点的坐标代入对应解析式建立方程；求一次函数解析式通常需两个点，求反比例函数解析式只需一个点（）。交点坐标同时满足两个函数，是沟通两个解析式的桥梁。 2.善用对称性快速求点：正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，已知一点可直接得另一点；涉及"由反比例函数图象的对称性求点的坐标"的题目，直接用中心对称结论，避免重新联立方程组。 3.不等式问题图象化：不等式解集问题一律回到图象：先找交点横坐标定边界，再看"谁在上方"定方向，写出含"或"的并集；注意不要漏掉被省略的象限区间，必要时结合具体解析式验证。 4.面积用坐标轴割补：求三角形面积时优先找坐标轴上的边或平行于坐标轴的边作底，另一顶点到该底所在直线的距离作高；“两交点＋坐标轴交点”型三角形常用“大三角形减部分”或“拆成两个同底三角形”处理。 5.设坐标列方程：由面积、距离等几何条件反求点坐标时，先设未知点坐标（含正负号），把条件写成关于坐标的方程（注意距离要取绝对值），解方程后按象限取舍；涉及“点到坐标轴的距离”时，距离=坐标的绝对值。 6.面积最值转二次函数：二次函数求面积最值时，先把面积表示成关于某一变量的二次函数，再配方（或由顶点公式）求最值，并验证取得最值时点是否满足题设范围。 7.整体代入：分式化简求值、代数式求值类问题，先由交点满足的等式得、之类的整体关系，再整体代入目标式，不必求出具体坐标。 8.分类讨论：与分别讨论，逐个情况判断图象位置与结论；涉及两函数值比较、参数符号判断时，分类讨论是标准动作。 9.平移问题抓“斜率不变”：先由平移规则（上加下减）写出新直线解析式，再与新函数图象联立求新交点；求两交点与坐标轴构成的面积时，利用平移前后距离不变（平行线间距离处处相等）可简算。 10.几何转化与中点公式：最短路径问题（将军饮马）作对称点，将“折线”转化为“直线”，当三点共线时距离和最小；用中点坐标公式处理平行四边形顶点问题（对角线互相平分）。 归纳总结 一、重点 1.反比例函数图象与的关系，的符号决定双曲线所在象限与增减性。 2.待定系数法求一次函数与反比例函数解析式：已知一个交点求反比例函数解析式，再由交点求一次3.函数解析式（待定系数法），这是解答题第一问的固定模式。 4.函数交点与不等式的相互转化，会读图比较两函数图象上下位置并写出解集（两段并集）。 5.用坐标轴割补法求面积，重点是两交点与坐标轴交点构成的三角形面积，“拆成同底三角形”的思路。 6.图象的对称性：正比例函数与反比例函数交点关于原点对称，直接写出对称点坐标。 7.多函数图象综合判断：由与分类讨论，使两函数图象同时成立（符号一致、无矛盾）。 8.特殊四边形与全等与函数结合：菱形四边相等、平行四边形对角线互相平分、全等三角形判定的坐标化应用。 9.实际问题的分段函数建模：分段求解析式、用解析式解不等式判断实际结果。 二、难点 1.多函数图象联动判断：由一种函数图象反推多个系数符号，再与另一函数图象核对，需要同时对开口、对称轴、与轴交点、象限等多个特征进行联动判断，漏判或错判一个特征即出错。 2.几何条件坐标化与多解讨论：需设坐标、列方程（组）并讨论多解，过程长、运算量大。 3.面积最值问题：把面积表示成关于变量的二次函数求最值，要求建立正确的函数关系并验证取值范围。 4.最短路径（将军饮马）综合：作对称点后求“三点共线”时的最小值，需要准确画出对称、求出直线解析式并求交点坐标。 5.实际应用中的分段函数：需准确分段、正确标注自变量范围，且要读图取点（如转折点坐标），稍不留神即代错数据。 6.含分式与一元二次方程的运算：如解分式方程（化为一元二次）、分式化简求值中的整体变形，是综合题的运算难点。 三、易错点 1.解集漏端点、漏一支：不等式“＞和＜”的边界是交点横坐标，端点处两函数值相等，解集两端容易漏写"或"中的某一支（尤其忽略第三象限区间）。 2.系数符号判断混乱：图象综合判断题中只检验了一个函数，未核对两函数参数符号的一致性，或把“开口向上/向下”“称轴在左/右”“与轴交点正负”的对应关系记反。 3.坐标正负与多解取舍：由面积、距离反求坐标时忘记取绝对值，或解出多个值后未按“第三象限”“第一象限”等条件舍去多余解。 4.底高对应错误：求三角形面积时选错底和高，把“到轴的距离”误用为纵坐标本身而不加绝对值；面积公式中混淆铅垂高与水平底。 5.几何性质误用：几何综合中误用对称结论（如把非关于原点对称的点当对称点）、菱形/平行四边形性质用错（如把“对角线平分”写成“对角线相等”）；平行于坐标轴的直线上点的坐标特征（纵/横坐标相等）记错。 6.代入数据错位：已知反比例函数解析式求点坐标时代错与（忘记），或把“点的横坐标/纵坐标”代入错误函数。 7.实际问题分段混乱：分段函数问题中把不同段的点、解析式混用；求“不低于某值的时间”时不会利用两端点时间相减。 8.方程求解丢根增根：解交点联立方程（含因式分解、分式方程）时丢根、增根或未验根；分式化简求值未先变形就直接代入。 四、数学思想 1.数形结合思想：全卷最核心的思想——利用函数图象研究函数性质、解不等式（看图象上下位置）、求交点（看公共点）、比较函数值大小，几乎所有题目都以“读图、画图、用图”为主线。 2.分类讨论思想：判断图象问题时按与分情况讨论；求参数范围、多解取舍时均需分类讨论，保证答案的完备性。 3.对称与转化思想：利用正比例函数与反比例函数图象关于原点中心对称的性质、点的轴对称，以及平行线间距离相等等性质简化计算，实现“以形助数”。 4.方程（组）思想：求解析式用待定系数法（设——代——求），由已知条件设未知量、列方程（组）求解，把几何条件、面积条件转化为代数方程。 5.化归转化思想：把不等式解集问题转化为函数图象位置问题，把代数式求值转化为整体关系代入，把实际问题转化为分段函数模型，处处体现“化未知为已知、化复杂为简单”。 6.坐标法（解析法）思想：通过坐标、距离、中点公式把几何对象“翻译”成代数语言，用代数运算解决几何问题（菱形、平行四边形、全等、面积）。 7.函数建模思想：实际应用题从图象中提取信息、建立函数模型、用模型解决“是否达标”“持续多久”等真实问题，体现数学建模与数学应用的意识。 同步测评 1．（2025·安徽滁州·二模）已知反比例函数（）与二次函数的图象有一个交点的横坐标为1，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与二次函数图象的交点问题，把代入，求出的值，待定系数法求出k的值即可． 【详解】解：把代入，得：， 把，代入，得； 故选B． 2．（2025·广东广州·一模）已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的综合．根据反比例函数的函数图象在一、三象限，得到，根二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，得到，，则，由此即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的函数图象在二、四象限， ∴， ∵二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴， ∴，， ∴一次函数经过一、二、四象限， 故选：D． 3．（2025·安徽六安·二模）在同一坐标系中，函数与的图象大致为（   ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】该题主要考查二次函数和反比例函数图象的有关性质．根据的符号，对函数的图象位置和的图象进行判断，逐一判断即可． 【详解】解：当时，函数的图象在一，三象限，此时同号， A．函数的图象，开口向上，对称轴，故，该选项符合题意； B．函数的图象，开口向下，对称轴，故，该选项不符合题意； C．函数的图象，开口向上，对称轴，故，该选项不符合题意； 当时，函数的图象在二，四象限，此时异号， D．函数的图象，开口向下，对称轴，故，该选项不符合题意； 故选：A． 4．（26-27九年级上·四川·开学考试）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据k的正负性，分别判断反比例函数图象所在的象限以及一次函数图象经过的象限，从而确定正确选项． 【详解】解：当 时，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，选项B符合题意； 当 时，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 选项A、C、D均不符合题意． 5．（2026·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，下列结论中正确的是（     ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】C 【分析】由点在双曲线上得，将两点代入直线方程推得，再结合逐一判断选项． 【详解】解：∵在双曲线上， ∴，即；故选项A错误． ∵，在直线上， ∴，，两式相加得，即； 两式相减得，即； ∵b恒为0，与的取值无关，故选项B错误． ， ∵，， ∴， 即，故选项C正确． 由，得，则， 故在第二象限，在第四象限， ∴直线过原点且经过二、四象限， 观察函数图象，直线在双曲线上方时，x的取值范围是或，故选项D错误． 6．（2026·河北保定·二模）已知点和在反比例函数（）的图象上，直线（）与该反比例函数的图象交于A，C两点，则下列结论正确的是（    ） A．点A在点B的下方 B．点C在点A的上方 C．点B在点C的上方 D．点A，B均在x轴的下方 【答案】C 【分析】正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点关于原点中心对称，根据题意画出对应图象，结合图象判断选项即可． 【详解】解：根据题意，画出大致图象如图，由图可得C选项正确． 7．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数和反比例函数解析式．先用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点，然后求出反比例函数解析式，再求出，最后求出结果即可． 【详解】解：设直线的解析式为，把代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：，解得：， ∴点， ∵点坐标为，，轴， ∴， 设双曲线的解析式为：，把代入得：， ∴双曲线的解析式为：， 把代入得：，解得：， ∴点， ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，函数（为常数）和（，）的图象交于点． (1)求和的值； (2)当时，关于的不等式的解集为________． 【答案】(1)的值为，的值为；(2) 【分析】（1）将交点坐标分别代入两个函数解析式，列方程求出参数、； （2）根据图象，在范围内，反比例函数图象在一次函数图象上方对应的取值即为不等式解集． 【详解】（1）解：将代入，解得． 将代入，解得． （2）解：不等式，即， 表示时反比例函数图象在一次函数图象上方的部分，两函数交点横坐标为， 结合图象得解集． 9．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数与一次函数的函数表达式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集为_________，直接写出以反比例函数与一次函数图象交点横坐标为两根的一元二次方程_________； (3)若点为轴上一点，的面积为10，直接写出点的坐标． 【答案】(1)y，y＝x＋1；(2)或；(3)P的坐标是或 【分析】（1）根据反比例函数的图象经过，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式，进而求得的坐标，根据、点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据、的坐标，结合图象即可求得； （3）对于一次函数，令，求出点C的坐标，设，表示出的长，根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴，即 ∴反比例函数的表达式为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴由图象可得，不等式的解集为或． 以，2为根的一元二次方程可以为，即． （3）解：对于一次函数，令，则，解得， ∴， ∵点为轴上一点， ∴设，则， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标是或． 10．（2026·河南周口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，两点的坐标分别是，过两点的直线与轴， 轴分别交于点，双曲线与该直线交于两点． (1)求直线和双曲线的函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，满足，求点P的坐标． 【答案】(1)，；(2)或；(3) 【分析】（1）将点B坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点A坐标代入反比例函数解析式，求出点A坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点P的纵坐标，据此可解决问题． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，，则， 点B的坐标为． 将点A和点B的坐标代入得， ，解得， 一次函数的解析式为； （2）解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即， 不等式的解集为：或． （3）解：将 代入得，， 点D的坐标为，则， ， ． 将代入，得， 点的坐标为，则， ，解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得， ， 点P坐标为． 11．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 【答案】(1)，；(2)点的坐标为， 【分析】（1）将点代入一次函数，即可求解； （2）解：设点的坐标为，根据是腰长为3的等腰直角三角形得到点的坐标为，点的坐标为，把它们代入反比例函数，即可求出t的值，进而得到点P的坐标与k的值． 【详解】（1）解：一次函数的图像经过点， ，解得． （2）解：由（1）有，， ∴一次函数为， ∵点P在一次函数的图像上， ∴设点的坐标为． 是腰长为3的等腰直角三角形， ， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵点在反比例函数的图像上， ．解得． ∴点的坐标为，点的坐标为． ． 12．（2026·河南新乡·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)，；(2)或 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）根据函数图象结合交点坐标即可解答． 【详解】（1）解： 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 点在反比例函数的图象上， ， ， 又 点，两点在一次函数的图象上， ，解得， 则该一次函数的解析式为． （2）解：根据图象可知使成立的的取值范围是：或． 13．（2025·上海·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与y轴交于点C（0，2），已知的面积为6． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出，当时，的取值范围． 【答案】(1)； ；(2)或 【分析】本题主要考查了利用待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）过点作轴于点，过点作轴于点，利用待定系数法解答即可； （2）观察图象，利用数形结合法解答即可得出结论． 【详解】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 点， ， ，, ，， ，的面积为6， ， ∴， ， ， 反比例函数的解析式为：， 一次函数的图象经过点，， ，解得：， 一次函数的解析式为． （2）点在反比例函数上， ∴， ∴． ∴， 由图象可知：第二象限中点的左侧部分，满足，第四象限中点的左侧部分，满足，对应的的取值范围分别为：或． ∴当时，的取值范围为：或． 14．（2025·四川广元·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集； (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)或；(3)或． 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数关系式是解决问题的为前提 （1）先利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式； （2）根据图象直接得出答案； （3）先求出，再根据面积关系求出，进而确定点P的坐标． 【详解】（1）解：，两点都在反比例函数的图象上， ． ． 反比例函数的解析式为，． ，两点都在一次函数的图象上， 解得 一次函数的解析式为． （2）解：由图可知，当或时，不等式． （3）解：存在． 如图，过点B作轴，垂足为D． ，， ，． ，． ． ， ． 设点P的横坐标为，则． ． 或． 当点P在上，则或． 点P的坐标为或． 15．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点P在第三象限为反比例函数图像上一点，，求点P的坐标； (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）先把点代入，求出的值，再用待定系数法求出的值即可； （2）先求出和长，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接，，，利用得到，列出方程进行求解即可； （3）首先求出一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，，然后根据图象求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入中， ∴， ∴， ∴， 将代入反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：对于， 当时，，解得， ∴，， ∵， ∴，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接，，， ∵， ∴， 即，解得， ∵点P在第三象限， ∴点P的纵坐标为， 将代入得， ∴； （3）解：联立和得，， 整理得，，解得或， 将代入， ∴一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，， 由图象可得，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时，或， ∴当时，x的取值范围为或． 16．（2025·安徽安庆·二模）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，两点，且点的横坐标和点的纵坐标都是，直线交轴于点． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)请直接写出反比例函数图象在一次函数图象上方时，的取值范围． 【答案】(1)；(2)6；(3)或 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的图象与性质等知识，注意数形结合思想的运用． （1）根据点A的横坐标与B点的纵坐标都为，分别代入反比例函数式中即可求得A、B的坐标，再利用待定系数法即可求得直线解析式； （2）由（1）所求直线解析式可求得点M的坐标，再由即可求解； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数与一次函数的图象交于，两点，且点的横坐标和点的纵坐标都是， ，， 一次函数的图象过、两点， ，解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：令，则， ， ， ， ； （3）解：观察函数图象发现： 当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方． 17．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）直线与反比例函数的图象交于点． (1)求，的值． (2)设点的坐标为且，过点作平行于轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点，，当时，求的值． 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）根据点在直线上，求出；根据点在反比例函数上，求出； （2）令直线与反比例函数的函数值为，求出，的横坐标，根据的长列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴． ∵点在反比例函数上， ∴，解得． （2）解：过点作平行于轴的直线，其解析式为， ∵直线与直线的交点为， ∴， ∴， ∵直线与反比例函数的交点为， ∴，即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 整理得：，解得或（不合题意，舍去）， 即当时，． 18．（2026·江苏淮安·中考真题）如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图像交于点，连接． (1)求和的值． (2)求的面积． (3)当时，的取值范围是__________． 【答案】(1)；；(2)；(3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求得和的值． （2）先将代入中，求得点坐标为，，结合即可求得的面积． （3）根据图象和点的坐标即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：将代入中，即， ∴， 将代入中，即，解得：． （2）解：将代入中，即，解得：， ∴点坐标为， ∴， 又∵， ∴的高为， ∴． （3）解：由上可得， ∵，　　 故结合图象可得当时，的取值范围是． 19．（2026·江苏南通·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，点的横坐标为1． (1)求的值． (2)观察图像，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）求得点的坐标，把点的坐标代入正比例函数解析式即可求得； （2）先根据两个函数的对称性得到点的坐标，再根据图像，找出正比例函数图像在反比例函数图像上方的点的横坐标的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 把代入， 可得； （2）解：正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点， 关于原点对称， ， 根据图像，可得的解集为或． 20．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)请直接写出不等式的解集； (2)求一次函数的解析式； (3)求的面积． 【答案】(1)或；(2)；(3) 【分析】（1）不等式的几何含义是一次函数图象在反比例函数图象上方，找到两个图象交点的横坐标可直接写出的取值范围； （2）先把点代入反比例函数求出，然后算出点坐标，再将、两点代入，解出，； （3）求出一次函数与轴交点，把拆成和，以为公共底，分别算面积再相加． 【详解】（1）解：据图可知，当或时，直线的图象在反比例函数的图象的上方， 故不等式的解集为或． （2）解：把代入， 可得，解得， 则反比例函数的解析式为， 把代入， 可得， 则点的坐标为， 把，代入， 可得，解得， 故一次函数的解析式为． （3）解：如图，连接、，直线与轴交于点， 对于直线， 当时，解得， 则点的坐标为，即， 故． 21．（26-27九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，直线（k，b为常数）与双曲线（m为常数）相交于，两点． (1)求双曲线与直线的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)连结，，试求的面积． 【答案】(1)，；(2)或；(3) 【分析】（1）先将点B代入求出双曲线的解析式，再求出点A的坐标，最后利用待定系数法即可求解； （2）即一次函数值大于反比例函数值，观察图象，写出x的取值范围即可求解； （3）设一次函数与y轴交于C点，可以看成由底均为的、组成，根据三角形面积的计算公式即可求解． 【详解】（1）解：将点代入双曲线解析式， ∴， ∴双曲线为， 又∵在双曲线上， ∴， ∴， 将A、B代入一次函数解析式得，∴． ∴直线的解析式为． （2）解：依据图象，即一次函数值大于反比例函数值， ∵，， ∴不等式的解集为：或． （3）解：设一次函数与y轴交于C点， ∴，， ∵可以看成由底均为的、组成， ∴． 22．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求，的值； (2)结合图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)；；(2)或 【分析】（1）把点代入反比例函数关系式即可确定的值，再把代入求出的值，把，分别代入直线即可求出的值； （2）先把不等式进行变形，再观察图象写出答案． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象交于，两点． ， ，即， 点坐标为． 一次函数的图象过，两点， ，解得， ，； （2）解：由得， ，， 不等式的解集为或． 23．（23-24九年级下·湖南娄底·阶段检测）如图直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)，；(2) 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，一次函数与反比例函数综合面积问题： （1）将点代入两个函数求解即可得到答案； （2）求出一次函数与x轴的交点坐标及B点坐标，根据求解即可得到答案 【详解】（1）解：∵直线与双曲线交于点， ∴，，解得：，， ∴解析式为：，； （2）联立两个函数得， ，解得：，， 当时，， ∴， 当时，，解得：， 当时，， ∴，， ∴． 23 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $