重难点专题 反比例函数的概念与求反比例函数解析式（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

✅重难点专题 反比例函数的概念与求反比例函数解析 重难点一 识别、判断一个函数是不是反比例函数 核心判断依据:反比例函数三种等价形式：,,. 解题方法:1.判定是不是反比例函数问题：先对给出的函数关系式进行代数变形，整理，看能否化成上面三种标准形式之一； 两个硬性判定条件，缺一不可,x的次数是-1次,常数k≠0；注意：解析式分母只能含自变量x，不能是x+1、x-2这类一次式（形如,不是反比例函数）. 2.根据反比例函数点的坐标、解析关系、图像关系解决问题：满足函数解析式的点，在函数图像上；在函数图像上的点，满足函数解析式. 1.下列函数中，变量是的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 2.下列函数中，属于反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 3.如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流．与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）    A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时， D．当时，I的取值范围是 4.（2026 四川省成都中考）人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 5.当k 时，关于x的函数是反比例函数． 6.一个长方形的面积为12，一边长为，另一边长为，则与的函数关系式是 ． 7.已知反比例函数的图象经过点，，则的值为 ． 8.已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)点，是否在这个函数的图象上？ 9.已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．求与之间的函数关系式． 重难点二 根据反比例函数定义，求参数的值 题型特征：函数形式含字母参数，告知这个函数是反比例函数，求参数. 解题方法：1.反比例函数定义特征解决问题：根据反比例函数：特征：自变量x指数是-1，列出指数方程； 根据比例系数：，列出不等式； 联立方程+不等式，解出符合条件的参数，舍去使得k=0的解. 2.根据反比例函数点、解析关系、图像解决问题：满足函数解析式的点，在函数图像上；在函数图像上的点，满足函数解析式求参数. 1.已知反比例函数的图象经过点，则的值是（   ） A．6 B． C． D． 2.若一个反比例函数的图象经过两点，则m的值为（    ） A． B．4 C．8 D． 3.已知函数是反比例函数，则 ． 4.双曲线和如图所示，是双曲线上一点，过点作轴，垂足为，交双曲线于点，连接，若的面积为2，求的值.    5.如图，的顶点A，C的坐标分别为，，，函数的图象经过点B，求k的值. 重难点三 待定系数法求反比例函数解析式 题型特征：已知一组(x,y)或者已知图像经过某一点，求解析式. 解题方法： 设：设反比例函数解析式；代：把已知点坐标(x,y)代入解析式，得到关于k的一元一次方程；求+写：解出k的值，把k代回所设解析式，写出最终函数式. 注意：算出k留意正负号，不要符号写错. 1.若反比例函数的图象经过点，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 2．某厂现有1300t煤，这些煤能烧的时间y（天）与平均每天烧的吨数x（t）之间的函数关系式是（　） A． B． C． D． 3.反比例函数的图像过点，则这个反比例函数的解析式为 ． 4.如图，反比例函数的图像在第一象限的点A，过点A作轴于点B，的面积为1，则反比例函数关系式为 ．    5.已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)当时，求x的值． 6.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点 (1)求这两个函数表达式； (2)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围． 重难点四 隐藏条件型求k、求反比例函数解析式 原理：没有直接给出满足反比例函数解析式上一点（或图像上的一点），通过隐含条件间接求. 解题方法：常见的是通过面积求解，具体步骤：根据题意写出图形面积等式，得到|k|=面积对应数值；去掉绝对值，得到k有两个候选值.关键：判断双曲线所在象限，确定k的正负，舍去不符合象限条件的k值；将确定后的k写出反比例函数解析式. 解题要点：面积得到是|k|，k可正可负，一定要看图判定符号，不能直接默认k>0，直接写k=S，忘记绝对值，忽略象限条件，漏看符号，k正负判断错误. 1.如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，若的面积等于4，则k的值等于（   ） A．8 B． C．4 D． 2.如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为2．则k的值为（      ）    A．4 B． C．2 D． 3.如图，在中，，，轴，点D是的中点，点C、D在的图象上，则k的值为（　　） A． B． C． D． 4.如图，在平面直角坐标系中，点、均在反比例函数的图象上，若的面积为8，则k的值为（    ）．    A．3 B．6 C．9 D．12 5.如图，点在反比例函数图像上，轴，垂足为点．若，则该反比例函数的表达式是 ． 6.如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，若的面积是2，则k的值是 ． 7.如图，是坐标原点，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的函数图象经过顶点，则的值为 ．    8.如图，在平面直角坐标系中，点A在正比例函数的第一象限的上，过点作轴于点，点在点右侧的轴上，且，过点作轴的垂直线，交过点A的反比例函数的图象于点，连接，，若的面积为，那么的值为 ．    9.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，反比例函数的图象经过顶点D，与对角线，边交于点E，F，连接，点E为的中点，的面积为2，求k的值.   10.如图，正方形的顶点、分别在轴和轴上，反比例函数的图象经过点，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)若将正方形沿轴向右平移得到正方形．当点在反比例函数的图象上时，求出平移的距离． 11.如图，己知点，，反比例函数图象的一支与线段有交点，求的取值范围.    12.综合运用 如图，直线与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点，过点A作反比例函数的图象． (1)求a的值及反比例函数的表达式； (2)点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标． (3)在x轴是否存在点Q，使得，若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ✅重难点专题 反比例函数的概念与求反比例函数解析 重难点一 识别、判断一个函数是不是反比例函数 核心判断依据:反比例函数三种等价形式：,,. 解题方法:1.判定是不是反比例函数问题：先对给出的函数关系式进行代数变形，整理，看能否化成上面三种标准形式之一； 两个硬性判定条件，缺一不可,x的次数是-1次,常数k≠0；注意：解析式分母只能含自变量x，不能是x+1、x-2这类一次式（形如,不是反比例函数）. 2.根据反比例函数点的坐标、解析关系、图像关系解决问题：满足函数解析式的点，在函数图像上；在函数图像上的点，满足函数解析式. 1.下列函数中，变量是的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了反比例函数，根据定义解题即可． 【详解】解：A． 是正比例函数，故本选项不符合题意． B．   此项变量是的反比例函数，故本选项不符合题意． C． 可变形为是反比例函数，故本选项符合题意． D． 是正比例函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 2.下列函数中，属于反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，解析式符合的形式为反比例函数，逐项判断即可，熟练掌握反比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、不符合反比例函数的定义，故不是反比例函数，不符合题意； B、符合反比例函数的定义，故是反比例函数，符合题意； C、不符合反比例函数的定义，故不是反比例函数，不符合题意； D、不符合反比例函数的定义，故不是反比例函数，不符合题意； 故选：B． 3.如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流．与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）    A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时， D．当时，I的取值范围是 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故选项B不符合题意； 当时，，当时，， ∵反比例函数I随R的增大而减小， 当时，，当时，，故选项A，C不符合题意； ∵时，，当时，， ∴当时，I的取值范围是，故D符合题意． 故选：D． 4.（2026四川省成都中考）人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 【分析】实际问题中的反比例函数 【详解】解：由题意，将代入得：， 即他的视野为． 5.当k 时，关于x的函数是反比例函数． 【分析】本剧反比例函数的定义解题即可． 【详解】∵函数是反比例函数， ∴， 解得：， 故答案为． 6.一个长方形的面积为12，一边长为，另一边长为，则与的函数关系式是 ． 【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，根据矩形的面积公式得到y与x之间的函数关系式即可． 【详解】解：∵长方形的面积为12，一边长为，另一边长为， ， 即． 故答案为：． 7.已知反比例函数的图象经过点，，则的值为 ． 【分析】将点坐标代入计算即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ， ∵反比例函数的图象经过点， ， 故答案为：8． 8.已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)点，是否在这个函数的图象上？ 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数值几何意义，解题的关键是： （1）待定系数法解出函数解析式即可； （2）将点的纵横坐标乘积看是否等于值即可判断． 【详解】（1）解：在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：； （2）， 在反比例函数图象上， ， 不在反比例函数图象上． 9.已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．求与之间的函数关系式． 【分析】本题考查了反比例关系和正比例关系，先由正比例关系和反比例关系得到与x的关系、与的关系，然后求得y与x之间的函数关系式．解题的关键是学会利用待定系数法求函数的解析式． 【详解】解：依题意， 设， 由可得：， ∴把，；，代入 得：，解得： ∴y与x的函数解析式为： 重难点二 根据反比例函数定义，求参数的值 题型特征：函数形式含字母参数，告知这个函数是反比例函数，求参数. 解题方法：1.反比例函数定义特征解决问题：根据反比例函数：特征：自变量x指数是-1，列出指数方程； 根据比例系数：，列出不等式； 联立方程+不等式，解出符合条件的参数，舍去使得k=0的解. 2.根据反比例函数点、解析关系、图像解决问题：满足函数解析式的点，在函数图像上；在函数图像上的点，满足函数解析式求参数. 1.已知反比例函数的图象经过点，则的值是（   ） A．6 B． C． D． 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数，将点代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， 故选：D． 2.若一个反比例函数的图象经过两点，则m的值为（    ） A． B．4 C．8 D． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数y（k≠0）图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即． 【详解】解：设反比例函数的表达式为（）， ∵反比例函数的图象经过两点， ∴， 解得：， 故选：B． 3.已知函数是反比例函数，则 ． 【分析】根据反比例函数的解析式，得，且，求解即可． 【详解】解：由题意得：，且 ∴， 故答案为：． 4.双曲线和如图所示，是双曲线上一点，过点作轴，垂足为，交双曲线于点，连接，若的面积为2，求的值.    【分析】本题考查反比例函数k值的几何意义，根据反比例函数k值的几何意义及其基本模型计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵反比例函数位于第一象限， ∴， ∴ 故答案为：5． 5.如图，的顶点A，C的坐标分别为，，，函数的图象经过点B，求k的值. 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理，等腰三角形判定与性质，根据A、C的坐标分别是可知，进而可求出，由，又可求，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B的坐标，再求出k的值． 【详解】解：过点B作轴，垂足为D， ∵A、C的坐标分别是， ， 在中，， 又， ， 又， ， ， ， ， 代入得：， 故选：D． 重难点三 待定系数法求反比例函数解析式 题型特征：已知一组(x,y)或者已知图像经过某一点，求解析式. 解题方法： 设：设反比例函数解析式；代：把已知点坐标(x,y)代入解析式，得到关于k的一元一次方程；求+写：解出k的值，把k代回所设解析式，写出最终函数式. 注意：算出k留意正负号，不要符号写错. 1.若反比例函数的图象经过点，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 故选D． 2．某厂现有1300t煤，这些煤能烧的时间y（天）与平均每天烧的吨数x（t）之间的函数关系式是（　） A． B． C． D． 【分析】这些煤能用的天数=煤的总吨数÷平均每天用煤的吨数，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵煤的总吨数为1300t，平均每天用煤的吨数为x t， ∴这些煤能用的天数为， 故选：A． 3.反比例函数的图像过点，则这个反比例函数的解析式为 ． 【分析】此题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 把点代入得，， 故此反比例函数的解析式为， 故答案为：． 4.如图，反比例函数的图像在第一象限的点A，过点A作轴于点B，的面积为1，则反比例函数关系式为 ．    【分析】由反比例函数系数k的几何意义可得的面积为，又函数图像位于第一象限，，求出k值，得反比例函数关系式．本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 【详解】解：由于的面积为1，则， 故 又函数图像位于第一象限，， 则，反比例函数关系式为． 故答案为：. 5.已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)当时，求x的值． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键． （1）根据反比例函数定义，设，待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入函数表达式计算即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得． 6.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点 (1)求这两个函数表达式； (2)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围． 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）先用待定系数法求解反比例函数解析式，从而得出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据图象，即可进行解答． 【详解】（1）∵反比例的图象过点，即， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 又∵点在函数的图象上， ∴，， ∴ 又∵一次函数过、两点， 即， 解之得， ∴一次函数的解析式为； （2）由图像可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值． 重难点四 隐藏条件型求k、求反比例函数解析式 原理：没有直接给出满足反比例函数解析式上一点（或图像上的一点），通过隐含条件间接求. 解题方法：常见的是通过面积求解，具体步骤：根据题意写出图形面积等式，得到|k|=面积对应数值；去掉绝对值，得到k有两个候选值.关键：判断双曲线所在象限，确定k的正负，舍去不符合象限条件的k值；将确定后的k写出反比例函数解析式. 解题要点：面积得到是|k|，k可正可负，一定要看图判定符号，不能直接默认k>0，直接写k=S，忘记绝对值，忽略象限条件，漏看符号，k正负判断错误. 1.如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，若的面积等于4，则k的值等于（   ） A．8 B． C．4 D． 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的求解，设点，表示出即可求解． 【详解】解：设点， 则， ∵的面积等于4， ∴ ∴ 故 故选：B 2.如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为2．则k的值为（      ）    A．4 B． C．2 D． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积计算，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，，根据三角形的面积公式得到，是解题的关键． 【详解】解：∵轴， ，B两点纵坐标相同， 设，，则，， ， ， 故选：C． 3.如图，在中，，，轴，点D是的中点，点C、D在的图象上，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，设，根据题意，由于点C、D在的图象上，即可得到，解得． 【详解】解：设，根据题意， ∵点D是的中点， ∴， ∵点C、D在的图象上， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 4.如图，在平面直角坐标系中，点、均在反比例函数的图象上，若的面积为8，则k的值为（    ）．    A．3 B．6 C．9 D．12 【分析】本题考查的是求解反比例函数的解析式，如图，过作轴于，过作轴于，证明，再利用面积公式列方程求解即可，熟记反比例函数比例系数的性质是解本题的关键. 【详解】：如图，过作轴于，过作轴于，      ∵点、均在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴， ∴,，，, ∵， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴， 故选B 5.如图，点在反比例函数图像上，轴，垂足为点．若，则该反比例函数的表达式是 ． 分析】反比例函数图象上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是.根据反比例函数比例系数的几何意义，即可得到，计算出来即可． 【详解】设反比例函数，又∵此函数图像在第二象限，． 答案为． 6.如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，若的面积是2，则k的值是 ． 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是.根据反比例函数比例系数的几何意义，即可得到，计算出来即可． 【详解】解：根据题意可知：， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 7.如图，是坐标原点，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的函数图象经过顶点，则的值为 ．    【分析】本题考查了反比例数的性质，菱形的性质，勾股定理；根据勾股定理求得，进而根据菱形的性质求得点的坐标，进而待定系数法求解析式即可求解． 【详解】解：由点的坐标， 得， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点的坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 8.如图，在平面直角坐标系中，点A在正比例函数的第一象限的上，过点作轴于点，点在点右侧的轴上，且，过点作轴的垂直线，交过点A的反比例函数的图象于点，连接，，若的面积为，那么的值为 ．    【分析】设点A的坐标是，则，把代入得到，求出，，求出，得到，证明，则，求出k即可．此题考查了反比例函数系数k的几何意义，数形结合是解题的关键． 【详解】解：设点A的坐标是，则， 把代入得到， ∵， ∴， ∴， 当时，，即， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∵， 即， ∴， ∴， 解得， 故答案为：. 9.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，反比例函数的图象经过顶点D，与对角线，边交于点E，F，连接，点E为的中点，的面积为2，求k的值.   【分析】首先设，表示出，再根据D，E，F都在双曲线上，依次表示出坐标，再由，转化为，列出等式即可求得． 【详解】解：设， ∵矩形， ∴， ∵矩形，E为的中点， 则E也为的中点， ∵点B在x轴上， ∴E的纵坐标为， ∵点E在反比例函数上， ∴， ∵E为的中点， ∴点， ∴点， ∵的面积为2，， ∴， ∴， 解得：． 10.如图，正方形的顶点、分别在轴和轴上，反比例函数的图象经过点，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)若将正方形沿轴向右平移得到正方形．当点在反比例函数的图象上时，求出平移的距离． 【分析】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握全等三角形的判定和性质，待定系数法求解析式，图形平移与坐标的特点是解题的关键． （1）过点作轴，垂足为，根据“一线三直角的关系”可证，由此即可求解； （2）根据图形沿着轴平移，点坐标中纵坐标必变，代入解析式即可求解． 【详解】（1）解：过点作轴，垂足为， 四边形为正方形， ，， ， 又， ， ， ， ，， ， 设反比例函数的表达式为：，则， 反比例函数的表达式为：． （2）解：平移后的纵坐标为，将代入得：， ． 11.如图，己知点，，反比例函数图象的一支与线段有交点，求的取值范围.    【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，正确的理解题意，根据数形结合思想解题的关键． 把点代入，即可得到的值，从而得结论． 【详解】解：由图可知：， ∵反比例函数图象的一支与线段有交点，且点， ∴把代入得，， 把代入得，， ∴满足条件的值的范围是． 12.综合运用 如图，直线与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点，过点A作反比例函数的图象． (1)求a的值及反比例函数的表达式； (2)点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标． (3)在x轴是否存在点Q，使得，若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，平行线的性质等； （1）把代入可求的坐标，即可求解； （2）可求，再由即可求解； （3）①当点Q在x轴正半轴上时，过点A作轴交x轴于，②当点Q在x轴负半轴上时，设与y轴交于点，可求， 再求直线的表达式为，即可求解； 掌握待定系数法，找出使得的条件是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得， ， ， 把代入， 得， 反比例函数的函数表达式为； （2）解：当时， ， ， ， ， ， 又 ， 解得：， ， 点P坐标为； （3）解：存在； 理由如下： ①当点Q在x轴正半轴上时， 如图，过点A作轴交x轴于， 则， 点； ②当点Q在x轴负半轴上时， 如上图，设与y轴交于点， ∵， ∴， 则， 解得：， ∴， 设直线表达式为，则有 ， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 即点的坐标为， 综上所述，点Q的坐标为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 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