培优专题反比例函数专项训练2026-2027学年人教版数学九年级上册

反比例函数专题训练（培优） 类型1 反比例函数象限的判断 类型2 反比例函数与一次函数的交点问题 类型3 反比例函数的增减性与大小比较问题 类型4 与几何图形有关的k值的确定 类型5 反比例函数与几何图形综合题 类型6 反比例函数与一次函数、几何图形综合题 类型1 反比例函数象限的判断 1.（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴位置确定、的符号，进而判断的符号，结合反比例函数的图象性质进行排除． 【详解】解：对于二次函数，当时，故图象必过原点． A选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴右侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数的图象位于第一、三象限，符合题意； B选项：抛物线开口向下，则；对称轴在轴左侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符题意； C选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴左侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符题意； D选项：抛物线开口向下，则；对称轴在轴右侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第一、三象限，不符题意． 2.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，异号，分两种情况，根据一次函数与反比例函数的性质分析即可． 【详解】解：∵，互为相反数，且根据反比例函数的定义得， ∴，异号且均不为零， 当时，函数的图象过第一、三、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项符合； 当时，函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项． 3.（26-27九年级上·北京·课后作业）y关于x的函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质得出函数的图象位于一、三象限，根据函数图象的平移规律即可得出答案. 【详解】解：∵， ∴函数的图象位于一、三象限， ∵， ∴函数的图象向右平移个单位得到函数的图象， ∴函数的图象为 . 4.（25-26九年级下·广东湛江·自主招生）一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数经过的象限确定 、 的符号，进而确定反比例函数型的图像分布区域； 【详解】解：一次函数 的图像经过第一、二、三象限， ，， 函数的图像经过第一、三象限，且无限接近轴， 函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，其无限接近直线，排除B、C选项； 当时，，当时，，排除D选项；A选项符合题意． 5．（25-26八年级下·山东济南·期末）已知二次函数的图象如下，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数图象的性质得到，，，由此得到一次函数、反比例函数图象经过的象限，把代入得到，联立方程组得到一次函数与反比例函数的交点坐标，由此即可求解． 【详解】解：根据二次函数图象得到，开口向下，对称轴直线为，二次函数图象与x轴交于点，二次函数与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 反比例函数经过第一、三象限， 当时，， ∴， ∴， 解得，或， ∴一次函数与反比例函数的交点坐标为，， ∴符合题意的函数图象是A选项 ． 6.（25-26八年级下·吉林长春·期中）已知一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数图象经过的象限即可得出、的正负，由此即可得出反比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：A选项：一次函数的图象过第一、二、三象限， ，，矛盾，故本选项不符合题意； B选项：一次函数的图象过第一、三、四象限， ，， 反比例函数的图象应过第一、三象限，故本选项符合题意； C选项：一次函数的图象过第一、三、四象限， ，， 反比例函数的图象应过第一、三象限，故本选项不符合题意； D选项：一次函数的图象过第二、三、四象限， ，，矛盾，故本选项不符合题意； 故选：B． 类型2 反比例函数与一次函数的交点问题 7．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）若点是一次函数与反比例函数图象的两个交点，其中点M的横坐标为1，下列结论错误的是（     ） A．函数值随x的增大而减小 B．点N的纵坐标为1 C．若将一次函数的图象向下平移1个单位后，与反比例函数图象只有一个交点． D．当时， 【答案】D 【分析】利用待定系数法求得M的坐标，求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可判断①；联立方程求得交点坐标即可判断②；求得直线向下平移后的解析式，然后联立方程求得交点坐标即可判断③；根据函数的图象结合交点坐标即可判断④． 【详解】解：把代入中，得， ∴， 把代入， 则， ∴， ∵，， ∴函数值在第一象限随x的增大而减小，故A正确，不符合题意； 联立方程组， 解得：或， ∴点N的纵坐标为1，故B正确，不符合题意； 若将一次函数的图象向下平移1个单位后，则平移后的函数解析式为：， 联立方程组， 解得：， 则平移后的一次函数与反比例函数图象只有一个交点，故C正确，不符合题意． ∵，， ∴如解图，根据图象可知当时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， ∴当时，，故D错误．符合题意． 8.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）若一个正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于，两点，则的值为________ ． 【答案】 【分析】正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此两交点关于原点对称，得到两点坐标的关系，再结合交点在反比例函数上得到的值，代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵正比例函数图象与反比例函数图象均关于原点中心对称， ∴两交点，关于原点对称， ∴，， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ， ， ， ． 9.（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点是线段上一动点，过点作轴的平行线交反比例函数（）的图象于点．若，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 ； (2)点的坐标为． 【分析】（1）因为点A在一次函数图象上，所以将A点横坐标代入一次函数表达式可求出a的值，得到A点坐标．因为A点在反比例函数图象上，所以将A点坐标代入反比例函数表达式可求出k的值，得到反比例函数表达式． （2）设点P的纵坐标为m，因为P在线段上，所以用一次函数表达式可表示出P点的横坐标．因为平行于x轴，所以Q点纵坐标与P点相同，代入反比例函数表达式可表示出Q点的横坐标．因为长度为2，且Q在P右侧，所以用Q点横坐标减去P点横坐标等于2列方程，求解得到m的值，进而得到P点坐标． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上, 将代入一次函数解析式： ， ∴点的坐标为。 又∵点在反比例函数的图象上， 将代入得： ， 解得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵一次函数与轴交点，满足， 代入得， 解得， 即． 设点的纵坐标为， ∵在线段上， 将代入， 得， ∴的坐标为． ∵轴， ∴点的纵坐标也为； 又在反比例函数上， 将代入，得， ∴的坐标为． 由图可知在右侧，为水平线段， 长度等于两点横坐标之差： 整理方程得：， 解得，或（舍去）． 将代入的坐标表达式， 得到正确的点P的坐标为． 10.（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，，）的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点是线段上的点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，若点的坐标为，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入，得出，把代入，求出，即可得出答案； （2）把代入求出，把代入求出，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：∵点是线段上的点，点的坐标为， ∴， 解得， ∴， ∵过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点， ∴点纵坐标为， ∵反比例函数的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴， ∴． 类型3 反比例函数的增减性与大小比较问题 11．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数解析式及，的正负，确定，的符号，再分析各选项，即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数中，，， ∴，， ∴，故B选项正确，C选项错误， ∵与的大小关系不确定， ∴的符号不确定，故A、D选项不符合题意． 12.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小． 点，，都在反比例函数的图象上，且， 点，位于第一象限，位于第三象限， ． 13.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，，是反比例函数图象上的三个点，若，则，，的大小关系为________．（用“”连接） 【答案】 【分析】根据反比例函数比例系数小于0，判断函数图象所在象限和增减性，再结合三个点横坐标的范围，判断每个点所在象限，进而比较纵坐标大小． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 又∵， ∴和在第二象限，在第四象限， ∴ ，即． 类型4 与几何图形有关的k值的确定 14.（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在轴和轴上，点，点，反比例函数的图象经过点B，则k的值为（     ） A．9 B．12 C．16 D． 【答案】D 【分析】过B作轴于E，轴于F，则是直角，根据正方形的性质得到，，然后可以证明三角形与三角形全等，从而得到，，从而可以得出四边形是正方形，设正方形的边长为m，则，，然后根据即可求解． 【详解】解：过B作轴于E，轴于F， ， 四边形是矩形， ，，， ， 又四边形是正方形， ， ， ，， 四边形是正方形， 设正方形的边长为m，则，， ， 解得， 点的坐标为， . 15.（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，反比例函数（）经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为20，面积为20，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形周长求出边长，利用面积公式求出高，结合勾股定理确定点B的横坐标绝对值，根据图象所在象限确定点B坐标，代入反比例函数解析式求解. 【详解】解：过点B作轴于点， ∵菱形的周长为20， ∴， ∵菱形的面积为20， ∴， 解得， 在中，， 由图可知，点B在第二象限，A在轴负半轴，且点B在点A的左侧， ∴， ∴， ∴反比例函数（）经过点， ∴. 16．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上．若点的坐标为，则的值为___________． 【答案】 【分析】由菱形的性质求出C点纵坐标为，设，，由两点间距离求出，得，最后由反比例函数定义得出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴C点纵坐标为， 设，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴． 17．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则为________． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数交于、两点，得出两点的坐标关于原点对称，求出，过点作于点，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值． 【详解】解：如图， 根据正比例函数和反比例函数交于、两点， 两点关于原点对称， ∴． ∵，， ， ， ， 是等腰三角形， 过点作于点，根据等腰三角形的三线合一可得， ， ∴， ∵反比例函数的图象位于二、四象限 ． 18．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结，若的面积为18，则的值为__________． 【答案】 【分析】设，根据矩形性质和证明是等腰直角三角形，进而证得是等腰直角三角形，得到；设，用表示出和的长，根据的面积公式建立关于的方程求解 ． 【详解】设． ∵四边形是矩形， ∴，轴． ∵， ∴是等腰直角三角形 ， ∴． ∵轴 ， ∴， ∵点在同一直线上， ∴． 在中，， ∴， ∴． 设，其中， ∵点在反比例函数图象上 ， ∴． ∵在轴负半轴上，轴， ∴，，， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴． 19．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点，如果，那么的值是__________． 【答案】/ 【分析】设点的横坐标为，根据轴可知点、的横坐标也为，利用反比例函数解析式表示出线段和的长度，结合推出，建立等式化简即可求解． 【详解】解：设点的横坐标为，由图可知． ∵轴，交轴于点， ∴点、的横坐标均为，且点的坐标为． ∵点在的图像上，且位于第二象限 ∴点的纵坐标为，且． ∴． ∵点在的图像上，且位于第三象限点的纵坐标为，且． ∴． ∵，， ∴，即． ∴． ∴． ∴． 20．（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，已知四边形是矩形，点在反比例函数的图象上，延长线交轴于点，，．则_________． 【答案】 【分析】根据及矩形性质确定点的横坐标，利用反比例函数解析式表示出点的坐标；结合和表示出点的坐标；最后利用点在反比例函数图象上建立关于的方程求解． 【详解】解： 四边形是矩形，， 点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上， 点的坐标为， ，且点在点下方， 点的纵坐标为， 四边形是矩形，，且轴， 点的横坐标为，纵坐标与点相同，为， 点的坐标为， 点也在反比例函数的图象上， ， 解得． 21．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，过的图象上一点A，分别作x轴、y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，求k的值． 【答案】 【分析】设，求出，，可知，即，进而根据列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵反比例函数的图像在第一象限， ∴， 在中， 令得， 令得， ，， ， ． ，， ， 经检验，符合题意． 类型5 反比例函数与几何图形综合题 22.（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），它的纵截面是如图所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设反比例函数解析式为，根据得出反比例函数解析式，从而求解点坐标，最终求得底部直径的长为倍的点横坐标． 【详解】解：根据题意可知，设反比例函数解析式为， 将代入，可得， 反比例函数解析式为． ， 当时，， ． 故答案为：C． 23.（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】连接，，设交轴于点，根据平行线的性质和等底等高的两个三角形面积相等得到 ，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到， ，进而求解即可． 【详解】连接，，设交轴于点． ∵轴，点在轴上， ∴． ∵轴， ∴轴． ∵点在图象上，点在图象上， ∴，． ∴． 24．（25-26九年级上·浙江绍兴·自主招生）如图，平行四边形的顶点，在函数的图象上，边与轴交于点，轴于点．若，则平行四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，得到，；根据三角形的面积公式，求出，根据点在函数图象上，求出，最后根据，求出，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，； ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 25.（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在反比例函数的图象上，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作轴于点，过作于点，通过证明，得到，，根据点均在反比例函数的图象上，得到点，，代入，解得，代入即可得到答案． 【详解】解：过作轴于点，过作于点，则， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， 正方形的顶点，均在反比例函数的图象上， ， ， ， 解得（负值不合题意，已舍去）， ． 26.（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于，两点，则的面积是________（用含，的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据题意得出，，从而求解． 【详解】解：如图：点为与轴的交点， 则，， ∵，， 故，， ∴的面积． 27.（26-27九年级上·四川·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若，且，则___________． 【答案】 【分析】根据建立等式，通过因式分解逐步求解即可． 【详解】解：由题意，，， ， ， 移项得，， ， ， ， ，且， ， ， ， 又，， ， ． 28．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________． 【答案】4 【分析】如图所示，连接、，可得，由反比例函数中的几何意义可得，，最后由即可得出结果． 【详解】解：如图所示，连接、， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴． 29．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点，，过点，分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_______． 【答案】 【分析】设点，，利用正比例函数和反比例函数的性质得到坐标之间的倍数关系，确定点C的坐标，进而表示出的直角边长，利用三角形面积公式进行解答即可． 【详解】解：设点，， ∵正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点，， ∴且， ∴， ∴， ∵点在第一象限，点在第二象限， ∴ ∴， 同理， ∵轴，轴， ∴， ∴， ， ∴ ． 30．（26-27九年级上·辽宁·期中）如图，小金同学画了某反比例函数在第三象限内的图象，并把透明的矩形直尺放在上面，使尺的一边经过原点，交反比例函数图象于点，另一边经过轴上一点，交反比例函数于点． (1)求反比例函数表达式； (2)求点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用待定系数法求函数解析式； （2）先求出直线的解析式，根据直线平移得到直线的解析式，即可求出交点B的坐标 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 反比例函数的图象经过点， ， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：∵反比例函数图象经过点， ∴把点坐标代入反比例函数表达式得， ∴， ∴点的坐标为， 设直线表达式为， ∵直线经过点， ∴把点坐标代入直线表达式得， 解得， 则直线表达式为， ∵， ∴设直线表达式为， ∵直线经过点， ∴把点坐标代入直线表达式得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴点的坐标为． 31.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，点的坐标为． (1)的值为______； (2)若将菱形沿轴正方向平移个单位．在平移过程中，若反比例函数的图象与菱形的边始终有交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）延长交x轴于点E，利用勾股定理和菱形的性质求出，得到，然后代入即可求解； （2）将代入求出，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）解：如图，延长交x轴于点E， ∵点在轴的正半轴上，四边形是菱形， ∴，， ∵点的坐标为，即，， ∴， ∴， ∴， 将代入，得， 解得； （2）解：∵， ∴反比例函数， 当点D落在时，将代入得，， 解得， ∴， ∴若反比例函数的图象与菱形的边始终有交点，． 32．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，． (1)点的坐标是____； (2)若过点的反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式； (3)若（）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】（）根据矩形的性质解答即可求解； （）先求出点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式，进而求出的值即可； （）先求出点坐标，设，再根据等腰三角形的定义分三种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴轴， ∵， ∴， ∴点的坐标是； （2）解：∵矩形，， ∴，轴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （3）解：由（）知， 把代入，得， ∴， ∵点在直线上， ∴可设， ∵是等腰三角形， ∴有如下三种情况： ①当时，则， 解得或， ∴或； ②当时，则， 此时方程无解； ③当时，则， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或． 类型6 反比例函数与一次函数、几何图形综合题 33.．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)结合函数图象，直接写出时的取值范围； (3)点在轴上，且满足的面积等于8，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)；； (2)或； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）待定系数法，求解析式即可； （2）根据图象求解即可； （3）先求出直线与x轴的交点D的坐标，再根据，列方程求出的值，进一步求出点P坐标． 【详解】（1）解：由题意可得： 点在反比例函数图象上， ，则， 反比例函数的解析式为， 将代入， 得：，即， 将，代入一次函数解析式中，得 ， 解得：， 一次函数解析式为； （2）解：由图象可得：当或时，； （3）解：如图， 点在轴上， 设点的坐标为， 一次函数解析式为，令，则， 直线与轴交于点， 由的面积为8，可得： ， ∴，即， 解得：或， 点的坐标为或． 34.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线（）与x轴，轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． (1)求直线和双曲线的函数表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象上有一点，满足，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点B坐标代入反比例函数解析式，求出点B坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可求解； （2）根据与的面积关系，可求出点P的纵坐标，进而求解． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 反比例函数的解析式为． 将代入得，，则， 点B的坐标为． 将点A和点B的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：将代入得，， 点D的坐标为，则， ， ． 将代入，得， 点的坐标为，则， ， 解得． ∴， ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点P坐标为． 35．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】(1)， (2)或 (3)当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 【分析】（1）把点坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图像找到一次函数图像在反比例函数图像下方时自变量的取值范围即可； （3）如图：作点B关于x轴的对称点D，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，易得． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，， ∴，解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：由函数图像可知，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或． （3）解；如图：作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴． 综上，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 36.．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，为原点，的边垂直于轴，垂足为点，反比例函数的图象经过的中点，交于点，连接．点的坐标为，且． (1)求的值； (2)求线段所在直线对应的函数解析式； (3)设是线段上的动点（不与点，重合），过点且平行于轴的直线与反比例函数的图象交于点，求使面积最大的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据题意得出，再根据中点坐标公式得出，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即横纵坐标之积等于，得到方程，解方程即可解答； （2）先得出，，再利用待定系数法即可解答； （3）先设，，再得出，进一步得出，最后利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：，，且垂直于轴， ． 是的中点， ． 点，都在反比例函数的图象上， ，， 即， 解得， ． （2）解：由（1）可知，， ， ，． 设线段所在直线对应的函数解析式为， 故将，代入得，， 解得， 线段所在直线对应的函数解析式为． （3）解：如图， 由（1）知，，即反比例函数解析式为， 由（2）知，线段所在直线对应的函数解析式为， 故设，则根据题意可得，． 由（2）知，，， ． 点在点的上方， ， ． ，开口向下，且， 当时，面积最大， 此时，， ． 37.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)在轴上找一点，使的值最小，求线段与反比例函数图象的另一个交点的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，点的坐标为 (2)线段与反比例函数图象的另一个交点的坐标为 (3) 【分析】（1）将A、B分别代入一次函数求出两点坐标，再把A代入反比例函数求得k，得到反比例解析式． （2）作B关于x轴对称点D，连接，与x轴交点即为P；求直线解析式，联立反比例方程，舍去A点，得另一交点． （3）求出P点坐标，利用对称转化面积，用算出面积． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为． 将点的坐标代入中，得 ， 解得， 反比例函数的解析式为． 由，知， 点的坐标为． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，此时的值最小． 点的坐标为， 点的坐标为． 设直线的函数解析式为， 分别将，代入中，得： ， 解得， 直线的函数解析式为． 联立，得方程组， 整理，得， 解得（不合题意，舍去），． 当时，， 线段与反比例函数图象的另一个交点坐标为． （3）解：对于，令， 解得， 点的坐标为． 由（2）可得，． 38.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)平移直线与反比例函数交于，是否存在这样的点使得是直角？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数解析式为， (2)存在满足条件的，坐标为 (3)点坐标为或或或 【分析】（1）先求出点m的值，可得点A坐标，进而可得反比例函数解析式，根据对称性可得B坐标；过作轴，设，表示出的长，用面积公式代入计算，可得答案； （2）设，在中，由勾股定理得，得到，求出p的值，即可解答． （3）先求出的长，分情况讨论计算即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， 正比例函数表达式为， ， 反比例函数解析式为， 点、关于原点对称， ； 过作轴，交于点， 设， 直线的解析式为， 当时， ， 解得， ， ， ， 解得或（舍去）， ； （2）解：存在，理由如下： 设， ，，， ，，， 在中，由勾股定理得：， ∴ ， ， 两边同乘，整理得： ， 解得：，． 对应点，舍去． 当时，，即． 存在满足条件的，坐标为． （3）解：， ． 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此时点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，、为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，有如下一种情况： 过作轴于点， 设，则，， 在△中，， 解得， ， ； 点坐标为或或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 反比例函数专题训练（培优） 类型1 反比例函数象限的判断 类型2 反比例函数与一次函数的交点问题 类型3 反比例函数的增减性与大小比较问题 类型4 与几何图形有关的k值的确定 类型5 反比例函数与几何图形综合题 类型6 反比例函数与一次函数、几何图形综合题 类型1 反比例函数象限的判断 1.（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 2.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·北京·课后作业）y关于x的函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 4.（25-26九年级下·广东湛江·自主招生）一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·山东济南·期末）已知二次函数的图象如下，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（     ） A． B． C． D． 6.（25-26八年级下·吉林长春·期中）已知一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 类型2 反比例函数与一次函数的交点问题 7．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）若点是一次函数与反比例函数图象的两个交点，其中点M的横坐标为1，下列结论错误的是（     ） A．函数值随x的增大而减小 B．点N的纵坐标为1 C．若将一次函数的图象向下平移1个单位后，与反比例函数图象只有一个交点． D．当时， 8.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）若一个正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于，两点，则的值为________ ． 9.（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点是线段上一动点，过点作轴的平行线交反比例函数（）的图象于点．若，求点的坐标． 10.（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，，）的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点是线段上的点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，若点的坐标为，求线段的长． 类型3 反比例函数的增减性与大小比较问题 11．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 12.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 13.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，，是反比例函数图象上的三个点，若，则，，的大小关系为________．（用“”连接） 类型4 与几何图形有关的k值的确定 14.（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在轴和轴上，点，点，反比例函数的图象经过点B，则k的值为（     ） A．9 B．12 C．16 D． 15.（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，反比例函数（）经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为20，面积为20，则的值为（     ） A． B． C． D． 16．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上．若点的坐标为，则的值为___________． 17．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则为________． 18．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结，若的面积为18，则的值为__________． 19．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点，如果，那么的值是__________． 20．（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，已知四边形是矩形，点在反比例函数的图象上，延长线交轴于点，，．则_________． 21．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，过的图象上一点A，分别作x轴、y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，求k的值． 类型5 反比例函数与几何图形综合题 22.（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），它的纵截面是如图所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为（     ） A． B． C． D． 23.（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 24．（25-26九年级上·浙江绍兴·自主招生）如图，平行四边形的顶点，在函数的图象上，边与轴交于点，轴于点．若，则平行四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 25.（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在反比例函数的图象上，则的值为（     ）． A． B． C． D． 26.（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于，两点，则的面积是________（用含，的代数式表示） 27.（26-27九年级上·四川·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若，且，则___________． 28．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________． 29．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点，，过点，分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_______． 30．（26-27九年级上·辽宁·期中）如图，小金同学画了某反比例函数在第三象限内的图象，并把透明的矩形直尺放在上面，使尺的一边经过原点，交反比例函数图象于点，另一边经过轴上一点，交反比例函数于点． (1)求反比例函数表达式； (2)求点坐标． 31.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，点的坐标为． (1)的值为______； (2)若将菱形沿轴正方向平移个单位．在平移过程中，若反比例函数的图象与菱形的边始终有交点，请直接写出的取值范围． 32．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，． (1)点的坐标是____； (2)若过点的反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式； (3)若（）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 类型6 反比例函数与一次函数、几何图形综合题 33.．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)结合函数图象，直接写出时的取值范围； (3)点在轴上，且满足的面积等于8，请直接写出点的坐标． 34.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线（）与x轴，轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． (1)求直线和双曲线的函数表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象上有一点，满足，求点的坐标． 35．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 36．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，为原点，的边垂直于轴，垂足为点，反比例函数的图象经过的中点，交于点，连接．点的坐标为，且． (1)求的值； (2)求线段所在直线对应的函数解析式； (3)设是线段上的动点（不与点，重合），过点且平行于轴的直线与反比例函数的图象交于点，求使面积最大的点的坐标． 37.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)在轴上找一点，使的值最小，求线段与反比例函数图象的另一个交点的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 38.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)平移直线与反比例函数交于，是否存在这样的点使得是直角？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $