培优专题04 反比例函数重难点压轴(专项训练)数学新教材人教版九年级上册

专题04 反比例函数重难点压轴 常考题型·精准突破 考点一 k 的几何意义与面积计算 题型1 求特殊图形的面积 题型2 根据图形面积求k 考点二 反比例 + 一次函数交点与不等式 题型1 对称点问题 题型2 不等式解集问题 考点三 存在性问题 题型1 平行四边形存在性 题型2 特殊三角形的存在性 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 k 的几何意义与面积计算 ◆题型1求特殊图形的面积 1．如图，四边形OABC是矩形，等腰△ODE中，OE＝DE，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B、E在反比例函数y＝的图象上，OA＝5，OC＝1，则△ODE的面积为（　　） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 2．如图，函数(x>0)和(x>0)的图象分别是和.设点P在上，PA∥y轴交于点A，PB∥x轴，交于点B，△PAB的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，线段在x轴的正半轴上，过点A作x轴的垂线交反比例函数图像于点P，连接，过点A作，交y轴于点C，若，则四边形的面积是______．    4．如图，A，B两点在双曲线上，C，D两点在双曲线上，若轴，且，则的面积为______． 5．如图，已知直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，且点A的横坐标为6 (1)求k的值； (2)若双曲线y＝（k＞0）上一点C的纵坐标为9，求△AOC的面积； (3)过原点O的另一条直线l交双曲线y＝（k＞0）于P、Q两点（P点在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为96，求点P的坐标． ◆题型2 根据图形面积求k 1．如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，若菱形的面积为6，则k的值为（） A． B．6 C． D．3 2．如图，△ABE中，点A、B是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，点E在x轴上，延长线段AB交y轴于点C，点B恰为线段AC中点，过点A作AD⊥x轴于点D．若S△ABE＝，DE＝2OE，则k的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣9 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点为坐标系的原点，顶点在轴上，已知，四边形的面积为4，反比例函数的图象经过点和点，则_____． 4．如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数的图象上，轴，轴，五边形的面积为56，四边形的面积为32，则的值为_____，的值为_____． 5．已知点、是反比例函数图象上的两个点，且，，． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 考点二 反比例 + 一次函数交点与不等式 ◆题型1对称点问题 1．如图，反比例函数的图象经过点，过A作轴于点B，连，直线，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图像上，则D点纵坐标为（    ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图像上有两个不同的点关于轴的对称点都在一次函数的图像上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 3．在平面直角坐标系中，直线经过点．将点向右平移到轴上，得到点，设点关于原点的对称点为，记线段与组成的图形为．若双曲线与图形恰有一个公共点，结合函数图象，则的取值范围为___________． 4．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，a），点B（14﹣2a，2）．若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，则△ACD的面积____． 5．如图，已知点 、是直线 与双曲线在第一象限上的两个交点． (1)求出k，b，的值； (2)若点C是点 A关于原点O的对称点，D是点B关于原点O的对称点，求四边形的面积． ◆题型2 不等式解集问题 1．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．则关于的不等式的解集是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．，或 2．当直线与函数的图象至少有两个公共点时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知一次函数y1＝k1x＋b（k1，b为常数）与反比例函数y2＝（k2为常数），函数y1、y2与自变量x的部分对应值分别如表1、表2所示： 则关于x的不等式k1x＋b＜的解集是_______________． 4．关于的不等式的解集为或，则________． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（）交于、B两点，与x轴交于点D． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点P为x轴上的动点，当为直角三角形时，求点P的坐标． 考点三 存在性问题 ◆题型1平行四边形存在性 1．如图，在直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，，有一反比例函数图象刚好过点． （1）分别求出过点的反比例函数和过，两点的一次函数的函数表达式； （2）直线轴，并从轴出发，以每秒个单位长度的速度向轴正方向运动，交反比例函数图象于点，交于点，交直线于点，当直线运动到经过点时，停止运动．设运动时间为（秒）． ①问：是否存在的值，使四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； ②若直线从轴出发的同时，有一动点从点出发，沿射线方向，以每秒个单位长度的速度运动．是否存在的值，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形；若存在，求出的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形；若不存在，说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象过点，点的纵坐标为4，直线与轴，轴分别交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)若点P在x轴上，当PD+PC最小时，求点P的坐标． (3)已知点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为为轴上的动点．问直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为y轴上一点， ①若，求点P的坐标． ②反比例函数的图象是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． ◆题型2 特殊三角形的存在性 1．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，且为等腰三角形，求点的坐标； (3)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图1，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，点A的坐标为，反比例函数在第一象限内的图像经过点A，与BC相交于F． (1)若，求反比例函数的关系式． (2)若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=9，求OA的长和点C的坐标； (3)在（2）的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图2），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P、使以P、O、A为顶点的三角形是以OA为斜边的直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形．．反比例函数在第一象限内的图象经过点A，交BC的中点F．且    ． （1）求k值和点C的坐标； （2）过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别落在双曲线第一和第三象限的两支上，连接，线段恰好经过原点O，以为腰作等腰三角形，，点C落在第四象限中，且轴，过点C作交x轴于E点，交双曲线第一象限一支于D点，若的面积为，则k的值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D． 2．如图，的顶点A，B的坐标分别是，D均在函数 的图象上，若，则k的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 3．如图，反比例函数的图象经过点，过作轴于点，连，直线，交轴于点，交轴于点，若点关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图象上，则点纵坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，点A，B在反比例函数y第一象限的图象上，点A坐标为（1，2），AB的延长线交x轴于点C．点D在x轴上，BD的延长线交双曲线的另一支于点E，AB＝BC＝BD．则点C的坐标为____，△CDE的面积等于____． 5．如图，已知一次函数y1＝k1x＋b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2＝的图象分别交于C、D两点，点D的坐标为(2，－3)，点B是线段AD的中点．则不等式 k1x＋b —＞0的解集是___________. 6．在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，连接交轴于点．已知轴于点，轴于点，是线段的中点，，， (1)求反比例函数和所在直线的函数表达式； (2)连接，，求所在直线上是否存在一点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究：是否存在点，，使得是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求k的值及点B的坐标； (2)当x ______ 时，； (3)在x轴上是否存在点C，使得为等腰三角形，且？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，直线分别交轴、轴于，两点，且． (1)求一次函数的解析式； (2)如图2，的坐标为，将线段沿轴向上（或向下）平移得线段，在移动过程中，是否存在某个位置使的值最小？若存在，求出的最小值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，将直线沿轴平移，平移过程中在第一象限交的图象于点（可与重合），交轴于点．在平移过程中，是否存在某个位置使以，，和平面内某一点为顶点的四边形为菱形且以为菱形的边？若存在，请直接写出的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 反比例函数重难点压轴 常考题型·精准突破 考点一 k 的几何意义与面积计算 题型1 求特殊图形的面积 题型2 根据图形面积求k 考点二 反比例 + 一次函数交点与不等式 题型1 对称点问题 题型2 不等式解集问题 考点三 存在性问题 题型1 平行四边形存在性 题型2 特殊三角形的存在性 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 k 的几何意义与面积计算 ◆题型1求特殊图形的面积 1．如图，四边形OABC是矩形，等腰△ODE中，OE＝DE，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B、E在反比例函数y＝的图象上，OA＝5，OC＝1，则△ODE的面积为（　　） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 【答案】B 【分析】过E作EF⊥OC于F，由等腰三角形的性质得到OF＝DF，于是得到S△ODE＝2S△OEF，由于点B、E在反比例函数y＝的图象上，于是得到S矩形ABCO＝k，S△OEF＝k，即可得到结论． 【详解】解： 过E作EF⊥OD于F， ∵OE＝DE， ∴OF＝DF， ∴S△ODE＝2S△OEF， ∵点B、E在反比例函数y＝的图象上， ∴S矩形ABCO＝k，S△OEF＝k， ∴S△ODE＝S矩形ABCO＝5×1＝5， 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 2．如图，函数(x>0)和(x>0)的图象分别是和.设点P在上，PA∥y轴交于点A，PB∥x轴，交于点B，△PAB的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点P(m，n)代入反比例函数y=(x>0)用m表示出n即可表示出点P的坐标，然后根据PB∥x轴，得到B点的纵坐标为，然后将点B的纵坐标代入反比例函数的解析式y=(x>0)即可得到点B的坐标，同理得到点A的坐标；根据PB=m-=，PA=-=，利用S△PAB=PA•PB即可得到答案. 【详解】解：设点P(m,n)， ∵P是反比例函数y=(x>0)图象上的点， ∴n=， ∴点P(m，)； ∵PB∥x轴， ∴B点的纵坐标为， 将点B的纵坐标代入反比例函数的解析式y=(x>0)得：x=， ∴B(，)，同理可得：A(m，)； ∵PB=m−=，PA=−=， ∴S△PAB=PA⋅PB=××=. 故选B. 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义. 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，线段在x轴的正半轴上，过点A作x轴的垂线交反比例函数图像于点P，连接，过点A作，交y轴于点C，若，则四边形的面积是______．    【答案】 【分析】连接，，根据平行线的性质得到，进而求得，利用勾股定理求得，进而求得，由四边形的面积是求解即可． 【详解】解：连接，，    ∵轴于A， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由，得， ∴， ∴， ∴，则， ∴四边形的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质、平行线的性质、勾股定理、三角形的面积，熟练掌握反比例函数k的几何意义，根据平行线的性质得到是解答的关键． 4．如图，A，B两点在双曲线上，C，D两点在双曲线上，若轴，且，则的面积为______． 【答案】 【分析】过点A作AF⊥y轴于F点，过A作AM⊥x轴于点M，过B作BE⊥x轴于点E； 根据A，B，都在反比例函数 上，假设A(a，)，B(b，)，根据C，D又在反比例函数 上，且AB∥CD，得出A，C点的纵坐标相等，则B，D点的纵坐标相等， 得到 根据BD=2AC，得到b=2a，即可求解． 【详解】如图：过点A作AF⊥y轴于F点，过A作AM⊥x轴于点M，过B作BE⊥x轴于点E； ∵A，B，都在反比例函数 上， ∴设A(a，)，B(b，) 而C，D又在反比例函数 上，且AB∥CD， 则A，C点的纵坐标相等，则B，D点的纵坐标相等， ∴当时，∴x=am， 当 时，x=bm， 所以 ， 又BD=2AC ∴ ∵m＞1 ∴b=2a 又 =1+ 又 而AM= ，BE= ，ME=b-a ∴ 故 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，三角形面积，梯形面积等，根据题意正确作出辅助线，设好未知数，代入求解是解题的关键． 5．如图，已知直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，且点A的横坐标为6 (1)求k的值； (2)若双曲线y＝（k＞0）上一点C的纵坐标为9，求△AOC的面积； (3)过原点O的另一条直线l交双曲线y＝（k＞0）于P、Q两点（P点在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为96，求点P的坐标． 【答案】(1)18 (2)24 (3)P（18，1）或（2，9） 【分析】（1）先求得点的坐标，进而待定系数法求得反比例函数解析式； （2）根据反比例函数的几何意义以及图形可得S△AOC=S△CON+S梯形AMNC-S△AOM=S梯形AMNC，据此求解即可 （3）由反比例函数的图象关于原点对称，可得由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形，过A作AM⊥x轴于M，过P作PN⊥x轴于N，可得四边形APBQ的面积为96，根据S△AOP=S△AOM+S梯形AMNP-S△PON=S梯形AMNP，建立方程，解一元二次方程求解即可，然后根据P在第一象限，取值即可． 【详解】（1）解：在y=x中x=6时，y=3，即点A（6，3）， 将点A（6，3）代入y=得：k=18； （2）解：如图1，把y=9代入y=得，x=2， 如图所示，过点、分别作轴的垂线，垂足为、 ∵点在双曲线上 ∴当时， ∴点的坐标为， A（6，3）， ∵点、在双曲线上 ∴ S△AOC=S△CON+S梯形AMNC-S△AOM=S梯形AMNC=(9+3)(6-2)=24； （3）解：如图2，∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形， ∴PQ与AB交于O点， 过A作AM⊥x轴于M，过P作PN⊥x轴于N， ∵四边形APBQ的面积为96， ∴S△AOP=S四边形APBQ=24， ∵P在双曲线上，设P（x，）， ∵S△AOP=S△AOM+S梯形AMNP-S△PON=S梯形AMNP， ∴(3+)|x-6|=24， 整理得x2-16x-36=0和x2+16x-36=0， 解得 ∵P在第一象限， 解得x=2或18， ∴P（18，1）或（2，9）； 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何图形综合，反比例函数的几何意义，解一元二次方程，掌握反比例函数的图象与相纸是解题的关键． ◆题型2 根据图形面积求k 1．如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，若菱形的面积为6，则k的值为（） A． B．6 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质、反比例函数系数k的几何意义，掌握菱形的性质，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提．连接交于，由菱形的性质可知，根据反比例函数中的几何意义，再根据菱形的面积为6，即可求出的值． 【详解】连接交于如图： 四边形是菱形， ， 菱形的面积， 顶点在反比例函数的图象上， 解得∶． 故选∶D． 2．如图，△ABE中，点A、B是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，点E在x轴上，延长线段AB交y轴于点C，点B恰为线段AC中点，过点A作AD⊥x轴于点D．若S△ABE＝，DE＝2OE，则k的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣9 【答案】B 【分析】根据题意设A(2a，b)，则B(a，2b)，E(，0)，作BM⊥x轴于M，根据S△ABE＝S梯形ABMD+S△BME﹣S△ADE，得出﹣ab＝，求得ab=-3，即可求出k＝2ab＝﹣6． 【详解】解：∵点A、B是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，点B恰为线段AC中点， ∴设A(2a，b)，则B(a，2b)， ∴k＝2ab， ∵DE＝2OE， ∴E(，0)， 作BM⊥x轴于M， ∵S△ABE＝S梯形ABMD+S△BME﹣S△ADE，S△ABE＝， ∴(﹣a)•(b+2b)+ (﹣a)•2b﹣(﹣2a)•b＝， 整理得﹣ab＝， 解得ab＝﹣3， ∴k＝2ab＝﹣6． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．解题的关键是学会利用参数解决问题． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点为坐标系的原点，顶点在轴上，已知，四边形的面积为4，反比例函数的图象经过点和点，则_____． 【答案】 【分析】过点作轴于，过点作，进而可证明，根据全等性质得，，设，根据反比例函数的图象在第一象限，可判断，，，根据反比例函数的几何意义得：，进一步求出、等于，，，即可得，再根据列方程即可得，进一步得，把的坐标代入解析式，列出方程，解出即可得的值，代入计算即可得的值． 【详解】解：如图， 过点作于，过点作， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴，，， 根据反比例函数的几何意义得：， ∴，，， ∴，， ∴， ∵四边形的面积为4， ∴， ∴，解得：，即：， ∴， ∵的图象经过点， ∴，化简得：，解得：，（舍）， ∴． 4．如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数的图象上，轴，轴，五边形的面积为56，四边形的面积为32，则的值为_____，的值为_____． 【答案】 24 【分析】本题考查反比例函数的性质以及与几何综合，设，由关于原点对称，得，由轴，则，由轴，得，，可分别得B、C、D、E的坐标，再根据条件中的面积关系列出方程即可． 【详解】解：由题意知，关于原点对称， 设，则， 轴， ， 轴， ，，即，， 又五边形的面积为56，四边形的面积为32， ， 解得， 如图，延长、交于点G，则， ， ， ， 又，即， ，即， 解得， ， ． 5．已知点、是反比例函数图象上的两个点，且，，． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) 证明：点、是反比例函数图象上的两个点； ， 整理得，， ，，． ， ． (2)1 (3)8 【分析】（1）根据题意将点点、代入反比例函数，整理即可得出得出． （2）勾股定理表示出，由（1）知．得出，进而即可求解． （3）点、根据得出直线的解析式为：，则，，根据已知条件即可得出的值 【详解】（1）略 （2）解：、， ，， ， ， 由（1）知． ，代入中得， ， ， ， ． （3）解：设直线的解析式为：， 则 ，解得 ， ∴直线的解析式为：， ，， ， ， ，解得， ． ， ， ，． ． ． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质、的意义，两点间距离公式、三角形的面积、解方程，解题的关键是准确理解的意义． 考点二 反比例 + 一次函数交点与不等式 ◆题型1对称点问题 1．如图，反比例函数的图象经过点，过A作轴于点B，连，直线，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图像上，则D点纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点B关于直线的对称点，易得求出a的值，再根据勾股定理得到两点间的距离，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴直线OA的解析式为， ∵， ∴设直线CD的解析式为， 则， 设点B关于直线的对称点， 则①， 且， 即，解得， 代入①可得， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键． 2．若反比例函数的图像上有两个不同的点关于轴的对称点都在一次函数的图像上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】设反比例函数上有一点A(m，)，则关于x轴对称点B(m，)，代入一次函数可得关于m的一元二次方程，利用判别式来确定b的取值范围． 【详解】设反比例函数上有一点A(m，)，则关于x轴对称点B(m，) ∵点B在一次函数上，代入得： 化简得： ∵有两个不同的点关于x轴的对称点都在一次函数上 ∴关于m的一元二次方程有两个不同的解 ∴△=＞0 解得：或 故选：D 【点睛】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，需要用到对称的知识，解题关键是将题目转化为一元二次方程的形式来求解． 3．在平面直角坐标系中，直线经过点．将点向右平移到轴上，得到点，设点关于原点的对称点为，记线段与组成的图形为．若双曲线与图形恰有一个公共点，结合函数图象，则的取值范围为___________． 【答案】或 【分析】把B的坐标代入即可求得b，然后代入，即可求得m，得出；根据平移的性质、轴对称以及中心对称的性质即可求得C、D的坐标；函数的图象经过点A，，函数的图象经过点D，，此时双曲线也经过点B，根据图象即可求得k的取值范围． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， ∴直线， 又∵直线，经过点， ∴， ∴； ∵，将点B向右平移到y轴上，得到点， ∴点B关于原点的对称点为； 如图， 函数的图象经过点A，， 函数的图象经过点D，，此时双曲线也经过点B， 由图象可知：k的取值范围是或． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数、反比例函数解析式．数形结合结合思想的运用是解题的关键． 4．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，a），点B（14﹣2a，2）．若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，则△ACD的面积____． 【答案】18． 【分析】根据点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上先求出这两点坐标，再求一次函数表达式，求出点C，再求出点D，即可求出面积． 【详解】∵点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函的图象上， ∴3×a＝（14﹣2a）×2，解得：a＝4， ∴点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2）， 设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则，解得， ∴一次函数的表达式为：； 当x＝0时，y＝6，故点C（0，6）， ∵点D为点C关于原点O的对称点， ∴D（0，﹣6）， ∴CD＝2OC＝12， ∴△ACD的面积＝×CD•xA＝×12×3＝18， 故答案为18． 【点睛】此题考查反比例函数与一次函数交点问题中有关三角形面积的计算，难度一般，求函数表达式根据表达式求坐标点是关键． 5．如图，已知点 、是直线 与双曲线在第一象限上的两个交点． (1)求出k，b，的值； (2)若点C是点 A关于原点O的对称点，D是点B关于原点O的对称点，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）直接利用待定系数法求解，，即可； （2）先求解，的坐标，再证明四边形是矩形，再利用矩形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵点 、是直线 与双曲线在第一象限上的两个交点． ∴， ， 解得：； （2）∵点 、，点C是点 A关于原点O的对称点，D是点B关于原点O的对称点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵、，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，关于原点成中心对称的两个点的坐标关系，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，掌握以上基础知识是解本题的关键． ◆题型2 不等式解集问题 1．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．则关于的不等式的解集是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．，或 【答案】A 【分析】不等式的解集，即为一次函数的图象在反比例函数的图象上方时的自变量的取值范围． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，， 是向下平移了个单位长度得到的， ∴一次函数与反比例函数的图象交于点，． 由图象可知，关于的不等式的解集是：或， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图像与交点问题，主要考查数形结合的思想的应用． 2．当直线与函数的图象至少有两个公共点时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、解不等式等，根据图象求出的取值范围是解题的关键． 先分析出当直线与函数相切时，直线与函数的图象至少有两个公共点，当直线与函数相切时，直线与函数的图象至少有两个公共点，由此求出的取值范围，再根据不等式的性质即可得出结果． 【详解】解：当直线与函数相切时，直线与函数的图象至少有两个公共点， 故令， 整理得，， 令， 解得， 当直线与函数相切时，直线与函数的图象至少有两个公共点， 故令， 整理得，， 令， 解得， ， ， ， ． 故选：A． 3．已知一次函数y1＝k1x＋b（k1，b为常数）与反比例函数y2＝（k2为常数），函数y1、y2与自变量x的部分对应值分别如表1、表2所示： 则关于x的不等式k1x＋b＜的解集是_______________． 【答案】x＜―2或0＜x＜3 【分析】用待定系数法求出两个函数的解析式，再画出草图，根据函数图象的位置关系求得不等式的解集． 【详解】解：把x=-2，y=-3和x=0，y=-1代入一次函数的解析式y1=k1x+b得， ， 解得，， ∴一次函数的解析式为：y1=x-1； 把x=3，y=2代入反比例函数的解析式y2=中得， k=6， ∴反比例函数的解析式为：y2＝， 联立方程组， 解得：或， ∴直线y1=x-1与双曲线y2＝的交点为： （-2，-3）或（3，2）， 作出草图如下： 由函数图象可知，当双曲线在直线上方时，x＜-2或0＜x＜3， ∴关于x的不等式k1x+b＜的解集是：x＜-2或0＜x＜3， 故答案为：x＜-2或0＜x＜3． 【点睛】本题考查反比例函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和一次函数的性质解答． 4．关于的不等式的解集为或，则________． 【答案】 【分析】将不等式转化为直线与反比例函数的图象的交点问题，得到直线与反比例函数的图象的交点的横坐标为和，进而求出交点坐标，代入一次函数解析式，即可得出结果. 【详解】解：∵的解集为或， 即的解集为或， ∴直线与反比例函数的图象的交点的横坐标为和， 当时，，当时，， ∴两条图象的交点为， 把，代入，得. 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（）交于、B两点，与x轴交于点D． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点P为x轴上的动点，当为直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)当为直角三角形时，点P的坐标为或 【分析】（1）先得出，然后可得反比例函数解析式，进而联立函数关系式可得点B的坐标； （2）根据图象可直接进行求解； （3）由题意可设，则有，根据两点间距离公式可得：，，，然后可分当时，当时，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可把点代入直线得：， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得：或， ∴点B的坐标为； （2）解：由图象及（1）可知：不等式的解集为或； （3）解：由题意可设， 把代入直线得：，解得：， ∴， ∵， ∴根据两点间距离公式可得：，，， 当为直角三角形时，则可分： 当时，由勾股定理可得：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； 综上所述：当为直角三角形时，点P的坐标为或． 考点三 存在性问题 ◆题型1平行四边形存在性 1．如图，在直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，，有一反比例函数图象刚好过点． （1）分别求出过点的反比例函数和过，两点的一次函数的函数表达式； （2）直线轴，并从轴出发，以每秒个单位长度的速度向轴正方向运动，交反比例函数图象于点，交于点，交直线于点，当直线运动到经过点时，停止运动．设运动时间为（秒）． ①问：是否存在的值，使四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； ②若直线从轴出发的同时，有一动点从点出发，沿射线方向，以每秒个单位长度的速度运动．是否存在的值，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形；若存在，求出的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， ；（2）①不存在，理由详见解析；②存在， 【分析】（1）先确定A、B、C的坐标，然后用待定系数法解答即可； （2）①可用t的代数式表示DF，然后根据DF=BC求出t的值，得到DF与CB重合，因而不存在t，使得四边形DFBC为平行四边形；②可分两种情况（点Q在线段BC上和在线段BC的延长线上）讨论，由于DE∥QC，要使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形，只需DE=QC，只需将DE、QC分别用的式子表示，再求出t即可解答． 【详解】解：（1）由题意得，，， 反比例函数为，一次函数为：． （2）①不存在． 轴，轴， ． 又四边形是平行四边形， ． 设，则， ，． 此时与重合，不符合题意， 不存在． ②存在．当时，；当时，由，，得． 由，．得． 当时，四边形为平行四边形． ． ， （舍） 当时，四边形为平行四边形． 又且， 为矩形． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式以及平行四边形的判定、解方程、根的判别式等知识，在解答以点D、E、Q、C为顶点的四边形的四个顶点的顺序不确定，需要分情况讨论是解答本题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象过点，点的纵坐标为4，直线与轴，轴分别交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)若点P在x轴上，当PD+PC最小时，求点P的坐标． (3)已知点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为为轴上的动点．问直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的函数表达式为 (2)点的坐标为 (3)点的坐标为、、 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及反比例函数解析式求解、一次函数解析式求解、最短路径问题、平行四边形的判定等知识． （1）用反比例函数图象上点的坐标特征求反比例函数解析式后求的坐标，然后设一次函数解析式，代入坐标解方程组，得到直线的表达式； （2）作关于轴的对称点，求直线与轴的交点，即为点； （3）求的坐标，设的坐标，分“为对角线、为对角线、为对角线”三种情况，利用平行四边形“对角线中点重合”的性质列方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数过点， ∴代入得，即反比例函数为． ∵点在上且纵坐标为4， ∴把代入，得，即． 设直线的表达式为， ∵直线过、， ∴代入得， 解得，， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵点在轴上，要使最小， ∴如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，点即为所求． 设直线的表达式为， ∵直线过、， ∴代入得， 解得，，即直线为． ∵点在轴上， ∴把代入，得， ∴点的坐标为； （3）解：∵关于轴的对称点为， ∴； ∵关于轴的对称点为， ∴． 设，，分三种情况： ①以为对角线 ∵平行四边形对角线中点重合，中点为，中点为， ∴，，解得，此时； ②为对角线 ∵中点为，中点为， ∴，解得，此时； ③为对角线 ∵中点为，中点为， ∴，解得，此时． 综上所述，点的坐标为、、． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为y轴上一点， ①若，求点P的坐标． ②反比例函数的图象是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点P的坐标为或； ②存在，或或． 理由如下： ∵点P为y轴上一点，反比例函数的图象是否存在一点E， ∴设，， ∵，，以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴当与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； 当为平行四边形边长时，若与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； 当为平行四边形边长时，若与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； ∴存在，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，或或． 【分析】（1）先把代入求出m，再把点B坐标代入反比例函数解析式，即可得到结论； （2）①解方程得到，在中，令，进而求得，设，由，根据三角形的面积公式列方程求解； ②设，根据平行四边形的对角线中点交于一点列方程组求解，再验证明求得的E点是否在反比例函数上，即可得出结论． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入中得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：①解得或， ∴， 在中，令，则， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或； ②略 ◆题型2 特殊三角形的存在性 1．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，且为等腰三角形，求点的坐标； (3)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数解析式为：，一次函数解析式为： (2)点坐标为 (3)存在两个点，坐标为或 【分析】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）分、、三种情况，分别求解即可； （3）过点作，使，过点作轴的平行线交轴于点，作，垂足为，①当时，求出点坐标，②当时，过点作，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ， ，， 反比例函数解析式为：， ，在直线图象上， ，解得， 一次函数解析式为：； （2）解：设点， 由点、、的坐标得：，，， 当时，则， 解得：（舍去）或， 即点； 当时，则， 解得：， 即点； 当时，则， 解得：， 即点或， 综上，点的坐标为：． （3）解：如图，过点作，使，过点作轴的平行线交轴于点，作，垂足为， ①当时， 在和中， ， ， ，， ， 设直线解析式为，将代入得，解得， 直线解析式为， 联立方程组，解得， ， ②当时，过点作， 直线的，设直线解析式为， 将点坐标代入得：，解得， 直线解析式为， 联立方程组得： ，解得， ． 综上所述，存在两个点，坐标为或 2．如图1，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，点A的坐标为，反比例函数在第一象限内的图像经过点A，与BC相交于F． (1)若，求反比例函数的关系式． (2)若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=9，求OA的长和点C的坐标； (3)在（2）的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图2），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P、使以P、O、A为顶点的三角形是以OA为斜边的直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)OA＝5， (3)存在，P（4，2） 或P（-1，2） 【分析】（1）把点A坐标代入解析式，即可求解； （2）根据反比函数的比例系数的几何意义可得，从而得到，，进而得到点F的坐标为（6a，2a），可得到，求出a，即可求解； （3）先证得四边形OBFE为平行四边形，可求出点E，然后分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解∶∵点A的坐标为，， ∴点A的坐标为， 把代入得：k=48， ∴反比例函数的关系式为； （2）解：分别过点A，F，C作x轴的垂线交x轴于点D，E，G，AD交OF于点H． ∵点A，F在反比例函数图像上， ∴ 又， ， ∵△AOF的面积S=9，四边形OACB是平行四边形， ，， ∵点A的坐标为，AC∥x轴， ∴点C的纵坐标为4a， 点F为BC的中点，k=12a2， ∴点F的纵坐标为2a， ∴点F的横坐标为， 点F的坐标为（6a，2a）， ， 解得a＝1， ∴点A（3，4），F（6，2）， OD＝3  AD＝4， OA＝5， ∵， ∴AC=OB＝ ， ∴点，即； （3）解：存在， 根据题意得：∠APO=90°， ∵四边形OACB为平行四边形， ∴OE∥BF，OA=BC， ∵EF∥OB， ∴四边形OBFE为平行四边形， ∴OE=BF， ∵BF=CF， ∴AE=OE=， ∴PE=， 由（2）得：点A（3，4）， ∴点E， ∴ON=，EN=2， 如图，当点P在线段OA的右侧上时，过点P作PM⊥x轴于点M，过点E作EN⊥x轴于点N， ∵EN⊥x轴，PM⊥x轴， ∴EN∥PM， ∴四边形ENMP为平行四边形， ∴PE=MN=，PM=EN=2， ∴OM=4， ∴点P（4，2）； 如图，当点P在线段OA的作侧上时，过点P作PT⊥x轴于点T，过点E作ES⊥x轴于点S， 同理：四边形PEST为平行四边形， ∴PT=ES=2，TS=PE=，OS=， ∴OT=1， ∴点P（-1，2）； 综上所述，点P的坐标为（4，2）或（-1，2）． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质，平行四边形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 3．如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形．．反比例函数在第一象限内的图象经过点A，交BC的中点F．且    ． （1）求k值和点C的坐标； （2）过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）k=12，；（2）存在，，，， 【分析】（1）先过点A作AH⊥OB，设OA=a，根据，表示 出AH和OH的值，求出S△AOH的值，根据S△AOF=9，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的中点，求出S△OBF=，根据BF=a，∠FBM=∠AOB，得出S△BMF=BM•FM，S△FOM=+a2，再根据点A，F都在的图象上，S△AOH=k，求出a，最后根据S平行四边形AOBC=OB•AH，得出OB=AC=，即可求出点C的坐标； （2）分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P1，P2；当∠PAO=90°时，求出P3；当∠POA=90°时，求出P4即可． 【详解】（1）过点作于，设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，过点C作CN⊥x轴于点N， 由平行四边形性质可证得OH=BN， ， ， 为的中点 ， ， 点，都在的图象上 ， ，， ， ∴ON=OB+OH= （2）存在三种情况． ∵EF∥OB， ∴点P的纵坐标为：2， 设点P（x，2）， ∴，， 当∠APO=90°时，则PA2+OP2=OA2， 即+=25， 解得：x1=4，x2=-1，， ∴，； 当∠PAO=90°时，PA2+OA2=OP2， 即+25= 解得，x=， ∴， 当∠POA=90°时，OP2+OA2=PA2， 即+25=， 解得：x=-， ∴． 综上可得：点P的坐标为：，，，． 【点睛】此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，要注意运用数形结合的思想，要注意（2）有三种情况，不要漏解． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别落在双曲线第一和第三象限的两支上，连接，线段恰好经过原点O，以为腰作等腰三角形，，点C落在第四象限中，且轴，过点C作交x轴于E点，交双曲线第一象限一支于D点，若的面积为，则k的值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】设，，则，根据已知条件，求出，，，根据，即可求出，连接，设与轴交于点，根据已知条件证明，得出，根据已知条件证明，过点A作轴于点M，求出，即可求出k的值． 【详解】解：设，，， ∵，轴， ， 设AB的函数关系式为：，把代入得：， 解得：， ∵， ， 设的关系式为：，把代入得：， 解得：， ∴的关系式为：， 联立， 解得：或， ∵点D在第一象限， ∴， ， 连接，设与轴交于点， ， ∵， ， 为的中点，， ， ， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴， 过点A作轴于点M， ∵，，， ∴， ， ， ， ∴． 故选：A．    【点睛】本题主要考查了反比例函数k值的意义，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作出辅助线，求出，是解题的关键． 2．如图，的顶点A，B的坐标分别是，D均在函数 的图象上，若，则k的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】分别过C、D作x轴的垂线，垂足为F、G，过C点作，垂足为H，连接，根据可证，则，由题意，推出，由，可知点D的横坐标为2，易知C的横坐标为3，设，则，列出方程即可解决问题． 【详解】解：如图，过C，D分别作轴，轴，垂足为F、G，与相交于点M，过C点作，连接，    ∵是平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴点D的横坐标为2，C的横坐标为3， 设，则， ∵顶点C、D均在函数的图象上， ∴， 解得， ∴ ∴． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，解答此题的关键是通过作辅助线，将图形分割，寻找全等三角形，利用边的关系设双曲线上点的坐标，根据面积关系，列方程求解． 3．如图，反比例函数的图象经过点，过作轴于点，连，直线，交轴于点，交轴于点，若点关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图象上，则点纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，求出反比例函数为和直线的解析式为，联立即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵直线经过，过作轴于点， ∴直线的解析式为，， ∵，， ∴ ∴设直线的解析式为， 把代入得到，， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得或（不合题意，舍去） ∴ 则点纵坐标为． 4．如图，点A，B在反比例函数y第一象限的图象上，点A坐标为（1，2），AB的延长线交x轴于点C．点D在x轴上，BD的延长线交双曲线的另一支于点E，AB＝BC＝BD．则点C的坐标为____，△CDE的面积等于____． 【答案】 【分析】先求出反比例函数的解析式，根据为的中点，由中点坐标公式可计算出，同理可求出点，再求出直线的方程，联立求出点，根据即可求解． 【详解】解：点A，B在反比例函数y第一象限的图象上， 将代入上式， 解得：， ， 设点， ， 为的中点， 由中点坐标公式可得：， 将代入， 解得：， 即， 由勾股定理得：， ， 设， 即， 解得：， 故， 设直线的方程为， 解得两点代入其中得： ， 解得：， ， 联立， 解得：或， 由图可得： ， 由， 故答案是：，． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，中点坐标公式，勾股定理，解题的关键是掌握用待定系数法求函数的解析式． 5．如图，已知一次函数y1＝k1x＋b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2＝的图象分别交于C、D两点，点D的坐标为(2，－3)，点B是线段AD的中点．则不等式 k1x＋b —＞0的解集是___________. 【答案】x<—4或0<x<2 【详解】分析：把点D的坐标代入y2=利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作DE⊥x轴于E，根据题意求得A的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式，联立方程求得C的坐标，根据图象即可求得结论． 详解：∵点D（2，﹣3）在反比例函数y2=的图象上，∴k2=2×（﹣3）=﹣6，∴y2=﹣；     作DE⊥x轴于E．∵D（2，﹣3），点B是线段AD的中点，∴A（﹣2，0）．∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1=k1x+b的图象上，∴，解得：k1=﹣，b=﹣，∴y1=﹣x﹣；由，解得：，∴C（﹣4，），    由图象可知：当x＜﹣4或0＜x＜2时，y1＞y2．故答案为x＜—4或0＜x＜2．      点睛：本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等，求得A点的坐标是解题的关键． 6．在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，连接交轴于点．已知轴于点，轴于点，是线段的中点，，， (1)求反比例函数和所在直线的函数表达式； (2)连接，，求所在直线上是否存在一点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究：是否存在点，，使得是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，点的坐标为或 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）根据求出，，根据是线段的中点可得，，代入求出的值，可得反比例函数解析式，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据直线解析式求出，即可求出，设，得出，根据列方程可求出的值，即可得出点坐标； （3）利用待定系数法求出直线的解析式为，设，分，和三种情况，利用等腰直角三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上，， ∴， 解得：，即，， ∵是线段的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴， 如图所示： ∵点在直线上， ∴设， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 当时，，， 当时，，， 综上所述：存在点，使得，点的坐标为或． （3）解：设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 如图，当时，过点作于， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 如图，当时，则， ∴， 解得：， ∴， ∴； 如图，当时，， ∵轴，在上， ∴点与原点重合， ∴， ∴； 综上所述：存在点，，使是等腰直角三角形，点的坐标为或或． 7．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求k的值及点B的坐标； (2)当x ______ 时，； (3)在x轴上是否存在点C，使得为等腰三角形，且？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点B的坐标为 (2) (3)点C的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求出，再把代入中，可得，即可求出点坐标； （2）根据函数图象的交点和位置进行解答即可； （3）设点C的坐标为，表示出，，，为等腰三角形，且，据此列方程并解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数，得， 把代入中，可得， 故，点坐标是 （2）解：由图象可知，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴当时，； （3）解：设点C的坐标为， 则，，． ∵为等腰三角形，且， ∴，即， 解得：或（此时，则不合题意，舍去）， ∴点C的坐标为． 故在x轴上存在点C，使得为等腰三角形，且，点C的坐标为．​ 8．如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，直线分别交轴、轴于，两点，且． (1)求一次函数的解析式； (2)如图2，的坐标为，将线段沿轴向上（或向下）平移得线段，在移动过程中，是否存在某个位置使的值最小？若存在，求出的最小值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，将直线沿轴平移，平移过程中在第一象限交的图象于点（可与重合），交轴于点．在平移过程中，是否存在某个位置使以，，和平面内某一点为顶点的四边形为菱形且以为菱形的边？若存在，请直接写出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）求出，两点坐标，利用待定系数法可得结论； （2）作点关于轴的对称点，作，且，连接交轴于点，此时的值最小，求出直线的解析式，可得结论； （3）分三种情形：如图，当点在点的左侧时，．如图，当时，如图，当点在点的右侧时，，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点， ， ， ， ， ， ， ， 把代入，得到， 直线的解析式为； （2）由，解得或， ，， 作点关于轴的对称点，作，且，连接交轴于点，此时的值最小， ，， 的值最小为， 直线的解析式为， ； （3）①如图，当点在点的左侧时，， 过点作轴于点， ， 可以设，，则， ， ， ， ，解得， 此时或． ②如图，当时， 此时同①可知，， ，解得， 此时． 如图，当点在点的右侧时，， 此时同①可知，， ，解得（负根已经舍弃）， 可得 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04反比例函数重难点压轴 常考题型精准突破 ●考点一k的几何意义与面积计算●— ◆题型1求特殊图形的面积 1.B 2.B 65 3.16 3 4.4 5. 【详解】(1)解：在y=2x中x=6时，y=3,即点A(6,3), k 将点A(6,3)代入-元得：18： 18 (2)解：如图1，把9代入y=x得，=2， VA A ON M 图1 如图所示，过点C、A分别作x轴的垂线，垂足为N、M 18 :点C在双曲线y=x上 ∴当y=9时，x=2 ÷点C的坐标为(2,9)，A(6,3), 1126 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “点cA在双面线y=18上 ∴.SACON=SA4oM SAA0c-SACON+S梯形AMNC-SMAOM=S梯形AMNC=2(9+3)(6-2）=24: (3)解：如图2，，反比例函数的图象关于原点对称， M N 图2 ∴，由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形， .PQ与AB交于O点， 过A作AMLx轴于M,过P作PNLx轴于N, ,四边形APBQ的面积为96， 1 .SA03=4S四边形AP80-24, 18 :P在双曲线上，设P(x,x), ".'SAOP=SAAOM+S彬形AMNP-S△PO=S梯形AnP, 18 B+k61=24, 整理得x2-16x-36=0和x2+16x-36=0, 解得=18，x2=-2,x=2,x4=18 P在第一象限， 解得x=2或18， ∴.P(18,1)或(2,9)： 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何图形综合，反比例函数k的几何意义， 解一元二次方程，掌握反比例函数的图象与相纸是解题的关键. 2126 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型2根据图形面积求k 1.D 2.B 3.25-2 4.24 -3 5. (1) 证明：点A(a,ma+2)B(b,mb+2)是反比例函数y=x图象上的两个点： k=a(ma+2)=b(mb+2), 整理得，m(a-b(a+b)=-2(a-b), a>0,b<0,m>0」 a≠b, a+b=-2 m (2)解：A(a,ma+2)、B(b,mb+2), 042=a2+(ma+22,0B2=b2+(mb+2)2, .0A2+0B2=a2+(ma+2}2+b2+(mb+2}2=2a2+2b2, .(ma+2)2+(mb+2)2=a2+b2①， 由(1)知a+b=-2 m 2 ∴.m= a+b,代入①中得(a+b)2=4: (2y=4, m .m=l, m>0, .m=1. (3)解：设直线AB的解析式为：y=px+q, 3126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ma+2=pa+q D=m 则 mb+2=pb+q 解得g=2’ 直线AB的解析式为：y=mx+2, 2 .C(0,2) D0 3S0cn=3, ,m=20C-0D=l, 22=1,解得m=2 1 22 m a+b=-2 =-1」 m 1 1 ~S.w=20C(c-xa)=2a-b)2=3, 2 .a-b=3 .a=1,b=-2」 ∴.k=a(ma+2)=1×(1×2+2)=4 ∴.km=8」 【点睛】本题考查了反比例函数的性质、k的意义，两点间距离公式、三角形的面积、解方程，解题的关 键是准确理解k的意义， ●考点二反比例+一次函数交点与不等式·一 ◆题型1对称点问题 1.A 2.D 3.0<k<1或1<k≤3 4.18 5. 4126 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】（口）解：：点4机4：B4)是直线y=+b与双曲线y=冬在第一家限上的两个交点。 k=y=1×4=4 k+b=4 4k+b=1 [k=-1 解得：1b=5 (2):点A,4)、B(4,1),点C是点A关于原点O的对称点，D是点B关于原点O的对称点， .C(-1,-4),D(4,-l),0A=0C,0B=0D, ∴四边形ABCD是平行四边形 :A1,4)、B(4,1),D(-4,-1), ÷AB2=(1-4)+(4-1=18,AD2=(-4-1)+(-1-4)=50, BD2=(-4-4)+(-1-1)=68, ..AB2+AD2=BD2, .∠BAD=90°， ∴四边形ABCD为矩形， :AB=V18=3W2,AD=V50=5√2， ∴.S边形BcD=3V2×5V2=30 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，关于原点成中心对称的两个点的坐标关系，矩 形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，掌握以上基础知识是解本题的关键 ◆题型2不等式解集问题 1.A 2.A 3.x<-2或0<x<3 4.6 5. 【详解】(1)解：由题意可把点A1,a)代入直线y=x+8得：a=1+8=9, 5126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(19), .k=1×9=9 云反比例函数解析式为y= x 9 y= 联立 x,解得： x=-9或x=1, y=x+8 y=-1y=9 ∴点B的坐标为9-)： (2)解：由图象及(1)可知：不等式元 <x+8的解集为-9<x<0或x>1 (3)解：由题意可设P(6,0) 把y=0代入直线y=x+8得：0=x+8,解得：x=-8, .D(-8,0), A(1,9), ∴根据两点间距离公式可得：AD2=(8-1)+(0-9)=162,Dp2=(t+8), AP2=(t-1)+(0-9}=(t-1)+81, 当△ADP为直角三角形时，则可分： 当∠APD=90°时，由勾股定理可得：DP2+AP2=AD2, .(t+8)+(t-1)2+81=162 解得：4=1,42=-8（不符合题意，舍去）， P(L,0): 当∠DAP=90°时，由勾股定理可得：AD+AP2=PD2, :.(t+8)2=(t-1)+81+162, 解得：t=10, .P(10,0): 综上所述：当△ADP为直角三角形时，点P的坐标为(1,0)或(I0,0) 一·考点三存在性问题● 6126 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型1平行四边形存在性 1. 【详解】解：(1)由题意得C(6,3),A(0,3),B(6,0). 18 1 反比例函数为y=,一次函数为：y=2+3. (2)①不存在. 1⊥x轴，CB⊥x轴， ∴.1I/BC 又四边形DFBC是平行四边形， ∴.DF=BC=3 ·.t=61 此时D与C重合，不符合题意， ∴不存在. ②存在.当01<1时，C0DE:当1<1s6时，由D):E3得DE=18-3, 18 由2(6,3)，C(6,3).得C0=3t-3. DE//CO 当DE=CO时，四边形DECO为平行四边形. .18-3=3t-3. t 5=V6, 62=-6(舍) .当t=V6时，四边形DECQ为平行四边形. 又'：DE⊥CE且DE≠EC, ·.DECO为矩形. 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式以及平行四边形的判定、解方程、 7126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根的判别式等知识，在解答以点D、E、Q、C为顶点的四边形的四个顶点的顺序不确定，需要分情况讨论 是解答本题的关键。 2. 【详解】(1)解：：反比例函数y=(x<0)过点C(4,2), 8 ∴代入得k=(-4)×2=-8,即反比例函数为y=- :点D在y=-上且纵坐标为4 P 把)=4代入=至得x2即D(2 设直线CD的表达式为y=ar+b, 直线过C(4,2)、D(-2,4), [2=-4a+b ∴代入得14=-2a+b 解得a=1,b=6, :直线CD的函数表达式为y=x+6; (2)解：点P在x轴上，要使PD+PC最小， “如图，作C关于x轴的对称点C(-4,-2),连接CD交x轴于P,点P即为所求. B P O 设直线CD的表达式为y=mr+n, “直线过C(-4,-2)、D(-2,4), 〔-2=-4m+n ∴代入得4=-2m+n’ 解得m=3,n=10,即直线CD为y=3x+10 ,点P在x轴上， 8126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 把y=0代入y=3x+10,得x= 3 ∴点p的坐标为 (3)解：D(-2,4)关于y轴的对称点为M, .M(2,4): :C(4,2)关于x轴的对称点为N, .N(-4,-2) 设Q(0,9),G(g,g+6),分三种情况： ①以MN为对角线 gg+6+9 :平行四边形对角线中点重合，MN中点为(-1,1)，QG中点为2，°2 号=-山，+91，解g2此时G(24 2 ②MQ为对角线 如中点为)，中为生) 1=84 2，解得g=6此时G(6,12): ③MG为对角线 M6中点为，)0中点为2) 8+28+10 8+2 2 =-2,解得g=-6,此时G(6,0) 综上所述，点G的坐标为(-2,4)、(6,12)、（-6,0). 3. (1) 证明：，四边形AOBC是矩形， AE1y轴，BC⊥x轴， 点B、F均是反比例函数y=《k>0)上的点， 9126 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .S.AOE=S.BOF k 2 21 2)y= 8x 五92-9 (2)解：四边形AOBC是矩形，点C的坐标为(4,3)， r 如图1，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的G点，作EH⊥OB,垂足为H, 由折叠的性质可得∠B0F:2C-9w,PG=Cr=3-年.G=C=4 .∠EGH+∠HEG=90°，∠EGH+∠FGB=90°， ·∠HEG=∠FGB, 又，∠EHG=∠GBF=90°， .△EGH∽aGFB, 34、 ÷EH5G,即8G3 3 BG FG 4 :BG=9 4 △Gr,面勾服定理种G=G+p即3-会-（得）+， 在 21 解得k=8, 10/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 HG 图1 21 ∴反比例函数的解析式为y= 8xi (3)解：当OP是平行四边形的边时，如图2所示： ,四边形OPMN是平行四边形， ∴线段OM可以看做线段PN沿PO的方向平移所得. 21 设a8a】 :P(2,-3)的对应点是0(00) 平移方式为向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度， ÷点M的坐标为a-2,2+3 8a M 图2 0-2 8。+3代入反比例解析式得(a-2 +3-21 8a 8 整理得4a2-8a-7=0, 解得a 2或a=2-面 2+V11 2； 21 21×23vī-6 当a=2+时，8082+而 2 4 11/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :2+-2=m-2,3而-6+3-3而+6 2 2 4 4 2到 “2’4 21.21×2--6-3而 当a=2-面时，a82-而 2 4 2--2=2,6-3+36-3 2 2， 4 4 f2--26- 2 4 当OP为对角线时，如图3所示： 21 ,·平行四边形对角线中点坐标相同， s+t0+2 22 [2-1 5=2+m .21,21 ,解得 2或{ 2 (舍去)， 8s8=-3+0 十 2+v i=. 2-V11 t= 2 2 2 243-.2-,3- 4N州24 2 4 上922- 图3 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，平 12/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 行四边形的性质，点的坐标平移规律，利用分类讨论的思想求解是解题的关键. ◆题型2特殊三角形的存在性 【详解】（④）解：一次函数y=+6的图象与反比例属数=的图象交于点43B肌-0： ∴.k3=-3m=-6, .m=2,A(-3,2). :反比例函数解析式为：y=-6 x :A(-3,2),B(1,-6)在直线y=Kx+b图象上， -3k+b=2 k=-2 k+b=6,解得b=-4: .一次函数解析式为：y=-2x-4； (2)解：设点P(x,0) 由点P、A、0的坐标得：P4=(x+3)+2,0A=22+32=13,P02=x2, 当PA=0A时，则(x+3)2+22=13, 解得：x=0(舍去)或6， 即点P(-6,0) 当PA=P0时，则(x+3)2+22=x2, 解得：x13 6 13 即点P6 当PO=AO时，则13=x2, 解得：x=±√3 即点P(3,0)或(-3,0)， 综上，点p的坐标为：(E,o0(,0号0(60) (3)解：如图，过点B作BH⊥OB,使OB=BH,过点B作x轴的平行线交y轴于点M,作HN⊥MN 13/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 垂足为N, H ①当∠B00=45°时. 在△OBM和△BHN中， ∠MOB=∠NBH ∠OMB=∠BNH, OB=BH .△OBM≌aBHN(AAS) ..OM=BN=6,NH NB=1, .H(7,-5) 设直线OH解析式为y=红，将，-)代入得5：解得1=。 5 直线OH解析式为y=-7x, 5 M= /x=V210 联立方程组 解得 6 √210 y=- y=- 7 √210√210 5 ②当∠OBQ=45°时，过点B作BK1OH, 直线狱的-写设直线K解析式为y 1 5+b. 将点B坐标代入得：6号+6，解得0= 5 737 :直线BK解析式为y=5, 14/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 联立方程组得： 737 30 y=5x x= 5 少、6 解得 7 y= 5 9引 V210√210 综上所述，存在两个点。坐标为 5，-7 2. 【详解】(1)解：点A的坐标为(3a,40),a=2, 点A的坐标为(6,8)， K 把(6,8)代入)=得：k48, 48 反比例函数的关系式为y= x i (2)解：分别过点A,F,C作x轴的垂线交x轴于点D,E,G,AD交OF于点H A D o B EG :点A,F在反比例函数图像上， ∴.SA4oD=SAEOF 又SA4OD=SA4OH+SSODH,SA0EF=S四边形HDEF+SAODH :SMOH=S四边形HDEP, ,△AOF的面积S=9,四边形OACB是平行四边形， .SM0r=S四边形4DEr=9,S平行四边形O4CB=18, :点A的坐标为(3a,4a),4Ck轴， ∴.点C的纵坐标为4a, 15/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ~点F为BC的中点，=12， ∴.点F的纵坐标为2a, ,12a2 :点F的横坐标为2a =6a, ∴点F的坐标为(6a,2a), S四边形4DEr=(2a+4a）(6a-3a)× 9 2 解得a=1, .点A(3,4),F(6,2), ∴.OD=3AD=4, .0A=5, :S平行四边形O4CB=OB·AD=18 :AC=0B=2 (3)解：存在， 根据题意得：∠APO=90°， ,四边形OACB为平行四边形， ∴.OEBF,OA=BC, EF OB, ∴.四边形OBFE为平行四边形， ∴.OE=BF, .BF=CF, 1-001= 2 .PE-20A- 2 由(2)得：点A(3,4), 点2 16/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..ON-2,EN=2, 如图，当点P在线段OA的右侧上时，过点P作PMLx轴于点M,过点E作ENLx轴于点N, E MB ENLx轴，PMLx轴， ∴.ENPM, ∴.四边形EP为平行四边形， .PB-MN-2 PM-EN-2. ∴.OMe4, ∴.点P(4,2): 如图，当点P在线段OA的作侧上时，过点P作PTLx轴于点T,过点E作ES⊥x轴于点S, y个 B 同理：四边形PEST为平行四边形， 5 3 ..PT-ES-2.TS-PE=,OS-. ∴.0T=1, ∴点P(-1,2): 综上所述，点P的坐标为(4,2)或(-1,2). 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练 17/26 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 掌握反比例函数的图像和性质，平行四边形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键 3. 【详解】(1)解：把B(m,4)代入y=x-3得，-4=m-3, .m=-1, B(-1,-4), 把B(←1,4)代入y= x中得k=-4×(-1)=4, 4 ·.反比例函数的解析式为y= y=x-3 (2)解：①解1 _4得x=4或x=-1 y=- y=1y=-4 A(4,), 在y=x-3中，令y=0,则x=3, .C(3,0) ∴0C=3, 设P(0,a), SAP0C=2SA40C 3=2xx3x1, .a=t2, ∴点P的坐标为(0,2)或(0，-2)： ②存在， 3)威5引 理由如下： :点P为y轴上一点，反比例函数y=的图象是否存在一点B, 4 ∴设EecP(0,a) ·A(4,),B(-1,4),以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形， 18/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4-1=c ,当与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得 4一4，。，解得，此时E3,39 AB PE C=3 [4=c-1 当 为平行四边形边长时，若与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得 4 1+a= -4 AB AP BE 解得。-5”此时E5)月 4+c=-1 当 为平行四边形边长时，若与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得1+4=-4+ 4 AB AE BP 解。=-5此时5引 存在，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形， 3)威)威5) 综合攻坚·知能拔高 1.A 2.D 3.A 4.(3,0) 2 5.<-4或0<x<2 6. 【详解】（④）解：：点6在反比例周数y=c<0)上，1B-3 3=、6 x 解得：x=-2,即A(-2,0),OA=2, ,O是线段AC的中点， 19/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷.0C=0A=2,C(2,0), B(-2,3), :DC=2, D(2,2). :点D在反比例函数y=k>0,x>0)的图象上， .k=2×2=4 二反比例函数)的解折式为y x 设直线BD的解析式为y=Kx+b, ·B(-2,3).D(2,2). 「-2k+b=3 12k+b=2 - 4 解得： =2 心直线BD的解析式为y=-x+ 42 2②解：：直线BD的解析式为y=子+ 2 六当x=0时，y=2, M0, 2 ÷508=号0M-6,-xg)=)××[2-(-2=5, 15 22 如图所示： E B/M D E A O :点E在直线BD上， 20/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 e0ke-(2刘-+2. S.4BE=3S.ODB, +=x5, 解得：t=8或t=-12, 当=8时.1+22. 151 -2.5123。 -t+ 综上所述：存在点E:使得Se=3S点E的坐标为8孕或-12，。 (3)解：设直线OB的解析式为y=kx, B(-2,3), 3=-2k2, 解得：飞-3 2’ 二直线OB的解析式为y=- 2, 3 设(m,-2m）, 如图，当∠AQP=90°时，过点Q作QF1AB于F, M :△APO是等腰直角三角形，PO=A, .FO=AF=PF 3 .m-(（-2)= 2m, 21/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：m=-4 P2=2()-号 23, 如图，当∠AP0=90°时，则P0=AP, M A m-(-2)=-3 , 4 解得：m=- 5 AP、3 6 .P-2 如图，当∠PA0=90°时，AP=A0, B A ()o ,AP⊥x轴，Q在OB上， ∴点Q与原点重合， AP=A0=2, .P(-2,2): 22/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述：存在点p:Q:使。P0是等腰直角三角形，点p的坐标为(-2号或-2？或-2.2) 12 7. 【详解】(1)解：把点A(4,2)代入反此例函数y=x,得k=8: 把y=0代入y=2x-6中，可得x=3, 故k=8,B点坐标是(3,0) (②)解：由图象可知，当x>4时。一次函数y=2x-6的图象在反比例函数》=(x>0)的图象的上方， 当x>4时，2x-6>(>0)月 (3)解：设点C的坐标为(m,0), 则AB=V(4-3'+(2-0=V5,4C=V(4-m'+(2-0，BC=m-3引. :△ABC为等腰三角形，且AC=AB, 5=V(4-m}+(2-0)},即(4-m)2=1, 解得：m=5或m=3(此时BC=m-3到=0，则m=3不合题意，舍去)， ∴点C的坐标为(5,0) 故在x轴上存在点C,使得△ABC为等腰三角形，且4C=AB,点C的坐标为(5，O). 8. 【详解14新：直线=+3与)轴交于点D b》. 0D=5 2· 5%cn=25 4 0C.0D=25 1 2 4 ×5.25 ×OC× 21 24 23/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .0C=5, C(-5,0), 把C(-50)代入y=+,得到k= 15 直线AB的解析式为y 3+4 2: 「15 y=-x+ y=2，解得x=3或 2 2 =-8 (2)由1 3， y=4 y= 2 A(3,4), 作点A关于y轴的对称点X,作AA"∥OD,且AA"=OD,连接EA”交y轴于点O,此时AD'+EO的值 最小， A D A、 图2 E(6,0) .AD'+EO 直线EA的解析式为y= 6+1, 0(0,1)； (3)①如图，当点N在点E的左侧时，MN=NE, M ON H E x 过点M作MH⊥x轴于点H, 24/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tan∠MWH=4=MH Γ3-NH· ∴.可以设HN=3k,MH=4k,则MN=5k, ∴NE=MN=5, ∴.EH=2k, M(6-2k,4k), (6-2)x4=12,解得k=3±V3 2 此时P 52含6-2 2 ②如图，当MN=ME时， V 此时同①可知，M(6-3m,4m), .(6-3m)×4m=12,解得m=1, 此时P(3,-4) 如图，当点N在点E的右侧时，MN=EN, M 0 此时同①可知，M(6+8n,4n), (6+8m)x4切=12，解得n=V33-3 8 (负根已经舍弃)， 25/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 39+3√3333-3 可得P 8 2 39+3V33V33-321+3V 综上所述，满足条件的点。的坐标为(3，-4)或 或 ,6+25 P 2 或 21-3V3 2 ,6-23 26/26