精品解析：贵州遵义市第二十一中学2026-2027学年高一上学期第一次学业监测数学试题

遵义市第二十一中学2026年秋季学期第一次学业监测 高一数学 注意事项： 1．考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名、班级、考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码． 2．客观题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；主观题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题，在规定区域以外的答题不给分，在试卷上作答无效． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意知，故选B. 【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题. 2. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：A. 3. 如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得阴影部分为，再进行求解即可. 【详解】由图可得阴影部分可表示为. 故选：D 4. 设集合，若,则的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 ，若 ，不满足集合元素的互异性， 故， 故结果选A. 5. 下列说法正确的是（　　） A. 在等式两边同除以，可得 B. 在等式两边同除以2，可得 C. 在等式两边同除以，可得 D. 在等式两边同除以，可得 【答案】D 【解析】 【分析】利用等式的性质逐一判断各个选项即可求解. 【详解】对于A，在等式两边同乘以，可得，故A错误； 对于B，在等式两边同除以2，可得，故B错误； 对于C，若，则不一定相等，故C错误； 对于D，在等式两边同除以，可得，故D正确. 故选：D. 6. 如果集合中只有一个元素，则a的值是（ ） A. 0 B. 4 C. 0或4 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用与，结合集合元素个数，求解即可． 【详解】解：当时，集合，只有一个元素，满足题意； 当时，集合中只有一个元素，可得，解得． 则的值是0或4． 故选：． 【点睛】本题考查了集合中元素的个数问题及方程的解集有且仅有一个元素的判断，属于基础题． 7. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），将余下的部分剪接拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】图甲中阴影部分的面积为两正方形的面积之差,即为，边长分别为和 ,其面积为，利用据两个图形中阴影部分的面积相等即可得到平方差公式. 【详解】图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分面积为， 因为两个图形中阴影部分的面积相等， 所以. 故选：B 8. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据充分不必要条件的定义，可知区间是区间的真子集， 则有且等号不能同时成立，解得. 故实数的取值范围是. 二、多选题（本题共3小题，共18分．全部正确6分，部分正确得部分分，答错不得分） 9. 下列四个命题中，是真命题的有（    ） A. 两三角形全等的一个充分条件是其面积相等 B. 任意三角形中，重心和垂心重合是该三角形为等边三角形的必要条件 C. 三角形的三边长，，满足是这个三角形为等边三角形的充要条件 D. 两邻边相等是平面四边形为平行四边形的既不充分也不必要条件 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，两个三角形面积两个三角形全等，所以两三角形全等的一个充分条件不是其面积相等，A错误； 对于B，一个三角形是等边三角形这个三角形的重心和垂心重合， 所以任意三角形中，重心和垂心重合是该三角形为等边三角形的必要条件，B正确； 对于C，三角形的三边长，，满足这个三角形为等边三角形， 三角形为等边三角形这个三角形的三边长，，满足， 所以三角形的三边长，，满足是这个三角形为等边三角形的充要条件，C正确； 对于D，平面四边形两邻边相等该平面四边形为平行四边形， 平面四边形为平行四边形该平面四边形两邻边相等， 所以两邻边相等是平面四边形为平行四边形的既不充分也不必要条件，D正确 10. 方程的解可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由方程，得到或，结合，即可求解. 【详解】由题意，方程，则或，解得或， 又由，解得， 所以方程的解为或. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查了方程的求解，其中解答中熟记方程的求解方法，结合方程满足的条件求解是解答的关键，着重考查运算能力. 11. 已知全集，，则下列选项正确的为（   ） A. B. 的不同子集的个数为8 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知有，结合已知交补运算的结果确定、，进而判断各项的正误. 【详解】由题设，又， 所以，，，则的不同子集的个数为个，B对， 由，则，故， 所以，C错，A、D对. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若关于x的一元二次方程有一个根是，则实数______． 【答案】10 【解析】 【分析】把根代入一元二次方程即可求出的值. 【详解】因为一元二次方程有一个根是，所以， 解得. 故答案为：. 13. 甲乙丙三位同学被问到是否去过，，三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市；丙说：我们三人去过同一城市．乙一定去过________城市 【答案】 【解析】 【分析】由甲没去过城市得甲最多去过个城市，再结合甲去过的城市比乙多，可得甲必定去过和，再根据乙没去过，只能去，中一个，再由三人去过同一城市判断可得. 【详解】因为甲明确说没去过城市，因此甲的可选去过的城市仅为、，且甲去过的城市数量比乙多，甲最多只能去过个城市. 又因为乙说自己没去过城市，因此乙的可选去过的城市仅为、，最多只能去过个城市. 结合甲去过的城市数比乙多，可推出：甲一定去过个城市（也就是和），乙只能去过中的个城市. 丙提到三人去过同一个城市，甲已经去过和，若乙只去过城市，那么不存在三人共同去过的城市，与丙的表述矛盾. 因此乙唯一去过的城市只能是，满足三人有共同去过的城市. 14. 设a，，若集合，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，推导出、的值后代入所求式子计算. 【详解】因为右侧集合中有​，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，集合 （1）求 （2）求 （3）求 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为，， 所以． 【小问2详解】 因为，， 所以． 【小问3详解】 因为， 所以或 16. 求下列方程的解集 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用因式分解法解方程； （2）通过换元，配方，开根号即可求得． （3）化成整式方程，再利用因式分解法解方程. 【小问1详解】 ， 所以或， 所以该方程的解集为； 【小问2详解】 令，则 配方，解得或（舍去）， 所以，所以， 所以该方程的解集为； 【小问3详解】 ， 解得或（舍去），所以， 所以该方程的解集为. 17. 已知一元二次方程的两根为，，求下列各式的值 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由韦达定理得， 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 ． 18. 已知集合，． （1）若是的子集，求实数的值； （2）若是的子集，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用是的子集，可以求得集合的情况，再结合一元二次方程根的分布求实数的值； （2）若是的子集,则分为为空集、为单元素集合和为双元素集合进行分类讨论求解. 【小问1详解】 由题意得，因为集合表示一元二次方程的解集， 若是的子集，则， 所以，解得 . 【小问2详解】 ①若为空集，则，解得； ②若中只有一个元素，则，解得， 把代入集合得 ，符合要求； ③若中有两个元素，则，则由（1）可知； 综上所述，实数的取值范围为． 19. 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到； （2）不妨设，推出中的元素个数大于等于5，再举出实例，得到中元素个数最小值为5； （3）中的元素个数最多的情况是6个互不相同的数，同时中没有两个数互为相反数，的绝对值互不相等，不妨设，由此求出，. 【小问1详解】 ，故， ， 故； 【小问2详解】 是由4个正实数构成的集合， 不妨设， 因为，故中的元素个数大于等于5， 当时，此时， 故中元素个数最小值为5； 【小问3详解】 由条件可知，对于一个4元集合， 中的元素个数最多的情况为，是6个互不相同的数， 同时中没有两个数互为相反数，因此中没有两个数互为相反数， 由此知，的绝对值互不相等，不妨设， 则中最小的与次小的两个数分别为与， 最大与次大的两个数分别为与， 从而必有， 于是， 所以， 当时，，解得， 又为有理数，不合要求，舍去， 当，解得，满足要求， 易得或， 经检验，均满足要求，故， 集合中的所有元素之和为. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市第二十一中学2026年秋季学期第一次学业监测 高一数学 注意事项： 1．考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名、班级、考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码． 2．客观题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；主观题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题，在规定区域以外的答题不给分，在试卷上作答无效． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 3. 如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 设集合，若,则的值为 A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（　　） A. 在等式两边同除以，可得 B. 在等式两边同除以2，可得 C. 在等式两边同除以，可得 D. 在等式两边同除以，可得 6. 如果集合中只有一个元素，则a的值是（ ） A. 0 B. 4 C. 0或4 D. 不能确定 7. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），将余下的部分剪接拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为（ ）. A. B. C. D. 8. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 二、多选题（本题共3小题，共18分．全部正确6分，部分正确得部分分，答错不得分） 9. 下列四个命题中，是真命题的有（    ） A. 两三角形全等的一个充分条件是其面积相等 B. 任意三角形中，重心和垂心重合是该三角形为等边三角形的必要条件 C. 三角形的三边长，，满足是这个三角形为等边三角形的充要条件 D. 两邻边相等是平面四边形为平行四边形的既不充分也不必要条件 10. 方程的解可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知全集，，则下列选项正确的为（   ） A. B. 的不同子集的个数为8 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若关于x的一元二次方程有一个根是，则实数______． 13. 甲乙丙三位同学被问到是否去过，，三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市；丙说：我们三人去过同一城市．乙一定去过________城市 14. 设a，，若集合，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，集合 （1）求 （2）求 （3）求 16. 求下列方程的解集 （1） （2） （3） 17. 已知一元二次方程的两根为，，求下列各式的值 （1） （2） （3） 18. 已知集合，． （1）若是的子集，求实数的值； （2）若是的子集，求实数的取值范围． 19. 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $