第三章 图形的相似限时训练（一）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2026-2027学年北师大版九年级上期数学图形的相似限时训练（一） 一、选择题 1.已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 2.如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 3.如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 4.如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 5.下列说法正确的是（     ） A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似 C．两个等腰直角三角形相似 D．有一个角是的两个等腰三角形相似 6.若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 7.如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 8.如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 9.如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 10.中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11.如图，若，，则的长为_____． 12.如图，，，，则_______． 13.如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 14.如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标为________． 15.《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，、分别是正方形边和的中点，正方形的边长为步，出东门继续往东走步有一树木点，问出南门继续往南走多少步恰好能看到位于点处的树木即点在直线上？则根据以上信息，算出的长是 ______ 步 三、解答题 16.已知线段、、满足，且． (1)求、、的值； (2)若线段长是线段、的比例中项，求的值． 17.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (2)将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 18.如图，点、分别在的边、上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 19.承载着古老文明的咸阳钟楼，为明清风格建筑，塔状三层正方形，楼体两层三重檐，木质结构，琉璃瓦顶，巍然耸峙，雄伟壮观．一天，小玲和平平带着标杆和皮尺来到咸阳钟楼进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在处放置一平面镜，她从点沿后退，当退行3米到达处时，恰好在镜子中看到钟楼顶端的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离为米；然后，平平在处竖立了一根高3米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和钟楼顶端在一条直线上，此时测得米，米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上数据，计算咸阳钟楼的高度． 20.如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 2026-2027学年北师大版九年级上期数学图形的相似限时训练（一）参考答案 一、选择题 1. D 2. B 3. B 4. D 5. C 6. A 7. B 8. B 9. B 10. C 二、填空题 11. 6 12. 8/15 13. 1.9 m 14. (1, 1) 或 (-1, -1) 15. 625 三、解答题 第16题 已知线段 a、b、c 满足 a:b:c = 3:2:6，且 a + 2b + c = 13。 (1) 求 a、b、c 的值； 解： 设 a = 3k，b = 2k，c = 6k（k > 0）。 代入 a + 2b + c = 13： 3k + 2 × 2k + 6k = 13 3k + 4k + 6k = 13 13k = 13 k = 1 因此：a = 3，b = 2，c = 6。 (2) 若线段长 x 是线段 a、b 的比例中项，求 x 的值。 解： 由比例中项的定义，x² = a × b = 3 × 2 = 6。 因为线段长度为正数，所以 x = √6。 因此：x = √6。 第17题 (1) 所作如图所示： (2)是，如图画出， 第18题 如图，点 D、E 分别在 △ABC 的边 AB、AC 上，若 ∠A = 40°，∠B = 65°，∠AED = 75°。 (1) 证明：△ADE ∽ △ABC； 证明： 在 △ABC 中，根据三角形内角和定理： ∠C = 180° − ∠A − ∠B = 180° − 40° − 65° = 75° ∵ ∠AED = 75°（已知）， ∴ ∠AED = ∠C = 75°。 又 ∵ ∠A = ∠A（公共角）， ∴ △ADE ∽ △ABC（两角对应相等，两三角形相似）。 (2) 已知 AD:BD = 2:3，AE = 5，求 AC 的长。 解： ∵ AD:BD = 2:3， ∴ 设 AD = 2m，BD = 3m，则 AB = AD + BD = 5m。 ∴ AD/AB = 2m/5m = 2/5。 由 (1) 知 △ADE ∽ △ABC， ∴ 对应边成比例：AE/AC = AD/AB。 代入数值： 5/AC = 2/5 2 × AC = 25 AC = 12.5 因此：AC = 12.5。 第19题 解：根据题干可知：米，米，米，米，米， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， （米）， 答：咸阳钟楼的高度米． 第20题 如图，已知：AB ⊥ BC，CD ⊥ BC，垂足分别为 B、C，AC 与 BD 交于点 E，过点 E 作 EF ⊥ BC，垂足为 F。 (1) 求证：EF/AB + EF/CD = 1； 证明： ∵ AB ⊥ BC，EF ⊥ BC，CD ⊥ BC， ∴ AB ∥ EF ∥ CD。 在 △ABC 中，∵ EF ∥ AB， ∴ △CEF ∽ △CAB， ∴ EF/AB = CF/CB ……① 在 △BCD 中，∵ EF ∥ CD， ∴ △BEF ∽ △BDC， ∴ EF/CD = BF/BC ……② 将 ① 和 ② 相加： EF/AB + EF/CD = CF/BC + BF/BC = (CF + BF)/BC ∵ CF + BF = BC， ∴ EF/AB + EF/CD = BC/BC = 1。 得证。 (2) 连接 AF、DF，求证：EF 平分 ∠AFD。 证明： ∵ AB ∥ CD， ∴ △ABE ∽ △CDE， ∴ AB/CD = BE/DE ……③ 又 ∵ EF ∥ CD，根据平行线分线段成比例定理： BF/CF = BE/DE ……④ 由 ③ 和 ④ 得：AB/CD = BF/CF， 即 AB/BF = CD/CF。 在 Rt△ABF 和 Rt△DCF 中， ∵ ∠ABF = ∠DCF = 90°，且 AB/BF = CD/CF， ∴ △ABF ∽ △DCF（两边对应成比例且夹角相等）。 ∴ ∠AFB = ∠DFC。 ∵ EF ⊥ BC，即 ∠EFB = ∠EFC = 90°， ∴ ∠AFE = 90° − ∠AFB， ∠DFE = 90° − ∠DFC。 ∴ ∠AFE = ∠DFE。 即 EF 平分 ∠AFD。得证。 学科网（北京）股份有限公司 $