精品解析：山东省青岛第二中学2026-2027学年第一学期10月份阶段练习一高一数学试题

青岛二中2026-2027学年第一学期10月份阶段练习—高一数学试题 时间：90分钟 满分：120分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，且，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 3. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知集合，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A的个数为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 5. 如果关于的方程没有实数根，那么，关于的方程的实数根的个数为（　　　） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 1或2 6. 近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤、b元/斤，学校甲食堂和乙食堂购买牛肉的方式不同，甲食堂每周购买6000元钱的牛肉，乙食堂每周购买80斤牛肉，甲食堂、乙食堂两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. ，的大小无法确定 7. 已知命题：“，”，命题：“，”.若两个命题中全称量词命题是假命题，另一个命题是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知的面积为4，内切圆半径为1，若的三边长分别为，，，则的取值范围为（　　　） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 设全集为，，为的子集，下列结论中正确的是（　　　） A. 若集合，，则 B. 空集是的真子集 C. 若集合，则 D. 10. 下列命题为真命题的是（　） A. 若，则式子有最小值 B. 若，则 C. 若，，，则 D. 若、、为三条边长，则 11. 高斯（1777-1855)被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如，．下列命题正确的是（　　　） A. 不等式的解集为 B. 不等式的解集为 C. 方程恰有两个不同实数解 D. 若不等式的解集为，则 三、填空题：本题共3个小题；每小题5分，共15分． 12. 已知全集为U，，且，，，则集合________. 13. 关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是___________. 14. 已知集合．其两个子集，，对任意的，，存在，使得，则的最大值为______． 四、解答题：本题共4小题，共47分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，且，求实数的取值范围． （3）若集合，求的值． 16. 已知不等式． （1）若当时不等式成立，求实数的取值范围； （2）解这个关于的不等式． 17. 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．设箱体的长度为米，高度为米．现有制箱材料60平方米． （1）问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值． （2）求的最小值． 18. 对在平面直角坐标系第一象限内的任意两点，作如下定义．若，那么称点是点的“下位点”． （1）点是点的“下位点”吗？请简单说明理由． （2）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得点是点的“下位点”，且点是点的“下位点”，求正整数的最小值； （3）若，，点满足是的下位点，是的下位点，试比较与的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛二中2026-2027学年第一学期10月份阶段练习—高一数学试题 时间：90分钟 满分：120分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词的否定，“改量词，否结论”即可解决. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 2. 已知集合，，且，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合B中元素都属于A求解，注意进行检验特别是元素的互异性. 【详解】若，则，此时，不合题意， 若，则或，时，不合题意，时，满足题意. 所以，从而的取值集合为. 3. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】分析充分性： 若成立， 举反例验证：取，，此时，， 但，，显然不成立，即不成立， 因此充分性不成立. 分析必要性： 若成立， 由绝对值的性质：， 因为，所以，即a为正数， 当时，， 又因为，结合，可得， 即， 因为， 所以， 因此必要性成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 4. 已知集合，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A的个数为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇数的个数，将符合要求的集合一一列举出来，即得答案. 【详解】A中有一个奇数时，有共8个， A中有两个奇数时，有共4个， 因此A中至少有一个奇数，则这样的集合A的个数为12， 故选：B 5. 如果关于的方程没有实数根，那么，关于的方程的实数根的个数为（　　　） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 1或2 【答案】D 【解析】 【分析】先由第一个方程无实根求出参数的范围（注意讨论的情况），再将该范围代入第二个方程，分和两种情况讨论，分别判断方程是一元一次还是一元二次，并计算判别式确定实数根的个数． 【详解】对方程，分情况讨论： ①若，方程化为，有实数根，与“没有实数根”矛盾，故； ②若，方程为一元二次方程，没有实数根，则判别式： 化简得：，解得 此时考虑方程， 因为，所以可能为零（当时），也可能不为零， 当时，方程化为：，有且仅有 个实数根； 当且时，方程为一元二次方程， 判别式： 因为，所以，故，方程有两个不相等的实数根； 综上，方程的实数根个数为1或2． 6. 近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤、b元/斤，学校甲食堂和乙食堂购买牛肉的方式不同，甲食堂每周购买6000元钱的牛肉，乙食堂每周购买80斤牛肉，甲食堂、乙食堂两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. ，的大小无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出，的表达式，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意得，，故， ， 故， 故选：C 7. 已知命题：“，”，命题：“，”.若两个命题中全称量词命题是假命题，另一个命题是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定全称量词命题为假、存在量词命题为真，分别求出两个命题对应的取值范围，取交集即可得到结果. 【详解】命题为存在量词命题，命题为全称量词命题，由题意得为假命题，为真命题， ① 当为假命题时，其否定“”为真命题， 即二次方程有两个不相等的实根， 故判别式，得，即，解得或； ② 当为真命题时，因为的取值范围是，的最大值是， 只需即可满足条件，故为真命题时， 取上述两个范围的交集，可得实数的取值范围是. 8. 已知的面积为4，内切圆半径为1，若的三边长分别为，，，则的取值范围为（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形面积公式（其中为三角形内切圆半径），找出，然后利用基本不等式中的常数代换求解即可. 【详解】，即， 当且仅当即时取得等号. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 设全集为，，为的子集，下列结论中正确的是（　　　） A. 若集合，，则 B. 空集是的真子集 C. 若集合，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据集合运算的定义和性质逐一分析每个选项. 【详解】选项A中，根据交集的定义可得，A正确， 选项B中，空集是任何非空集合的真子集， 但如果本身就是空集，空集没有真子集，该结论不成立，B错误， 选项C中，若，即的所有元素都属于， 那么不在中的元素一定也不在中，因此相对于的补集是相对于的补集的子集，C正确， 选项D中，这是德摩根定律的标准形式：全集中不属于也不属于的元素， 等价于全集中不属于"与的并集"的元素，等式恒成立，D正确. 10. 下列命题为真命题的是（　） A. 若，则式子有最小值 B. 若，则 C. 若，，，则 D. 若、、为三条边长，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A的最值正误；通过作差法判断B的不等式是否成立；用基本不等式推论验证C的不等关系；借助三角形三边关系、不等式的基本性质以及作差法证明D的不等式. 【详解】选项A中，当时，，对变形得：， 由基本不等式可得：， 因此，该式有最大值，无最小值，A是假命题， 选项B中，， 因为，所以，，所以， 所以，B是真命题， 选项C中，若，，， 所以，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，C是真命题； D选项中，根据三角形三边关系， 所以， 所以， 因为，所以， 由不等式的基本性质可得，同理可得， 所以，D是真命题. 11. 高斯（1777-1855)被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如，．下列命题正确的是（　　　） A. 不等式的解集为 B. 不等式的解集为 C. 方程恰有两个不同实数解 D. 若不等式的解集为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，将换成，根据求根公式求出解，判断区间内是否存在整数即可得出答案；对于B，根据取整函数的性质即可得出答案；对于C，根据取整函数的性质可以得出肯定是整数，根据求根公式即可得出答案；对于D，将换成，根据，求出的值，代入即可得出答案. 【详解】对于A，令，则为整数， 原式等价于无解， 令， 因为，所以，， 则，因为区间内没有整数，所以无解， 即不等式的解集为； 对于B，因为，根据取整函数的性质， 若，则，与不符，故，同理可得， 所以不等式的解集为； 对于C，因为为整数，所以也是整数，则为整数， 所以原式等价于求的解的个数， 解得，所以方程仅有一个实数解； 对于D，令，原式转化为 因为，所以， 当时有，解得， 取，此时有，解得， 所以若不等式的解集为，则， 综上所述选ABD. 三、填空题：本题共3个小题；每小题5分，共15分． 12. 已知全集为U，，且，，，则集合________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，然后再作出Venn图，根据Venn图即可直观的求出集合. 【详解】将已知条件中的集合， ，，在Venn图中表示出来，如图所示. 由Venn图可以直观地得出. 故答案：. 【点睛】本题主要考出来Venn图在集合运算中的应用，属于基础题. 13. 关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是___________. 【答案】或. 【解析】 【分析】对二次不等式作差，利用平方差因式分解，分析集合的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一端点的范围，从而得到实数的取值范围. 【详解】由恰有两个整数解，即恰有两个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式的解集为， 因为，所以两个整数解为，则， 即，解得； ②当时，不等式的解集为， 因为，所以两个整数解为，则， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或 故答案为：或. 14. 已知集合．其两个子集，，对任意的，，存在，使得，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过任意性判断出子集内元素同余，设出余数后，并通过中元素求出最大值. 【详解】因为，所以. 因为对任意的，，，，适用， 所以，且， 两式相减可知，同理，， 因此中所有元素模同余，设余数为. 同理可知，中所有元素模同余，设余数为. 因此可转变为. 因为，所以中模余数为的各有个， 余数为的各有个. 综上，要使最大，应该选择和都落在到之间， 在可行的对中，唯一满足且的是， 且时，，而，所以，此时， 所以，即为最大值. 四、解答题：本题共4小题，共47分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，且，求实数的取值范围． （3）若集合，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 当时，. 【小问2详解】 由，则，即， 此时， 因为，所以，解得， 则实数的取值范围为. 【小问3详解】 由，可知，且，即， 此时，则且，所以， 则. 16. 已知不等式． （1）若当时不等式成立，求实数的取值范围； （2）解这个关于的不等式． 【答案】（1） （2）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）把代入，再解不等式求得的取值范围. （2）对进行分类讨论，由此求得不等式的解集. 【小问1详解】 依题意，当时，， 整理得， 解得或， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 当时，不等式化为，原不等式的解集为； 当时，原不等式可化为. 当时，原不等式同解于， 解得或，原不等式的解集为或； 当时，原不等式同解于， 解得，原不等式的解集为； 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为. 17. 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．设箱体的长度为米，高度为米．现有制箱材料60平方米． （1）问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值． （2）求的最小值． 【答案】（1）当，各为6米，3米时，该沉淀箱的体积最大，最大为36立方米． （2） 【解析】 【分析】（1）建立，的关系式，使用基本不等式求解； （2）通过，的关系式消元，使用基本不等式求解. 【小问1详解】 由题意，，即，，， 所以，即， 解得，当且仅当，即，时等号成立， 因为，所以． 即当，各为6米，3米时，该沉淀箱的体积最大，最大为36立方米． 【小问2详解】 由得 所以 当且仅当即时，等号成立． 所以的最小值是 法二：由得， ，当且仅当 即时，等号成立． 所以的最小值是 18. 对在平面直角坐标系第一象限内的任意两点，作如下定义．若，那么称点是点的“下位点”． （1）点是点的“下位点”吗？请简单说明理由． （2）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得点是点的“下位点”，且点是点的“下位点”，求正整数的最小值； （3）若，，点满足是的下位点，是的下位点，试比较与的大小． 【答案】（1），点是点的“下位点”. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据下位点的定义判断即可. （2）根据题意，列出关于的不等式组，消去，求解出，然后根据的范围求解出的范围，最后求出正整数的最小值. （3）根据题意，得到，利用，然后令，利用导数求解出的最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得， 是正整数，， . ，因为该式对集合内的每个都成立. ， 正整数的最小值为. 【小问3详解】 是的下位点，， 又是的下位点，，即，. 记. 令，其中. . 令，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. ，， ，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $