精品解析：山东青岛城阳第一高级中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

高一数学第一次月考 2026.10 一、单选题（每题5分） 1. 若集合，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题集合可得集合， 集合的真子集个数为，故的真子集个数为. 2. 已知命题：，，命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题的否定为，. 3. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据Venn图确定阴影部分为，然后再由集合的运算求解. 【详解】由已知得， 所以阴影部分为. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】． 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件． 5. 已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D 6. 已知不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由不等式的解集为， 则，且方程的两根为和． 则由韦达定理有，解得 所以． 7. 下列命题中真命题是（ ） A. 四边形对角线互相垂直是四边形是菱形的充要条件 B. 是的充分不必要条件 C. 是的必要不充分条件 D. 或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：菱形的对角线必互相垂直，但对角线互相垂直的四边形若不满足对角线互相平分则不是菱形，故“四边形对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要不充分条件，A为假命题； 选项B：解不等式，得，即，取满足，但不满足，充分性不成立，B为假命题； 选项C：，得，故是的充要条件，C为假命题； 选项D：为无理数，所以充分性不成立；为有理数，但都是无理数，所以必要性不成立， 故或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件. 8. 若关于 的不等式 的解集中恰有4个整数，则 的取值范围为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对不等式左侧进行因式分解，讨论的范围，进而利用题目条件进行求解. 【详解】原不等式可因式分解：， 若，则原不等式可化为，不满足要求，故， 所以方程两根为，. 若不等式  的解集中恰有个整数，则需，此时， 所以不等式  的解集， 要使其中恰有个整数，则应包含整数，，，，不包括，因此， 解得，故取值范围为. 二、多选题（每题6分） 9. 对于实数，，，下列命题是真命题的为（ ） A. 若且，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【详解】因为，所以，故A错误； 因为，，所以，故B错误； 因为，所以，，所以，故C正确； 因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，所以，故D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 【答案】AD 【解析】 【分析】结合函数的性质依次判断选项即可． 【详解】对于A，由题意可得，解得，所以函数的定义域是，A选项正确； 对于B，的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，B选项不正确； 对于C，因为，所以，即函数的值域为，C选项不正确； 对于D，由可得， 所以由可得，D选项正确. 11. 已知，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将题设等式化成，可判断A项；将代入，利用基本不等式可判断B项；再将其化成，可利用基本不等式判断C项；将代入，利用换元后，利用基本不等式判断D项. 【详解】对于A，由去分母，整理得，因，， 则，且，因，则有，故A正确； 对于B，由A得，则， 因，则，当且仅当， 即时取等号，此时的最小值为，故B错误； 对于C，由去分母，得，即得， 因，，则，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，由A得，代入，得， 设，则， 当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确. 三、填空题（每题5分） 12. 已知，，则U和V之间的大小关系是___________. 【答案】 【解析】 【分析】作差法比较大小即可. 【详解】， 因为，，所以，故. 故答案为： 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为的定义域为， 则在中，，解得， 令，解得， 综上所述定义域为. 14. 已知集合，，设整除或整除，令表示集合所含元素的个数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】分两类讨论：（i）整除的有个；（ii）整除：再分三种情况：①整除；②整除；③整除，共有个，再去掉两类重复的三个可得. 【详解】因为表示集合所含元素的个数，其中， （i）整除的有，，，，共个． （ii）整除的有：①整除的有个；②整除的有个；③整除的有个． 其中重复的有，，共个． 所以． 四、解答题 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交集和并集的概念，求出结果即可； （2）根据集合的包含关系，判断集合B的情况，进行分类讨论，求出参数范围. 【小问1详解】 当时，可得，， 所以，. 【小问2详解】 分两种情况： ①当时，可得，解得，满足； ②当时，可得，解得， 综上所述，. 16. 已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若和中有且只有一个为真命题，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由题意上不等式恒成立，即，即可求参数范围； （2）若为真命题，有在上能成立，即求出参数范围，再由和中有且只有一个为真命题确定参数范围. 【小问1详解】 由题意，上不等式恒成立，即， 由一次函数的区间单调性知，，故， 所以，可得. 【小问2详解】 若为真命题，则在上能成立，即， 由二次函数的性质知，，故， 要使和中有且只有一个为真命题，结合（1）知：或. 17. 已知函数 ，. （1） 恒成立，求实数 的取值范围； （2）若关于 的方程 有两个不相等的实数根 、，且 ，求 的取值范围； （3）解不等式 . 【答案】（1） （2） （3）当时，取值范围为； 当时，取值范围为； 当时，取值范围为； 当时，取值范围为； 当时，取值范围为 【解析】 【分析】（1）根据恒成立进行移项，判断的范围以及判别式的范围即可求解；（2）先移项，根据韦达定理，将所求式子进行转换，从而求解；（3）先对式子进行因式分解，再根据根的大小关系分类讨论即可。 【小问1详解】 由恒成立得，整理得， 当时，则恒成立，符合题意， 当时，则需，即，因此， 综上，实数的取值范围为. 【小问2详解】 方程，即，整理得， 有两个不相等的实数根，，故，，解得或， 由韦达定理得：，， 因为，所以， 结合或得. 于是， 由得，因此， 故. 【小问3详解】 不等式即，因式分解得. 分类讨论：当时，，解集为； 当时，原不等式为，解集为； 当时，，解集为； 当时，，解集为； 当时，，解集为. 综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 18. 随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段(汽车行驶速度不低于)测试发现：汽车每小时耗电量 P(单位：kW·h)与速度 v(单位：)的关系满足；相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从 A 地经高速公路(最低限速，最高限速)匀速行驶到距离为500km的 B 地，出发前汽车电池存量为75kW·h，汽车到达 B地后至少要保留5kW·h的保障电量(假设该电动汽车从静止加速到速度为 v 的过程中消耗的电量与路程都忽略不计). （1）求汽车从 A 地经高速公路匀速行驶到 B 地需要的电量 y. （2）判断该车是否可以在不充电的情况下到达 B 地，并说明理由； （3）若以该电动汽车的现存电量一定可以到达 A 地与 B 地间的服务区，服务区充电桩的功率为15kW（充电电量＝充电功率×时间），求到达 B 地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）. 【答案】（1） （2）该车不可以在不充电的情况下到达 B 地.该车到达B地至少需要消耗电量80kW·h，出发前电池存量扣除5kW·h保障电量后可用于行驶的电量仅为70kW·h，80kW·h＞70kW·h，因此该车不可以在不充电的情况下到达B地. （3）小时 【解析】 【分析】（1）根据从 A 地经高速公路匀速行驶到 B 地需要的电量与时间、每小时耗电量的关系列式即可；（2）计算耗电量的最小值，并与预存电量比较即可判断；（3）分别计算充电时间与行驶时间关于速度的函数，然后求出函数的最小值即为到达 B 地的最少用时. 【小问1详解】 由题可知，汽车行驶时间为 所以汽车从 A 地经高速公路匀速行驶到 B 地需要的电量为 【小问2详解】 由上可知， 当且仅当时取等号，所以该车到达 B 地至少需要消耗电量. 因为出发前汽车电池存量为75kW·h，汽车到达B地后至少要保留5kW·h的保障电量， 故汽车可消耗电量为70kW·h， 因为 所以该车不可以在不充电的情况下到达 B 地. 【小问3详解】 因为电动汽车的现存电量一定可以到达 A 地与 B 地间的服务区， 且服务区充电桩的功率为15kW. 因为到达B地后需要保留， 所以汽车在服务区需要充电的电量为 充电所需时间为，行驶所需时间为 所以总用时 ， 当且仅当，即时取等号， 所以到达B 地的最少用时为小时. 19. 已知集合，集合，表示集合元素的个数. （1）若，求， （2）若 ①求的最大值； ②证明： 【答案】（1）， （2）①最大值为2；②因，可设则，即m表示除以n所得余数， 下证，m可取，，除以n所得的余数，且两两不相等. 任取，则， 因为，则，，均不是质数97的倍数， 所以，除以n所得余数两两不相等，即满足条件的非空集合至少48个， 由①知，每个集合有2个元素，所以 【解析】 【分析】（1）根据新定义集合的规则分别求集合，即可； （2）①当时，推理可得1，，即存在非空集合，且，可推得，且，假设还有，经推理分析，得，或，故得的最大值为2；②设得到，先证m可取，，除以n所得的余数，且两两不相等， 即满足条件的非空集合至少48个，结合①的结论得到每个集合有2个元素，故得证. 【小问1详解】 当时，， 则；. 【小问2详解】 ① 当时，，因， 则由，，可得1，， 即存在非空，取非空集合，且，即， 由，可得，因，故 假设还存在，即，则， 又，，且97为质数，则必有，或， 即若非空，则其有且仅有2个元素，且这样的存在. 综上所述，的最大值为2. ②略 【点睛】思路点睛：本题主要考查集合的新定义问题，属于难题. 求解集合新定义的问题，必须充分了解新定义的内涵，根据其规则分析、思考、演算，逐步推理，兼顾待求或待证的结果，找到彼此的切入点，有时还需关注前面小题已得的结论，多方考虑才能完成. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学第一次月考 2026.10 一、单选题（每题5分） 1. 若集合，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中真命题是（ ） A. 四边形对角线互相垂直是四边形是菱形的充要条件 B. 是的充分不必要条件 C. 是的必要不充分条件 D. 或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件 8. 若关于 的不等式 的解集中恰有4个整数，则 的取值范围为（     ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分） 9. 对于实数，，，下列命题是真命题的为（ ） A. 若且，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 11. 已知，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 最小值为 三、填空题（每题5分） 12. 已知，，则U和V之间的大小关系是___________. 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 14. 已知集合，，设整除或整除，令表示集合所含元素的个数，则________． 四、解答题 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若和中有且只有一个为真命题，求的取值范围． 17. 已知函数 ，. （1） 恒成立，求实数 的取值范围； （2）若关于 的方程 有两个不相等的实数根 、，且 ，求 的取值范围； （3）解不等式 . 18. 随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段(汽车行驶速度不低于)测试发现：汽车每小时耗电量 P(单位：kW·h)与速度 v(单位：)的关系满足；相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从 A 地经高速公路(最低限速，最高限速)匀速行驶到距离为500km的 B 地，出发前汽车电池存量为75kW·h，汽车到达 B地后至少要保留5kW·h的保障电量(假设该电动汽车从静止加速到速度为 v 的过程中消耗的电量与路程都忽略不计). （1）求汽车从 A 地经高速公路匀速行驶到 B 地需要的电量 y. （2）判断该车是否可以在不充电的情况下到达 B 地，并说明理由； （3）若以该电动汽车的现存电量一定可以到达 A 地与 B 地间的服务区，服务区充电桩的功率为15kW（充电电量＝充电功率×时间），求到达 B 地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）. 19. 已知集合，集合，表示集合元素的个数. （1）若，求， （2）若 ①求的最大值； ②证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $