精品解析：陕西西安市第八十五中学2026-2027学年第一学期高二年级第一次月考数学试题

西安市第八十五中学2026-2027学年度第一学期高二年级第一次月考 数学试题 一、单项选择题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）． 1. 已知空间中任意四点，，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 过圆心 B. 相切 C. 相离 D. 相交但不过圆心 3. 已知空间向量，且，则实数（ ） A. B. C. D. 6 4. 如图，直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于（ ） A. B. C. D. 6. 数学家莱莫恩（Lemoine）在1867年发现并证明：过的三个顶点作它的外接圆的切线分别和边所在的直线相交于点，则三点在同一直线上. 这条直线称为该三角形的“莱莫恩（Lemoine）线”.在平面直角坐标系中若某三角形三个顶点的坐标分别为，则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本大题共2小题，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共12分） 7. 下列说法中正确的是（ ） A. 若直线的斜率，则倾斜角 B. 过点且与直线垂直的直线方程为 C. 过任意两点，的直线都可以用方程表示 D. 直角坐标系xOy内的任意直线都可以用方程表示 8. 已知圆，直线.则以下几个命题正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 直线与圆恒相交 D. 直线被圆截得最长弦长时，直线的方程为 三、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）． 9. 已知，若直线与直线的斜率分别为和，则点的坐标为________． 10. 如图，在正三棱柱中，，则与所成角的余弦值为______. 11. 在四面体OABC中，是棱OA上靠近的三等分点，分别是的中点，设，若，则_________． 12. 设点P是圆上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最大值为______. 四、解答题：（本大题共4小题，要求写出必要的解题步骤共48分）． 13. 在空间直角坐标系Oxyz中，O为原点，已知点，，，设向量，. （1）求与夹角的余弦值； （2）若与互相垂直，求实数k的值. 14. 已知的三个顶点分别为，，． （1）求边的垂直平分线的方程； （2）求的面积． 15. 已知圆的圆心在轴上，经过两点． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 16. 如图，在四棱锥中，平面，且为CD的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市第八十五中学2026-2027学年度第一学期高二年级第一次月考 数学试题 一、单项选择题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）． 1. 已知空间中任意四点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的运算法则可得. 【详解】. 故选：C. 2. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 过圆心 B. 相切 C. 相离 D. 相交但不过圆心 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得结论. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 因为，所以直线与圆相交但不过圆心， 故选：D 3. 已知空间向量，且，则实数（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由，得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由题意，空间向量， 因为，可得，即，可得 ，解得. 故选：A. 4. 如图，直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设直线的倾斜角为，， 图中直线对应的倾斜角分别为， 由图可知为钝角，即， ，即， 所以. 5. 两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，再由平行线间的距离公式可得答案. 【详解】l1的方程可化为9x＋12y－6＝0， 又l2：9x＋12y－10＝0， 所以，由平行线间的距离公式得， 两条平行线间的距离d＝＝. 故选：C. 6. 数学家莱莫恩（Lemoine）在1867年发现并证明：过的三个顶点作它的外接圆的切线分别和边所在的直线相交于点，则三点在同一直线上. 这条直线称为该三角形的“莱莫恩（Lemoine）线”.在平面直角坐标系中若某三角形三个顶点的坐标分别为，则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】待定系数法求出外接圆方程，从而得到外接圆在处的切线方程，进而求出的坐标，得到答案. 【详解】的外接圆方程设为， ，解得， 外接圆方程为，即， 故外接圆的圆心坐标为，故外接圆在处切线方程为， 又，令得，，， 在处切线方程为， 又，令得，， 则三角形的线的方程为，即. 故选：D. 二、多项选择题：（本大题共2小题，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共12分） 7. 下列说法中正确的是（ ） A. 若直线的斜率，则倾斜角 B. 过点且与直线垂直的直线方程为 C. 过任意两点，的直线都可以用方程表示 D. 直角坐标系xOy内的任意直线都可以用方程表示 【答案】AD 【解析】 【分析】由斜率与倾斜角的关系可判断A，由垂直关系可判断B，由特殊位置可判断C，由一般方程概念可判断D. 【详解】解析 对于A，由条件可知，又， 当时，， 当时，，A正确； 对于B，直线的斜率为，其垂线的斜率为3， 所以过点且与直线垂直的直线方程为， 即，故B错误； 对于C，当直线垂直于坐标轴时，不能用方程表示，故C错误； 对于D，任何直线的方程都有一般式，故D正确. 故选：AD 8. 已知圆，直线.则以下几个命题正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 直线与圆恒相交 D. 直线被圆截得最长弦长时，直线的方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】 求出直线所过定点坐标，再根据直线与圆的位置关系判断． 【详解】直线方程整理得，由，解得，∴直线过定点，A正确； 在圆方程中令，得，，∴轴上的弦长为，B正确； ，∴在圆内，直线与圆一定相交，C正确； 直线被圆截得弦最长时，直线过圆心，则，，直线方程为，即．D错． 故选：ABC． 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，直线过定点问题．（1）直线方程整理为关于参数的方程，然后由恒等式知识可得定点坐标．（2）直线与圆的位置关系的判断，若直线所过定点在圆内，则直线与圆相交，若定点在圆上，则直线与圆相交或相切，定点在圆外，直线与圆的三种位置关系都有可能．（3）直线过圆心时弦长最长，直线所过定点是弦中点时，弦长最短． 三、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）． 9. 已知，若直线与直线的斜率分别为和，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的斜率列方程，由此求得点的坐标. 【详解】设，显然，则， 解得，所以. 故答案为： 10. 如图，在正三棱柱中，，则与所成角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出向量,的坐标，利用向量的夹角公式即可求得答案. 【详解】以A为原点，在平面内过点作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 在正三棱柱中，设，则， 则， 故，， 设异面直线与所成角为，则， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 11. 在四面体OABC中，是棱OA上靠近的三等分点，分别是的中点，设，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】借助空间向量的线性运算及基本定理计算即可得. 【详解】， 故. 故答案为：. 12. 设点P是圆上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】将四边形PACB的面积表示为，当点P是线段CO的延长线与圆O的交点时，最大，计算求出即可. 【详解】圆C的方程可化为，则圆心为，半径为2， 连接PC，则在中，， 所以四边形PACB的面积， （由切线长定理知，故） 连接CO并延长，当点P是线段CO的延长线与圆O的交点时，最大， 此时， 所以四边形PACB面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：（本大题共4小题，要求写出必要的解题步骤共48分）． 13. 在空间直角坐标系Oxyz中，O为原点，已知点，，，设向量，. （1）求与夹角的余弦值； （2）若与互相垂直，求实数k的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的坐标先求出，，，由向量的夹角公式可得答案. （2）由题意可得，从而求出参数的值 【小问1详解】 由题，，， 故，，， 所以 故与夹角余弦值为. 【小问2详解】 由与的互相垂直知， ，， 即 14. 已知的三个顶点分别为，，． （1）求边的垂直平分线的方程； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算，的中点为，边的垂直平分线的斜率，得到直线方程. （2）计算，到直线的距离为，得到面积. 【小问1详解】 ，故边的垂直平分线的斜率，的中点为， 故垂直平分线为，即. 【小问2详解】 ， 所在的方程为，即， 到直线的距离为，. 15. 已知圆的圆心在轴上，经过两点． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出线段中垂线方程，结合已知求出圆心及半径即可. （2）由给定弦长求出圆心到直线的距离，再按斜率存在与否求出方程. 【小问1详解】 由，得线段中点，直线的斜率， 因此线段中垂线方程为，当时，， 依题意，圆的圆心，半径， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由直线被圆所截弦长，得圆心到直线的距离， 又直线过点，圆心到直线的距离为1，则直线的方程可以为， 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 16. 如图，在四棱锥中，平面，且为CD的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】（1） 因为， 所以四边形是平行四边形， 因为，所以平行四边形是矩形，则. 因为平面平面，所以， 又因为平面，且，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用两个向量的夹角公式求解即可； （3）不妨设则设出的坐标，利用向量求线面所成的角的正弦值得出的坐标，然后求解点到平面的距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，即两两垂直， 故以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为，而 所以，令，则. 设平面的一个法向量为，而， 所以，令，则， 记平面与平面的夹角为，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 依题意，不妨设则 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线CM与平面所成角为， 所以， 解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $