精品解析：河北省保定市高碑店市2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期12月教学质量监测 九年级数学 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果把一个的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值（ ） A. 扩大2倍 B. 保持不变 C. 缩小到原来的 D. 以上都有可能 3. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起．如图，这是其中一种榫，其左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 若一个正方形的对角线长为，则它的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，如图，在小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形对角线，，则菱形高的长为（ ） A. B. C. D. 11. “少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. （m为任意实数） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 阳光下旗杆的影子属于_________投影．（填“平行”或“中心”） 14. 若关于的一元二次方程有两个相等实根，则的值为______． 15. 将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到新的抛物线的函数表达式为_________ 16. 如图，P是反比例函数的图象上的一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线，交反比例函数的图象于点A，B，连接，，则的面积为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： ． （2）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，求线段的长． 18. 对于解方程，小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得 ，……步骤① 等号两边同时除以，得，……步骤② 去括号，得，……步骤③ 移项、合并同类项，得，……步骤④ 系数化为．得．………步骤⑤ （1）已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是_____________（填序号）． （2）请给出正确的解答过程． 19. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外，其他完全相同的红、黑、白三种颜色的球，其中红球1个、黑球1个、白球2个． （1）从盒子中摸出一个球是白球的概率为_______________． （2）从盒子中摸出一个球后不放回，再摸出一个球，求两次摸到的球颜色不一样的概率． 20. 为了预防冬季流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例．如图，这是含药量y与时间x的函数图象．现测药物8分钟燃毕，此时空气中每立方米含药量为10毫克． 请根据题中所提供的信息，回答下列问题． （1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为________；自变量x的取值范围是__________；药物燃烧完后，y与x的函数关系式为________；自变量x的取值范围是_______． （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于5毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 21. 如图，在中，，是边上的中线，，垂足为E．若，． （1）求的长； （2）求的正弦值． 22. 如图，矩形的对角线，相交于点O，点E在边上，，垂足为F． （1）求证：． （2）当E为的中点，且时，求的长． 23. 手机普及率的提高对社会和个人产生了多方面的影响，在经济方面不仅推动了消费升级，还重塑了传统商业模式，由此催生的“手机直播”正逐渐演变为一种新兴社会潮流．图1是一种常见的悬臂式手机直播支架，图2和图3是其几何示意图，手机支架的底座放置于水平地面上，立杆，支杆可绕点C旋转，悬臂的长度可以调节．已知． （1）如图2，B，C，D三点共线，，处于收缩状态（最小长度状态）时的长度为，此时点A距离地面，求的长； （2）如图3，在（1）的条件下，先将支杆绕点C顺时针旋转60°，再将悬臂绕点B顺时针旋转15°． ①求点B到地面的距离； ②调节悬臂的长度，此时点A到地面的距离为，求调节后悬臂的长．（结果精确到．参考数据：，） 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）将一次函数图象向上平移个单位长度，使得与反比例函数图象只有一个交点，求m的值． （3）若点在反比例函数的图象上，F是线段延长线上的一点，过点F作直线，交反比例函数的图象于点．若，求点G的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期12月教学质量监测 九年级数学 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，是解题的关键．根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，仅选项C符合此形式． 【详解】解：∵二次函数的标准形式为， A．是反比例函数，不符合二次函数定义，故A不符合题意； B．是一次函数，不符合二次函数定义，故B不符合题意； C．，其中，符合二次函数定义，故C符合题意； D．不符合二次函数定义，故D不符合题意． 故选C． 2. 如果把一个的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值（ ） A. 扩大2倍 B. 保持不变 C. 缩小到原来的 D. 以上都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角所对的直角边与另一条直角边的比值，据此求解即可． 【详解】解：在中，不妨设， ∴， ∴把三边的长度都扩大为原来的2倍后， ∴锐角A的正切值保持不变， 故选：B． 3. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，将所求分式拆分为已知比例与常数之和，直接计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 4. 榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起．如图，这是其中一种榫，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从三个方向看立体图形，先明确左视图的定义，再分析该榫结构从左面观察所得图形的形状与线条特征，最后匹配选项得出答案． 【详解】解：A、该图形与从左面观察该榫所得图形的形状、线条特征不匹配； B、该图形为矩形且内部有虚线，符合从左面观察该榫结构的轮廓与线条特征； C、该图形与从左面观察该榫所得图形的形状、线条特征不匹配； D、该图形与从左面观察该榫所得图形的形状、线条特征不匹配， 故选：B． 5. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两个实数根，则，．据此解答即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴的值为． 故选：D． 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，通过配方法将二次函数化为顶点形式，顶点坐标为，据此进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故选：A． 7. 若一个正方形的对角线长为，则它的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的面积与对角线的关系，利用公式“正方形面积等于对角线平方的一半”直接计算． 【详解】解：∵正方形对角线长为，且面积， ∴． 故选：A． 8. 已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，通过点的横坐标所在象限判断函数值的正负，是本题的解题关键． 反比例函数比例系数，则函数图象位于第一、三象限，根据点的横坐标符号判断纵坐标正负，并比较大小． 【详解】解：反比例函数，其中，即， 当，反比例函数的图象位于第一、三象限，且在同一象限内，随的增大而减小， 点：，故在第三象限，第三象限内的函数值为负数，因此； 点 ，点 ：横坐标、，故、在第一象限，第一象限内的函数值为正数，且在第一象限内随增大而减小，由，故． 综上，． 故选：． 9. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，如图，在小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，先理解小孔成像的原理，再确定相似三角形的对应边，最后利用相似三角形的性质列比例即可求解． 【详解】解：由题意知，设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得， 解得， 即蜡烛火焰的高度是， 故选：A． 10. 如图，菱形对角线，，则菱形高的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的对角线互相垂直平分求出，然后利用勾股定理求出，再根据菱形的面积，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 根据勾股定理，， ∵菱形的面积， ∴， ∴， 故选：． 11. “少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设共有x个队参赛，根据首轮需要安排28场比赛列方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键． 【详解】解：设共有x个队参赛， 根据题意，得． 故选：D． 12. 二次函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. （m为任意实数） 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象性质，如开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等，来判断各项结论的正确性． 【详解】解：A项：由二次函数图象开口向下，可得，对称轴，且，则，图象与y轴交点在y轴正半轴，所以，那么，故A结论正确，不符合题意； B项：当时，代入得，由图象可知，时对应的点在x轴下方，即，因此，由抛物线对称轴可得，代入得：，所以，故B结论正确，不符合题意； C项：当时，代入得，由抛物线对称轴为可知，与时的函数值相等，而时，，所以，故C结论错误，符合题意； D项：二次函数的顶点是最高点，顶点横坐标为对称轴，此时函数取得最大值，对于任意实数m，当时，函数值不超过顶点处的函数值，当顶点处时，，因此有，即（m为任意实数），故D结论正确，不符合题意， 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 阳光下旗杆的影子属于_________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】平行 【解析】 【分析】本题考查投影．根据太阳光是平行光，得到投影为平行投影，即可． 【详解】阳光下旗杆的影子属于平行投影． 故答案为：平行． 14. 若关于的一元二次方程有两个相等实根，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根据一元二次方程根的判别式，当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根，再进一步求解即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等实根， ∴， 解得：. 故答案为：4. 15. 将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到新的抛物线的函数表达式为_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”，先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，逐步代入计算即可． 【详解】解：原函数为，向左平移3个单位长度，得到： ； 再向下平移4个单位长度，得到： ． 故答案为：． 16. 如图，P是反比例函数的图象上的一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线，交反比例函数的图象于点A，B，连接，，则的面积为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，利用反比例函数中k的几何意义，结合图形中线段的平行关系计算出三角形面积即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意知，设， ∵轴，轴，A，B在上， ∴设，， ∴，， ∴ ． 故答案为：3． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： ． （2）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，求线段的长． 【答案】（1）；（2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值混合运算，比例线段，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． （1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可； （2）根据成比例线段的定义列式计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵线段，，，是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 18. 对于解方程，小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得 ，……步骤① 等号两边同时除以，得，……步骤② 去括号，得，……步骤③ 移项、合并同类项，得，……步骤④ 系数化为．得．………步骤⑤ （1）已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是_____________（填序号）． （2）请给出正确的解答过程． 【答案】（1）② （2） 解：已知， 因式分解并移项： ， ； 提公因式： ； 化简求解： ， ， 则或， 解得，． 【解析】 【分析】本题一元二次方程的解法，等式的基本性质，理解“等式两边不能同时除以一个可能为 0 的代数式”是解题关键． （1）步骤②直接除以，未考虑可能为的情况，会丢失方程的根； （2）先对原方程右边因式分解，移项后提公因式，将方程化为乘积为的形式，再令各因式为，可求得方程的两个根． 【小问1详解】 解： 根据题意，可知步骤②两边同时除以， 未考虑可能为的情况，会导致丢失方程的一个根， 故出错的步骤为②． 【小问2详解】 略 19. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外，其他完全相同的红、黑、白三种颜色的球，其中红球1个、黑球1个、白球2个． （1）从盒子中摸出一个球是白球的概率为_______________． （2）从盒子中摸出一个球后不放回，再摸出一个球，求两次摸到的球颜色不一样的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用画树状图或列表法求概率，准确理解题意，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据白球数量和盒子里的总球数，进而求得从盒子中摸出一个球是白球的概率； （2）先画出树状图，然后再根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵红球1个、黑球1个、白球2个， ∴从中任意摸出一个白球的概率是； 【小问2详解】 解：画出树状图，如图所示： ∵有12种等可能情况数，其中两次摸到的球颜色不一样的有10种情况， ∴两次摸到的球颜色不一样的概率为． 20. 为了预防冬季流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例．如图，这是含药量y与时间x的函数图象．现测药物8分钟燃毕，此时空气中每立方米含药量为10毫克． 请根据题中所提供的信息，回答下列问题． （1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为________；自变量x的取值范围是__________；药物燃烧完后，y与x的函数关系式为________；自变量x的取值范围是_______． （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于5毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【答案】（1），，， （2） 此次消毒有效， 理由：药物燃烧时，y与x的函数关系式为， 当时，； 药物燃烧后，y与x的函数关系式为， 当时，， 而空气中每立方米的含药量不低于5毫克的持续时间为：， ∴此次消毒有效． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的实际应用． （1）分别根据题意利用待定系数法可求得函数的解析式； （2）分别把代入两个函数解析式，从而求得时间差并进行比较． 【小问1详解】 解：药物燃烧时，设函数关系式为， 将原点和分别代入得：，解得， ∴y与x的函数关系式为，自变量x的取值范围是， 药物燃烧后，设函数关系式为， 将代入得：，解得， ∴y与x的函数关系式为，自变量x的取值范围是， 故答案为：，，，． 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，，是边上的中线，，垂足为E．若，． （1）求的长； （2）求的正弦值． 【答案】（1） （2）的正弦值为 【解析】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，三角形的中位线定理，勾股定理的应用； （1）先由中点的定义求出，在中，求出，在中，求出，再求的长； （2）作，垂足为，由中位线定理求出，再求出、，用勾股定理求出，在中，利用正弦的定义求解即可． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∴. ∵是边上的中线，， ∴. 在中，. 又∵ ∴ ∴. 【小问2详解】 如图，过点D作，垂足为F，则， ∵是边的中线， ∴是的中位线， ∴. ∵， ∴ ∴. 在中，由勾股定理，得 ∴， ∴的正弦值为． 22. 如图，矩形的对角线，相交于点O，点E在边上，，垂足为F． （1）求证：． （2）当E为的中点，且时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据矩形性质及直角三角形两锐角互余可得，即可证明； （2）利用相似三角形性质得到，结合矩形性质求出的长，再利用勾股定理进行求解的值，从而得出，证明，再利用相似三角形的性质得到，求解的值，最终利用线段和差求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∵，E为的中点， ∴，则， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 23. 手机普及率的提高对社会和个人产生了多方面的影响，在经济方面不仅推动了消费升级，还重塑了传统商业模式，由此催生的“手机直播”正逐渐演变为一种新兴社会潮流．图1是一种常见的悬臂式手机直播支架，图2和图3是其几何示意图，手机支架的底座放置于水平地面上，立杆，支杆可绕点C旋转，悬臂的长度可以调节．已知． （1）如图2，B，C，D三点共线，，处于收缩状态（最小长度状态）时的长度为，此时点A距离地面，求的长； （2）如图3，在（1）的条件下，先将支杆绕点C顺时针旋转60°，再将悬臂绕点B顺时针旋转15°． ①求点B到地面的距离； ②调节悬臂的长度，此时点A到地面的距离为，求调节后悬臂的长．（结果精确到．参考数据：，） 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，再进行求解． （1）过点作，，在中，，，，再由求得的长． （2）过点作于点，过点作于点，可知四边形为矩形，则，，由旋转得，得，在中，解直角三角形得，即可求解． 过点作，交延长线于点，求得，再求得，在中，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：过点作，， ∵ ∴四边形为矩形． ∴ 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． 【小问2详解】 解：过点作于点，过点作于点， ， 四边形为矩形， ，， 由旋转得， ， 在中，，， ， ， 答：点到地面的距离为． 解：过点作，交延长线于点， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 答：调节后悬臂的长约为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）将一次函数图象向上平移个单位长度，使得与反比例函数图象只有一个交点，求m的值． （3）若点在反比例函数的图象上，F是线段延长线上的一点，过点F作直线，交反比例函数的图象于点．若，求点G的坐标． 【答案】（1）， （2）1或9 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意将点A，B代入反比例函数求出点A，B的坐标，从而求得c的值得到反比例函数表达式，再利用待定系数法求得一次函数的表达式； （2）根据题意得出直线平移后的表达式，再根据已知条件联立反比例函数表达式得到，要使与反比例函数只有一个交点，则该一元二次方程的判别式为0，列出式子并求得m的值即可； （3）先求出点E的坐标，再求得、、的平方，利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，过点E作，由推出，从而得出直线的表达式，设点B关于直线的对称点为，且交于点H，得出的中点为，利用垂直平分线性质，勾股定理列出方程求得p值，进而得到点M的坐标，最后利用待定系数法求得直线的解析式，联立反比例函数表达式即可求得点G的坐标． 【小问1详解】 解：由题意知，将点A，点B代入反比例函数得： ，整理得：，解得， ∴点，点， 将点A，点B代入一次函数得： ，解得， ∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵直线沿着y轴向上平移m个单位长度， ∴平移后的函数表达式为， ∵平移后的函数与反比例函数图象只有一个交点， ∴，整理得， ∴， 解得，， ∵， ∴m的值为1或9． 【小问3详解】 解：∵点E在反比例函数图象上， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，过点E作， ∴， ∴， 易知直线的表达式为， 设点B关于直线的对称点为，且交于点H， ∴的中点为， ∵的中点在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得或， ∴或（不符合题意，舍去）， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 令，解得或， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的判定及性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $