3.6正多边形与圆（同步练习） 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

苏科版九年级数学上 3.6正多边形与圆（同步练习） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．某商场的橱窗设计中，用下列四种基础图形进行装饰，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形 2．若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度可以是（     ） A． B． C． D． 3．如图，是的内接正边形的一边，点在上．若，则的值是（     ） A．10 B．12 C．14 D．15 4．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 6．在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美好的祝愿．如图，正六边形内接于，若正六边形的周长为，则的半径为（     ） A． B． C． D． 7．如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 8．如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（     ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 9．在一次射箭比赛中，使用的靶盘是一个边长为2的正六边形．靶盘中心有一个圆形区域，该圆恰好是正六边形的内切圆．若运动员射出的箭都能落在靶盘内，且落在靶盘内各点的机会均等，则箭落在圆形区域内的概率为（     ） A． B． C． D． 10．我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 12．大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 13．如图，的内接正三角形的边心距为，则的半径为_________． 14．如图，正五边形的边长为10，点、在上，则的长是_______． 15．如图，在正五边形中，过点的分别与边相切于点为上一点，则__________． 16．如图，多边形是正八边形，点M是延长线上一点，连接，则的度数为________． 17．如图，点是正五边形的中心，，连接，则的度数为__________． 18．如图，正六边形的边长为2，连接、，以点为圆心，长为半径画，则、与围成的阴影部分面积为____________． 19．如图，由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，则大正六边形的半径和小正六边形的半径的比为________． 20．如图，已知正六边形的中心为、边心距，分别以、为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边，所围成的阴影部分面积是________． 三、解答题 21．中国古代窗户的设计体现了深厚的文化和智慧，如图所示的是一个正八边形窗户示意图，点是该正八边形的中心，分别为边的中点．连接，求的度数． 22．如图，正五边形与相切于点，，若的半径为，求劣弧的长． 23．如图所示，已知点为正六边形的边的中点，连接，仅用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹． (1)在图1中画出边的中点； (2)在图2中将绕点顺时针旋转． 24．如图，已知正五边形内接于，连接，，． (1)求的度数； (2)若的半径为，求扇形（阴影部分）的面积． 25．如图，等边三角形内接于，求图中阴影部分的面积． 26．【文化阅读】甘肃境内遗存众多古塔（如图1为宁县湘乐砖塔），其塔刹基座或内部藻井常装饰有精美的正六边形几何纹样，这些纹样均绘制在一个完美的圆形基面上．在文物修复现场，工匠往往只能找到带有部分纹样痕迹的圆弧形残片，应用“定圆心，画六方”的技法来复原正六边形几何纹样，展现了古人“以理定形”的营造智慧． 【知识溯源】“定圆心、画六方”技法在我们的教科书中也有呈现： ①定圆心：在圆弧上任取两条弦，作两条弦的垂直平分线，相交于点O，即为该圆的圆心O； ②画六方：因圆内接正六边形的边长等于外接圆的半径R，所以在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，可将圆六等分，进而作出圆内接正六边形． 【知识迁移】某修复工作现场收集到的一块圆弧形残片（示意图如图2，弧线部分为原圆形基面的边缘），请你利用无刻度直尺和圆规，在图2中依据这块圆弧形残片完成其对应正六边形纹样的复原设计图．（保留作图痕迹，不写作法） 27．解决以下问题 (1)如图1，等腰内接于，，，连接并延长交于点D，交于点H．请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； (2)如图2，是的外接圆，，P是⊙O上一点，请你只用无刻度的直尺，在⊙O上画一点D，使得平分； (3)如图3，在5×5的网格中，的三个顶点都在格点上，圆是的外接圆，只用无刻度的直尺在图3中上画出点F（点F不与点C重合），使得． 28．如图1，在中，，锐角所对的直角边与相邻的直角边的比值称为的坡度，记为“”，即，同样地，．对于锐角的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应． 请回答以下问题： (1)______的函数（填“是”或“不是”） (2)在中，，，则______； (3)在中，，，则______； (4)在中，，，则______； (5)如图2，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，，则______； (6)如图3，两个边长相等的正六边形的公共边为，点，，在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心，则______； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《苏科版九年级数学上 3.6正多边形与圆（同步练习）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A B B A A B C 1．C 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； C．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D．正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 2．B 【分析】本题考查正多边形的旋转对称性，正n边形绕中心旋转后与自身重合，最小旋转角度为． 【详解】解：∴正五边形的最小旋转角为， ∴当旋转角度是的整数倍，即可与原位置重合， 选项中只有符合要求． 3．B 【分析】先根据圆周角定理求出圆心角的度数，再根据正边形的中心角公式求出的值即可． 【详解】解：∵是的圆周角，是的圆心角，且， ∴． ∵是的内接正边形的一边， ∴， 解得． 4．A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 5．B 【分析】过点作于，根据正多边形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据正多边形所有中心角和为，得出该正多边形为正十二边形，根据正十二边形的面积为即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵是正多边形的中心， 、都是正多边形外接圆的半径，、是正多边形的相邻顶点，在外接圆上， ， ，和是外接圆的圆心角和圆周角， ， ∴， 正多边形所有中心角和为， 正多边形的边数为，即该正多边形为正十二边形， ， 正十二边形的面积为． 6．B 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出，，再证明为等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵正六边形内接于，周长为， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即的半径为． 7．A 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理即可求出的大小 【详解】解：连接、，如图所示： 六边形是正六边形， ， 点是上的任意一点，是所对的圆周角， ． 8．A 【分析】根据圆周角定理可得，即正多边形的中心角，进而求得边数，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ∵ ∴ 依题意，依次连接各等分点得到的图形为正边形，其中，即正十边形 9．B 【分析】设切边于点H，连接，，，则，根据六边形是正六边形得到是等边三角形，因此，，求出，进而得到，，根据几何概型得到箭落在圆形区域内的概率为即可求解． 【详解】解：设切边于点H，连接，，，则， ∵六边形是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴在中，， ∴， ， ∴， ∴箭落在圆形区域内的概率为． 10．C 【分析】连接圆心和正六边形的顶点，将阴影部分转化为扇形面积减去等边三角形面积进行计算． 【详解】解：设圆的圆心为，正六边形的一条边为，连接， 多边形为正六边形， 圆心角 正六边形的边长为， 圆的半径 为等边三角形 过点作于点，则 在中， 阴影部分的面积． 11．十二 【详解】解：设正多边形的外接圆为，连接，． ， ， 而， ∴这个正多边形为正十二边形． 12． 【分析】根据题意可知无人机在顶点处转动的角度即为正多边形的外角，利用多边形的外角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 根据题意，无人机到达正多边形的每个顶点时需要转动， 即该正多边形的每个外角为， 由多边形的外角和等于， 得． 13．4 【分析】连接，，根据是的内接正三角形得出，，从而得到，利用边心距的定义得出，进而在中利用角所对直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是的内接正三角形， ∴，， ∴， ∵为边心距， ∴， ∴在中，． 14． 【分析】根据五边形是正五边形可得，的半径为10，即可求解． 【详解】解：∵五边形是正五边形，边长为10， ∴，的半径为10， ∴的长． 15．54 【分析】连接，先证明四边形是等腰梯形，即可证明，则，那么，即可求解，再由圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接 ∵正五边形 ∴， ∵分别与相切， ∴， ∴在五边形中，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，而不平行于， ∴四边形是梯形， 又∵ ∴四边形是等腰梯形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 16．/112.5度 【分析】设点O为正八边形的外接圆圆心，连接，则，求出正八边形中心角，再利用三角形内角和定理求出，最后再利用平角的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，设点O为正八边形的外接圆圆心，连接， 则， ∵， ∴， ∴． 17．36 【分析】根据正五边形的性质求出中心角的度数及，由两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，结合邻边相等判定为菱形，利用菱形的对角线平分对角的性质，即可求解． 【详解】解：∵点是正五边形的中心， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，平分， ∴． 18． 【分析】阴影部分面积等于四边形面积减去扇形面积．四边形的面积通过利用六边形性质求得与的度数，证明与为直角三角形且全等，利用三角函数计算直角边长度后可得到直角三角形面积，进而得到四边形的面积． 【详解】解：如图所示，连接． 六边形是正六边形，边长为2， ， ． 又在中，，， 为等腰三角形，即， ， 同理可得，． 又在与中， ，， ， ． 在中， ， ， ． ， ， ， ， ． 19． 【分析】根据题意得到，，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，设含的直角三角形中所对直角边长为，则另一个直角边，， ∴，且， ∴是等边三角形，则， 同理，， 是等边三角形，， ∴， ∴大正六边形的半径和小正六边形的半径的比为 ． 20． 【分析】连接、、，由题意可得、、交于点，得出是等边三角形，利用等边三角形的性质和三角函数可计算出．由正多边形的内角公式可得，用正六边形的面积减去两个扇形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接、、， 在正六边形中，，， ∵点为正六边形的中心， ∴、、交于点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 根据题意，， 在中，， ∴， ∵， ∴ ． 21． 【分析】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正边形的每个中心角都等于是解题的关键． 连接，根据点是正八边形的中心，求得，然后根据等腰三角形的性质，得解答即可． 【详解】解：如图，连接． 点是正八边形的中心， ， 又是的中点， ． 22． 【分析】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．连接，，根据正多边形内角和公式可求出，根据切线的性质可求出，从而可求出，根据弧长的公式即可得到结论． 【详解】解：如解图，连接，， 五边形是正五边形， ， ，与相切， ， ， 劣弧长为． 23．(1) 解：如图，即为所求． (2) 解：如图，即为所求． 【分析】（1）连接， 交于点，连接并延长交于，结合正六边形的性质可得，关于直线对称，可得为中点． （2）连接交于，连接，由正六边形的性质可得，，可得，，可得，可得，，可得即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查的是正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练的作图是解本题的关键． 24．(1)； (2)． 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，扇形面积的计算，解题关键是掌握正多边形的性质与扇形面积公式． （1）由正五边形的性质，可得，即可解答； （2）根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：正五边形内接于， ； （2）由（1）得， 的半径为， 扇形（阴影部分）的面积为：． 25． 【分析】如图：过O作于D，利用圆和等边三角形的性质可得，再利用等腰三角形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理求得；再说明，最后利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：过O作于D， 为等边三角形，且内接于， ． 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即， ． 26．见解析 【分析】在圆弧上任意取两条不平行的弦，分别用无刻度直尺和圆规作这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是该圆的圆心O，同时确定圆的半径R；以O为圆心、R为半径，用圆规补出完整的圆；在圆上任取一点A，以R为半径，用圆规在圆上依次截取，得到B、C、D、E、F六个等分点，顺次连接这六个点，就得到圆内接正六边形． 【详解】解：如图，正六边形纹样的复原设计图即为所求． 27．(1)正六边形为 (2)点即为所求 (3)点即为所求， 【分析】(1) 由已知条件可证为等边三角形，利用等边三角形外心的性质，结合对顶角相等，将圆周三等分后再将每段弧二等分，得到六段相等的弧，对应弦长构成正六边形； (2) 利用等腰三角形外接圆的性质，所在直线为的垂直平分线，延长交圆于点，则为的中点，再利用等弧所对圆周角相等，可得平分； (3) 利用网格构造全等三角形，通过对应角相等得到圆周角相等，进而得到所对弧相等，确定点的位置． 【详解】（1）解：，， 为等边三角形， ， 的延长线交于点， 为的直径， ， ， 分别连接、并延长，交于点、， 、、三点共线， ， ， 、、三点共线， ， ， 圆上相邻两点间的圆心角均为， 弦， 顺次连接点、、、、、，所得六边形即为正六边形． （2）解：连接并延长，交于点，点即为所求。 ， 点在的垂直平分线上， 为外接圆的圆心， 点在的垂直平分线上， 直线为的垂直平分线， 直线平分， 点为的中点， ， ， 平分． （3）解：在点上方个单位处取格点，在点右侧个单位处取格点，连接交于点（不与重合），点即为所求。 ，，， ，，， ，，， ， ， 点在直线上， ， ， ． 28．(1)是 (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据函数的定义，进行判断即可； （2）根据题意得到是等腰直角三角形，，结合坡度的计算方法即可求解； （3）根据题意得到，结合坡度的计算方法即可求解； （4）根据题意得到是等腰三角形，过点作于点，在上取点，连接，使得，设，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，则，根据坡度的计算方法即可求解； （5）根据题意，得到，由垂直平分线得到，根据，由此即可求解； （6）根据题意，正六边形的每个内角为，每条边对应的圆心角的度数为，如图所示，连接，过点作于点，设正六边形的边长为，由此得到，结合坡度的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：∵对于锐角的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应， ∴是的函数； （2）解：如图所示，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示，，， ∴，， ∴； （4）解：如图所示，，， ∴，是等腰三角形， 过点作于点，在上取点，连接，使得， ∴， ∴， 设，则， 由（2）的计算得到， ∴， ∴； （5）解：在中，， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在中，， ∴； （6）解：正六边形的每个内角为，每条边对应的圆心角的度数为， 如图所示，连接，过点作于点，设正六边形的边长为， ， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $