3.6正多边形与圆同步练习2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 本练习通过基础概念辨析、中档性质应用、提升综合探究的三级分层，构建正多边形与圆的知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|中心角计算、正多边形概念、外接圆半径|单选题1-3直接考查核心概念，填空题8-9强化公式应用| |中档|内接正多边形边数、切线与正多边形结合、内角和计算|单选题4-6综合圆与多边形性质，填空题10-12融入推理| |提升|动态几何最值、作图与证明、面积计算|解答题14-17需几何建模与逻辑推理，填空题13培养空间观念|

3.6正多边形与圆 同步练习 一、单选题 1．如图，点O为正五边形的中心，连接，则的度数为（    ） A．72° B．54° C．60° D．36° 2．每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形．若绕这个正六边形的中心O旋转至和原图形重合，至少需要旋转（   ） A． B． C． D． 3．下列命题正确的是（    ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．正多边形一定是中心对称图形 C．各角相等的圆内接多边形是正多边形 D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径 4．如图，内接于，，以弦为边作的内接正多边形，则该正多边形为（   ） A．正十八边形 B．正十五边形 C．正十二边形 D．正九边形 5．如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 6．如图，若干个全等的正五边形围绕紧密排列一周，图中所示的是其中个正五边形的位置，正五边形与的交点分别记作，顺次连接，所得图形是（   ） A．正五边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形 7．如图，边长相等的正六边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是4，那么非阴影部分面积是（　　） A．8 B． C．4 D． 二、填空题 8．边长为3的等边三角形内接于，则的半径为_________． 9．如果正n边形的一个中心角与其一个内角的度数之比为，则______． 10．如图，正五边形内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为______． 11．如图，是正五边形的外接圆，连接，则的度数为________． 12．如图，为的内接正多边形的一边，已知，则这个多边形内角和为______． 13．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是_________． 三、解答题 14．如图，点A是上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)画出的内接正． (2)在上画出、两点，使得．（画一种即可） 15．如图，已知正八边形是半径为的内接八边形，求阴影部分图形的面积． 16．如图，正六边形内接于，与相切于点，求的度数． 17．如图，已知和上的一点A． 【实践与操作】 （1）作的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【应用与证明】 （2）连结，，判断四边形的形状，并加以证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】根据正边形的中心角的度数为，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：的度数为； 故选A． 2．D 【分析】本题考查正多边形与圆，求出正六边形的中心角度数，即可得出结果． 【详解】解：正六边形的中心角的度数为， ∴绕这个正六边形的中心旋转至和原图形重合，至少需要旋转． 故选D． 3．D 【分析】本题考查了命题，正多边形的定义和性质．正多边形必须各边相等且各角相等；中心对称性取决于边数；圆内接多边形各角相等不一定为正多边形；正多边形的半径即其外接圆半径，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形各边相等但角不等，故该选项不符合题意； B、正多边形不一定是中心对称图形，只有当边数为偶数时才是，如正三角形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，如矩形各角相等但边不等，故该选项不符合题意； D、正多边形外接圆的半径就是正多边形的半径，故该选项符合题意； 故选：D 4．D 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆内接正多边形等知识，连接，根据圆周角定理确定的度数，然后计算以弦为边所作的内接正多边形的边数，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， ∵， ∴， ∴若以弦为边作的内接正多边形，则该正多边形的边数为， 即该正多边形为正九边形． 故选：D． 5．B 【分析】根据正多边形的中心角公式，得出，进而判定是等边三角形即可求解． 【详解】解：正六边形内接于，的半径为3， ，， 是等边三角形， ． 6．C 【分析】本题考查了正多边形外角和、三角形内角和定理，根据任何多边形的外角和都为，可以求出正五边形每个外角的度数为，根据三角形内角和定理求出每个正五边形所对应的圆心角的度数为，从而可求共有个正五边形，所以可知顺次连接，所得图形是正十边形． 【详解】解：如下图所示， 和是正五边形的外角， ， ， ， 顺次连接，所得图形是正十边形． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形、正方形的性质是正确解答的关键．根据正方形的面积求出正方形的边长，即正六边形的边长，由正六边形的性质以及面积的计算方法求出正六边形的面积即可． 【详解】解：∵阴影正方形面积是4， ∴正方形的边长为2， 即正六边形的边长为2， ∴正六边形的面积为， ∴非阴影部分面积是， 故选：B． 8． 【分析】本题考查了正多边形和圆的计算．作于D点，连接，构造直角三角形利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得的长即可． 【详解】解：作于D点，连接， ∵等边三角形内接于，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的半径为． 故答案为：． 9．8 【分析】本题考查正多边形的中心角和内角，根据中心角和内角的计算公式，结合两个角的度数的比值，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 即：， 解得：； 故答案为：8． 10． 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，三角形内角和定理，切线的性质， 先求出中心角的度数，即可求出，再根据切线的性质可求，然后根据正多边形的外角和定理求出，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于， ∴． ∵， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴． ∵是正五边形的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 11．72°/72度 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 利用正五边形的性质求出的度数，然后再利用圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴五边形的各边都相等， ∴的度数为， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先求出边数，进而即可得解． 【详解】解：多边形边数， ∴内角和为． 故答案为：． 13． 【分析】过点作的平行线，使得，连接，，，，根据正方形的性质证明，则．容易证明四边形是平行四边形，则，因此．由线段公理可得，，当、、三点共线时，取得最小值，使用勾股定理计算出，进而计算出的周长即可． 【详解】解：如图，过点作的平行线，使得，连接，，，， 在正方形中，，，，， ∵的面积为， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由线段公理可得，，当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是圆与四边形的综合题，考查正方形的性质，线段最值问题，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是关键． 14．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图复杂作图，等边三角形的判定、圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系： （1）从A点开始，以为半径．依次画弧，这样把六等份，连接的三等份点得到的内接正三角形； （2）可作直径，再以点圆心，为半径画弧交于，则． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，作直径，再以点圆心，为半径画弧交于，则． 15．． 【分析】本题考查了正多边形和圆，扇形的面积．作，求得，利用扇形的面积公式以及三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，作，垂足为， 由题意得，则， ∵， ∴， ∴，， ∴． 16． 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，切线的性质，由正六边形的性质可得是等边三角形，即得，由切线的性质可得，再根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴． 17．（1）见解析；（2）矩形，见解析 【分析】本题考查了作图——画正多边形，矩形的判定以及圆的相关性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）作直径，然后分别以A，D为圆心，长为半径画弧，分别交于点B，F，C，E，连接，则正六边形即为所求． （2）由题意可知，因此，故，进而求得四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，因此可得，再由，得，因此，故可证得四边形是矩形． 【详解】解：（1）如图，首先作直径，然后分别以A，D为圆心，长为半径画弧，分别交于点B，F，C，E，连接，则正六边形即为所求． （2）四边形是矩形．理由如下： 如图，连接， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $