3.6 课时2 正多边形的画法 课时同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第三章 圆 3．6 正多边形与圆 课时2 正多边形的画法 ▌课时目标 1. 理解等分圆周作圆内接正多边形的原理，掌握正n边形中心角的计算方法。 2. 掌握正n边形中心角的等分画法及正方形、正六边形的尺规作法。 3. 能运用量角器与圆规画正多边形，并理解画图中的对称性与等分方法。 ▌课时目录 知识点01：用量角器与圆规画正多边形 知识点02：正n边形中心角的等分画法 知识点03：用尺规作正方形、正六边形 知识点04：正多边形画图中的对称性与等分方法 知识点05：等分圆周画正多边形的实际应用 ▌知识点01：用量角器与圆规画正多边形 画正n边形可先作外接圆，再用360°÷n算出中心角，用量角器把圆周n等分，依次连接各分点即得内接正n边形。 例如：画正五边形，中心角72°，依次取点连接。 注意：等分要准确，连接的是相邻分点，不是跨点连接。 1．（2026·江苏徐州·一模）根据要求利用“圆规和无刻度直尺”完成作图． (1)作的一个内接等边三角形； (2)作的一个外切直角三角形． 【答案】(1) 如图，即为所求： (2) 如图，即为所求： 【分析】（1）先任意作一条直径，再分别以直径的端点为圆心，的半径为半径画与相交的弧，间隔一个弧连接可得等边； （2）过M作直线，交于D，过D作的垂线，过M作的垂线，交于E，过E作的垂线交于C，作射线交于F，过F作的垂线交于A，交于B，则即为所求． 【详解】（1）解：由作图痕迹得， ∴，则为等边三角形； （2）解：由作图痕迹，，又是的半径， ∴与相切， ∵， ∴， ∵，是的半径， ∴与相切，， 同理与相切， ∴为的一个外切直角三角形． 2．（2026·江苏徐州·一模）按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程） (1)在图①中作正方形，且顶点都在圆上． (2)在图②中将圆的面积6等分． 【答案】(1) 如图，正方形即为所求； (2) 如图所示： 【分析】（1）在圆上任意找一点A，作弦，，分别作，的垂直平分线，则两条垂直平分线的交点即为圆心O，作直径，过点O作的垂直平分线，与交于B、D两点，顺次连接A、B、C、D，则四边形即为所求作的正方形． （2）根据解析（1）的方法，先找出圆心O，然后在上任意找一点A，以点A为圆心为半径画弧，交于点B，然后以点B为圆心为半径画弧，交于点C，依次找出点D、E、F，连接、、、、、，即可将圆的面积6等分． 【详解】（1）略 （2）略 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，的半径为． (1)求作它的内接正方形； (2)求正方形的边长． 【答案】(1) 如图所示，正方形即为所求作图形． 是的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形， 是的直径， ， 四边形是正方形； (2) 【分析】本题考查了复杂作图、正多边形和圆、勾股定理，正方形的性质，正确掌握正方形的性质是解题关键． （1）作出直径，再作的线段垂直平分线，与相交于、，顺次连接、、、即可； （2）利用正方形的性质可得，，再结合勾股定理得出正方形的边长． 【详解】（1）略 （2）解：的半径为，四边形是正方形， ，， ． 即正方形的边长为． 4．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）尺规作图： (1)如图1，作已知圆的一条直径； (2)如图2，作等边三角形，使其是的内接三角形． （要求：仅用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹．） 【答案】(1) 直径如图所示； (2) 如图所示，即为所求． 【分析】本题考查了用无刻度直尺作图，等边三角形的判定与性质，度角对的弦是直径，垂径定理，同弧对的圆周角相等等知识，理解并掌握对应知识点是解题的关键． （1）法一：在圆中作弦，作弦的垂直平分线交圆于点C和点D，连接即可； 法二：在圆中作弦，过点F作弦的垂线交圆于点G，连接即可； （2）法一：在中作直径，作半径的垂直平分线交圆于点B和点C，连接，即可； 法二：在中作直径，以D为圆心，为半径作交于点B和点C，连接，即可． 【详解】（1）略 （2）略 ▌知识点02：正n边形中心角的等分画法 以中心角为单位把圆n等分是正多边形画法的核心：中心角＝360°÷n，从一点起依次截取相等圆心角，得到n个等分点。 例如：正八边形中心角45°，每隔45°取一点。 注意：累计角必须正好回到起点（n×中心角＝360°），避免误差累积。 5．（2024·江苏无锡·一模）尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 【答案】(1) 如图，菱形即为所求， (2) 如图，点、即为所求， 【分析】（1）结合菱形的判定，以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、即可； （2）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查作图−复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键． 6．（25-26九年级下·江西赣州·阶段检测）如图1，等边内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点D． （1）可以证明CD垂直平分AB，写出与的数量关系：___． （2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图： ①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． ②请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．          【答案】（1）； （2）①如图所示； ②如图所示：（方法不唯一） 【分析】（1）结合外心的定义和等边三角形的性质推断出CD垂直平分AB，从而利用垂径定理得出结论即可； （2）①结合（1）的结论，可直接连接AO，BO，分别延长与圆相交，再顺次连接各交点即可； ②如图，延长AF，EC，交于一点，此时可构成等边三角形，从而连接交点与圆心的直线即为所求的对称轴． 【详解】（1）， ∵O为三角形的外心， ∴O为三角形三边中垂线的交点， 又∵三角形为等边三角形， ∴可得CD垂直平分AB， 根据垂径定理可得：； （2）略 【点睛】本题主要考查复杂作图，以及正多边形与圆之间的关系，熟练掌握正多边形的性质是解题关键． 7．（2025·江苏南京·一模）如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)； (2)． 【答案】(1) 解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，是等边的外角圆， ∴， 连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； (2) 解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，， 连接， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴． 【分析】本题考查尺规作图，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是： （1）连接，以为边，在上方作等边，作的外接圆交于点B，连接交于点A即可； （2）连接，以为直径作，以P为圆心，为半径画弧交于Q，连接交于点A，延长交于点B即可． 【详解】（1）略 （2）略 8．（2026九年级上·江苏·专题练习）作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： (1)作的内接正六边形； (2)连接，．判断四边形的形状并加以证明． 【答案】(1)解：如图，正六边形即为所求； (2)解：四边形是矩形，理由如下， 如图，连接， 六边形是正六边形， ，． ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ，， 是等边三角形， ， ． ， ， ， 平行四边形是矩形． 【分析】（1）由正六边形的中心角为，可得是等边三角形，继而可得正六边形的边长等于半径，则可画出的内接正六边形； （2）连接，由六边形是正六边形，则，故，则可得，证得四边形是平行四边形，然后由，，求得，则可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 ▌知识点03：用尺规作正方形、正六边形 正方形可作两条互相垂直的直径得四个顶点再连接；正六边形可作半径长在圆上连续截取六次（因边长等于半径）。 例如：⊙Ｏ中连续以半径截弧得六点，连成正六边形。 注意：正六边形边长恰等于外接圆半径，这是尺规作图的关键。 9．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)仅用无刻度直尺作图， ①如图1，直角三角板的直角顶点恰好在圆上，作出一条圆的直径； ②如图2，在的正方形网格中，四边都与圆相切，、、、是切点，在圆上作出一个的圆周角（标出角度）； (2)用无刻度直尺和圆规作图，如图3，点在圆上，作一个圆的内接正方形 【答案】(1) ①如图1中，线段即为所求； ②如图2中，即为所求； (2) 如图3中，四边形即为所求． 【分析】（1）根据的圆周角所对的弦是直径作出图形； （2）连接交弧于点，连接，，即为所求； （3）作射线交于点，作线段的垂直平分线交于点，，连接，，，，四边形即为所求． 【详解】（1）解：①如图1中，∵的圆周角所对的弦是直径， ∴线段即为所求； ②如图2中，连接交弧于点，连接，，即为所求； ∵由题意为正方形的内切圆， ∴过圆心， 由正方形性质知， ∴； （2）解：如图3中，作射线交于点，作线段的垂直平分线交于点，，连接，，，，四边形即为所求． 由作法知，互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∵相等， ∴为矩形； ∵， ∴矩形为正方形． 【点睛】本题考查作图，正方形的判定和性质，正多边形与圆，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 10．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）数学实践活动： 仅用无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，矩形的四个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (2)在图2中，正五边形的五个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (3)在图3中，正方形只有一个顶点在圆上，作出圆心的位置． 【答案】(1) 如图，连接矩形对角线交点即为圆心； (2) 圆心的位置如图所示： (3) 圆心的位置如图所示： 【分析】本题考查圆周角定理，确定圆心，正多边形的性质，无刻度直尺作图； （1）根据圆周角所对弦是直径连接矩形对角线交点即为圆心； （2）连接和，分别与交于点，，连接和，此时根据对称性可得直线，是圆的对称轴，和的交点即为圆心； （3）延长正方形的边长、、对角线分别交圆于点、、，此时由正方形的性质可得是圆的对称轴，所对的弦是直径，连接与交点即为圆心． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 11．（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形． (1)请在图2中利用尺规作出正六边形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求地基的面积（答案保留根号）． 【答案】(1) 正六边形如图所示， (2)平方米． 【分析】本题考查的是尺规作图，正六边形及等边三角形的性质、勾股定理，作出辅助线构造出等边三角形以及直角三角形是解答此题的关键． （1）作出的直径，分别以和为圆心，长为半径画弧，分别交于点和，和，再顺次连接即可； （2）连接、，过作于，证明是等边三角形，得出，求出，，再求出，据此计算即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）解：连接、，过作于， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 平方米． 12．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已经学习了将已知半径R的圆五等分，进而画正五边形、正六边形的作法，但这都是在已知半径为R的圆内作出的．实际应用中往往要画出给定边长的正五边形、正六边形．如图，在中，，，下面给出以为边利用圆规和无刻度直尺画出的正五边形的方法： ①以C为圆心，的长为半径画圆，与的延长线交于点D； ②再分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，两弧在下方交点记为点E； ③再分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，各交②中所作两弧的一条于点F，G； ④连接，，，，得正五边形． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出正五边形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，正五边形即为所求， 【分析】根据题中步骤作图作图即可． 【详解】略 ▌知识点04：正多边形画图中的对称性与等分方法 利用正多边形的对称性可减少作图量：先确定一条对称轴上的顶点与边中点，再对称得到其余。 例如：画正五边形可先取顶点再对称补全。 注意：等分圆周要均匀，对称轴法能保证图形对称、减少累积误差。 13．（25-26九年级上·北京·期中）我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在上任取点A，从点A开始，以的半径为半径，在上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把六等分．下列可以只用圆规将圆等分的是（    ）． ①两等分；    ②三等分；    ③四等分． A．② B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆、尺规作图、等分圆周等知识，解题的关键是理解将圆六等分的方法，属于作图中的难题． 通过圆规六等分圆后，可以利用六等分点间接得到两等分点和三等分点，但四等分点无法仅用圆规得到． 【详解】解：∵ 只用圆规可完成圆的六等分， 可以利用六等分点间接得到两等分点和三等分点， 但无法只用圆规得到四等分点， ∴ ①②可行，③不可行， 故选：B． 14．（2024·江苏苏州·一模）古建中的数学：古亭探“优”． 【了解】 “江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形． 【探索】 先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法． （1）旋转的角度最小为_______º； （2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______； （3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； 【作图】 （4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明） 【答案】（1）； （2）； （3），理由如下： 由（2）知：，，， 可得，， ， ； （4）如图： 连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点． 【分析】（1）设正方形、的中心为Q，连结、、、、、、、，可证得，得出，同理，可得； （2）由题意得，再由、、均为等腰直角三角形，即可求得答案； （3）由，，，可得，，即可求得答案； （4）连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点． 【详解】（1）解：如图设正方形、的中心为，连结、、、、、、、， 则、、、经过点，， ，， 四边形、是正方形， ， 是正八边形， ，， ， ， 同理， ， ； （2）正八边形的边长为2， ， 由（1）知：、、均为等腰直角三角形， ，， ； （3）略 （4）略 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，尺规作图等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 15．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）有一个边长为6的等边． 【概念理解】 如果这个等边的各顶点和各边均在某个平面图形或图形的内部，则称这个平面图形能覆盖这个等边． 例如：用1个圆覆盖这个等边，这样的圆可以作出无数个，其中最小的圆的半径为________． 【活动探究一】 小明想用2个等圆，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，思考后，小明先以为直径作了．请你继续探究： （1）请用圆规在图1中作出1个符合题意的； （2）如图2，设该三角形未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点与点的距离为，则的取值范围是_________； （3）满足题意的点的集合是怎样的图形？请利用尺规，在图2中将它表示出来． 【活动探究二】小聪以这个等边三角形的一边为直径作了，如图3，他想到可以用3个等圆，，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，并且这三个等圆的半径最小．请你在图3中作出其中的两个圆的圆心． 要求：①仅用无刻度的直尺作图；②作这两个圆心的方法是不同类型的作法． 【答案】【概念理解】 【活动探究一】（1） 如图1，即为所求； （2）； （3）如图2，分别以点，与、的交点为圆心，3为半径作圆，三个圆重合的部分即为满足题意的点的集合； 【活动探究二】如图3，点、即为所求， 设与等边的边和的交点为点、，连接、相交于点， 此时以、、为直径作圆，即为覆盖等边的3个等圆，和，且半径最小， 作射线交于点，连接，交于一点，即为圆心； 连接，交于点，作射线交于一点，即为圆心 【分析】【概念理解】求等边三角形的外接圆的半径即可； 【活动探究一】（1）以与的交点为圆心，到点的距离为半径画圆即可； （2）根据题意，可得未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点在内或上，再根据点和圆的位置关系即可求解； （3）根据的半径为3和该三角形未被覆盖的区域，即可求解； 【活动探究二】根据题意，可得半径最小的三个等圆，是以、、为直径的圆，则、的中点即为圆心、，作图即可． 【详解】解：【概念理解】如图，作的外接圆，即为半径最小的圆， 连接并延长交于点，连接， 等边的外接圆，， ，，垂直平分，平分， ，， 在中，，， 则，即， 解得； 故答案为：； 【活动探究一】（1）略 （2）等圆，覆盖等边，的直径为， 和的半径为3， 又要把未被覆盖的区域全部覆盖， 未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点在内或上， 则这些点与点的距离为； 故答案为：； （3）略 【活动探究二】略 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形的外接圆，点和圆的位置关系，基本作图，正确掌握基本作图的方法是解题的关键． 16．（2026·甘肃定西·三模）根据背景素材，探索解决问题． 画一个已知边长的正六边形 背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述． 已知条件 线段 操作步骤 ①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆； ③以的长为半径，在上顺次截取； ④顺次连接，，，，，得到正六边形． C________D 问题解决 (1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法） (2)在正六边形中，_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据操作步骤作出，再根据弧、弦、圆心角的关系，分别作出，即得出，最后顺次连接即可； （2）根据正多边形内角和公式求内角即可． 【详解】（1）解：如图，正六边形即为所作； （2）解：正六边形的内角． ▌知识点05：等分圆周画正多边形的实际应用 等分圆周画正多边形常用于图案设计、标志制作等实际情境。 例如：用正八边形设计花坛、用正六边形铺地砖。 注意：实际作图可借助量角器或圆规等分，先算中心角再操作，保证各部分均匀美观。 17．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）张同学在学习圆内接正多边形时，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若的半径为，则这个圆内接正八边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，勾股定理，如图，过A作于C，得到圆的内接正八边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于C， ∵圆心角为，， ∴， ∴， ∴这个圆内接正八边形的面积为， 故选：C． 18．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为6的正六边形的中心为点，顶点在轴上，则顶点的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题利用了正六边形的对称性，直角三角形的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识． 连接，设交轴于点，由正六边形是轴对称图形知，在中，，再解含的直角三角形即可． 【详解】连接，设交轴于点， 由正六边形是轴对称图形知， 在中，， ， ． 故答案为：． 19．（25-26九年级上·江苏南通·期末）若圆的直径为，则它的内接正六边形的边长为___________． 【答案】3 【分析】本题考查了正多边形和圆的综合，熟练掌握正六边形和圆的半径的关系是解题的关键．由圆的直径求半径，再根据圆的内接正六边形的性质，边长等于外接圆半径即得答案． 【详解】解：∵圆的直径为， ∴半径（）． ∵圆的内接正六边形的边长等于其外接圆的半径， ∴边长为． 故答案为：3． 20．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，，分别是的内接正五边形和内接正三角形的一边，连接．若，则的度数为___________． 【答案】49 【分析】本题考查了正多边形与圆、圆周角定理，熟练掌握正多边形的中心角公式是解题的关键． 连接、、、，根据正多边形的中心角公式可得，，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、、、， ∵，分别是的内接正五边形和内接正三角形的一边， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：49． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的周长为（   ） A．2 B．6 C．6 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，掌握正多边形的性质是解题关键． 根据题意可得正六边形的外接圆半径等于其边长，可直接计算周长． 【详解】解：如图，六边形是正六边形，是正六边形的外接圆， ，， 是等边三角形， ， 该正六边形的周长为， 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在的内接正五边形中，，交于点，则图中等腰三角形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的圆，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关性质定理． 根据正五边形的性质，可得，进而得到图中等腰三角形有：，，，，，共5个． 【详解】解：由题可得，，，， ，， ， 图中等腰三角形有：，，，，，共5个． 故答案为：C． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以此实现对的近似估算．他由正六边形开始，逐次倍增边数，当计算到圆内接正十二边形时，如图，设定⊙O的半径为1，将圆内接正十二边形分成十二个全等的三角形，每个三角形的顶角为，将这十二个全等三角形的面积之和作为面积的近似值．据此计算，可得的估计值为（    ） A． B．3 C．3.14 D．3.13 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，含30度角的直角三角形性质． 根据正十二边形的性质求出中心角的度数，再根据直角三角形的边角关系求出，进而求出三角形的面积，求出正十二边形的面积即是圆的面积即可． 【详解】解：如图，设是正十二边形的一边，过点A作，垂足为M， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴正十二边形的面积为， 即的面积为3， 此时． 故选：B． 4．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）某校九年级学生开展综合实践活动，“好学”小组对六方钢截面图正六边形的性质进行研究．如图所示，测得，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的性质，直角三角形的性质，菱形的判定和性质等，由六边形是正六边形， 可得，，即得，得到，即得到，再利用勾股定理可得，再根据四边形是菱形即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵， ∴， 解得， 同理可得，， ∴四边形是菱形， ∴四边形的面积为， 故选：． 二、填空题 5．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，正六边形内接于，点P是弧上任意一点，连接，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，掌握正六边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键．根据正六边形的性质求出其中心角，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：连接，， ∵正六边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）记任意正六边形的面积为，其内切圆的内接正方形的面积为，则________． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设正六边形的边长为a，然后表示出正六边形的面积和其内切圆半径，再通过内切圆半径表示该内切圆的内接正方形的边长，进而得到面积，最后求比值即可解答． 【详解】解：如图所示，正六边形与其内切圆的相切于点C，点C为该内切圆的内接正方形的顶点，连接， 则，，，， 设正六边形的边长为a， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴正六边形的面积， 正方形的面积 ， ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·江苏常州·期中）我国古代数学家刘徽发现，圆内接正多边形边数不断增加时，多边形的周长就逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起完善的算法．如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接，，交于点，若，则半径的长为______． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆的相关计算，分别求出和的度数是解决本题的关键． 设正六边形外接圆的圆心为，连接、，过点作于，如图所示，易得是等边三角形，则，进而求出和的度数，在等腰中，根据，求出，在中，结合含的直角三角形性质与勾股定理求得的长度，即为半径的长度． 【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为，连接、，过点作于，如图所示： 则结合题意等分圆周可知，，，， ， 是等边三角形， ，， ， 在中，，，则， ， 是等腰直角三角形， 在等腰中，，，则由勾股定理可得，解得， 在中，，，则， 又，则勾股定理可得，即，解得， ∴， 则， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是边长为的等边的外接圆，P是上一个动点，连接，则四边形面积的最大值是___________． 【答案】 【分析】先分析题意，过点作，结合等边三角形的性质，垂径定理得，求出，，运用圆周角定理，得，则故，把数值代入，解得，故，即可作答． 【详解】解：∵是边长为的等边的外接圆， ∴ 过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴， 则， 则四边形面积， ∵P是上一个动点，连接，且求四边形面积的最大值， ∴要取最大值， 当点在射线上时，此时， 即最大， ∵， ∴， 则 ∴， 在中，， 则， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴四边形面积的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，等边三角形的性质，30度的直角三角形，勾股定理，圆周角定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题 9．（25-26九年级上·江苏南京·期中）某型号路由器的信号覆盖范围是半径为的圆形区域．现需要为正方形场地布置该型号的路由器，使信号覆盖场地的每个区域． (1)如图①，在点处布置一台路由器，则正方形场地边长的最大值是______； (2)如图②，在点处各布置一台路由器，且．请画出最大正方形场地的示意图，并求此时正方形场地的边长： (3)若布置三台路由器，则正方形场地边长的最大值是_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据圆内接正方形性质，利用为等腰直角三角形直接求解即可． （2）根据轴对称的性质，判定正方形的中心为线段的中点，过点O分别作正方形的两条对角线与两圆的交点即可确定最大内接正方形． （3）为使三台路由器覆盖范围内接正方形最大，另三台路由器采用等边三角形布放且边长等于每台路由器的覆盖半径，利用三台路由器的覆盖范围为轴对称图形，作等边的外接正方形，且正方形的定点在覆盖区域的边缘上，再利用正方形对角线的长度即可求解正方形边长的最大值． 【详解】（1）解：如图，正方形为内接正方形． 根据题意正方形场地为路由器覆盖的圆形内接正方形，则为等腰直角三角形． ∴正方形边长． 故答案为：． （2）解：如图，设点O为中点，直线交内接正方形于E，F， ∵正方形是轴对称图形， ∴点O为对角线和的交点， 设正方形边长， ∵和为等腰直角三角形，点为与的切点， ∴， ∴． 在中，， ∴，即， 解得， 则． 故此时正方形场地的边长为． （3）解：为使内接正方形最大，三台路由器P、Q、R按照等边三角形布放，且．如图所示， 则，为等边三角形， 连接并延长交于点A，分别连接并延长交于点B、点D， 由于三个圆围成的区域关于直线对称， 则，为等腰直角三角形． 又∵， ∴四边形为正方形， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，切线的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质等知识点，熟练应用轴对称图形的性质是解答本题的关键． 10．（25-26九年级上·江苏南通·期中）历史上，对于圆周率的研究是古代数学一个经久不衰的话题，如我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，可见正多边形与圆联系非常紧密！ (1)如图，请在中，作一个圆内接正六边形．（要求：尺规作图，不写作法，没有作图痕迹不给分） (2)若正六边形边长为，求该正六边形的边心距． 【答案】(1) 如图，六边形即为所求； (2)． 【分析】本题考查作图复杂作图正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在上任意取一点，以为圆心，为半径把六等分可得正六边形； （2）连接，，过点作于点证明是等边三角形，进而求出，根据勾股定理即可求出，问题得解． 【详解】（1）解：由作图可得， ∴，， ∴， ∴六边形是圆内接正六边形； （2）解：连接，，过点作于点． ∵六边形是圆内接正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即正六边形的边心距为． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训川练 第三章圆 3.6正多边形与圆 课时2正多边形的画法 课时目标 理解等分圆周作圆内接正多边形的原理，掌握正边形中心角的计算方法。 2. 掌握正n边形中心角的等分画法及正方形、正六边形的尺规作法。 3 能运用量角器与圆规画正多边形，并理解画图中的对称性与等分方法。 课时目逯 知识点01：用量角器与圆规画正多边形 知识点02：正边形中心角的等分画法 知识点03：用尺规作正方形、正六边形 知识点04：正多边形画图中的对称性与等分方法 知识点05：等分圆周画正多边形的实际应用 知识点01：用量角器与圆规画正多边形 画正n边形可先作外接圆，再用360°÷n算出中心角，用量角器把圆周n等分，依次连接各 分点即得内接正n边形。 例如：画正五边形，中心角72°，依次取点连接。 1/13 注意：等分要准确，连接的是相邻分点，不是跨点连接。 1.(2026江苏徐州一模)根据要求利用“圆规和无刻度直尺”完成作图。 0 ·M (1)作⊙0的一个内接等边三角形； (2②)作⊙M的一个外切直角三角形. 2.(2026江苏徐州·一模)按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程） 图① 图② (I)在图①中作正方形ABCD,且顶点都在圆上. (2)在图②中将圆的面积6等分， 3.(25-26九年级上江苏宿迁·阶段检测)如图，⊙0的半径为4. 0 (I)求作它的内接正方形ABCD: (2)求正方形ABCD的边长， 4.(25-26九年级上江苏徐州期中)尺规作图： 2/13 图1 图2 (1)如图1，作已知圆的一条直径： (2)如图2，作等边三角形ABC,使其是⊙O的内接三角形. (要求：仅用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹.) 知识点02：正边形纯心角的等分画法 以中心角为单位把圆n等分是正多边形画法的核心：中心角=360°，从一点起依次截取 相等圆心角，得到n个等分点。 例如：正八边形中心角45°，每隔45取一点。 注意：累计角必须正好回到起点(×中心角=360°)，避免误差累积。 5.(2024江苏无锡一模)尺规作图： D 图① 图② (I)请在图①中以矩形ABCD的AD边为边作菱形ADEF,使得点E在BC上： (2)请在图②中以矩形ABCD的AD边为直径作⊙O,并在⊙O上确定点P,使得△BCP的面积与矩形 ABCD的面积相等. 6.(25-26九年级下江西赣州阶段检测)如图1，等边△ABC内接于⊙0，连接C0并延长交⊙0于点 D. (1)可以证明CD垂直平分AB,写出MD与DB 的数量关系：一· (2)请你仅使用无刻度的直尺按要求作图： ①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）， ②请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹（作图过程 3/13 用虚线表示，作图结果用实线表示)· C 图1 图2 7.(2025江苏南京一模)如图，⊙0的半径为”，点P在⊙0外.按下列要求分别求作一条直线1，使1 过点P,并交⊙O于点A,B.要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明 (1)PB-PA=r: (2)PB+PA=2r. 8.(2026九年级上江苏专题练习)作图与证明：如图，已知⊙0和⊙0上的一点A,请完成下列任务： A (I)作⊙O的内接正六边形ABCDEF: (2)连接BF,CE.判断四边形BCEF的形状并加以证明. 知识点03：里尺规作正方形、正六边形 正方形可作两条互相垂直的直径得四个顶点再连接：正六边形可作半径长在圆上连续截取 六次（因边长等于半径）。 例如：⊙O中连续以半径截弧得六点，连成正六边形。 注意：正六边形边长恰等于外接圆半径，这是尺规作图的关键。 9.(25-26九年级上·江苏盐城期中)按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： 4/13 B 图1 图2 图3 (1)仅用无刻度直尺作图， ①如图1，直角三角板的直角顶点A恰好在圆上，作出一条圆的直径： ②如图2，在2×2的正方形网格中，四边都与圆相切，A、B、C、D是切点，在圆上作出一个22.5° 的圆周角（标出角度）： (2)用无刻度直尺和圆规作图，如图3，点A在圆上，作一个圆的内接正方形ABCD. 10.(24-25九年级上江苏宿迁·期中)数学实践活动： 仅用无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）. 图1 图2 图3 (1)在图1中，矩形的四个顶点都在圆上，作出圆心的位置： 0 (2)在图2中，正五边形的五个顶点都在圆上，作出圆心的位置： O )在图3中，正方形只有一个顶点在圆上，作出圆心的位置。 11.(25-26九年级上广东潮州期末)如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形。 0 图1 图2 (I)请在图2中利用尺规作出正六边形ABCDEF(不写作法，保留作图痕迹)； (2)求地基的面积（答案保留根号）· 5/13 12.(2026·甘肃平凉·模拟预测)已经学习了将已知半径R的圆五等分，进而画正五边形、正六边形的作 法，但这都是在己知半径为R的圆内作出的.实际应用中往往要画出给定边长的正五边形、正六边形 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC,下面给出以AB为边利用圆规和无刻度直尺画出的 正五边形的方法： ①以C为圆心，BC的长为半径画圆，与AC的延长线交于点D: ②再分别以A,B为圆心，AD的长为半径画弧，两弧在AB下方交点记为点E; ③再分别以A,B为圆心，AB的长为半径画弧，各交②中所作两弧的一条于点F,G; ④连接BG,GE,EF,FA,得正五边形ABGEF。 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出正五边形（保留作图痕迹，不写作法）· 知识点04：正多边形画图中的对称性与等分方法 利用正多边形的对称性可减少作图量：先确定一条对称轴上的顶点与边中点，再对称得到 其余。 例如：画正五边形可先取顶点再对称补全。 注意：等分圆周要均匀，对称轴法能保证图形对称、减少累积误差。 13.(25-26九年级上·北京期中)我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在⊙0上任取点 A,从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙0上依次截取点B,C,D,E,F,从而点A,B,C, D,E,F把OO六等分.下列可以只用圆规将圆等分的是()· ①两等分；②三等分； ③四等分. A.② B.①② C.①③ D.①②③ 14.(2024江苏苏州一模)古建中的数学：古亭探“优”. 【了解】 “江山无限景，都聚一亭中.”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于 减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形. 6/13 【探索】 先将正方形ABCD、EFGH完全重合，再将正方形EFGH绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边 形JKLMNOP,如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法。 (1)旋转的角度最小为； (2)若正八边形JKLMNOP的边长为2，则正方形ABCD的边长为一： (3)连接AC,则AC与AO之间有怎样的数量关系？请说明理由： 【作图】 (4)如图③，已知正方形ABCD请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落 在正方形ABCD的边上.（保留作图痕迹，并写出必要的说明） D B K F 图1 图2 图3 15.(25-26九年级上江苏镇江期末)有一个边长为6的等边△ABC. 【概念理解】 如果这个等边△ABC的各项点和各边均在某个平面图形或图形的内部，则称这个平面图形能覆盖这个 等边△ABC 例如：用1个圆覆盖这个等边△ABC,这样的圆可以作出无数个，其中最小的圆的半径为 【活动探究一】 小明想用2个等圆0，⊙0， (可以有部分重叠)组成一个新的平面图形来覆盖这个等边△MBC,思 考后，小明先以BC为直径作了 0 .请你继续探究： 7/13 图1 图2 图3 ⊙02 (1)请用圆规在图1中作出1个符合题意的 0覆盖的区域内（包含边界）的任意一点与点O的距离为，则的 ⊙ (2)如图2，设该三角形未被 取值范围是 (3)满足题意的点的集合是怎样的图形？请利用尺规，在图2中将它表示出来. ⊙0 【活动探究二】小聪以这个等边三角形4BC的一-边BC为直径作了OO,如图3，他想到可以用3个 O0,O0,O0,(可以有部分重叠)组成一个新的平面图形来覆盖这个等边△1BC,并且这三 等圆 个等圆的半径最小.请你在图3中作出其中的两个圆的圆心 要求：①仅用无刻度的直尺作图：②作这两个圆心的方法是不同类型的作法. 16.(2026甘肃定西·三模)根据背景素材，探索解决问题. 画一个已知边长的正六边形ABCDEF 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经 典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分 背景素材 成六等份的问题.这个问题由欧几里得在其名著《几何原 本》中详细阐述 已知条件 线段CD ①分别以点C,D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点 操作步骤 P C ②以点P为圆心，PC长为半径作圆： ③以CD的长为半径，在⊙P上顺次截取 8/13 DE EF=FA=AB ④顺次连接DE,EF,FA,AB,BC,得到正六边形 ABCDEF 问题解决 ()根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作 法) 2)在正六边形ABCDEF中，∠ABC= 知识点05：等分圆周画正多边形的实际应用 等分圆周画正多边形常用于图案设计、标志制作等实际情境。 例如：用正八边形设计花坛、用正六边形铺地砖。 注意：实际作图可借助量角器或圆规等分，先算中心角再操作，保证各部分均匀美观。 17.(25-26九年级上江苏扬州期末)张同学在学习圆内接正多边形时，作了一个如图所示的圆内接正八 边形.若⊙0的半径为√2，则这个圆内接正八边形的面积为() Aπ B.2z C.4V2 D.&2 18.(25-26九年级上江苏盐城期末)如图，在平面直角坐标系Oy中，半径为6的正六边形ABCDEF 的中心为点O,顶点F,C在x轴上，则顶点D的坐标是 9/13 0 C x 19.(25-26九年级上江苏南通期末)若圆的直径为6m,则它的内接正六边形的边长为 cm 20.(25-26九年级上江苏南京期末)如图，AB,CD分别是⊙0的内接正五边形和内接正三角形的一边， 连接BC.若∠ABC=35°，则∠BCD的度数为 A B 课时训练 一、选择题 1.(25-26九年级上江苏盐城期中)若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的周长为() A.2 B.6 C.63 D.12 2.(25-26九年级上江苏徐州期中)如图，在⊙O的内接正五边形ABCDE中，BD,CE交于点F,则 图中等腰三角形的个数为() 0 A,3个 B.4个 C.5个 D.6个 3.(25-26八年级上·江苏盐城期中)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆 10113 术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以此实现对π的近似估算.他由正六边 形开始，逐次倍增边数，当计算到圆内接正十二边形时，如图，设定⊙O的半径为1，将圆内接正十二 边形分成十二个全等的三角形，每个三角形的顶角为30°，将这十二个全等三角形的面积之和作为⊙0 面积的近似值.据此计算，可得π的估计值为() B.3 C.3.14 D.3.13 4.(25-26九年级上江苏徐州期中)某校九年级学生开展综合实践活动，“好学”小组对六方钢截面图 正六边形ABCDEF的性质进行研究.如图所示，测得AB=L,则四边形GCHF的面积是() y C B 2W3 A.3 B.√5 C.25 D.35 二、填空题 5.(25-26九年级上·江苏苏州阶段检测)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,点P是弧FD上任意一 点，连接BP,CP,则∠BPC的度数为. F 11/13 S 6.(25-26九年级上江苏南京阶段检测)记任意正六边形的面积为，其内切圆的内接正方形的面积为 S= S,则S 7.(25-26九年级上·江苏常州期中)我国古代数学家刘徽发现，圆内接正多边形边数不断增加时，多边 形的周长就逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起完善的算法.如图，六边形 ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接AG,CF,AG交 CF于点P,若P=35 ，则半径的长为一 G 8.(25-26九年缀上江苏扬州期中)如图.O0是边K为25的等边△MBC的外接圆，P是4C上一个动 点，连接PA,PC,则四边形PABC面积的最大值是 B 三、解答题 9.(25-26九年级上江苏南京·期中)某型号路由器的信号覆盖范围是半径为10m的圆形区域.现需要为 正方形场地布置该型号的路由器，使信号覆盖场地的每个区域. 12113 8 图① 图② (1)如图①，在点O处布置一台路由器，则正方形场地边长的最大值是m: ②)如图②，在点P,Q处各布置一台路由器，且P?=4m.请画出最大正方形场地的示意图，并求此时 正方形场地的边长： (3)若布置三台路由器，则正方形场地边长的最大值是m. 10.(25-26九年级上江苏南通期中)历史上，对于圆周率π的研究是古代数学一个经久不衰的话题，如 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，可见正多边形与 圆联系非常紧密！ 0。 (I)如图，请在⊙O中，作一个圆内接正六边形ABCDEF.(要求：尺规作图，不写作法，没有作图痕 迹不给分) (②)若正六边形边长为3，求该正六边形的边心距. 13/13