精品解析：湖南岳阳市临湘市第六中学2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

临湘六中2026年八年级月月清数学试卷 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式：，，，5，，，，分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 4. 已知长、宽分别为a，b的长方形的周长为22，面积为18，则的值为（ ） A. 198 B. 216 C. 252 D. 396 5. 如果把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的25倍 B. 扩大到原来的5倍 C. 值不变 D. 缩小为原来的 6. 下列多项式，①，②，③，④能用公式法分解因式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 下列各式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 8. 若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（ ） A. 4 B. 4或 C. 8 D. 8或 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的密匙值．如当时，因式分解的结果为，则的值为2，，，由此可以得到整式的密匙值为．当时，整式的密匙值是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 24 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若分式的值为0，则m的值为______． 12. 多项式的公因式是___________． 13. 分式与的最简公分母是______________． 14. 根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 15. 计算的结果是________． 16. ，为实数，且．设，，则_______（填“”“”或“”）． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 计算： （1） ； （2） 19. 利用因式分解计算下列各题： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 观察下面的等式：，，，，… （1）写出的结果； （2）按上面的规律可以归纳出一个一般的结论为（为正整数），请运用因式分解的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 22. 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 解：原式 …… 解：原式 …… （1）甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 23. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解∶设 原式(第一步) (第二步) (第三步) (第四步) 请问∶ （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______ A．提取公因式法 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？______．(填"彻底"或"不彻底")若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______ （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 24. 请阅读下列材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 例如：，，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和． 解：设，将右边通分，得，依据题意，得，解得，所以． （1）分式是________（填“和谐分式”或“非和谐分式”）． （2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． （3）如果，，请用含有a和b的式子表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临湘六中2026年八年级月月清数学试卷 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； B．等式的右边不是几个整式的积的形式(含有分式)，不是分解因式，故本选项不符合题意； C ．从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意； D．从左到右的变形是整式乘法运算，不是分解因式，故本选项不符合题意； 故选 C． 【点睛】本题考查了分解因式的定义，能熟记分解因式的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式． 2. 下列各式：，，，5，，，，分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：，，是分式， 故选C． 【点睛】本题主要考查了分式的定义，判断一个代数式是分式还是整式的方法：若分母中含有字母，则是分式；若分母中不含字母，则是整式． 3. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：A． 4. 已知长、宽分别为a，b的长方形的周长为22，面积为18，则的值为（ ） A. 198 B. 216 C. 252 D. 396 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握整式代入思想是解题的关键． 根据长方形的周长和面积可求出和的值，然后将所求表达式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵ 长方形的周长为 22， ∴ ， ∴． ∵ 面积为 18， ∴． 又 ∵ ， ∴原式 =． 故选A． 5. 如果把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的25倍 B. 扩大到原来的5倍 C. 值不变 D. 缩小为原来的 【答案】C 【解析】 【详解】解：把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，得， 故选项C符合题意． 6. 下列多项式，①，②，③，④能用公式法分解因式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查公式法分解因式． 逐个分析每个多项式是否满足公式条件即可． 【详解】解：①为平方和，无公式可分解； ②，可用平方差公式； ③不符合完全平方或平方差公式结构，无法用公式法分解； ④，可用完全平方公式； 能用公式法分解的有②和④，共2个． 故选：B． 7. 下列各式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简分式判断，根据分式的分子分母不含有公因式的分式叫最简分式判断即可． 【详解】解：．，不是最简分式，故该选项不符合题意； ．是最简分式，故该选项符合题意； ．，不是最简分式，故该选项不符合题意； ．，不是最简分式，故该选项不符合题意； 故选：B． 8. 若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（ ） A. 4 B. 4或 C. 8 D. 8或 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式，对应系数即可求出的值． 【详解】解：能用完全平方公式进行因式分解，且， ， ， ， 即或． 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A，与不一定相等，运算错误． 选项B，与不一定相等，运算错误． 选项C，，运算错误． 选项D，，运算正确． 10. 对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的密匙值．如当时，因式分解的结果为，则的值为2，，，由此可以得到整式的密匙值为．当时，整式的密匙值是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】先对整式进行因式分解，确定因式个数n，再根据密匙值的定义，取，计算所有因式的和得到结果，用到初中因式分解的提公因式法与平方差公式． 【详解】解：∵ ， ∴ 分解后得到个不能再分解的非常数因式， 根据定义取， 分别计算各因式得：，，， ∴ 密匙值为． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若分式的值为0，则m的值为______． 【答案】 3 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0． 【详解】解：分式的值为0，则分子，解得， 检验分母：当时，分母， ∴符合题意， 故答案为：3． 12. 多项式的公因式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握确定公因式的方法是解题关键．确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂；由此即可得． 【详解】解：多项式的公因式是． 故答案为：． 13. 分式与的最简公分母是______________． 【答案】 【解析】 【分析】先将两个分式的分母分别分解因式，再取所有因式最高次幂的乘积得到最简公分母． 【详解】解：第一个分式的分母为 ，分解因式得： 第二个分式的分母为 ，分解因式得： 取各分母所有因式的最高次幂相乘，可得最简公分母为． 14. 根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 【答案】()() 【解析】 【分析】利用拼图前后面积相等，将多项式因式分解为长方形的长乘宽． 【详解】解：据图可知，左边图形的面积为， 右边图形的面积为， 故． 15. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 16. ，为实数，且．设，，则_______（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式的加减运算法则．将两式分别化简，然后将代入其中，再进行比较，即可得出结论． 【详解】解：， ； ； ， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 18. 计算： （1） ； （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算. （1）直接根据同分母分式的运算法则计算即可； （2）根据分式除法运算法则计算即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 19. 利用因式分解计算下列各题： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】对各分式的分子、分母因式分解，约分后计算括号内的加法，括号外的除法转化为乘法，约分得到最简结果，代入去计算最终值． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 观察下面的等式：，，，，… （1）写出的结果； （2）按上面的规律可以归纳出一个一般的结论为（为正整数），请运用因式分解的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】（1） （2） ， 正确． 【解析】 【分析】（1）观察等式，找出相邻奇数平方差的变化规律，代入规律求出的结果； （2）利用平方差公式对式子因式分解，化简计算，验证归纳得到的结论． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 略 22. 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 解：原式 …… 解：原式 …… （1）甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②，③ （2）解：甲同学的解法： 原式 ； 乙同学的解法： 原式 ． 【解析】 【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案； （2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可； 乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可． 【小问1详解】 解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②，③； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 23. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解∶设 原式(第一步) (第二步) (第三步) (第四步) 请问∶ （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______ A．提取公因式法 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？______．(填"彻底"或"不彻底")若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______ （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】（1）C （2）不彻底； （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握整体思想和公式法进行因式分解，是解题的关键： （1）根据完全平方公式法进行因式分解，作答即可； （2）根据完全平方公式法继续进行因式分解即可； （3）仿照题干方法，进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式； 故选C； 【小问2详解】 分解结果不彻底， 原式 ； 【小问3详解】 设， 原式． 24. 请阅读下列材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 例如：，，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和． 解：设，将右边通分，得，依据题意，得，解得，所以． （1）分式是________（填“和谐分式”或“非和谐分式”）． （2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． （3）如果，，请用含有a和b的式子表示． 【答案】（1）和谐分式 （2）x的值为12或或2 （3） 【解析】 【分析】（1）将原式拆分为两个分式相加，然后化为最简分式即可判断． （2）按照材料2的方法，设拆分形式，将右边通分，然后列方程组求系数，然后根据分式值为整数分析x的值． （3）将a、b的分式化为最简分式，进行消元，得到的表达式，利用完全平方公式变形，得到的表达式． 【小问1详解】 解：， 是和谐分式． 【小问2详解】 设， 将右边通分，得 依据题意，得， 解得， ． ∵分式的值为整数， ∴是 的因数． ∵， ∴是42的因数，是78的因数 经检验，两个条件共同满足的x的值为12、、2， 所以，满足条件的x的值为12或或2． 【小问3详解】 ，， 且，， ，， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $