精品解析：山东青岛市志远学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

2026－2027学年度第一学期10月考 九年级数学 （时间：90分钟，满分：120分） 1、请务必在指定位置填写座号，并将密封线内的项目填写清楚 2、本试题共有24道题．请在指定位置作答． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，选对得分；选错、不选或多选不得分．） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35 A. B. C. D. 3. 在平面中，下列命题为真命题的是（ ） A. 四边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是菱形 C. 四个角相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 4. 如图，在四边形中，，分别是，的中点，，分别是对角线，的中点，若四边形是菱形，则四边形应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是（　　） A. 27 B. 36 C. 27或36 D. 18 6. 定义运算：a★b=a(1-b)．若a，b是方程的两根，则b★b-a★a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 与m有关 7. 如图，正方形的边长为3，点P为对角线上任意一点，，，垂足分别是E，Q，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 8. 如图，正方形的对角线，相交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点，连接．若正方形的边长为，下列结论：①；②；③；④始终是等腰直角三角形．其中正确的为（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题共9小题，共27分） 9. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___________ 10. 已知，则的值为________． 11. 若实数满足方程，那么的值为______． 12. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为，已知，则的度数为______． 13. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为_______． 14. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，AD＝，DG＝，H是AF的中点，那么CH的长是 __________________． 15. 八角窗棂是中国传统建筑中一种极具特色的装饰元素，象征着天地间的和谐，寓意四面八方的吉祥．图1是某景区的一个正八边形窗棂，其独特的几何美感为景区增添了艺术魅力，图2是该正八边形窗棂的平面示意图，连接交于点，则的度数为______． 16. 如图，在菱形中，，对角线相交于点，点在线段上，且，为线段上的一个动点，则的最小值是______． 17. 等腰直角三角形的直角边与正方形的边都在直线上（点C与点D重合），且它们都在直线同侧，．现等腰直角三角形以每秒1个单位长度的速度从左往右沿直线运动．当点A运动到与点G重合时运动结束．设运动时间为，与正方形重叠部分的面积为S，当t取______时，． 三、作图题（本题满分4分） 18. 已知：线段，直线及直线外一点． 求作：矩形，使得边在直线上，垂足为，对角线的长度为． 四、解答题（本大题共7小题，满分65分） 19. 计算题：选择适当方法解下列方程 （1）； （2）． （3）； （4）． 20. 今年8月底以来，某村旅游区的山体公园成为了网红打卡点．如图，墙面米，公园管理者计划用总长为的栅栏围建一个“日”字形的精品花售卖区（细线表示栅栏，栅栏厚度忽略不计，段不用栅栏，售卖区中间用栅栏分成两个矩形区域，点F、G分别在、边上） （1）如图1，点E在线段上，若围成的售卖区的面积为，求售卖区的宽； （2）如图2，由于公园人流量剧增，需要增加售卖区的面积，现要使点E在线段的延长线上，并在边和上分别开一扇宽1米的门（门不用栅栏），用现有的栅栏所围成的售卖区的面积能否达到，若能达到，求出售卖区的宽；若不能，请说明理由． 21. 如图，矩形的对角线与相交于点，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点，连接． （1）求证 （2）判断四边形的形状，并说明理由； （3）当时，求______． 22. 体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为100元，经统计，4月份的销售量为250套，6月份的销售量为360套． （1）求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，若售价为129元，则7月份的销售量将与6月份持平，经调查发现，该套装的月销量y（套）与每套的售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，为减少库存，商店决定采取降价促销，该商店要想使月销售利润达到10800元，而且尽可能让学生得到实惠，这种跳绳和排球套装每套应降价多少元？ 23. 根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售草莓．果园每月的承包费为2万元． （1）解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，求道路宽度x的值． （2）解决果园种植的预期利润问题（总利润销售利润承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 24. 探究： 项目背景 八年级上册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，我国古代数学家赵爽和阿拉伯数学家阿尔•花拉子米用不同的构图方法解一元二次方程．下面以解一元二次方程即的两种几何解法为例： 材料一 赵爽发现可以看成是一个长为，宽为，面积为39的矩形．他用4个这样的矩形构造出图1形状的大正方形． 材料二 阿尔•花拉子米采用的方法是用一个边长为的正方形和两个边长分别为，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个图3的大正方形．通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程：． 解决问题： （1）在材料一中，大正方形面积可以表示为______（用含的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于______，故可得到方程______． （2）根据材料二中的构图方法，画图说明的几何解法（在图上标上相关数据），并求出方程的解为______． 25. 如图，已知中，，，，是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿边向点B运动，且速度为，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为．点P，Q同时出发，设出发的时间为． （1）出发后，的长为______； （2）当点Q在边上运动时，出发几秒，为等腰三角形？ （3）当点Q在边上运动时，求能使为等腰三角形的运动时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度第一学期10月考 九年级数学 （时间：90分钟，满分：120分） 1、请务必在指定位置填写座号，并将密封线内的项目填写清楚 2、本试题共有24道题．请在指定位置作答． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，选对得分；选错、不选或多选不得分．） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．据此解答即可． 【详解】解：A．整理后为，是一元二次方程，故选项A符合题意； B. 不是整式方程，故不是一元二次方程，故选项B不符合题意； C.当时，不是一元二次方程，故选项C不符合题意； D. 方程整理为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项D不符合题意； 故选：A 2. 观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用表中数据可判断方程解的范围为，然后对各选项进行判断即可得出答案． 【详解】解：时，， ， 时，， ， 所以方程解的范围为． 只有选项D符合要求， 故选：D． 3. 在平面中，下列命题为真命题的是（ ） A. 四边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是菱形 C. 四个角相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案，不是真命题的可以举出反例排除． 【详解】A、四边相等的四边形不一定是正方形，例如菱形，故此选项错误； B、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误； C、四个角相等的四边形是矩形，故此选项正确； D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，如铮形（如图），故此选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查命题与定理，正方形的判定，菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定． 4. 如图，在四边形中，，分别是，的中点，，分别是对角线，的中点，若四边形是菱形，则四边形应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形的性质、菱形的判定以及三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．先由三角形中位线定理证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论． 【详解】解：若四边形为菱形，则四边形需满足的条件是，理由如下： ，分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理，，， 四边形是平行四边形， ，分别是，的中点， ，， 当时， ， 四边形是菱形， 故选：B． 5. 等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是（　　） A. 27 B. 36 C. 27或36 D. 18 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由于等腰三角形的一边长3为底或为腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：（1）当3为腰时，其他两条边中必有一个为3，把x=3代入原方程可求出k的值，进而求出方程的另一个根，再根据三角形的三边关系判断是否符合题意即可；（2）当3为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由△=0可求出k的值，再求出方程的两个根进行判断即可． 试题解析：分两种情况： （1）当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程， 得：32-12×3+k=0 解得:k=27 将k=27代入原方程， 得：x2-12x+27=0 解得x=3或9 3，3，9不能组成三角形，不符合题意舍去； （2）当3为底时，则其他两边相等，即△=0， 此时：144-4k=0 解得：k=36 将k=36代入原方程， 得：x2-12x+36=0 解得：x=6 3，6，6能够组成三角形，符合题意． 故k的值为36． 故选B． 考点：1．等腰三角形的性质；2．一元二次方程的解． 6. 定义运算：a★b=a(1-b)．若a，b是方程的两根，则b★b-a★a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 与m有关 【答案】A 【解析】 【分析】由根与系数的关系可找出a＋b＝1，根据新运算找出b⋆b−a⋆a＝b（1−b）−a（1−a），将其中的1替换成a＋b，即可得出结论． 【详解】解：∵a，b是方程x2−x＋m＝0（m＜0）的两根， ∴a＋b＝1， ∴b⋆b−a⋆a＝b（1−b）−a（1−a）＝b（a＋b−b）−a（a＋b−a）＝ab−ab＝0， 故选：A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a＋b＝1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键． 7. 如图，正方形的边长为3，点P为对角线上任意一点，，，垂足分别是E，Q，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明四边形PQBE是矩形得PE=QB， 证明△PEC是等腰直角三角形得PQ=BE便可求得结果 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°，∠ACB=∠BCD=45° ∵PE⊥BC，PQ⊥AB， ∴四边形PQBE是矩形， ∴PQ=BE ∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠PCE=45°， 又∠PEC=90° ∴△PEC是等腰直角三角形 ∴PE=CE ∴PE+PQ=CE+BE=BC=3． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的判定，关键是证明PE=CE，PQ=BE． 8. 如图，正方形的对角线，相交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点，连接．若正方形的边长为，下列结论：①；②；③；④始终是等腰直角三角形．其中正确的为（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①，四边形是正方形，则有，，证明，则可以得到，那么． ②可以得到，因此． ③可以得到，正方形可知，，因此． ④已知，要证明始终是等腰直角三角形，则只需要得到． 【详解】①解：四边形是正方形，且正方形的边长为， ，，， ，，， ， ． ， ， ， ，，， ，故①正确． ②解：由①可知，， ， ，故②正确． ③解：， ， 又四边形是正方形， ，， ， ，故③正确． ④解：， ， 又， ， 因此始终是等腰直角三角形，故④正确． 综上所述：以上结论正确的有①②③④． 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题共9小题，共27分） 9. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___________ 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式．解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 10. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，利用设参法，进行求解即可． 【详解】解：设， ∴， ∴； 故答案为：． 11. 若实数满足方程，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则原方程转化为关于的新方程，通过解新方程来求的值，即的值． 【详解】解：设， 原方程变形为， 整理得：， 解得：，， 当时，， 即， 此时， 即方程有解； 当时，， 即， 此时； 此时方程无解； ． 12. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为，已知，则的度数为______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】根据，，可以求得的度数，再根据矩形的性质和三角形内角和，即可得到的度数． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， 于点， ， ， ， ，即的度数为． 13. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解应用题-增长率问题，由第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，设月平均增长率为，得到第二个月和第三个月进馆人次，求和即可得到方程．掌握增长率问题的解法是解决问题的关键． 【详解】解：第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，进馆人次的月平均增长率为， 第二个月进馆人次；第三个月进馆人次； 由到第三个月末累计进馆1456人次可得方程， 故答案为：． 14. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，AD＝，DG＝，H是AF的中点，那么CH的长是 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD＝∠GCF＝45°，再求出∠ACF＝90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】 如图，连接AC、CF， ∵正方形ABCD和正方形CEFG中，，， ，， ，∠ACD＝∠GCF＝45°， ∴∠ACF＝90°， 由勾股定理得，， ∵H是AF的中点， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 15. 八角窗棂是中国传统建筑中一种极具特色的装饰元素，象征着天地间的和谐，寓意四面八方的吉祥．图1是某景区的一个正八边形窗棂，其独特的几何美感为景区增添了艺术魅力，图2是该正八边形窗棂的平面示意图，连接交于点，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用多边形的内角和及正多边形的性质求得，的度数，再根据等腰三角形的性质求得，的度数，然后利用三角形的内角和求得的度数，继而得出答案． 【详解】解：由条件可知，， ， ． 16. 如图，在菱形中，，对角线相交于点，点在线段上，且，为线段上的一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为，推出是等边三角形，求出，在中，可得，得，当点，点，点共线时，且时，有最小值为，在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 四边形是菱形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 当点，点，点共线时，且时，有最小值为，如图： ，， ， 在中，， ， 的最小值是． 17. 等腰直角三角形的直角边与正方形的边都在直线上（点C与点D重合），且它们都在直线同侧，．现等腰直角三角形以每秒1个单位长度的速度从左往右沿直线运动．当点A运动到与点G重合时运动结束．设运动时间为，与正方形重叠部分的面积为S，当t取______时，． 【答案】或 【解析】 【分析】求得S关于的关系，再将代入解答即可． 【详解】当点由点运动到点时，与正方形重叠部分的面积是一个以为长的等腰直角三角形，如图， 此时， 当点由点运动到点时，与正方形重叠部分的面积是的面积减去以为长的等腰直角三角形面积，如图， 此时，则， ， 当时，可得或， 解，可得（负数舍去）； 解，可得，（舍去）， 综上，或时，． 三、作图题（本题满分4分） 18. 已知：线段，直线及直线外一点． 求作：矩形，使得边在直线上，垂足为，对角线的长度为． 【答案】 如图，矩形为所作． 【解析】 【分析】过点作的垂线，垂足为点，再以点为圆心，为半径画弧交直线于点，然后分别以点为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，则四边形满足条件． 【详解】略 【点睛】本题考查了矩形的判定，作垂线，作线段等于已知线段，掌握基本作图以及矩形的性质是解题的关键． 四、解答题（本大题共7小题，满分65分） 19. 计算题：选择适当方法解下列方程 （1）； （2）． （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ， 可得， ， ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： ． 20. 今年8月底以来，某村旅游区的山体公园成为了网红打卡点．如图，墙面米，公园管理者计划用总长为的栅栏围建一个“日”字形的精品花售卖区（细线表示栅栏，栅栏厚度忽略不计，段不用栅栏，售卖区中间用栅栏分成两个矩形区域，点F、G分别在、边上） （1）如图1，点E在线段上，若围成的售卖区的面积为，求售卖区的宽； （2）如图2，由于公园人流量剧增，需要增加售卖区的面积，现要使点E在线段的延长线上，并在边和上分别开一扇宽1米的门（门不用栅栏），用现有的栅栏所围成的售卖区的面积能否达到，若能达到，求出售卖区的宽；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设，则，根据围成的售卖区的面积为列方程求解即可； （2）设，，根据题意列二元一次方程，得到，进而根据题意求出的取值范围，根据题意列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设，则， ∵围成的售卖区的面积为， ∴， 解得：， 当时，，不合题意，舍去， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 解：设，， ∵，， ∴， ∴， ∵点E在线段的延长线上， ∴， ∴， 即， ∵售卖区的面积达到， ∴， 整理得， 解得（舍去）． ∴宽． 21. 如图，矩形的对角线与相交于点，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点，连接． （1）求证 （2）判断四边形的形状，并说明理由； （3）当时，求______． 【答案】（1）证明：矩形的对角线与相交于点，，直线是线段的垂直平分线， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）四边形OCDE是菱形，理由如下： 和是等边三角形， ， ∴四边形OCDE是菱形； （3） 【解析】 【分析】（1）证明和是等边三角形，即可解答； （2）根据（1）可推出四边形是菱形； （3）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得和的长，利用菱形的性质得到，求得的长，最后根据线段的和差求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：直线是线段的垂直平分线，和是等边三角形， ，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 由（1）得四边形是菱形， ， 在中，， 设，则， 根据勾股定理可得， 即 解得（负数舍去）， ． 22. 体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为100元，经统计，4月份的销售量为250套，6月份的销售量为360套． （1）求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，若售价为129元，则7月份的销售量将与6月份持平，经调查发现，该套装的月销量y（套）与每套的售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，为减少库存，商店决定采取降价促销，该商店要想使月销售利润达到10800元，而且尽可能让学生得到实惠，这种跳绳和排球套装每套应降价多少元？ 【答案】（1）； （2）这种跳绳和排球套装每套应降价9元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这种跳绳和排球套装月份到月份销售量的月平均增长率为，根据月份的销售量为套，月份的销售量为套，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）由待定系数法求出该套装的月销量(套)与每套的售价(元)之间的一次函数关系式为，再根据该商店要想使月销售利润达到元，列出列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设这种跳绳和排球套装月份到月份销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：(不符合题意， 舍去)， 答：这种跳绳和排球套装月份到月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该套装的月销量(套)与每套的售价(元)之间的一次函数关系式为， 由题意得：，解得： ， 由题意得：， 整理得：， 解得： ∵要尽可能让学生得到实惠， ∴， (元)， 答：这种跳绳和排球套装每套应降价元． 23. 根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售草莓．果园每月的承包费为2万元． （1）解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，求道路宽度x的值． （2）解决果园种植的预期利润问题（总利润销售利润承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 【答案】（1） （2）每平方米草莓平均利润下调元 【解析】 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 道路宽度为10米； 【小问2详解】 设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又从客户的角度考虑，要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． 24. 探究： 项目背景 八年级上册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，我国古代数学家赵爽和阿拉伯数学家阿尔•花拉子米用不同的构图方法解一元二次方程．下面以解一元二次方程即的两种几何解法为例： 材料一 赵爽发现可以看成是一个长为，宽为，面积为39的矩形．他用4个这样的矩形构造出图1形状的大正方形． 材料二 阿尔•花拉子米采用的方法是用一个边长为的正方形和两个边长分别为，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个图3的大正方形．通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程：． 解决问题： （1）在材料一中，大正方形面积可以表示为______（用含的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于______，故可得到方程______． （2）根据材料二中的构图方法，画图说明的几何解法（在图上标上相关数据），并求出方程的解为______． 【答案】（1）；； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）由，可得，仿照材料二构图可得，再利用直接开平方法解方程即可． 【小问1详解】 解：在材料一中，大正方形面积可以表示为；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于，故可得到方程． 【小问2详解】 解：由，可得， 仿照材料二构图见答案， 由图形面积关系，可得，即， ， 解得，（舍去）， 方程的解为． 25. 如图，已知中，，，，是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿边向点B运动，且速度为，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为．点P，Q同时出发，设出发的时间为． （1）出发后，的长为______； （2）当点Q在边上运动时，出发几秒，为等腰三角形？ （3）当点Q在边上运动时，求能使为等腰三角形的运动时间． 【答案】（1） （2）秒 （3）或或时 【解析】 【分析】（1）求出点P和点Q的路程，判断出点P在上，点Q在上，再利用勾股定理求解即可； （2）为等腰三角形时，，据此建立方程求解即可； （3）分三种情况：当时， 当时，当时，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：当时，点P所走的路程为，点Q所走的路程为， ∵， ∴此时点P在上，点Q在上，即， ∴， 在中，由勾股定理得； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， ∵，为等腰三角形， ∴此时， ∴， 解得， ∴当点Q在边上运动时，出发秒，为等腰三角形； 【小问3详解】 解：当时，则， 解得； 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 解得； 当时，过点B作于点T， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由三线合一定理可得， ∴， ∴， 解得； 综上所述，当运动时间为或或时，为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $