精品解析：山东青岛市崂山区实验学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自数学试题

崂山区实验学校2026-2027学年 九年级数学上学期第一次质量检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 一个菱形的两条对角线长分别是，则这个菱形的面积S等于（ ）． A. 48 B. 24 C. 12 D. 18 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 5. 一元二次方程 的根的情况是（  ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 6. 嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 7. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，若测得木棍长为6米，且点P是木棍的中点，则O，P两点间的距离为（　　） A. 6米 B. 5米 C. 4米 D. 3米 8. 如图，在中，，将沿直线平移，得到，连接，，若添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 9. 如图①，在菱形中，垂直于的直线（直线与菱形的两边分别交于E、F两点，且点在点的上方）沿方向从点出发到点停止运动，设直线平移距离为，的面积为，若与之间的函数图象如图②所示，则的值为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 10. 如图，正方形的边长为12，点E在AB上，且，点F是上一动点，则的最小值是（ ） A. 15 B. C. D. 12 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 方程的解是_______． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为________． 13. 某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是45，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为___________ 14. 如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则的长为_____． 15. 在课本上的“数学活动 折纸与证明”中，我们曾经两次折叠正方形纸片（如图）．若正方形纸片的边长为，则的长为_______． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=_______秒时，S1=2S2． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1） （2） 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且，求k的值． 19. 如图，正方形ABCD的边长为4，连接对角线AC，点E为BC边上一点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，点E的对应点F恰好落在边CD上，过F作FM⊥AC于点M． （1）求证：BE＝FM； （2）求BE的长度． 20. 如图，在中，，是边上的中点，延长至点，使得，于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 21. 据统计，假期第一天前海欢乐港湾摩天轮的游客人数为人次，第三天游客人数达到人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）据悉，景区附近商店推出了前海旅游纪念章，每个纪念章的成本为 5 元，当售价为元时，平均每天可售出个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低 1 元，平均每天可多售出个，若要使每天销售旅游纪念章获利元，则售价应降低多少元？ 22. 阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∵，∴ ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【类比应用】 （2）已知（为任意实数），判断与的大小关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 23. 如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． （1）若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． （2）若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 24. 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．例如：在四边形中，对角线与相交于点，若，则四边形为垂美四边形． （1）下面是垂美四边形的是_____；（填序号） 平行四边形 菱形 矩形 正方形 （2）如图，已知四边形是垂美四边形，则边，，，存在怎样的数量关系?并说明理由； （3）如图，已知四边形是垂美四边形，若，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，判断四边形的形状，并说明理由； （4）如图，分别以的边，为边向外作正方形和正方形，连接，，，若是直角三角形，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 崂山区实验学校2026-2027学年 九年级数学上学期第一次质量检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 一个菱形的两条对角线长分别是，则这个菱形的面积S等于（ ）． A. 48 B. 24 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的面积计算，菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵一个菱形的两条对角线长分别是， ∴这个菱形的面积S等于， 故选：B． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，再配方即可得出结果，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 4. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，根据平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理逐一分析选项即可． 【详解】A． 对角线互相平分的四边形是平行四边形．平行四边形的判定定理之一是对角线互相平分，故A正确,符合题意． B． 对角线互相垂直的四边形是菱形．菱形的判定需要对角线互相垂直且平分．仅垂直无法保证是菱形．原说法错误，不符合题意． C． 对角线相等的四边形是矩形．矩形的判定要求对角线相等且互相平分．例如，等腰梯形对角线相等但不是矩形．原说法错误，不符合题意． D． 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．正方形的判定需满足四边形为平行四边形，且对角线垂直、相等．仅垂直且相等无法直接判定为正方形．原说法错误，不符合题意． 故选：A． 5. 一元二次方程 的根的情况是（  ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程无实数根，熟练掌握此知识点是解决问题的关键． 根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，求出一元二次方程的判别式，确定有两个相等的实数根即可得到答案． 【详解】解：， ，， ， 一元二次方程有两个相等的实数根， 故选：B． 6. 嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 【答案】C 【解析】 【分析】先根据写错的方程的根得到a与b的关系，再进行验证甲、乙说法的正确性，分别用到一元二次方程根的定义和根的判别式的性质． 【详解】解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为， ∵该方程一个根为， ∴将代入得， 解得， 甲：∵原方程为， ∴将代入原方程得， 解得， ∴是原方程的根，甲说法正确； 乙：由题意得，， 代入得， ， 当时，，即， ∴原方程有两个不相等的实数根，乙说法正确． ∴甲、乙都对． 7. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，若测得木棍长为6米，且点P是木棍的中点，则O，P两点间的距离为（　　） A. 6米 B. 5米 C. 4米 D. 3米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，点P是的中点， 则（米）， 故选：D． 8. 如图，在中，，将沿直线平移，得到，连接，，若添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定．根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定定理即可求解． 【详解】解：因为四边形是平行四边形，所以，， 因为沿直线平移得到， 所以，，所以四边形是平行四边形， 当添加时，因为， 所以， 所以， 所以， 所以平行四边形AFGB是菱形． 当添加时，不能判断平行四边形AFGB是菱形； 当添加或时，只能判断平行四边形AFGB是矩形，不能判断平行四边形AFGB是菱形； 故选：B． 9. 如图①，在菱形中，垂直于的直线（直线与菱形的两边分别交于E、F两点，且点在点的上方）沿方向从点出发到点停止运动，设直线平移距离为，的面积为，若与之间的函数图象如图②所示，则的值为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查对动点问题的函数图象，三角形的面积，一次函数的图象，菱形的性质等知识点的理解和掌握．作，，由图②知，利用三角形面积公式求得，即，再利用待定系数法求得图②中线段的解析式，据此求解即可． 【详解】解：作，，垂足分别为，， 由图②知，当F点与重合时，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 当F点与重合时，， ∴， ∴，即， 设图②中线段的解析式为， ∴， 解得， ∴图②中线段的解析式为， 当时，， ∴． 故选：A． 10. 如图，正方形的边长为12，点E在AB上，且，点F是上一动点，则的最小值是（ ） A. 15 B. C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了最短路线问题、勾股定理以及正方形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 连接，依据，可得，当在同一直线上时，的最小值等于的长，再根据勾股定理即可得到的长即为的最小值． 【详解】如图所示，连接， ∵点与点关于对称， ， 当在同一直线上时， 的最小值等于的长， ∴的最小值等于15， 故选：A． 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 方程的解是_______． 【答案】， 【解析】 【分析】将原方程移项整理后，用因式分解法即可求解． 【详解】解：， 移项，得， 提取公因式，得， ∴或， 解得 ，． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解； 根据一元二次方程解的定义求出，然后整体代入计算即可． 【详解】解：把代入得：， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是45，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，根据“主干、支干和小分支的总数是45”，列出方程即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：． 故答案为：． 14. 如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理．根据菱形的性质以及勾股定理可求出，从而得到，再由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 15. 在课本上的“数学活动 折纸与证明”中，我们曾经两次折叠正方形纸片（如图）．若正方形纸片的边长为，则的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，先由折叠的性质得出的长度，再利用勾股定理求出的长度，最后根据求解即可,熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】由折叠的性质得，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=_______秒时，S1=2S2． 【答案】6 【解析】 【详解】∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高， ∴AD=BD=CD=cm． 又∵AP=， ∴． ∵PE//BC， ∴△APE∽△ADC． ∴，即． ∴ ∴PE=AP=． ∴． ∵S1=2S2， ∴， 解得：t=6或t=0（舍去）． 故答案为：6 三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个一元二次方程的特点选用恰当的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， 解得：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， 解得：． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴方程总有两个实数根； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式即可得出结论； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，再根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的两个实数根分别为α，β， ∴， ∵， ∴， 解得：． 19. 如图，正方形ABCD的边长为4，连接对角线AC，点E为BC边上一点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，点E的对应点F恰好落在边CD上，过F作FM⊥AC于点M． （1）求证：BE＝FM； （2）求BE的长度． 【答案】 （1）证明：在正方形ABCD中，线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF ∠CAB＝45°，∠EAF＝45°，AE＝AF ∠FAM＝∠EAB ∵FM⊥AC ∠FMA＝∠B＝90° ≌（AAS） BE＝FM （2）—4 【解析】 【分析】（1）由旋转和正方形的性质得出∠FAM＝∠EAB，再证≌即可； （2）求出正方形对角线长，再求出MC=—4即可． 【详解】（1）略； （2）在正方形ABCD中，边长为4 AC＝，∠DCA＝45° ≌ ∴AM＝AB＝4 MC＝AC—AM＝—4 ∵是等腰直角三角形 BE＝MF＝MC＝—4 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是熟练运用正方形的性质和全等三角形的判定进行证明推理． 20. 如图，在中，，是边上的中点，延长至点，使得，于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：是边上的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可； （2）根据勾股定理得出，进而利用菱形面积公式解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， 由勾股定理可知，， 由（1）可得， ， 在中，， ， ， ． 21. 据统计，假期第一天前海欢乐港湾摩天轮的游客人数为人次，第三天游客人数达到人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）据悉，景区附近商店推出了前海旅游纪念章，每个纪念章的成本为 5 元，当售价为元时，平均每天可售出个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低 1 元，平均每天可多售出个，若要使每天销售旅游纪念章获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）售价应降低元． 【解析】 【分析】（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x,根据题意得关于x的一元二次方程，解方程，然后根据问题的实际意义作出取舍即可； （2）设售价应降低m元，根据每个的利润乘以销售量，等于，列方程并求解，再结合问题的实际意义作出取舍即可 【小问1详解】 解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）． 答：平均增长率为； 【小问2详解】 设售价应降低m元，则每天的销量为个． 根据题意可得：， 解得． ∵让游客尽可能得到优惠 , ∴（舍去），， 答：售价应降低元． 【点睛】本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． 22. 阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∵，∴ ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【类比应用】 （2）已知（为任意实数），判断与的大小关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值1； （2），理由如下： ∵， ∴， ∴； （3）①；②当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200平方米 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，一元一次不等式的应用． （1）配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用作差法和配方法得，即可得出结论； （3）①根据题意可得，，进而得，再根据墙长24米，得，解不等式即可得自变量的取值范围； ②设鸡场的面积为平方米，则，再利用配方法求最值即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值1； （2）略 （3）①根据题意可得，， ∴， ∵墙长24米， ∴， ∴， ∴与的函数关系式为； ②设鸡场的面积为平方米，则 ， ∴当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200平方米． 23. 如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． （1）若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． （2）若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】（1）①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； （2）当为秒或秒，的面积等于． 【解析】 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； 【小问2详解】 解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 24. 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．例如：在四边形中，对角线与相交于点，若，则四边形为垂美四边形． （1）下面是垂美四边形的是_____；（填序号） 平行四边形 菱形 矩形 正方形 （2）如图，已知四边形是垂美四边形，则边，，，存在怎样的数量关系?并说明理由； （3）如图，已知四边形是垂美四边形，若，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，判断四边形的形状，并说明理由； （4）如图，分别以的边，为边向外作正方形和正方形，连接，，，若是直角三角形，，，直接写出的长． 【答案】（1）； （2） 解：，理由如下， ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， ∴，，，， ∴； （3） 解：四边形是矩形，理由， ∵，，，分别是边，，，的中点， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （4）的长为或． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，勾股定理，正确理解垂美四边形的定义以及灵活运用勾股定理是解题的关键． （）根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质逐一排除即可； （）由四边形是垂美四边形，则，然后用勾股定理即可求解； （）由中位线定理可得，，，，，证明四边形是平行四边形，然后由，故有，所以，从而证明四边形是矩形； （）设与交于点，与交于点，连接，，由正方形性质可得，，，证明，则，通过三角形内角和定理可得，所以，证明四边形是垂美四边形，然后分当时，当时，再结合勾股定理和（）中结论即可求解． 【小问1详解】 解：平行四边形的对角线互相平分但不垂直，不符合垂美四边形定义，  菱形的对角线互相垂直平分符合垂美四边形定义，  矩形的对角线互相平分且相等，不符合垂美四边形定义， 正方形对角线互相垂直平分且相等符合垂美四边形定义， 故选：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图，设与交于点，与交于点，连接，， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴.，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， 如图，当时， ∴， ∴， ∴， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴，， 由（）得， ∴， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， ∴， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴，， 由（）得， ∴， ∴； 综上可知：的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $