精品解析：山东省青岛市李沧区志远学校2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

2025-2026学年山东省青岛市李沧区志远中学九年级（上） 月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 一元二次方程有三个特点： （1）只含有一个未知数； （2）未知数的最高次数是2； （3）是整式方程． 【详解】A、x+2y=1是二元一次方程，故错误； B、方程去括号得：2x2-2x=2x2+3， 整理得：-2x=3，为一元一次方程，故错误； C、3x+=4是分式方程，故错误； D、x2-2=0，符合一元二次方程的形式，正确． 故选：D． 【点睛】要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程． 2. 用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的一般步骤，准确计算．根据配方法解一元二次方程的方法进行解答即可． 【详解】解：， 移项得：， 方程两边同加上16得：， 此方程可变形为． 故选：D． 3. 下列说法中，错误的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 有一组邻边相等的菱形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的判定可判断A、B，根据矩形的判定判断C，根据正方形的判定判断D. 【详解】A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形,正确； B. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,正确； C. 对角线相等的平行四边形是矩形，正确； D. 菱形本身具有邻边相等的性质，所以有一组邻边相等的菱形是正方形错误. 故选D. 【点睛】本题考查特殊平行四边形的判定，熟记特殊平行四边形的性质是掌握其判定定理的关键. 4. 用如图所示的A、B两个转盘进行“配紫色”游戏（红色和蓝色在一起配成紫色），A转盘是二等分，B转盘是三等分，分别转动两个转盘各一次（指针指向分界线则重新转动转盘），则配成紫色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出能配成紫色的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：根据题意，列出表格如下： 红 蓝 红 （红，红） （蓝，红） 蓝 （红，蓝） （蓝，蓝） 绿 （红，绿） （蓝，绿） 一共有6种等可能结果，其中配成紫色的有2种， 所以配成紫色的概率为． 故选：C 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 5. 观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根据表格，找出使的值最接近的x的值即可． 【详解】解：由表可知，当时，， ∵原方程为， ∴是原方程的一个近似解， 故选：D． 6. 在中，点D是边上的点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法正确的是（　　） A. 若，则四边形是矩形 B. 若垂直平分，则四边形是矩形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若平分，则四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定、菱形的判定，依次判断，即可求解， 本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：若，则四边形是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误； 若垂直平分，则四边形是菱形，不一定是矩形；选项B错误； 若，则四边形是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误； 若平分，则四边形是菱形；选项D正确； 故选：D． 7. 将一块矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好围成一个容积为15m3的无盖长方体水箱，且此长方体水箱的底面长比宽多2米．求该矩形铁皮的长和宽各是多少米？若设该矩形铁皮的宽是x米，则根据题意可得方程为（　　） A. （x+2）（x﹣2）×1=15 B. x（x﹣2）×1=15 C. x（x+2）×1=15 D. （x+4）（x﹣2）×1=15 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意长方体水箱的底面宽为x-2， ∵长方体水箱的底面长比宽多2米， ∴长方体水箱的底面长为x米， 则x(x-2)×1＝15. 故选B. 【点睛】解此题的关键在于利用长方体容积等于长乘宽乘高来建立方程，需要注意的是本题的x是矩形铁皮的宽，而不是长方体底面的宽，要仔细审题. 8. 如图，在矩形ABCD中，的平分线DE交AB于点E，，于点H，连结AH并延长，交CB于点F，连结给出下列结论：；；的面积是矩形ABCD面积的；；其中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】①证明是等腰直角三角形得，，由勾股定理得，再根据，即可对该结论进行判断； ②根据，得，进而得，由此即可对该结论进行判断； ③先求出，根据得，由此即可对该结论进行判断； ④证明是等腰直角三角形得，由勾股定理得，进而得，则，继而得，由此即可对该结论进行判断； ⑤根据，，即可依据“”判定和全等，由此即可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键 【详解】解：①四边形ABCD是矩形， ，， 的平分线DE交AB于点E， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ，， ，故①正确； ②在中，，， ， ，故②正确； ③， ， 又， ， ，故③不正确； ④，于点H， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ，故④不正确， ⑤于点H，， ， ，， ， 在和中， ， ≌，故⑤正确， 综上所述：正确的结论有①②⑤． 故选：A 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 已知方程（x2+y2﹣1）2＝16，则x2+y2的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据直接开平方解得，再根据计算即可； 【详解】∵（x2+y2﹣1）2＝16， ∴， ∴或， ∵， ∴； 故答案是5． 【点睛】本题主要考查了直接开平方法解方程，准确计算是解题的关键． 10. 要组织一次篮球联赛赛制为单循环形式（每两队之间都赛一杨），邀请x个球队参加比赛，共比赛了15场，那么方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际运用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．根据赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数．即可列方程． 【详解】解： 根据题意可得，， 故答案为：． 11. 若一元二次方程的两个实数根为，，则的值是_________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据一元二次方程根与系数的关系可得，再将代入式化为，整体代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴， 故答案为：15． 12. 如图四边形是边长为1的正方形，是等边三角形，则的面积为______（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用， 根据三角形面积计算公式，找到的面积等于加上面积减去的面积的等量关系，并进行求解． 【详解】解：如图， 过P作，， 正方形的边长是1，为正三角形， ，， ， ，  ，， . 故答案为： 13. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的 5 个红球和若干白球，通过多次摸球试 验后，发现摸到红球的频率约为 ，估计袋中白球有_____个． 【答案】 【解析】 【分析】根据摸到红球的频率约为，用5除以得到总球数，再计算求解即可． 【详解】解：摸到红球的频率约为， ∴不透明的袋子中一共有球为：(个)， 故估计袋子中的白球有：(个)， 故答案为： 【点睛】本题主要考查用频率估计概率及应用，解题的关键是明确频率估计概率的意义． 14. 如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是__． 【答案】4.8 【解析】 【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，可求得OA＝OD＝5，△AOD的面积，然后由S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA•PE＋OD•PF求得答案． 【详解】解：连接OP， ∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8， ∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝， ∴OA＝OD＝5， ∴S△ACD＝S矩形ABCD＝24， ∴S△AOD＝S△ACD＝12， ∵S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA•PE＋OD•PF＝×5×PE＋×5×PF＝（PE＋PF）＝12， 解得：PE＋PF＝4.8． 故答案为：4.8． 【点睛】此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 15. 已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝1，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为_____． 【答案】． 【解析】 【分析】利用正方形的性质证出△ABE≌△DAF，所以∠ABE＝∠DAF，进而证得△GBF是直角三角形，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可知GH＝BF，最后利用勾股定理即可解决问题. 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD， 在△ABE和△DAF中， ∵ ， ∴△ABE≌△DAF（SAS）， ∴∠ABE＝∠DAF， ∵∠ABE+∠BEA＝90°， ∴∠DAF+∠BEA＝90°， ∴∠AGE＝∠BGF＝90°， ∵点H为BF的中点， ∴GH＝BF， ∵BC＝4、CF＝CD﹣DF＝4﹣1＝3， ∴BF＝＝5， ∴GH＝BF＝， 故答案为． 【点睛】本题考点涉及正方形的性质、三角形全等的证明、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识点，难度适中，熟练掌握相关性质定理是解题关键. 16. 如图，在矩形中，，，P，O分别为对角线边上的两点，且，的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，全等三角形的判定与性质，构造是解题的关键．在上截取，延长至，使得，连接，过点作于，先证明，得到，结合勾股定理即可得到答案． 【详解】解：在上截取，延长至，使得，连接，过点作于， 在矩形中， ， ， 在与中， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知：∠MAN和线段a． 求作：菱形ABCD，使顶点B，D分别在射线AM，AN上，且对角线AC＝a． 【答案】 如图，四边形ABCD为所作． 【解析】 【分析】先作∠MAN的平分线，在角平分线上截取AC=a，再作AC的垂直平分线交AM于B，交AN于D，则四边形ABCD为菱形． 【详解】略 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 18. 解方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先计算，再利用公式法解答，即可求解； （2）先计算，利用公式法解答，即可求解； （3）先计算，利用公式法解答，即可求解； （4）把方程化为：，再利用因式分解法解答，即可求解． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ，，， ， ， 解得：，； 【小问3详解】 解：， ，，， ， ， 解得：，； 【小问4详解】 解：， ， ， 或， 解得：，． 19. 已知一元二次方程． （1）若方程的一个根为，求a的值； （2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）把代入方程求出a即可． （2）由题意可得，根据不等式即可解决问题． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程有实数根， ∴且，即且， 解得：且， ∴满足条件的正整数a的值为． 20. 已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠BAE=∠DCF， 在△ABE和△CDF中，， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）四边形BEDF是菱形；理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵AE=CF， ∴DE=BF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴OB=OD， ∵DG=BG， ∴EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，∠BAE=∠DCF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出DE=BF，得出四边形BEDF是平行四边形，得出OB=OD，再由等腰三角形的三线合一性质得出EF⊥BD，即可得出四边形BEDF是菱形． 【详解】略． 21. 如图，某公园准备围建一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，其他三边用长为54米的篱笆围成，已知墙EF长为28米，并且与墙平行的一面BC上要预留2米宽的入口（如图MN所示，不用围篱笆）．当矩形花园面积为360平方米时，求矩形花园长和宽． 【答案】矩形花园长为20米，宽为18米 【解析】 【分析】设矩形花园BC的长为x米，则AB的长为米，根据矩形花园面积为360平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 【详解】解：设矩形花园BC的长为x米，则AB的长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去， ， 答：矩形花园长为20米，宽为18米． 22. 数学活动让数学学习更加有趣，在一次数学课上老师设计了一个“配紫色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是，同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动）若同时转动A盘和B盘，请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率，列表法或树状图法求概率．掌握概率公式和正确的列出表格或画出树状图是解题关键．由题意可将B盘红色扇形区域分成面积相等的两个圆心角是的扇形，即可列出表格表示所有等可能的情况，再找出能配成紫色的情况，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意可将B盘红色扇形区域分成面积相等的两个圆心角是的扇形， ∴可列表格如下， A盘 B盘 红 红 蓝 红 红，红 红，红 红，蓝 蓝 蓝，红 蓝，红 蓝，蓝 黄 黄，红 黄，红 黄，蓝 由表格可知共有9种等可能的情况，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，即可以配成紫色的情况有3种， ∴配成紫色的概率为． 23. 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为万元，若每台设备售价为万元时，平均每月能售出台；根据市场调研发现：这种设备的售价每提高万元，其销售量就将减少台.根据相关规定，此设备的销售单价不低于万元，且获利不高于.如果该公司想实现每月万元的利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ 【答案】50万元 【解析】 【分析】设该设备的销售单价为万元，则提高了万元，每台利润为万元，销量减少了台，然后利用每台利润乘以销量等于总利润，列方程求解. 【详解】解：设该设备的销售单价为万元. 由题意列方程，得 整理，得 解这个方程，得 ， 获利不高于 不合题意，舍去. 答：该设备的销售单价为万元. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，掌握营销问题的关系式是解题的关键，最后需要注意舍去不符合条件的解. 24. 【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在正方形中，是边上一动点（点与点，不重合），连接，作，与正方形的外角的平分线交于点． 【思考尝试】（1）如图1，当是边的中点时，观察并猜想与的数量关系：________； 【实践探究】（2）小王同学受问题（1）的启发，提出了新的问题：如图2，在正方形中，若是边上一动点（点与点，不重合），那么问题（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； 【拓展迁移】（3）小李同学深入研究了小王同学提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，当在边上运动时（点与点，不重合），连接，．若知道正方形的边长，则可以求出周长的最小值．当时，请你直接写出周长的最小值：________．（说明：备用图中CJ是外角∠DCG的平分线） 【答案】 （1），理由如下： 取的中点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）成立，理由如下： 在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，根据正方形的性质可知，再根据角平分线的定义，最后利用直角三角形的性质及全等三角形的判定可知即可解答； （2）在上截取，连接，根据正方形的性质可知，，再根据角平分线的定义及直角三角形的性质可知，，最后利用全等三角形的判定与性质即可解答； （3）连接，作，交的延长线于，交于，连接，根据正方形的性质及角平分线的定义可知是等腰直角三角形，再根据线段垂直平分线的定义可知是的垂直平分线进而即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）连接，作，交的延长线于，交于，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是垂直平分线， ∴点与关于对称， ∴，当A、P、G共线时取等号，故最小值为的长， ∵， ∴， ∴在中，， ∴的周长的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，线段垂直平分线判定与性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定、最短路径问题，掌握正方形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年山东省青岛市李沧区志远中学九年级（上） 月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，错误的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 有一组邻边相等的菱形是正方形 4. 用如图所示的A、B两个转盘进行“配紫色”游戏（红色和蓝色在一起配成紫色），A转盘是二等分，B转盘是三等分，分别转动两个转盘各一次（指针指向分界线则重新转动转盘），则配成紫色的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，点D是边上的点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法正确的是（　　） A. 若，则四边形是矩形 B. 若垂直平分，则四边形是矩形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若平分，则四边形是菱形 7. 将一块矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好围成一个容积为15m3的无盖长方体水箱，且此长方体水箱的底面长比宽多2米．求该矩形铁皮的长和宽各是多少米？若设该矩形铁皮的宽是x米，则根据题意可得方程为（　　） A. （x+2）（x﹣2）×1=15 B. x（x﹣2）×1=15 C. x（x+2）×1=15 D. （x+4）（x﹣2）×1=15 8. 如图，在矩形ABCD中，的平分线DE交AB于点E，，于点H，连结AH并延长，交CB于点F，连结给出下列结论：；；的面积是矩形ABCD面积的；；其中正确的有（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 已知方程（x2+y2﹣1）2＝16，则x2+y2的值为______． 10. 要组织一次篮球联赛赛制为单循环形式（每两队之间都赛一杨），邀请x个球队参加比赛，共比赛了15场，那么方程是________． 11. 若一元二次方程的两个实数根为，，则的值是_________． 12. 如图四边形是边长为1的正方形，是等边三角形，则的面积为______（精确到） 13. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的 5 个红球和若干白球，通过多次摸球试 验后，发现摸到红球的频率约为 ，估计袋中白球有_____个． 14. 如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是__． 15. 已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝1，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为_____． 16. 如图，在矩形中，，，P，O分别为对角线边上的两点，且，的最小值为__________． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知：∠MAN和线段a． 求作：菱形ABCD，使顶点B，D分别在射线AM，AN上，且对角线AC＝a． 18. 解方程 （1） （2） （3） （4） 19. 已知一元二次方程． （1）若方程的一个根为，求a的值； （2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值． 20. 已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由． 21. 如图，某公园准备围建一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，其他三边用长为54米的篱笆围成，已知墙EF长为28米，并且与墙平行的一面BC上要预留2米宽的入口（如图MN所示，不用围篱笆）．当矩形花园面积为360平方米时，求矩形花园长和宽． 22. 数学活动让数学学习更加有趣，在一次数学课上老师设计了一个“配紫色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是，同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动）若同时转动A盘和B盘，请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率． 23. 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为万元，若每台设备售价为万元时，平均每月能售出台；根据市场调研发现：这种设备的售价每提高万元，其销售量就将减少台.根据相关规定，此设备的销售单价不低于万元，且获利不高于.如果该公司想实现每月万元的利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ 24. 【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在正方形中，是边上一动点（点与点，不重合），连接，作，与正方形的外角的平分线交于点． 【思考尝试】（1）如图1，当是边的中点时，观察并猜想与的数量关系：________； 【实践探究】（2）小王同学受问题（1）的启发，提出了新的问题：如图2，在正方形中，若是边上一动点（点与点，不重合），那么问题（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； 【拓展迁移】（3）小李同学深入研究了小王同学提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，当在边上运动时（点与点，不重合），连接，．若知道正方形的边长，则可以求出周长的最小值．当时，请你直接写出周长的最小值：________．（说明：备用图中CJ是外角∠DCG的平分线） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $