山东青岛市崂山区实验学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自数学试题

崂山区实验学校2026-2027学年 九年级数学上学期第一次质量检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 一个菱形的两条对角线长分别是，则这个菱形的面积S等于（ ）． A. 48 B. 24 C. 12 D. 18 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 5. 一元二次方程 的根的情况是（  ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 6. 嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 7. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，若测得木棍长为6米，且点P是木棍的中点，则O，P两点间的距离为（　　） A. 6米 B. 5米 C. 4米 D. 3米 8. 如图，在中，，将沿直线平移，得到，连接，，若添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 9. 如图①，在菱形中，垂直于的直线（直线与菱形的两边分别交于E、F两点，且点在点的上方）沿方向从点出发到点停止运动，设直线平移距离为，的面积为，若与之间的函数图象如图②所示，则的值为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 10. 如图，正方形的边长为12，点E在AB上，且，点F是上一动点，则的最小值是（ ） A. 15 B. C. D. 12 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 方程的解是_______． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为________． 13. 某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是45，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为___________ 14. 如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则的长为_____． 15. 在课本上的“数学活动 折纸与证明”中，我们曾经两次折叠正方形纸片（如图）．若正方形纸片的边长为，则的长为_______． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=_______秒时，S1=2S2． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1） （2） 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且，求k的值． 19. 如图，正方形ABCD的边长为4，连接对角线AC，点E为BC边上一点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，点E的对应点F恰好落在边CD上，过F作FM⊥AC于点M． （1）求证：BE＝FM； （2）求BE的长度． 20. 如图，在中，，是边上的中点，延长至点，使得，于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 21. 据统计，假期第一天前海欢乐港湾摩天轮的游客人数为人次，第三天游客人数达到人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）据悉，景区附近商店推出了前海旅游纪念章，每个纪念章的成本为 5 元，当售价为元时，平均每天可售出个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低 1 元，平均每天可多售出个，若要使每天销售旅游纪念章获利元，则售价应降低多少元？ 22. 阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∵，∴ ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【类比应用】 （2）已知（为任意实数），判断与的大小关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 23. 如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． （1）若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． （2）若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 24. 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．例如：在四边形中，对角线与相交于点，若，则四边形为垂美四边形． （1）下面是垂美四边形的是_____；（填序号） 平行四边形 菱形 矩形 正方形 （2）如图，已知四边形是垂美四边形，则边，，，存在怎样的数量关系?并说明理由； （3）如图，已知四边形是垂美四边形，若，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，判断四边形的形状，并说明理由； （4）如图，分别以的边，为边向外作正方形和正方形，连接，，，若是直角三角形，，，直接写出的长． 崂山区实验学校2026-2027学年 九年级数学上学期第一次质量检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】A 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 【11题答案】 【答案】， 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】## 【16题答案】 【答案】6 三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【17题答案】 【答案】（1）， （2）， 【18题答案】 【答案】（1） 证明：∵， ∴方程总有两个实数根； （2）． 【19题答案】 【答案】 （1）证明：在正方形ABCD中，线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF ∠CAB＝45°，∠EAF＝45°，AE＝AF ∠FAM＝∠EAB ∵FM⊥AC ∠FMA＝∠B＝90° ≌（AAS） BE＝FM （2）—4 【20题答案】 【答案】（1） 证明：是边上的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） 【21题答案】 【答案】（1） （2）售价应降低元． 【22题答案】 【答案】（1）当时，代数式有最小值1； （2），理由如下： ∵， ∴， ∴； （3）①；②当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200平方米 【23题答案】 【答案】（1）①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； （2）当为秒或秒，的面积等于． 【24题答案】 【答案】（1）； （2） 解：，理由如下， ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， ∴，，，， ∴； （3） 解：四边形是矩形，理由， ∵，，，分别是边，，，的中点， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （4）的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $