2026-2027学年人教版九年级上册十月月考数学试卷

2026-2027学年人教版九年级（上）十月月考数学试卷 （第25—26章教学内容） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1．（2025秋•青山区期中）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项系数为正，则常数项是（　　） A．1 B．5 C．﹣4 D．﹣1 2．（2025秋•江夏区期中）抛物线y＝（x+1）2﹣6的顶点坐标为（　　） A．（1，6） B．（﹣1，﹣6） C．（1，﹣6） D．（﹣1，6） 3．（2025秋•江岸区期中）已知点P（2025，m）与点Q（n，﹣2026）关于原点O对称，则m+n的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．4051 D．﹣4051 4．（2013•呼伦贝尔）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　） A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9 5．（2025秋•黄浦区期末）△ABC中，∠C＝90°，AC、BC的长是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则AB的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 6．（2025秋•江汉区期中）抛物线y＝2（x﹣5）2﹣1通过下列平移，得到抛物线y＝2x2，正确的是（　　） A．先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 7．（2026•安阳县一模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（　　） A．（1﹣x）2＝50% B．（1+x）2＝50% C．1﹣2x＝50% D．（1﹣x）（1+x）＝50% 8．（2021•涪城区校级自主招生）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≥2 B．m≤5 C．m＞2 D．m＜5 9．（2025秋•洪山区期中）已知二次函数（a≠0），当时，y的最小值为﹣6，则a的值为（　　） A．6或﹣2 B．﹣6或2 C．﹣6或﹣2 D．6或2 10．（2025秋•汉阳区期中）如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面高2.2m，与篮圈中心的水平距离为8m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3m．运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球命中，运动员应该（　　） A．跳得比开始高0.8m B．跳得比开始高0.4m C．跳得比开始低0.8m D．跳得比开始低0.4m 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡上指定的位置． 11．（2024秋•西宁期末）方程x2﹣4x＝0的根是　 　 ． 12．（2024秋•沈河区校级期末）关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0有一个根为x＝2，则k的值为 　 　 ． 13．（2025秋•青山区期中）某商品现在的售价为每件60元，每虽期可卖出300件，市场调查发现：每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，设涨价x元，每星期利润为y元，则y关于x的函数解析式为　 　 ． 14．（2025秋•江夏区期中）若二次函数y＝kx2﹣（k﹣3）x﹣4的图象与x轴只有一个公共点，则k的值为 　 　 ． 15．（2025秋•江岸区期中）已知点A（1，y1），B（2，y2）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，则y1，y2的大小关系为 　 　 ．（用“＜”连接） 16．（2025秋•江汉区期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线，经过点（﹣2，0），下列结论：①a＝b；②abc＜0；③；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上，当时，y1＜y2；⑤若且x1≠x2，则x1+x2＝﹣1．其中正确的结论有　 　 ．（填序号） 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17．（2021秋•武宣县期末）解方程：x2+4x﹣7＝0． 18．（2017秋•甘井子区期末）一面墙长18m，借助这面墙用长度为32m的篱笆围成面积为120m2矩形的花园ABCD（墙的长度要大于花园的长BC），求矩形的宽AB的长． 19．（2025秋•汉阳区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0． （1）若x＝3时，则求m的值及方程的另一个实数根； （2）若方程有实数根，求m的取值范围； （3）x1，x2是方程的两个实数根，满足x1+x2＝3x1•x2，求m的值． 20．（2025秋•江汉区期中）如图为二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象，试观察图象回答下列问题： （1）写出方程﹣x2﹣2x+3＝0的解为x1＝　 　 ，x2＝　 　 ； （2）当y＞0时，直接写出x的取值范围为 　 　 ； （3）方程﹣x2﹣2x+3＝t有实数根，t的取值范围是 　 　 ； （4）当﹣3＜x＜3时，直接写出y的取值范围是 　 　 ． 21．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设，则原方程可化为． 解得：，， 或， ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解决下列问题： (1)解方程； (2)已知，求的值． 22．（2025秋•洪山区期中）某部队进行拦截弹道模拟测试．在简化物理模型中，拦截弹从高度H（单位：m）发射，假设其沿水平方向以速度v0飞行．在水平飞行x（单位：m）后，根据自由落体公式，其在竖直方向下落的高度为hgt2（g＝10m/s2），故此时拦截弹距地面的高度y＝H﹣h．由x＝v0t，可得y与x的函数关系为y＝Hg（）2． （1）如图1，当拦截弹水平飞行1000m时，距地面高度为400m；当拦截弹水平飞行2000m时，距地面高度为100m． ①计算拦截弹发射高度H和速度v0，并推导y与x的二次函数关系式； ②若空中有一静止目标，位于拦截弹前方水平距离2200m，且距地面高度为16m处，判断拦截弹能否击中该飞行物，并说明理由； （2）在不改变第（1）问y与x的二次函数图象形状的前提下，若被拦截目标位于拦截弹前方水平距离2000到3000m之间（含两端点），且距地面高度为300m，拦截弹发射高度H为多少时，可能击中被拦截目标（如图2），请直接写出H的范围是　 　 ． 23．（2025秋•武昌区校级期中）某商店销售一种中性笔，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，这种中性笔的月销售量y（支）是售价x（元/支）的一次函数，其售价x（元/支）、月销售量y（支）、月销售利润w（元）的部分对应值如下表．[注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）] 售价x元/支） 30 32 月销售量y（支） 200 180 月销售利润w（元） 2000 2160 （1）中性笔的进价为　 　 元，y关于x的函数关系式为　 　 ； （2）商店销售这种中性笔月销售利润是否存在最大值，若存在，求出售价x的值，若不存在，请说明理由； （3）现商店决定每销售1支中性笔就捐赠m元利润（m≤5）给“爱心助学”活动，要求在售价不超过37元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，求m的取值范围． 24．（2025秋•洪山区期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3），B（﹣1，0），D（2，3），抛物线与x轴另一交点为E，经过E点的直线l将平行四边形ABCD分割成面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F，P为直线l上方抛物线上一点，设点P横坐标为t． （1）求抛物线的解析式． （2）求F点坐标． （3）t为何值时，△PFE面积最大？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版九年级（上）十月月考数学试卷 （第25—26章教学内容） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1．（3分）·（2025秋•青山区期中）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项系数为正，则常数项是（　　） A．1 B．5 C．﹣4 D．﹣1 【答案】D 【分析】通过移项将原方程整理成一般形式，再找出常数项即可． 【解答】解：5x2﹣1＝4x， 5x2﹣4x﹣1＝0， ∴常数项是﹣1， 故选：D． 2．（2025秋•江夏区期中）抛物线y＝（x+1）2﹣6的顶点坐标为（　　） A．（1，6） B．（﹣1，﹣6） C．（1，﹣6） D．（﹣1，6） 【答案】B 【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k的顶点式（h，k）即可得到答案． 【解答】解：抛物线y＝（x+1）2﹣6的顶点坐标为（﹣1，﹣6）， 故选：B． 3．（2025秋•江岸区期中）已知点P（2025，m）与点Q（n，﹣2026）关于原点O对称，则m+n的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．4051 D．﹣4051 【答案】A 【分析】利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而求出即可． 【解答】解：∵点P（2025，m）与点Q（n，﹣2026）关于原点O对称， ∴m＝2026，n＝﹣2025， 故m+n＝2026﹣2025＝1． 故选：A． 4．（2013•呼伦贝尔）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　） A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9 【答案】C 【分析】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【解答】解：由原方程移项，得 x2﹣2x＝5， 方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得 x2﹣2x+1＝6 ∴（x﹣1）2＝6． 故选：C． 5．（2025秋•黄浦区期末）△ABC中，∠C＝90°，AC、BC的长是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则AB的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据根与系数的关系得到AC+BC＝3，AC•BC＝1，则由勾股定理求得AB边的长度． 【解答】解：根据题意，得AC+BC＝3，AC•BC＝1， 所以由勾股定理，得AB2＝AC2+BC2＝（AC+BC）2﹣2AC•BC＝32﹣2＝7． 所以AB． 故选：D． 6．（2025秋•江汉区期中）抛物线y＝2（x﹣5）2﹣1通过下列平移，得到抛物线y＝2x2，正确的是（　　） A．先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】B 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移法则进行判断即可． 【解答】解：由题知， 将抛物线y＝2（x﹣5）2﹣1先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到抛物线y＝2x2， 显然只有B选项符合题意． 故选：B． 7．（2026•安阳县一模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（　　） A．（1﹣x）2＝50% B．（1+x）2＝50% C．1﹣2x＝50% D．（1﹣x）（1+x）＝50% 【答案】A 【分析】利用两天后学习过的东西未被遗忘的部分（即50%）＝学习过的东西（即1）×（1﹣每天“遗忘”的百分比）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：（1﹣x）2＝50%． 故选：A． 8．（2021•涪城区校级自主招生）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≥2 B．m≤5 C．m＞2 D．m＜5 【答案】B 【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根下必须满足Δ＝b2﹣4ac＞0． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴b2﹣4ac＝1﹣4（）≥0， 解得：m≤5 故选：B． 9．（2025秋•洪山区期中）已知二次函数（a≠0），当时，y的最小值为﹣6，则a的值为（　　） A．6或﹣2 B．﹣6或2 C．﹣6或﹣2 D．6或2 【答案】A 【分析】先求出对称轴，再分两种情况讨论，当a＞0时，根据二次函数的图象和性质可知，当时，y有最小值，即可求出a的值，当a＜0时，根据二次函数图象上的点离对称轴越远，函数值越小可知，当时，y有最小值，即可求出a的值． 【解答】解：由解析式可知：二次函数的对称轴为直线， 当a＞0时，此时当时，y有最小值，y最小＝﹣a＝﹣6， ∴a＝6， 当a＜0时， ∵， ∴当时，y有最小值，y最小， ∴a＝﹣2， 综上所述，a的值为﹣2或6， 故选：A． 10．（2025秋•汉阳区期中）如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面高2.2m，与篮圈中心的水平距离为8m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3m．运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球命中，运动员应该（　　） A．跳得比开始高0.8m B．跳得比开始高0.4m C．跳得比开始低0.8m D．跳得比开始低0.4m 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象具有对称性即可解答本题． 【解答】解：由题意可得，抛物线的对称轴为直线x＝4，运动员和与篮圈中心距对称轴的距离相等， ∴运动员出手的位置距地面的高度应该与篮圈中心距地面的高度一样， ∴运动员出手的位置距地面的高度为3m， ∵3﹣2.2＝0.8， ∴要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得比开始高0.8m， 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2024秋•西宁期末）方程x2﹣4x＝0的根是x1＝0，x2＝4　 ． 【答案】x1＝0，x2＝4． 【分析】利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：x2﹣4x＝0， x（x﹣4）＝0， 则x＝0或x﹣4＝0， 所以x1＝0，x2＝4． 故答案为：x1＝0，x2＝4． 12．（2024秋•沈河区校级期末）关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0有一个根为x＝2，则k的值为 　﹣10　 ． 【答案】﹣10． 【分析】根据关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0有一个根的值是2，代入解方程即可． 【解答】解：∵x的一元二次方程x2+3x+k＝0有一个根为x＝2， ∴4+6+k＝0， 解得k＝﹣10． 故答案为：﹣10． 13．（2025秋•青山区期中）某商品现在的售价为每件60元，每虽期可卖出300件，市场调查发现：每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，设涨价x元，每星期利润为y元，则y关于x的函数解析式为y＝（x+20）（300﹣10x）　 ． 【答案】y＝（x+20）（300﹣10x）． 【分析】分别表示出单件的利润和销量后即可列出函数关系式． 【解答】解：根据题意得：y＝（x+20）（300﹣10x）， 故答案为：y＝（x+20）（300﹣10x）． 14．（2025秋•江夏区期中）若二次函数y＝kx2﹣（k﹣3）x﹣4的图象与x轴只有一个公共点，则k的值为 　﹣1或﹣9　 ． 【答案】﹣1或﹣9． 【分析】根据二次函数的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝（k﹣3）2﹣4k×（﹣4）＝0，然后解关于k的一元二次方程即可得到k的值． 【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（k﹣3）2﹣4k×（﹣4）＝0， 解得k1＝﹣1，k2＝﹣9， 即k的值为﹣1或﹣9． 15．（2025秋•江岸区期中）已知点A（1，y1），B（2，y2）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，则y1，y2的大小关系为 　＜　 ．（用“＜”连接） 【答案】＜． 【分析】由抛物线开口向上可得距离对称轴越远的点y值越大，从而求解． 【解答】解：二次函数的对称轴为x1， 由二次函数y＝x2+a可得抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∵|1﹣（﹣1）|＜|2﹣（﹣1）|， ∴y1＜y2， 故答案为：＜． 16．（2025秋•江汉区期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线，经过点（﹣2，0），下列结论：①a＝b；②abc＜0；③；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上，当时，y1＜y2；⑤若且x1≠x2，则x1+x2＝﹣1．其中正确的结论有　①②③⑤　 ．（填序号） 【答案】①②③⑤． 【分析】根据二次函数的对称轴可得，则a＝b，结论①正确；根据抛物线的开口向上，与y轴的交点位于y轴负半轴上可得a＞0，c＜0，则可得abc＜0，结论②正确；将点（﹣2，0）代入函数解析式可得4a﹣2b+c＝0，结合a＝b可得，结论③正确；根据二次函数的增减性可得当时，y随x的增大而增大，则y1＞y2，结论④错误；根据二次函数的对称性可得抛物线上横坐标为x1，x2的两个点关于直线对称，则，即x1+x2＝﹣1，结论⑤正确． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线， ∴， ∴a＝b，结论①正确； ∵抛物线的开口向上，与y轴的交点位于y轴负半轴上， ∴a＞0，c＜0， ∴b＞0， ∴abc＜0，结论②正确； 将点（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c得：4a﹣2b+c＝0， 将a＝b代入得：4a﹣2a+c＝0，即2a+c＝0， ∴，结论③正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且， ∴y1＞y2，结论④错误； ∵， ∴， 又∵x1≠x2， ∴抛物线上横坐标为x1，x2的两个点关于直线对称， ∴， ∴x1+x2＝﹣1，结论⑤正确； 综上，正确的结论有①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17．（2021秋•武宣县期末）解方程：x2+4x﹣7＝0． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先把方程移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解． 【解答】解：x2+4x﹣7＝0， 移项得，x2+4x＝7， 配方得，x2+4x+4＝7+4， （x+2）2＝11， 解得x+2＝±， 即x1＝﹣2，x2＝﹣2 18．（2017秋•甘井子区期末）一面墙长18m，借助这面墙用长度为32m的篱笆围成面积为120m2矩形的花园ABCD（墙的长度要大于花园的长BC），求矩形的宽AB的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】设矩形的宽AB的长为xm，则BC的长为（32﹣2x）m，根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【解答】解：设矩形的宽AB的长为xm，则BC的长为（32﹣2x）m， 根据题意得：x（32﹣2x）＝120， 解得：x1＝6，x2＝10． 当x＝6时，32﹣2x＝20，20＞18， 不合题意，舍去； 当x＝10时，32﹣2x＝12． 答：矩形的宽AB的长为10m． 19．（2025秋•汉阳区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0． （1）若x＝3时，则求m的值及方程的另一个实数根； （2）若方程有实数根，求m的取值范围； （3）x1，x2是方程的两个实数根，满足x1+x2＝3x1•x2，求m的值． 【答案】（1）m＝4，x＝1； （2）全体实数； （3）． 【分析】（1）先把x＝2代入一元二次方程得到m的值，然后解一元二次方程得到方程的另一个根； （2）根据根的判别式的意义得到m2﹣4（m﹣1）≥0，解不等式得到m的取值范围； （3）利用根与系数的关系得x1+x2＝m，x1x2＝m﹣1，则由x1+x2＝3x1•x2得到m＝3（m﹣1），然后解一次方程即可． 【解答】解：（1）把x＝3代入方程x2﹣mx+m﹣1＝0得9﹣3m+m﹣1＝0， 解得m＝4， 设方程化为x2﹣4x+3＝0， 解得x1＝3，x2＝1， 即方程的另一个根为1； （2）根据题意得Δ＝m2﹣4（m﹣1）≥0， 即（m﹣2）2≥0， ∴m的取值范围为全体实数； （3）根据根与系数的关系得x1+x2＝m，x1x2＝m﹣1， ∵x1+x2＝3x1•x2， ∴m＝3（m﹣1）， 解得m． 20．（2025秋•江汉区期中）如图为二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象，试观察图象回答下列问题： （1）写出方程﹣x2﹣2x+3＝0的解为x1＝　﹣3　 ，x2＝　1　 ； （2）当y＞0时，直接写出x的取值范围为 　﹣3＜x＜1　 ； （3）方程﹣x2﹣2x+3＝t有实数根，t的取值范围是 t≤4　 ； （4）当﹣3＜x＜3时，直接写出y的取值范围是 　﹣12＜y≤4　 ． 【答案】（1）﹣3，1； （2）﹣3＜x＜1； （3）t≤4； （4）﹣12＜y≤4． 【分析】（1）解方程即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）抛物线的顶点为：（﹣1，4），则方程﹣x2﹣2x+3＝t有实数根，t的取值范围是t≤4，即可求解； （4）当﹣3＜x＜3时，当x＝3时，y取得最小值，y在顶点处取得最小值，即可求解． 【解答】解：（1）解：﹣x2﹣2x+3＝0得：x＝﹣3或1， 故答案为：﹣3，1； （2）从图象看，当y＞0时，直接写出x的取值范围为：﹣3＜x＜1， 故答案为：﹣3＜x＜1； （3）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，即抛物线的顶点为：（﹣1，4），则方程﹣x2﹣2x+3＝t有实数根，t的取值范围是t≤4， 故答案为：t≤4； （4）当x＝3时，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣12，抛物线顶点的纵坐标为4， 则当﹣3＜x＜3时，直接写出y的取值范围是：﹣12＜y≤4， 故答案为：﹣12＜y≤4． 22．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设，则原方程可化为． 解得：，， 或， ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解决下列问题： (1)解方程； (2)已知，求的值． 【答案】(1) ， (2)4 【分析】（1）设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程可得的值，由此即可得； （2）设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程可得的值，再结合解答即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴ ，． （2）解：设，则原方程可化为， 整理得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即的值是4． 22．（10分）·（2025秋•洪山区期中）某部队进行拦截弹道模拟测试．在简化物理模型中，拦截弹从高度H（单位：m）发射，假设其沿水平方向以速度v0飞行．在水平飞行x（单位：m）后，根据自由落体公式，其在竖直方向下落的高度为hgt2（g＝10m/s2），故此时拦截弹距地面的高度y＝H﹣h．由x＝v0t，可得y与x的函数关系为y＝Hg（）2． （1）如图1，当拦截弹水平飞行1000m时，距地面高度为400m；当拦截弹水平飞行2000m时，距地面高度为100m． ①计算拦截弹发射高度H和速度v0，并推导y与x的二次函数关系式； ②若空中有一静止目标，位于拦截弹前方水平距离2200m，且距地面高度为16m处，判断拦截弹能否击中该飞行物，并说明理由； （2）在不改变第（1）问y与x的二次函数图象形状的前提下，若被拦截目标位于拦截弹前方水平距离2000到3000m之间（含两端点），且距地面高度为300m，拦截弹发射高度H为多少时，可能击中被拦截目标（如图2），请直接写出H的范围是　700≤H≤1200　 ． 【答案】（1）①，H＝500m；yx2+500； ②拦截弹能击中该飞行物．理由如下： 当x＝2200时，代入函数式yx2+500， ∴y＝500500﹣484＝16， ∴拦截弹能击中该飞行物； （2）700≤H≤1200． 【分析】（1）①依据题意，根据函数，结合x＝1000，y＝400和x＝2000，y＝100，从而可以计算得解； ②依据题意，当x＝2200时，代入函数式，可得y＝14001400﹣484＝916≠16，进而可以判断得解； （2）依据题意，由抛物线的形状不变，即二次项系数为，从而可设新函数为，故当x＝2000，y＝300时，即300＝H；又当x＝3000，y＝300时，即300＝H，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）①由题意，根据函数， ∴代入x＝1000，y＝400和x＝2000，y＝100， ∴． ∴，H＝500m． ∴函数关系式为：yx2+500； ②当x＝2200时，代入函数式yx2+500， ∴y＝500500﹣484＝16， ∴拦截弹能击中该飞行物． （2）由题意，∵抛物线的形状不变，即二次项系数为， ∴可设新函数为． ∴当x＝2000，y＝300时，即300＝H； 当x＝3000，y＝300时，即300＝H． ∴H的范围是700≤H≤1200． 故答案为：700≤H≤1200． 23．（2025秋•武昌区校级期中）某商店销售一种中性笔，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，这种中性笔的月销售量y（支）是售价x（元/支）的一次函数，其售价x（元/支）、月销售量y（支）、月销售利润w（元）的部分对应值如下表．[注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）] 售价x元/支） 30 32 月销售量y（支） 200 180 月销售利润w（元） 2000 2160 （1）中性笔的进价为　20　 元，y关于x的函数关系式为y＝﹣10x+500　 ； （2）商店销售这种中性笔月销售利润是否存在最大值，若存在，求出售价x的值，若不存在，请说明理由； （3）现商店决定每销售1支中性笔就捐赠m元利润（m≤5）给“爱心助学”活动，要求在售价不超过37元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】（1）20，y＝﹣10x+500； （2）存在，x＝35； （3）3＜m≤5． 【分析】（1）设进价为a元/支，由销售表列方程求解即可得到答案；设y关于x的函数关系式为y＝kx+b，将（30，200）、（32，180）代入关系式列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）由题意，得到w＝﹣10（x﹣35）2+2250，根据二次函数图象与性质求最值即可得到答案； （3）由题意，得到新的销售利润，由二次函数图象与性质得到当时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，列不等式求解即可得到答案． 【解答】解：（1）设进价为a元/支， 则由销售表可得（30﹣a）×200＝2000， 解得a＝20； 设y关于x的函数关系式为y＝kx+b， 将（30，200）、（32，180）代入关系式可得， 解得， 则y关于x的函数关系式为y＝﹣10x+500； 故答案为：20，y＝﹣10x+500； （2）存在， 由题意可得w＝（x﹣20）y ＝（x﹣20）（﹣10x+500） ＝﹣10x2+700x﹣10000 ＝﹣10（x2﹣70x+1225）+2250 ＝﹣10（x﹣35）2+2250， ∵﹣10＜0， ∴二次函数图象开口向下，当x＝35时，函数值w有最大值； （3）∵要求在售价不超过37元， ∴0≤x≤37， 新的销售利润w′＝（x﹣20﹣m）y ＝（x﹣20﹣m）（﹣10x+500） ＝﹣10x2+（700+10m）x﹣（10000+500m） ＝﹣10[x2﹣（70+m）x]﹣（10000+500m） ∵﹣10＜0， ∴二次函数图象开口向下，对称轴为， 则当时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大， ∴， 解得m＞3， ∴m的取值范围3＜m≤5． 24．（2025秋•洪山区期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3），B（﹣1，0），D（2，3），抛物线与x轴另一交点为E，经过E点的直线l将平行四边形ABCD分割成面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F，P为直线l上方抛物线上一点，设点P横坐标为t． （1）求抛物线的解析式． （2）求F点坐标． （3）t为何值时，△PFE面积最大？ 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3； （2）F（，）； （3）当t时，△PEF的面积最大． 【分析】（1）由A，B，C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由A，C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，联立解析式列方程组即可解答； （3）如图1，作PH⊥x轴于点H，交直线l于点M，作FN⊥PH于点N，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质即可解答． 【解答】解：（1）把A（0，3），B（﹣1，0），D（2，3）代入抛物线y＝ax2+bx+c中得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）∵A（0，3），D（2，3）， ∴BC＝AD＝2， ∵B（﹣1，0）， ∴C（1，0）， ∴线段AC的中点为（，）， ∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分， ∴直线l过平行四边形的对称中心，即直线l经过线段AC的中点， ∵抛物线对称轴为直线x＝1， ∴E（3，0）， 设直线l的解析式为y＝kx+m， 把E点和（，）代入可得：， 解得：， ∴直线l的解析式为yx， 联立直线l和抛物线解析式可得：， 解得：（不符合题意舍去）或， ∴F（，）； （3）如图1，作PH⊥x轴于点H，交EF于M，作FN⊥PH于N， ∵P点横坐标为t， ∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，t）， ∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（t）＝﹣t2t， ∴S△PEF＝S△PFM+S△PEM PM•FNPM•EH PM•（FN+EH） （﹣t2t）（3） （t）2， ∴当t时，△PEF的面积最大； 学科网（北京）股份有限公司 $