专题06 一元二次方程章末48道压轴题型专训（6大题型）-2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题06 一元二次方程章末48道压轴题型专训（6大题型） 目录 压轴题型・根满分计划 题型一、根判别式综合含参问题 2 题型二、换元法解可转化为一元二次方程的方程 2 题型三、配方法综合应用 3 题型四、一元二次方程实际应用 4 题型五、根与系数关系（韦达定理）求值问题 5 题型六、一元二次方程的新定义阅读理解问题 6 【经典例题一 根判别式综合含参问题】 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）现要在关于x的一元二次方程中的“”内填入一个实数． (1)若“”内填入0，请求出方程的根； (2)在“”内填入一个合适的数，使此方程有两个相等的实数根，确定“”内的值及方程的根． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为符合条件的最小整数，且该方程的一根是另一根的倍，求的值． 3．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）若一元二次方程右边被污染，其中“”表示一个常数． (1)若“”表示，求的值； (2)若这个方程有两个实数根，求“”的最小值． 4．（25-26八年级下·山东威海·期末）解决下列问题： (1)已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)以下是小明在解方程时的解答过程． 解：原方程可化为， 两边同除以，得： 解得：． 小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 5．（25-26八年级下·广西崇左·期中）定义：若一元二次方程满足，则称该方程为“和谐方程”． (1)下列方程属于“和谐方程”的是 ；（填序号） ①；②；③ (2)求证：和谐方程总有实数根； (3)已知一元二次方程为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系． 6．（25-26八年级下·吉林·期末）如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． (2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 7．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）阅读理解： 已知是关于x的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为，记为．例如：若，则的导出多项式． 根据以上信息，回答问题： (1)若，则它的导出多项式______； (2)设是的导出多项式． ①若，求关于x的方程的解； ②已知是关于x的二次多项式，且关于x的方程有两个相等的实数根，求a的值． 8．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）阅读材料，回答问题 双二次方程又称“准二次方程”，是移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程，其一般形式为：．下面我们来看解双二次方程：． 解：令，原方程化为 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， 所以，原方程的解为， 已知关于的双二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)如果该方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，求的值； (3)填空：如果该方程无实数根，则的取值范围是________________． 【经典例题二 换元法解可转化为一元二次方程的方程】 9．（25-26八年级下·北京·课后作业）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为．解得． 当时，．∴．∴； 当时，，∴，∴． ∴原方程的解为，，，． 解方程：． 10．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设，则原方程可化为． 解得：，， 或， ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解决下列问题： (1)解方程； (2)已知，求的值． 11．（25-26八年级下·广西贺州·期中）在编程课上，同学们用代码控制虚拟机器人移动，机器人的坐标需满足特定数学条件．已知机器人初始坐标由二次根式表达式确定，运动轨迹满足一元二次方程模型． (1)若机器人的横坐标满足，纵坐标满足，求机器人的初始坐标； (2)机器人沿直线运动时，其到原点的距离（单位：米）与运动时间（单位：秒）满足方程．若时机器人到达目标位置，求出运动时间（为正整数）．（提示：我们可以将“”看作一个整体，用“换元法”求解）． 12．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根． 13．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两个根的3倍． 解：设所求方程的根为，则， 把代入，得，化简得， 这种利用方程的代换求新方程的方法称为“换元法”．请按照这种方法解决下列问题． (1)已知方程的两个根分别为和，求一个关于的方程，使得它的两个根分别为：，，则所求方程为___________（要求写成二次项系数为1，且为一般形式）． (2)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根与已知方程的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 14．（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）解某些一元二次方程时，若方程中含有相同的整体（如、等），可设这个整体为，把原方程化为关于的一元二次方程，先解出，再代回求，这种“以简驭繁”的方法叫换元法． 例：解方程： 解：设，原方程化为，即，得，． ①当时，，即，解得 ②当时，，即，因，无实数根，舍去． ∴原方程的解为或． (1)已知，求的值； (2)解方程：； (3)解方程：． 15．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）综合与实践 我们把利用方程根的代换求新方程的方法称为换根法，核心解题步骤为：设新方程的根为y，根据根的对应关系，用含y的代数式表示原方程的根x；将x代入原方程，化简后得到关于y的新方程． 例：已知方程，求根为原方程根2倍的新方程． 解：设新方程的根为y，则，即，代入原方程得，化简得，即为所求方程． (1)基础应用 已知方程，用换根法求一个一元二次方程，使它的根是原方程根的相反数； (2)能力提升 已知方程，用换根法求一个新的一元二次方程，使它的根分别比原方程的根大1； (3)综合拓展 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为1和3，求一元二次方程的两实数根． 16．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变量称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如：解方程组，令，． 原方程组化为，解得， 把代入，，得，解得． 原方程组的解为． (1)解方程组； (2)解方程组． 【经典例题三 配方法综合应用】 17．（26-27九年级上·全国·课后作业）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 18．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有广泛的应用． 如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，， 所以，所以当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： (1)用配方法求的最小值； (2)已知，，请比较A与B的大小； (3)已知，求代数式的最大值． 19．（24-25九年级上·广东阳江·阶段检测）小明在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或1时，的值均为4：当，即或0时，的值均为7，于是小明给出一个定义：关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于_______对称；若关于x的多项式关于对称，求n的值； (2)若整式关于对称，求实数a的值． 20．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有成立，所以，当时，有最小值． 【应用】 （1）代数式有最小值时，______； （2）代数式的最小值是______； 【探究】 求代数式的最小值，小明是这样做的： ． ∴当时，代数式有最小值，最小值为5． （3）请你参考小明的方法，求代数式的最小值，并求此时a的值． 21．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）解答： 例： ， 请你参考黑板中老师书写的变形，解答下列问题； 探究： （1）无论x取何值，试说明代数式的值一定是负数； 应用： （2）记某个正方形的面积为，边长为，某个矩形的面积为，若该矩形的一边长比正方形的边长少3，另一边长为6，请比较与的大小，并说明理由． 22．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】求代数式的最小值； (2)【举一反三】利用一面长度为的墙，用长的篱笆，怎样围成一个面积最大的矩形场地？最大面积是多少？ 23．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可将多项式变形为的形式，我们把这样的变形叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法可解决一些多项式的最大值或最小值等问题．例如：当为何值时，多项式的值最小并求出最小值． 解：，无论为何值，， 当，即时，的值最小，且最小值为-3． 根据以上材料，解答下列问题： (1)当_____时，的值最大，且最大值为_____； (2)用多项式的配方法将多项式化成的形式，并求出当x为何值时，多项式的值最小及最小值； (3)求证：无论，取任何实数，多项式的值总为正数． 24．（24-25九年级上·广东佛山·阶段检测）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是． (1)【直接应用】代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)【类比应用】若多项式，试求的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【经典例题四 一元二次方程实际应用】 25．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 26．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）一商场以20元的进价进一批纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨2元，就少卖20个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且为更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ (2)商场改变销售策略，在不改变（1）销售价格的基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 27．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，要求使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为54平方米的花圃，那么的长为多少米？ (2)能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由 28．（25-26九年级上·广东清远·期末）某教育局组织教职工男子篮球比赛． (1)本次比赛采用单循环赛制（参赛的每两支队之间要比赛一场），共安排了28场比赛，问：有多少支队参加比赛? (2)在比赛场地边，东南西北四个角落分别划分一个大小一样的正方形观众席，已知观众席的总面积是400平方米，求每个正方形的边长． 29．（22-23九年级上·重庆开州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 30．（26-27九年级上·重庆·期中）某社区为推进终身学习，分两批采购科普类和艺术类学习资料．第一批采购时，科普类资料订购量比艺术类资料的3倍多200本，科普类资料单价为12元，艺术类资料单价为20元，总计支出13600元． (1)求第一批采购的艺术类资料和科普类资料各多少本？ (2)第二批采购时，正值“全民学习月”活动，科普类资料需求增加，单价有所上涨．社区决定，若科普类资料单价每上涨2元，采购数量就比第一批减少40本．艺术类资料单价不变，采购数量比第一批增加，最终第二批采购总资金比第一批增加了4640元，且科普类资料采购单价不超过20元，求科普类资料的采购单价为多少元？ 31．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B同时出发，求经过几秒， (1)点P，Q之间的距离为？ (2)的面积等于？ 32．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）阅读材料：我国古代数学家赵爽所作《勾股圆方图注》利用弦图的面积关系，形成了求解一元二次方程的古法．以方程为例，变形得，如图1，取四个全等矩形，邻边为x和，每个矩形面积为15．把这四个矩形按弦图拼接，外围构成一个大正方形，内部出现小正方形．由面积关系：大正方形面积四个矩形面积中间小正方形面积，即，解得正数解． 【应知必会】 (1)如图2，结合材料中的弦图解法，对方程变形得，拼接图形后，下列说法正确的有________（多选） A．所用矩形的长为，宽为x    B．中间小正方形的边长为3，面积为9 C．外围大正方形的边长为    D．四个矩形的总面积为10 【实战演练】 (2)如图3，四个全等矩形按弦图拼接，已知大正方形的周长为20，中间小正方形边长为1．设矩形较短边长为x，列出形如的方程，则________，________． 【拓展拔高】 (3)如图4，四个全等矩形按弦图拼接，外围形成一个大正方形，内部围成一个小正方形．已知大正方形面积与内部小正方形面积之和为104，若将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24．求原矩形两条边的长度． 【经典例题五 根与系数关系（韦达定理）求值问题】 33．（2026·北京·模拟预测）关于的方程，有个实数根．某数学小组对根与系数的关系进行探究． 当时，这一性质也称作韦达定理 设：该方程的两个实数根为和 有，展开得①______ 又由题知 故②______ (1)请你补全证明过程； (2)当，求（用系数表示）； (3)直接写出的值（用系数表示）． 【答案】(1) ， 展开得， 又由题知， 故； (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，一元二次方程的根与系数的关系，整式的规律探究等知识．熟练掌握多项式乘多项式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． （1）按照步骤求解作答即可； （2）当，，设该方程的三个实数根为，和，则，展开得，，即，计算求解即可； （3）由（1）可知，，由（2）可知，，进而可推导一般性规律为，然后作答即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：当，， 设该方程的三个实数根为，和， ∴， 展开得，， ∴， 解得，； （3）解：由（1）可知，， 由（2）可知，， ∴可推导一般性规律为， ∴的值为． 34．（25-26八年级下·山东淄博·期中）知识回顾： （1）对于一元二次方程（），当时，它的求根公式为 　　，求根公式不仅可以由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的关系．若方程的两个根为，，则满足：①　　；②　　．（这也称作韦达定理，是由世纪法国数学家韦达发现的）．请利用一元二次方程的求根公式证明韦达定理； 知识应用： （2）已知一元二次方程的两根分为，，求的值． 【答案】（1），，；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程求根公式及根与系数关系，数量掌握求根公式是求解的关键． （1）利用一元二次方程的求根公式和根与系数的关系求解； （2）先利用根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：（1）对于一元二次方程（），当时，它的求根公式为， 若方程的两个根为x1，x2，则满足①；②． 证明如下：一元二次方程（）， 当时，， ∴，， ∴， 故答案为：，，； （2）根据根与系数的关系得，， ∴． 35．（25-26八年级上·上海浦东新·阶段检测）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程5x2+3x﹣2＝0的两个根分别是x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1x2＝，以上定理称为韦达定理．例如：已知方程5x2+3x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则：x1+x2＝﹣＝﹣，x1x2＝＝＝﹣ 请阅读后，运用韦达定理完成以下问题： （1）已知方程4x2﹣3x﹣6＝0的两根分别为x1，x2，求x1+x2和x1x2的值． （2）已知方程x2+3x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，求的值． （3）当k取何值时，关于x的一元二次方程3x2﹣2（3k+1）x+3k2﹣1＝0的两个实数根互为倒数？ 【答案】（1），；（2）；（3）． 【分析】（1）分别利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． （2）先把所求的代数式变形为含有和的形式，然后利用根与系数的关系进行解答． （3）依据题意可得，解关于的一元二次方程即可． 【详解】解：（1），； （2），， ； （3）关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数， ， ， 解得． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及解一元二次方程，根与系数的关系中，，中、、所表示的意义是解题的关键． 36．（24-25八年级下·云南昆明·期末）某数学小组对根与系数的关系进行探究，关于x的方程有n个实数根，且有．其中为该方程各项系数．当时，这一性质也称作韦达定理． 设：当时，有方程， 该方程有两个实数根和，且， 展开得， 即， 又由题知， 则， 故，． 当，求式子和的值(用系数表示)． 【答案】， 【分析】本题考查了高次方程根与系数的关系．解题的关键是通过展开因式分解形式的方程，与原方程对比系数，推导根的乘积之和及根的乘积的表达式． 设三次方程为表示为展开因式分解式，整理为多项式形式；对比原方程系数，求出和与系数的关系． 【详解】解：由题意，当时，方程为． 又设该方程有三个实数根， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴，． 37．（25-26九年级上·四川内江·期中）【背景】法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在其著作《论方程的识别与订正》中提出了说明一元二次方程中根与系数之间关系的韦达定理．根据韦达定理，不仅可以根据已知的一元二次方程求出两根的和与乘积，还可以根据两根的和与乘积构造一元二次方程． 【探究】写出符合条件的一元二次方程，使得其两根、满足： ①，，方程：__________； ②，，方程：__________． 【应用】，，若，求的值． 【推广】若实数、、满足，，求正数的最小值． 【答案】探究：①；②；应用：；推广：2 【分析】本题考查了一元二次方程中根与系数和根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程中根与系数之间关系，和根的判别式． 探究：根据一元二次方程的两个根构造方程；根据一元二次方程的两个根构造方程； 应用：先求出，，则，为方程的两根，由方程的解代入方程得到，，然后整体代入得到，据此即可求解； 推广：由，，转化为，是关于方程的两根，然后用根的判别式即可求解． 【详解】解：探究：∵，， ∴构造一元二次方程为：，即， ∴， 故答案为：； ∵，， ∴构造一元二次方程为：，即， ∴ 故答案为：； 应用：∵，， ∴，， ∴，为方程的两根， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∴， 解得：； 推广：∵，， ∴，， ∴，为方程的两根， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：正数的最小值为． 38．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）阅读下列材料，完成问题： 材料1：对于一元二次方程，若它有两个实数根和，根与系数的关系（韦达定理）为：，． 材料2：已知一元二次方程（m、n为常数），定义其“关联函数”为且该方程的两个实数根为，． 根据以上内容，解答下列问题： (1)一元二次方程的两个实数根为，，则__________，__________． (2)若方程的一个根为1，且关联函数的图象过点，求、的值． (3)设关联函数的图象与轴的交点为，请直接写出点的坐标；若方程的两根满足，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）根据韦达定理找到对应的系数，代入公式计算即可； （2）将方程的根代入方程，将点坐标代入函数解析式，得到关于、的方程，联立求解即可； （3）根据函数图象与轴相交时横坐标为0，写出点的坐标；根据韦达定理写出的根与系数的表达式，再利用完全平方公式结合，最后根据有两根时，求解的取值范围． 【详解】（1）解：由题意，，，对于， ，， 故，． （2）方程的一个根为1， 将代入， 得，即， 由于函数的图象过点，将点代入函数， 得，即 联立，解得， 故，． （3）函数图象与轴相交时，横坐标为0，将代入可得，， ； 对于，根据韦达定理有， ， 由完全平方公式可得，， 由于的两根满足， 结合完全平方公式可得，， 即， 由于方程有两根， ， 即， 解得． 【点睛】此题主要考查了韦达定理，解二元一次方程组，解不等式，完全平方公式的应用，熟练应用韦达定理是解题的关键． 39．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，，则． 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将、看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解： 一元二次方程的两个根为，，则______，______，______． （2）类比应用：已知实数、满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知，是一元二次方程的两个实数根．直接写出使的值为整数的实数的整数值． 【答案】（1），，；（2）；（3）实数的整数值为或或 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，可得，从而得到，再由，即可求解； （3）由根的判别式求得，再利用根与系数的关系求得，得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）一元二次方程的两个根为，， ，， ； 故答案为：，，； （2）由题知，和可看成方程的两个实数根， ，． ， ， ． 所以． 故的值为． （3）根据题意得且，解得， ，， ∴， ∴， 为整数，为整数， ， 解得， 又， 的整数值为或或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，根的判别式以及利用根与系数关系求代数式的值，根据代数式的结构特征恒等变形为已知代数式的形式是解决问题的关键． 40．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数a、b、c之间存在以下关系： ①两根的和：；②两根的积：． 这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（）． 解决问题： (1)验证关系： 给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和； (2)应用关系： 若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式______________________； (3)能力素养： 学习了根与系数的关系后，陶老师布置了一道课后思考题，题目是：和是关于x的方程的两个实数根，且，求a的值． 小秦同学的解法如下： 解：和是关于x的方程的两个实数根， ∵，，又∵，∴， 则，即，解得，． 你认为小秦同学的解法是否正确？如果正确，请写出数学理论依据；如果不正确，请写出错因并改正． 【答案】(1)是； (2)（答案不唯一）； (3) 小秦同学的解法不正确， 理由：， ∴，， 又∵， ∴， 则，即， 解得：，， 又∵，解得：， ∴． 【分析】此题考查了一元二次方程中根与系数和根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程中根与系数之间关系和根的判别式． （1）根据求根公式求出的两个根，再根据题意求出和即可； （2）根据题意解答即可； （3）根据题意得出，解答即可． 【详解】（1）解：， 则， 即，， ∴， ； （2）解：∵一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1， ∴设一元二次方程的一般式是， ∴， 解得：， ∴这个一元二次方程的一般形式为； （3）略 【经典例题六 一元二次方程的新定义阅读理解问题】 41．（25-26九年级上·山东聊城·期中）定义：若关于x的一元二次方程满足，则称这样的方程为“归零方程”． (1)一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”；一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”； (2)已知关于x的一元二次方程是“归零方程”，且m是这个“归零方程”的一个根，求m的值． 42．（25-26八年级下·全国·课后作业）新定义：若关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；若关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (2)若一元二次方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，求，的值． 43．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）综合与实践 新定义：若一元二次方程的两个根为，且满足，则称该方程为“和谐方程”． (1)判断方程是不是“和谐方程”，并说明理由． (2)已知关于的方程有两个不相等的实数根． ①求的取值范围． ②若关于的方程是“和谐方程”，求的值． 44．（26-27九年级上·全国·课后作业）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 45．（2026·福建龙岩·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．比如：一元二次方程的两根分别为，，则，，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，若它的“再生韦达方程”二次项的系数为1，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程” ，若它的“原生方程”二次项的系数为1．求它的“原生方程”．           46．（24-25八年级下·全国·期中）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简． 读完这段文字，请解答以下问题： (1)填空： ， ， ， ； (2)在复数范围内解方程：； (3)在复数范围内解方程：． 47．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）阅读理解： 材料1：如果实数m，n满足 ，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m，n看作是此方程的两个不相等的实数根． 材料2：关于x的一元二次方程 ，当时，该方程的正根称为黄金分割数．黄金分割数广泛应用于建筑、艺术、设计、经济等多个领域． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数a，b满足：，且，则 ． (2)求黄金分割数； (3)已知实数m，n，t，满足：，且，求的取值范围． 48．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，(x，y是整数)，所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：； 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题∶ 【解决问题】 (1)下列各数中，“完美数”有 (只填序号)； ①；    ②；     ③． 【探究问题】 (2)若可配方成，为正整数），则的值为 ； (3)已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【拓展应用】 (4)已知实数，均满足，求代数式 的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一元二次方程章末48道压轴题型专训（6大题型） 目录 压轴题型・根满分计划 题型一、根判别式综合含参问题 2 题型二、换元法解可转化为一元二次方程的方程 2 题型三、配方法综合应用 3 题型四、一元二次方程实际应用 4 题型五、根与系数关系（韦达定理）求值问题 5 题型六、一元二次方程的新定义阅读理解问题 6 【经典例题一 根判别式综合含参问题】 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）现要在关于x的一元二次方程中的“”内填入一个实数． (1)若“”内填入0，请求出方程的根； (2)在“”内填入一个合适的数，使此方程有两个相等的实数根，确定“”内的值及方程的根． 【答案】(1)， (2)“”内的值为1，方程的根 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）设在“”内填入的数为m，利用判别式求出m的值，再解方程求出方程的根即可． 【详解】（1）解：由题意得，原方程为， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：设在“”内填入的数为m， 由题意得，， ∴， ∴原方程为， ∴， 解得． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为符合条件的最小整数，且该方程的一根是另一根的倍，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】根据方程的根的判别式，然后解不等式即可； 由，则最小整数的值为，此时关于的一元二次方程为，然后解得，，再根据该方程的一根是另一根的倍列方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ∴的取值范围为； （2）解：∵， ∴最小整数的值为， 此时关于的一元二次方程为， ， ， 解得，， ∵该方程的一根是另一根的倍， ∴或， 解得或， ∴的值为或． 3．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）若一元二次方程右边被污染，其中“”表示一个常数． (1)若“”表示，求的值； (2)若这个方程有两个实数根，求“”的最小值． 【答案】(1)，； (2)． 【详解】（1）解：∵“”表示，， ∴，即， 解得：，； （2）∵令“”表示的数为， ∴，整理得：， ∵方程有两个实数根， ∴， ∴，解得：， ∴的最小值为， ∴“”的最小值为． 4．（25-26八年级下·山东威海·期末）解决下列问题： (1)已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)以下是小明在解方程时的解答过程． 解：原方程可化为， 两边同除以，得： 解得：． 小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】(1)； (2)小明的解答有错误， 正确解答过程如下： 原方程可化为， 移项得， 提取公因式得， 因此或， 解得，． 【分析】（1）利用根的判别式求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴． 解得， ∴m的取值范围是； （2）略 5．（25-26八年级下·广西崇左·期中）定义：若一元二次方程满足，则称该方程为“和谐方程”． (1)下列方程属于“和谐方程”的是 ；（填序号） ①；②；③ (2)求证：和谐方程总有实数根； (3)已知一元二次方程为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系． 【答案】(1)①③ (2) 证明：∵该方程为和谐方程， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴和谐方程总有实数根； (3) 【分析】（1）根据“和谐方程”的定义判断即可； （2）求出，根据平方的非负性作答即可； （3）根据“该方程有两个相等的实数根”得到，进而根据“和谐方程”的定义得到，根据完全平方公式得到，即可得到a，c的数量关系． 【详解】（1）解：①，是“和谐方程”； ②，不是“和谐方程”； ③，是“和谐方程”； ∴属于“和谐方程”的是①③； （2）略 （3）解：∵该方程有两个相等的实数根 ∴， 即． ∵方程为和谐方程， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴a，c的数量关系为． 6．（25-26八年级下·吉林·期末）如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． (2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 【答案】(1)①④ (2)证明：∵ 完美方程是有两个相等解的同族方程，即有两个相等的实数解， ∴ ，即． ∵ 有意义， ∴ ． ∴ ． 故对任意一个完美方程，总有 (3)正整数的值为1或3 【分析】（1）分别解四个方程即可得解； （2）由题意可知根的判别式，从而求出； （3）求解这个一元二次方程，再根据同族方程定义即可得解． 【详解】（1）解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故①是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故②不是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故③不是同族方程； 解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故④是同族方程； 故是同族方程的是①④； （2）略 （3）由一元二次方程得：，， 解得：， ∵一元二次方程属于同族方程， ∴是整数， ∴正整数k的值为1或3． 7．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）阅读理解： 已知是关于x的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为，记为．例如：若，则的导出多项式． 根据以上信息，回答问题： (1)若，则它的导出多项式______； (2)设是的导出多项式． ①若，求关于x的方程的解； ②已知是关于x的二次多项式，且关于x的方程有两个相等的实数根，求a的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据新定义，进行求解即可； （2）①先根据新定义，求出，再根据，进行求解即可；②先求出，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴，解得； ②∵， ∴， ∵， ∴， 整理，得， ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，解得或． 8．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）阅读材料，回答问题 双二次方程又称“准二次方程”，是移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程，其一般形式为：．下面我们来看解双二次方程：． 解：令，原方程化为 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， 所以，原方程的解为， 已知关于的双二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)如果该方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，求的值； (3)填空：如果该方程无实数根，则的取值范围是________________． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，因式分解法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先模仿题干过程，得出，再整理得，然后运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）由得出，因为关于的双二次方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，故，代入求出，最后把代入，解得； （3）依题意，，令，原方程化为，此时，无实数根，整理得，又因为，当时，则有最小值，且要大于0，才能满足，无实数根，故，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 即， 令，原方程化为， ∴， 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， ∴原方程的解为或 （2）解：∵， ∴， ∵关于的双二次方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根， ∴， 解得， ∴ ∴ 解得， 依题意，把代入， 得， ∴， 解得； （3）解：依题意，， 令，原方程化为，此时， 即，无实数根， ∴ ， 又∵， 当时，则有最小值，且要大于0，才能满足，无实数根， ∴， 则， ∴， 解得． 【经典例题二 换元法解可转化为一元二次方程的方程】 9．（25-26八年级下·北京·课后作业）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为．解得． 当时，．∴．∴； 当时，，∴，∴． ∴原方程的解为，，，． 解方程：． 【答案】， 【分析】将视为一个整体，然后设，则原方程化为．求得方程的解，进一步分析探讨得出答案即可． 【详解】解：， 设，则原方程化为． 解得， 当时，．解得： ； 当时，，此方程无解． 因此原方程的解为，． 10．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设，则原方程可化为． 解得：，， 或， ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解决下列问题： (1)解方程； (2)已知，求的值． 【答案】(1) ， (2)4 【分析】（1）设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程可得的值，由此即可得； （2）设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程可得的值，再结合解答即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴ ，． （2）解：设，则原方程可化为， 整理得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即的值是4． 11．（25-26八年级下·广西贺州·期中）在编程课上，同学们用代码控制虚拟机器人移动，机器人的坐标需满足特定数学条件．已知机器人初始坐标由二次根式表达式确定，运动轨迹满足一元二次方程模型． (1)若机器人的横坐标满足，纵坐标满足，求机器人的初始坐标； (2)机器人沿直线运动时，其到原点的距离（单位：米）与运动时间（单位：秒）满足方程．若时机器人到达目标位置，求出运动时间（为正整数）．（提示：我们可以将“”看作一个整体，用“换元法”求解）． 【答案】(1) (2) 运动时间为秒，秒或秒 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，即被开方数非负，求出的值，再计算得到，通过解方程求出，即可得到初始坐标； （2）利用换元法，将看作整体，先求解整体的值，再解关于的一元二次方程，最后筛选出符合要求的正整数解即可． 【详解】（1） 解：二次根式有意义需满足被开方数非负，因此可得 ， 解得， 将代入，得； 对两边平方得，解得； ∴机器人的初始坐标为； （2）解：当时，原方程为 ， 设，方程化为， 因式分解得， 解得或； 当时，得， 整理得， 因式分解得， 解得或（为正整数，舍去）； 当时，得， 整理得， 因式分解得， 解得或； 综上，运动时间为秒，秒或秒． 12．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． （1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）根据方程根的定义得到，则，即可求出答案； （3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根是，则， 所以， 把代入， 得； （2）解：关于的一元二次方程有一个实数根为2025， ， ， 是方程的实数根． 故答案为：． （3）解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2， ， ， 方程 化为：方程， 整理得， 因式分解得， 解得． 13．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两个根的3倍． 解：设所求方程的根为，则， 把代入，得，化简得， 这种利用方程的代换求新方程的方法称为“换元法”．请按照这种方法解决下列问题． (1)已知方程的两个根分别为和，求一个关于的方程，使得它的两个根分别为：，，则所求方程为___________（要求写成二次项系数为1，且为一般形式）． (2)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根与已知方程的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【答案】(1) (2)所求方程为 (3)关于的一元二次方程的两个实数根为 【分析】本题主要考查了定义新运算，一元二次方程的计算，理解定义新运算的概念及计算，掌握解一元二次方程的方法是关键． （1）根据题意得到，结合题意的计算即可求解； （2）令方程的根为，设所求方程的根为，结合题意的计算即可求解； （3）根据题意变形得到关于的一元二次方程为，结合题意的计算即可求解． 【详解】（1）解：关于的方程，两个根分别为：，， ∴， 关于的方程的两个根分别为和， ∴， 解得，， ∴所求方程为， 故答案为：； （2）解：令方程的根为，设所求方程的根为， ∴，则， ∴， 整理得，，即， ∴所求方程为； （3）解：关于的一元二次方程变形得， ， 由（2）可知，关于的一元二次方程与关于的一元二次方程的两根互为倒数， ∴与互为倒数或与互为倒数， ∴或， 解得，或， ∴关于的一元二次方程的两个实数根为． 14．（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）解某些一元二次方程时，若方程中含有相同的整体（如、等），可设这个整体为，把原方程化为关于的一元二次方程，先解出，再代回求，这种“以简驭繁”的方法叫换元法． 例：解方程： 解：设，原方程化为，即，得，． ①当时，，即，解得 ②当时，，即，因，无实数根，舍去． ∴原方程的解为或． (1)已知，求的值； (2)解方程：； (3)解方程：． 【答案】(1) (2)，，， (3)， 【分析】（1）根据“换元法”，设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后，再根据平方的非负性求解即可； （2）根据“换元法”， 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解； （3）先把原式变形为，根据“换元法”， 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】（1）解：设，原方程化为，即， 解得，， ∵， ∴． （2）解：， 设，原方程化为，即， 解得，， ①当时，，即，解得 ②当时，，即，解得，， ∴原方程的解为，，，． （3）解：， 原方程可化为， 设，原方程化为，即， 解得， ∴，即，解得， ∴，． 15．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）综合与实践 我们把利用方程根的代换求新方程的方法称为换根法，核心解题步骤为：设新方程的根为y，根据根的对应关系，用含y的代数式表示原方程的根x；将x代入原方程，化简后得到关于y的新方程． 例：已知方程，求根为原方程根2倍的新方程． 解：设新方程的根为y，则，即，代入原方程得，化简得，即为所求方程． (1)基础应用 已知方程，用换根法求一个一元二次方程，使它的根是原方程根的相反数； (2)能力提升 已知方程，用换根法求一个新的一元二次方程，使它的根分别比原方程的根大1； (3)综合拓展 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为1和3，求一元二次方程的两实数根． 【答案】(1) (2) (3)3和5 【分析】（1）用题干提供的方法进行求解即可； （2）用题干提供的方法进行求解即可； （3）将新方程变形为，对比原方程得出，根据原方程的两根为1和3，得出新方程的两个根即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为y，则， 即， 将代入原方程，得， 化简得：； （2）解：设所求方程的根为y，则， 即， 将代入原方程，得， 展开化简得：； （3）解：将新方程变形整理：， ， ， 对比原方程，可得代换关系： ，即， ∵原方程的两根为1和3， ∴新方程的两根为，， 即所求两根为3和5． 16．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变量称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如：解方程组，令，． 原方程组化为，解得， 把代入，，得，解得． 原方程组的解为． (1)解方程组； (2)解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查换元法解方程组，掌握换元法的处理过程是解题的关键． （1）找出共有的式子看成整体，这里有和． （2）找出共有的式子看成整体，这里有和，也可以看成和． 【详解】（1）解：， 移项整理得，，（将移到等式左边为，再变成负号凑成共有的式子形式） 令，， 则原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （2）解：， 方法一：移项整理得，，即， 令，，原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； 方法二：移项整理得，，即， 令，，原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得，（这里：） 原方程组的解为． 【经典例题三 配方法综合应用】 17．（26-27九年级上·全国·课后作业）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 【答案】无论取何实数，二次三项式有最大值23 【分析】将配方成，然后结合平方的非负性求解即可． 【详解】解： ， 无论取何实数，总有， ， ． ∴无论取何实数，二次三项式有最大值23． 18．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有广泛的应用． 如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，， 所以，所以当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： (1)用配方法求的最小值； (2)已知，，请比较A与B的大小； (3)已知，求代数式的最大值． 【答案】(1)的最小值为 (2) (3)当时，有最大值17 【分析】本题考查了配方法的应用，正确进行配方是解此题的关键． （1）利用配方法将所求式子配方得出，再结合，即可得解； （2）计算出，再利用配方法将所求式子配方，最后结合非负数的性质判断即可得解； （3）由得出，代入所求式子，再利用配方法将所求式子配方，最后结合非负数的性质判断即可得解． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴的最小值为； （2）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值． 19．（24-25九年级上·广东阳江·阶段检测）小明在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或1时，的值均为4：当，即或0时，的值均为7，于是小明给出一个定义：关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于_______对称；若关于x的多项式关于对称，求n的值； (2)若整式关于对称，求实数a的值． 【答案】(1)1； (2) 【分析】本题考查了配方法的应用． （1）依据题意，读懂题目，仅需配方即可得解；依据题意，由多项式，又多项式关于对称，从而可以得解； （2）将整式进行配方，然后根据定义可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴多项式关于对称； 由题意得多项式， ∴多项式关于对称， ∵多项式关于对称， ∴， ∴； 故答案为：1，； （2）解： ， ∴关于对称， 又∵关于对称， ∴． 20．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有成立，所以，当时，有最小值． 【应用】 （1）代数式有最小值时，______； （2）代数式的最小值是______； 【探究】 求代数式的最小值，小明是这样做的： ． ∴当时，代数式有最小值，最小值为5． （3）请你参考小明的方法，求代数式的最小值，并求此时a的值． 【答案】（1）1；（2）3；（3）当时，代数式有最小值，最小值为 【分析】此题考查了配方法的应用，完全平方公式，非负数的性质． （1）由可得时，取得最小值0； （2）由知可得答案； （3）把原式配方，再根据非负数的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）代数式有最小值时，， 故答案为：1； （2）代数式的最小值在时，最小值为3， 故答案为：3； （3）， ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 21．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）解答： 例： ， 请你参考黑板中老师书写的变形，解答下列问题； 探究： （1）无论x取何值，试说明代数式的值一定是负数； 应用： （2）记某个正方形的面积为，边长为，某个矩形的面积为，若该矩形的一边长比正方形的边长少3，另一边长为6，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】 （1）解： ， ，， ∴无论x取何值，代数式的值一定是负数； （2）解： 理由：由题意，得，， ， ，即， . 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． （1）利用配方法，将原式变形为，即可解答； （2）利用作差法，再将计算的结果变形，即可解答． 【详解】解：（1）略 （2）略 22．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】求代数式的最小值； (2)【举一反三】利用一面长度为的墙，用长的篱笆，怎样围成一个面积最大的矩形场地？最大面积是多少？ 【答案】(1)3 (2)当垂直于墙的一边的长为，平行于墙的一边的长为时，围成的矩形面积最大，最大为． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟知配方法是解题的关键． （1）仿照题意利用配方法求解即可； （2）设垂直于墙的一边的长为，则平行于墙的一边的长为，则矩形的面积为，据此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值是3； （2）解：设垂直于墙的一边的长为，则平行于墙的一边的长为， ∴矩形的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴当时，矩形的面积最大，最大值为， 当时，，此时符合题意， 答：当垂直于墙的一边的长为，平行于墙的一边的长为时，围成的矩形面积最大，最大值为． 23．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可将多项式变形为的形式，我们把这样的变形叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法可解决一些多项式的最大值或最小值等问题．例如：当为何值时，多项式的值最小并求出最小值． 解：，无论为何值，， 当，即时，的值最小，且最小值为-3． 根据以上材料，解答下列问题： (1)当_____时，的值最大，且最大值为_____； (2)用多项式的配方法将多项式化成的形式，并求出当x为何值时，多项式的值最小及最小值； (3)求证：无论，取任何实数，多项式的值总为正数． 【答案】(1)， (2)时，的值最小，且最小值为 (3) 证明：∵ ∵， ∴，即多项式的值总为正数． 【分析】本题考查了配方法的应用； （1）根据非负数的性质可得，进而求得的最大值； （2）根据题中给出的例题，利用完全平方公式进行配方后，再根据平方项的非负性求其最小值即可； （3）利用配方法将多项式化成后，再结合平方的非负性即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，的值最大，且最大值为； 故答案为：，． （2）解： ∵无论为何值， 当，即时，的值最小，且最小值为． （3）略 24．（24-25九年级上·广东佛山·阶段检测）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是． (1)【直接应用】代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)【类比应用】若多项式，试求的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【答案】(1)；13 (2)最小值为2018； (3)围成的菜地的最大面积是． 【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键． （1）配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用配方法把原式进行变形，再根据偶次方的非负性解答即可； （3）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，利用矩形的面积公式可得，再利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解：， 当时，代数式有最小值，最小值为， ， 当时，代数式有最大值，最大值为13， 故答案为：；13； （2）解： ， 当，时，有最小值，最小值为2018； （3）解：设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米， 根据题意得：， 当时，有最大值，最大值是， 围成的菜地的最大面积是． 【经典例题四 一元二次方程实际应用】 25．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了6个人； (2)第三轮将又有294人被传染． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有49人患了流感，可求出， （2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数． 【详解】（1）设每轮传染中平均每人传染了人， 或（舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了6个人； （2）（人． 答：第三轮将又有294人被传染． 26．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）一商场以20元的进价进一批纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨2元，就少卖20个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且为更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ (2)商场改变销售策略，在不改变（1）销售价格的基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【答案】(1)40元 (2) 【分析】（1）设涨价元，单件利润 元，销量 个，然后根据题意列一元二次方程求解即可； （2）先求出售价为40元时的初始销售量为400个，设平均增长率 ，再根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设涨价元，单件利润 元，销量 个， ， 整理得：，解得：， 由于要更大优惠让利消费者，故取较小的值 ，即涨价10元，故售价为 元． 答：售价应定为40元． （2）解： 原来销售量：个， 设平均增长率 ， 由题意可得：， 解得：或（不合题意舍去） ． 答：平均增长率为． 27．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，要求使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为54平方米的花圃，那么的长为多少米？ (2)能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由 【答案】(1)6米 (2)解：不能围成面积为90平方米的花圃，理由如下： 设米，则米， 由题意得， 整理得， 此时，即原方程无解， ∴不能围成面积为90平方米的花圃． 【分析】（1）设米，则米，根据长方形的面积公式建立方程求解即可； （2）设米，则米，根据长方形的面积公式建立方程，利用判别式判断方程是否有正根即可得到结论． 【详解】（1）解：设米，则米， 由题意得， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴； 答：的长为6米； （2）略 28．（25-26九年级上·广东清远·期末）某教育局组织教职工男子篮球比赛． (1)本次比赛采用单循环赛制（参赛的每两支队之间要比赛一场），共安排了28场比赛，问：有多少支队参加比赛? (2)在比赛场地边，东南西北四个角落分别划分一个大小一样的正方形观众席，已知观众席的总面积是400平方米，求每个正方形的边长． 【答案】(1)有8支队参加比赛 (2)每个正方形的边长为米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，算术平方根的意义； （1）设有支队参加比赛，根据采用单循环赛制，共安排了28场比赛列方程求解即可； （2）先求出每个正方形的面积，再根据算术平方根的意义求出每个正方形的边长． 【详解】（1）解：设有支队参加比赛， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 答：有8支队参加比赛； （2）每个正方形的面积是平方米， 则每个正方形的边长为米． 29．（22-23九年级上·重庆开州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 【答案】(1)张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米 (2)的值为 【分析】（1）设李大伯徒步走的速度为每分钟米，则张大伯每分钟走米，根据两人共走了米列方程，解得的值代入中计算即可； （2）结合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走米，由已知条件可得张大伯走了分钟，李大伯走了分钟，根据两人又共走了米列方程，解方程并根据实际意义确定值即可． 【详解】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟米，得 解得 ∴（米） 所以，张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米； （2）解：依题意，得 整理得 解得（舍）， 答：的值为． 【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量关系是解决问题的关键． 30．（26-27九年级上·重庆·期中）某社区为推进终身学习，分两批采购科普类和艺术类学习资料．第一批采购时，科普类资料订购量比艺术类资料的3倍多200本，科普类资料单价为12元，艺术类资料单价为20元，总计支出13600元． (1)求第一批采购的艺术类资料和科普类资料各多少本？ (2)第二批采购时，正值“全民学习月”活动，科普类资料需求增加，单价有所上涨．社区决定，若科普类资料单价每上涨2元，采购数量就比第一批减少40本．艺术类资料单价不变，采购数量比第一批增加，最终第二批采购总资金比第一批增加了4640元，且科普类资料采购单价不超过20元，求科普类资料的采购单价为多少元？ 【答案】(1)第一批采购的艺术类资料200本，科普类资料800本 (2)科普类资料的采购单价为18元 【分析】（1 ）设艺术类资料采购x本，科普类资料采购本，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果； （2 ）设科普类资料采购单价为a元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设艺术类资料采购x本，科普类资料采购本， 由题意得：， 解得，  所以 答：第一批采购的艺术类资料200本，科普类资料800本； （2）解：设科普类资料采购单价为a元， 由题意得：， 整理可得：， 解得：，， 采购单价不超过20元， ． 答：科普类资料的采购单价为18元． 31．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B同时出发，求经过几秒， (1)点P，Q之间的距离为？ (2)的面积等于？ 【答案】(1)秒或2秒 (2)2秒或4秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，三角形的面积公式． （1）设经过秒钟，、之间距离等于，根据点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，表示出和的长可列方程求解； （2）由于的面积等于，利用三角形面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：设经过秒、之间距离等于，由题意可得，，， 可得：， 整理得， 解得：，， 经检验，，均符合题意， 故经过秒或2秒、之间距离等于； （2）解：设经过秒的面积等于， 由题意可得，， ， 解得：，， 经检验，，均符合题意， 故经过2秒或4秒，的面积等于． 32．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）阅读材料：我国古代数学家赵爽所作《勾股圆方图注》利用弦图的面积关系，形成了求解一元二次方程的古法．以方程为例，变形得，如图1，取四个全等矩形，邻边为x和，每个矩形面积为15．把这四个矩形按弦图拼接，外围构成一个大正方形，内部出现小正方形．由面积关系：大正方形面积四个矩形面积中间小正方形面积，即，解得正数解． 【应知必会】 (1)如图2，结合材料中的弦图解法，对方程变形得，拼接图形后，下列说法正确的有________（多选） A．所用矩形的长为，宽为x    B．中间小正方形的边长为3，面积为9 C．外围大正方形的边长为    D．四个矩形的总面积为10 【实战演练】 (2)如图3，四个全等矩形按弦图拼接，已知大正方形的周长为20，中间小正方形边长为1．设矩形较短边长为x，列出形如的方程，则________，________． 【拓展拔高】 (3)如图4，四个全等矩形按弦图拼接，外围形成一个大正方形，内部围成一个小正方形．已知大正方形面积与内部小正方形面积之和为104，若将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24．求原矩形两条边的长度． 【答案】(1)ABC (2)1；6 (3)原矩形的长和宽分别为6和4 【分析】（1）根据方程变形及题意，结合图形依次判断即可； （2）根据题意得出矩形较长边长为：，大正方形的边长为：，然后建立方程求解得出，再结合题意代入求解即可； （3）设矩形较短边长为m，较长边长为n，得出大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，然后建立方程得出，再将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24．确定，联立求解即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意：方程变形得， A．所用矩形的长为，宽为x，正确，符合题意； B．中间小正方形的边长为，面积为，正确，符合题意； C．外围大正方形的边长为，正确，符合题意；     D．四个矩形的总面积为，选项错误，不符合题意； （2）解：∵中间小正方形边长为1．设矩形较短边长为x， ∴矩形较长边长为：， ∴大正方形的边长为：， ∵大正方形的周长为20， ∴， 解得：， ∴， ∴形如的方程为， 即； （3）解：设矩形较短边长为m，较长边长为n， ∴大正方形的边长为，内部小正方形的边长为， ∵大正方形面积与内部小正方形面积之和为104， ∴①， ∵将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24． ∴②， 联立①②， 解得：， ∴原矩形的长和宽分别为6和4． 【经典例题五 根与系数关系（韦达定理）求值问题】 33．（2026·北京·模拟预测）关于的方程，有个实数根．某数学小组对根与系数的关系进行探究． 当时，这一性质也称作韦达定理 设：该方程的两个实数根为和 有，展开得①______ 又由题知 故②______ (1)请你补全证明过程； (2)当，求（用系数表示）； (3)直接写出的值（用系数表示）． 【答案】(1) ， 展开得， 又由题知， 故； (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，一元二次方程的根与系数的关系，整式的规律探究等知识．熟练掌握多项式乘多项式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． （1）按照步骤求解作答即可； （2）当，，设该方程的三个实数根为，和，则，展开得，，即，计算求解即可； （3）由（1）可知，，由（2）可知，，进而可推导一般性规律为，然后作答即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：当，， 设该方程的三个实数根为，和， ∴， 展开得，， ∴， 解得，； （3）解：由（1）可知，， 由（2）可知，， ∴可推导一般性规律为， ∴的值为． 34．（25-26八年级下·山东淄博·期中）知识回顾： （1）对于一元二次方程（），当时，它的求根公式为 　　，求根公式不仅可以由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的关系．若方程的两个根为，，则满足：①　　；②　　．（这也称作韦达定理，是由世纪法国数学家韦达发现的）．请利用一元二次方程的求根公式证明韦达定理； 知识应用： （2）已知一元二次方程的两根分为，，求的值． 【答案】（1），，；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程求根公式及根与系数关系，数量掌握求根公式是求解的关键． （1）利用一元二次方程的求根公式和根与系数的关系求解； （2）先利用根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：（1）对于一元二次方程（），当时，它的求根公式为， 若方程的两个根为x1，x2，则满足①；②． 证明如下：一元二次方程（）， 当时，， ∴，， ∴， 故答案为：，，； （2）根据根与系数的关系得，， ∴． 35．（25-26八年级上·上海浦东新·阶段检测）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程5x2+3x﹣2＝0的两个根分别是x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1x2＝，以上定理称为韦达定理．例如：已知方程5x2+3x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则：x1+x2＝﹣＝﹣，x1x2＝＝＝﹣ 请阅读后，运用韦达定理完成以下问题： （1）已知方程4x2﹣3x﹣6＝0的两根分别为x1，x2，求x1+x2和x1x2的值． （2）已知方程x2+3x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，求的值． （3）当k取何值时，关于x的一元二次方程3x2﹣2（3k+1）x+3k2﹣1＝0的两个实数根互为倒数？ 【答案】（1），；（2）；（3）． 【分析】（1）分别利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． （2）先把所求的代数式变形为含有和的形式，然后利用根与系数的关系进行解答． （3）依据题意可得，解关于的一元二次方程即可． 【详解】解：（1），； （2），， ； （3）关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数， ， ， 解得． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及解一元二次方程，根与系数的关系中，，中、、所表示的意义是解题的关键． 36．（24-25八年级下·云南昆明·期末）某数学小组对根与系数的关系进行探究，关于x的方程有n个实数根，且有．其中为该方程各项系数．当时，这一性质也称作韦达定理． 设：当时，有方程， 该方程有两个实数根和，且， 展开得， 即， 又由题知， 则， 故，． 当，求式子和的值(用系数表示)． 【答案】， 【分析】本题考查了高次方程根与系数的关系．解题的关键是通过展开因式分解形式的方程，与原方程对比系数，推导根的乘积之和及根的乘积的表达式． 设三次方程为表示为展开因式分解式，整理为多项式形式；对比原方程系数，求出和与系数的关系． 【详解】解：由题意，当时，方程为． 又设该方程有三个实数根， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴，． 37．（25-26九年级上·四川内江·期中）【背景】法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在其著作《论方程的识别与订正》中提出了说明一元二次方程中根与系数之间关系的韦达定理．根据韦达定理，不仅可以根据已知的一元二次方程求出两根的和与乘积，还可以根据两根的和与乘积构造一元二次方程． 【探究】写出符合条件的一元二次方程，使得其两根、满足： ①，，方程：__________； ②，，方程：__________． 【应用】，，若，求的值． 【推广】若实数、、满足，，求正数的最小值． 【答案】探究：①；②；应用：；推广：2 【分析】本题考查了一元二次方程中根与系数和根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程中根与系数之间关系，和根的判别式． 探究：根据一元二次方程的两个根构造方程；根据一元二次方程的两个根构造方程； 应用：先求出，，则，为方程的两根，由方程的解代入方程得到，，然后整体代入得到，据此即可求解； 推广：由，，转化为，是关于方程的两根，然后用根的判别式即可求解． 【详解】解：探究：∵，， ∴构造一元二次方程为：，即， ∴， 故答案为：； ∵，， ∴构造一元二次方程为：，即， ∴ 故答案为：； 应用：∵，， ∴，， ∴，为方程的两根， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∴， 解得：； 推广：∵，， ∴，， ∴，为方程的两根， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：正数的最小值为． 38．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）阅读下列材料，完成问题： 材料1：对于一元二次方程，若它有两个实数根和，根与系数的关系（韦达定理）为：，． 材料2：已知一元二次方程（m、n为常数），定义其“关联函数”为且该方程的两个实数根为，． 根据以上内容，解答下列问题： (1)一元二次方程的两个实数根为，，则__________，__________． (2)若方程的一个根为1，且关联函数的图象过点，求、的值． (3)设关联函数的图象与轴的交点为，请直接写出点的坐标；若方程的两根满足，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）根据韦达定理找到对应的系数，代入公式计算即可； （2）将方程的根代入方程，将点坐标代入函数解析式，得到关于、的方程，联立求解即可； （3）根据函数图象与轴相交时横坐标为0，写出点的坐标；根据韦达定理写出的根与系数的表达式，再利用完全平方公式结合，最后根据有两根时，求解的取值范围． 【详解】（1）解：由题意，，，对于， ，， 故，． （2）方程的一个根为1， 将代入， 得，即， 由于函数的图象过点，将点代入函数， 得，即 联立，解得， 故，． （3）函数图象与轴相交时，横坐标为0，将代入可得，， ； 对于，根据韦达定理有， ， 由完全平方公式可得，， 由于的两根满足， 结合完全平方公式可得，， 即， 由于方程有两根， ， 即， 解得． 【点睛】此题主要考查了韦达定理，解二元一次方程组，解不等式，完全平方公式的应用，熟练应用韦达定理是解题的关键． 39．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，，则． 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将、看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解： 一元二次方程的两个根为，，则______，______，______． （2）类比应用：已知实数、满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知，是一元二次方程的两个实数根．直接写出使的值为整数的实数的整数值． 【答案】（1），，；（2）；（3）实数的整数值为或或 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，可得，从而得到，再由，即可求解； （3）由根的判别式求得，再利用根与系数的关系求得，得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）一元二次方程的两个根为，， ，， ； 故答案为：，，； （2）由题知，和可看成方程的两个实数根， ，． ， ， ． 所以． 故的值为． （3）根据题意得且，解得， ，， ∴， ∴， 为整数，为整数， ， 解得， 又， 的整数值为或或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，根的判别式以及利用根与系数关系求代数式的值，根据代数式的结构特征恒等变形为已知代数式的形式是解决问题的关键． 40．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数a、b、c之间存在以下关系： ①两根的和：；②两根的积：． 这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（）． 解决问题： (1)验证关系： 给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和； (2)应用关系： 若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式______________________； (3)能力素养： 学习了根与系数的关系后，陶老师布置了一道课后思考题，题目是：和是关于x的方程的两个实数根，且，求a的值． 小秦同学的解法如下： 解：和是关于x的方程的两个实数根， ∵，，又∵，∴， 则，即，解得，． 你认为小秦同学的解法是否正确？如果正确，请写出数学理论依据；如果不正确，请写出错因并改正． 【答案】(1)是； (2)（答案不唯一）； (3) 小秦同学的解法不正确， 理由：， ∴，， 又∵， ∴， 则，即， 解得：，， 又∵，解得：， ∴． 【分析】此题考查了一元二次方程中根与系数和根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程中根与系数之间关系和根的判别式． （1）根据求根公式求出的两个根，再根据题意求出和即可； （2）根据题意解答即可； （3）根据题意得出，解答即可． 【详解】（1）解：， 则， 即，， ∴， ； （2）解：∵一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1， ∴设一元二次方程的一般式是， ∴， 解得：， ∴这个一元二次方程的一般形式为； （3）略 【经典例题六 一元二次方程的新定义阅读理解问题】 41．（25-26九年级上·山东聊城·期中）定义：若关于x的一元二次方程满足，则称这样的方程为“归零方程”． (1)一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”；一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”； (2)已知关于x的一元二次方程是“归零方程”，且m是这个“归零方程”的一个根，求m的值． 【答案】(1)是，不是 (2)或 【分析】本题考查了“归零方程”的定义，一元二次方程的根及代数式的代入与化简． （1）根据“归零方程”给出的定义，判断题中的两个一元二次方程即可； （2）由是“归零方程”得出，整理得，再将代入原方程后根据m是这个“归零方程”的一个根，将m的值代入，得到一个新的一元二次方程，此时解这个一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由题意知，在中， ，，， ∴， ∴是“归零方程”， 在中， ，，， ∴， ∴不是“归零方程”，． 故答案为：是，不是． （2）解：∵是“归零方程”， ∴， ∴， ∴原方程可化为， ∵m是这个“归零方程”的一个根， ∴， 解得或． 42．（25-26八年级下·全国·课后作业）新定义：若关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；若关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (2)若一元二次方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，求，的值． 【答案】(1) (2)，或， 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义方程的应用，掌握利用韦达定理结合新定义条件，分情况讨论求解，注意根不为0的限制是解题的关键． （1）设方程的两根为和，利用韦达定理的两根和与积，代入方程系数求的值 （2）设方程的两根，根据既是倍根又是方根的条件分两种情况讨论，利用韦达定理求和的值，注意根不为0的条件． 【详解】（1）解：设方程的两个根分别为，． ∵该方程是“倍根方程”， ∴可设． ，， ，， ， ． （2）解：设方程的两个根为，． ∵这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”， ∴分以下两种情况讨论： ①当，时，得， 解得或（不合题意，舍去）， ． ，， ，； ②当，时，得， 解得或（不合题意，舍去）， ． ，， ，． 综上，，或，． 43．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）综合与实践 新定义：若一元二次方程的两个根为，且满足，则称该方程为“和谐方程”． (1)判断方程是不是“和谐方程”，并说明理由． (2)已知关于的方程有两个不相等的实数根． ①求的取值范围． ②若关于的方程是“和谐方程”，求的值． 【答案】(1)解：是和谐方程，理由如下： ， ， 解得， ∴， ∴， ∴方程是“和谐方程”. (2)①；② 【分析】（1）求出方程的根，根据新定义进行判断即可； （2）①根据方程有两个不相等的实数根，得到，即可得出结果；②根据根与系数的关系结合新定义进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：①由题意，， 解得； ②设方程的两个根为，则， ∵关于的方程是“和谐方程”， ∴， ∴， ∴， 解得或， 由①知：； ∴. 44．（26-27九年级上·全国·课后作业）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 45．（2026·福建龙岩·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．比如：一元二次方程的两根分别为，，则，，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，若它的“再生韦达方程”二次项的系数为1，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程” ，若它的“原生方程”二次项的系数为1．求它的“原生方程”． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可； （2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，       所以二次项的系数为1的“再生韦达方程”为， 即； （2）解得， 令它的“原生方程”两根分别为， 则，或． 当，则所求次项的系数为1的“原生方程”为；           当，则所求次项的系数为1的“原生方程”为． 综上所述，它的“原生方程”为或． 46．（24-25八年级下·全国·期中）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简． 读完这段文字，请解答以下问题： (1)填空： ， ， ， ； (2)在复数范围内解方程：； (3)在复数范围内解方程：． 【答案】(1)，1，，1 (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）直接根据计算即可； （2）把右边的写成求解即可； （3）利用配方法，结合求解． 【详解】（1）解：；；；； 故答案为：，1，，1； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （3）解：， ， ， ∴， 解得：，． 47．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）阅读理解： 材料1：如果实数m，n满足 ，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m，n看作是此方程的两个不相等的实数根． 材料2：关于x的一元二次方程 ，当时，该方程的正根称为黄金分割数．黄金分割数广泛应用于建筑、艺术、设计、经济等多个领域． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数a，b满足：，且，则 ． (2)求黄金分割数； (3)已知实数m，n，t，满足：，且，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程． （1）根据题意，得到实数，是方程 的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）利用公式法解一元二次方程，取正根即可； （3）根据根与系数的关系，，是方程的解，进而得到，再根据根与系数的关系和根的判别式求出的范围，即可． 【详解】（1）解：实数，满足：，， ，是方程的根， ，， ； （2）解：一元二次方程的正根称为黄金分割数， 解方程， ， ∴黄金分割数为； （3）解：实数、、满足：， ，是方程的解， ，， ， ，， 解得， ， ． 48．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，(x，y是整数)，所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：； 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题∶ 【解决问题】 (1)下列各数中，“完美数”有 (只填序号)； ①；    ②；     ③． 【探究问题】 (2)若可配方成，为正整数），则的值为 ； (3)已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【拓展应用】 (4)已知实数，均满足，求代数式 的最小值． 【答案】（1）②； （2）9； （3）解:，理由如下： ， 要使为“完美数”， 则需为完全平方式， 故， 此时，符合“完美数”定义， ； （4） 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），要使为“完美数”，则需为完全平方式，故，据此求解即可； （4），据此求解即可． 【详解】解：（1）由于②，所以②是完美数， ； 所以,不能表示成 (a，b是整数)的形式，不是完美数 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：9； （3）略 （4）， ， ， ， 当时，的最小值为2025． 学科网（北京）股份有限公司 $