专题05 实数章末56道压轴题型专训（8大题型）-2026-2027学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

专题05 实数章末56道压轴题型专训（8大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、无理数整数部分、小数部分综合求值 1 题型二、实数与数轴综合 2 题型三、非负性综合压轴 3 题型四、实数的新定义运算 4 题型五、实数大小比较及估算证明综合问题 5 题型六、算术平方根、立方根的规律探究 6 题型七、平方根、立方根的实际应用 7 题型八、实数的几何应用 8 【经典例题一 无理数整数部分、小数部分综合求值】 1．（25-26七年级下·天津·期中）已知的平方根是，的立方根为2． (1)求a与b的值； (2)如果的整数部分为，求的平方根与的小数部分的差． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）阅读下面的文字： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，所得的差，即就是其小数部分． 根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)的整数部分是________，小数部分是________； (3)若设的整数部分是，小数部分是，求的值． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）观察下面表格： 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 根据上表回答问题： (1)__________，__________，__________； (2)设的整数部分为，求的立方根． 4．（25-26七年级下·辽宁盘锦·阶段检测）阅读下面的对话，解答问题． 小红：是无理数，是无限不循环小数，因此它的小数部分我们不可能表示出来，对吗？ 小高：你说的不对，我们知道，它在2和3之间，它的整数部分是2，用它本身减去整数部分2就可以表示它的小数部分． (1)的整数部分是________，小数部分是________． (2)若的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)若的算术平方根是7，的立方根是，是的整数部分，求的平方根． 5．（25-26七年级下·广东中山·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 请解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的平方根； (3)已知，其中m是整数，且，求的值． 6．（25-26七年级下·广西河池·期中）阅读材料，完成探究任务： 我们知道，无理数是无限不循环小数，因此其小数部分无法被完整地书写出来．我们可以首先确定一个无理数的整数部分，再将该无理数减去其整数部分，所得差值即为其小数部分．例如：，的整数部分是1，的小数部分是． 【基础应用】 (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； 【综合拓展】 (2)求的整数部分； (3)已知的平方根是的立方根是是的整数部分，求的立方根． 7．（25-26七年级下·吉林·期中）阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【经典例题二 实数与数轴综合】 8．（25-26七年级下·山东德州·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是_____． (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 9．（25-26八年级上·浙江金华·期末）教材第82页的合作学习，探究发现了无理数（每一方格的边长为1个单位长度）． (1)如图1，求方格中阴影正方形的面积和它的边长． (2)请类比（1）的方法，在图2中画出实数在数轴上表示的点（保留作图痕迹）． 10．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，半径为 个单位长度的圆片上有一点与数轴上的原点重合．（所有结果均保留） (1)若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点，设点表示的数为．求的值： (2)若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：，，，，． ①第几次滚动后，点距离原点最近？第几次滚动后，点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，点运动的路程共有多少？此时点所表示的数是多少？ 11．（25-26七年级下·全国·周测）小云的作业中有一道题目如下： 请画出数轴并把实数，π，，－4，，在数轴上表示出来，再把这6个数用“＜”连接． (1)下图是小云画的数轴和标出来的4个无理数，你认为表示的是点________． (2)请你帮助小云完成剩下的任务． 12．（25-26七年级下·广东肇庆·期末）探究：如图，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)若图所得到的大正方形面积为，即小正方形的对角线长为________； (2)如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________． (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的边长________；如图，请借鉴（2）中的方法在数轴上找到点，使点所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 13．（25-26七年级下·广东珠海·期末）综合与实践． 主题：实数与数轴的对应关系．素材：一张圆形纸片． 步骤1：将直径为1的圆形纸片的接触点对准数轴原点，沿着数轴正方向无滑动完整滚动1周，滚轮上初始对准原点的标记点随之移动到数轴上点处； 步骤2：规定滚轮向右滚动的周数记作正数，向左滚动的周数记作负数，连续多次滚动记录周数依次为：，，，，； 通过滚轮滚动实验不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念、运算法则及运算律同样适合于实数．据此完成下列问题． (1)数轴上点对应的数是 ； (2)针对步骤2的连续滚动过程： ①标记点移动的总路程一共是多少个单位长度？ ②滚动全部结束后，标记点最终落在数轴上表示的数是多少？ (3)若用直径为的圆形纸片从原点开始滚动，先向右滚动3周，再额外向右滚动一小段距离，恰好到达数轴上对应的点处，求： ①额外滚动的这段距离？ ②的整数部分、小数部分，计算的值． 14．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个大正方形．       (1)则大正方形的边长为______； (2)将图1中的正方形放到数轴上，如图2，点表示的数为－1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点翻滚到数轴上时记为第二次翻滚，经过三次翻滚，点滚到数轴上的点时，点表示的数为_________； (3)是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点、、、中某个点与数轴上的2025重合？答：_________（填“存在”或“不存在”）； (4)在（2）的基础上以数2对应的点为折点，将数轴向右对折，则点与数_______对应的点重合． 【经典例题三 非负性综合压轴】 15．（2026七年级下·山东临沂·模拟预测）已知，的立方根是． (1)求的值． (2)求的平方根． 16．（25-26七年级下·重庆潼南·期中）已知某正数的两个不同的平方根是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． (3)若实数m、n、p满足条件，那么的平方根是多少？ 17．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）探究以下问题： (1)【特例探究】 _______，_______，______． (2)【规律总结】 对于实数a，当时，_______，当时，______． (3)【学以致用】 计算：． 18．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)若，求的值． 19．（24-25七年级下·浙江台州·期中）小博和小雅在求多项式的最小值时，有如下的思考： (1)根据小博的思路，请完成求多项式最小值的过程； (2)模仿上述方法，求多项式的最值． 20．（25-26八年级下·福建厦门·期中）【课本再现】 一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫作的算术平方根，记为．0的算术平方根是0，即，所以被开方数为非负数． 【探究新知】 (1)若，则的取值范围是__________． 【知识应用】 (2)若，求的值． 【拓展应用】 (3)若，求的值． 21．（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为25时，输出______． (2)是否存在输入有效的x值后，始终输不出y值？如果存在，请写出所有满足要求的x的值；如果不存在，请说明理由． (3)小明输入了下面的几个备选数据中的某一个，结果转换器运行过程中显示“该操作无法运行”，请你判断输入x的值可能是哪一个数据？请说明理由． 备选数据：，，，． (4)若小明输入了某个x的值后得到了，请你判断一下他输入x的值是否是唯一的？若不唯一，请你写出3个不同的数值． 【经典例题四 实数的新定义运算】 22．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）定义：若无理数的被开方数（N为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若整数x，y满足关系式：，求的“共同体区间”． 23．（24-25八年级上·浙江金华·期末）定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，其中是整数，且，则__________； __________ (2)若，其中是整数，且，求的值． (3)若，其中是整数，且，求的值． 24．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为连续的整数），则称无理数的“臻美区间”为，如，所以的“臻美区间”为． (1)无理数的“臻美区间”是______． (2)若一个无理数的“臻美区间”为，且满足，其中是关于的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数满足如下关系式：，求的算术平方根的“臻美区间”． 25．（25-26八年级上·上海长宁·期中）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：2.4的整数部分为2，小数分部为，的整数部分为1，小数部分可用表示，再如，的整数部分为，小数部分为，由此得到，如果，其中x是整数，且，那么，． (1)如果，其中a是整数，且，那么___________，___________． (2)已知，其中m是整数，且，求的值； (3)如果，其中c是整数，且，求出c，d的值． 26．（24-25七年级下·福建福州·期中）【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机． 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，与是互质的两个整数，且， 则，即 ① ． 因为是整数且不为0， 所以是不为0的偶数． 设（是整数，且），则． 所以 ② ． 所以也是偶数，与是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数． 27．（24-25七年级下·福建厦门·阶段检测）【阅读理解】 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 解：设，a与b是互质的两个整数，且， 则，即_________①． ∵是整数且不为， ∴是的倍数． 设（是整数，且）， 则． ∴_________②． ∴也是的倍数，与，是互质的整数矛盾． ∴是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； ①__________________；②__________________ (2)证明：是无理数． 28．（24-25七年级下·福建福州·期中）【生活发现】 （1）如图1，把两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到了一个面积为2的大正方形，则大正方形边长为______． 根据有理数的定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数． 【提出猜想】 通过不断估算，发现不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商．因此，提出猜想：不是有理数． 【数学证明】 假设：为有理数，那么存在（与是互质的两个整数，且）， 则，即． 是整数且不为0， 是2的倍数． 设（是整数，且）， 则． ． 也是2的倍数，与，是互质的整数矛盾． 不是有理数． 【类比迁移】 （2）如图2，是一个顶点与原点重合的正方形，且该正方形面积为5，请你利用尺规，在数轴上标出表示的点； （3）请你模仿上述过程，证明：不是有理数． 【经典例题五 实数大小比较及估算证明综合问题】 29．（25-26七年级下·四川广元·期末）有一个正数，它的两个互不相等的平方根分别是a和；代数式的立方根等于它本身，且；无理数的小数部分记作 c． (1)求a， b， c的值； (2)比较，，的大小，用“<”连接并说明理由． 30．（25-26七年级下·全国·周测）观察表格并回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … (1)__________，__________． (2)①已知，则__________； ②已知，若，则__________（用含m的代数式表示b）． (3)试比较与a的大小． 31．（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）如图1，探究：把两个面积为的小正方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，因此，可得大正方形的边长为．启发：把两个长为3、宽为2的长方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形． (1)求的值； (2)比较和的大小． 32．（25-26七年级下·江西南昌·期末）若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ，． ．． 请根据上述方法解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为，第二块面积为，小智想知道第一块玻璃的边长比多出的长度，与第二块玻璃的边长比少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：，，，） 33．（25-26七年级下·河北廊坊·期末）请阅读下面的文字，完成相应的任务． 怎样表示无理数的小数部分？例如：要表示无理数的小数部分，我们可以先估算它的整数部分，再用它减去整数部分，就可得到其小数部分的表示．其过程如下： ，，的整数部分为2，小数部分为． 任务一： (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 任务二： (3)课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下：解： ．因为，所以，所以， 所以，所以．我们把这种比较大小的方法称为作差法． 请利用上述方法比较实数与的大小． 34．（25-26七年级下·山东临沂·期末）根据题意解答下列问题 阅读与理解 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ，，， ． ∴能确定59319的立方根是个两位数． 步骤二 ∵59319的个位数是9，， ∴能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得．由此能确定59319的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 思路分析：仿照素材的解题步骤：先求位数，再求个位，接着求十位……以此推算即可．（参考数据：，，，，，，，，） (1)任务1：问题解决，方法迁移，已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是____________位数； ②它的立方根的十位上的数是____________； (2)任务2：解决问题，已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根． 35．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）小茗同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为的正方形的边长是且， ∴设，其中． 画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 依题意，得， ∴， ∵， ∴， 此时可忽略，得解得， ∴即的近似值是． (1)的整数部分为__________． (2)仿照小茗的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程，近似值精确到） 【经典例题六 算术平方根、立方根的规律探究】 36．（25-26七年级下·辽宁鞍山·阶段检测）数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：实践探究： (1)按照此规律，计算： ； (2)计算：； 37．（24-25七年级下·广西南宁·期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 38．（25-26七年级下·河南商丘·期末）观察下列式子： ①； ②； ③； ④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 39．（25-26八年级上·山西长治·阶段检测）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 40．（2026·安徽合肥·模拟预测）【观察思考】 如图是由长度为和的两种线段拼成的正方形图案： 【规律发现】 请用含的式子表示： （1）第个图案中需要长的线段的条数为 ； （2）第个图案中需要长的线段的条数为 ； 【规律应用】 （3）若要组成一个面积为的正方形图案，则需要这两种线段各多少条？ 41．（25-26八年级上·全国·课后作业）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框中三个位置上的数按如下方式计算： ， ， 不难发现，结果都是7．    (1)请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？ 发现图2计算结果为______；图3计算结果为______． (2)请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明． 42．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）阅读理解  我国著名数学家华罗庚善于利用数字规律快速巧算.他心算的思路如下： ①先判断位数：由，，确定是一个两位数； ②再确定个位：由59319的个位上的数是9，确定的个位上的数是9； ③最后确定十位：划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此确定的十位上的数是3； 综上，得． 迁移应用 的立方数如下表： 底数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 立方数 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 观察上表规律可知：底数的个位上的数是3时，立方数的个位上的数是7 (1)若底数的个位上的数是5，则立方数的个位上的数是______，当底数的个位上的数是_____时，立方数的个位上的数是6； (2)用上述方法求，它是_____位数，个位上的数是_____，十位上的数是_____，所以______； (3)直接写出与的值． 【经典例题七 平方根、立方根的实际应用】 43．（25-26七年级下·山东滨州·阶段检测）（1）已知与是正数的两个不同的平方根，求的值． （2）已知：的立方根是，的算术平方根是，是整数部分，求的平方根． 44．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期末）一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，表示物体的质量，单位是千克，表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名学生在匀速跑步，他的质量是千克，若动能是焦耳，求该学生的跑步速度．           45．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图1是一个立方体木块，其体积是． (1)求立方体的棱长； (2)如图2所示，在立方体木块中挖去一个圆柱体后，木块体积只剩，求圆柱体底面半径．（取3.14） 46．（25-26七年级下·湖北宜昌·阶段检测）（1）填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 由表你发现了：被开方数的小数点向右(或左)移动 位，其立方根的小数点向右(或左)移动 位； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． （3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为立方米，需要多大面积的铁皮？ a 0.001 1 1000 1000000 1 10 47．（25-26七年级下·安徽淮南·阶段检测）已知正方形A和B，其边长分别为m，，如图1．现将正方形B放在正方形A的内部得到图2，将正方形A和B并列放置后构造新的正方形得到图3． (1)若图2和图3中阴影部分的面积分别为1和24，求的值； (2)要拼一个两边长分别为和的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以m，n为边的长方形多少个？ (3)在（1）的条件下，三个正方形A和两个正方形B按如图4摆放，求阴影部分的面积． 48．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）【情境导入】据说我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道求大数的立方根的题目，并很快给出了正确答案． 【知识储备】开立方和立方互为逆运算．请补全下面表格： 整数 [应用]根据以下步骤尝试求出的立方根： 步骤一：根据，，得到的立方根是 位数； 步骤二：根据个位上的数是，得到的立方根个位上的数是 ； 步骤三：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数是 ，因此的立方根是 ． （1）将上述过程补充完整； （2）请用同样的方法求的立方根． 49．（25-26八年级上·江苏·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【经典例题八 实数的几何应用】 50．（25-26七年级下·广西玉林·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了． 51．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 52．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 53．（24-25七年级下·陕西安康·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 54．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中． （1）求_______________． （2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形． 55．（24-25七年级下·福建南平·期末）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 56．（25-26七年级下·山西大同·期中）阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 实数章末56道压轴题型专训（8大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、无理数整数部分、小数部分综合求值 1 题型二、实数与数轴综合 2 题型三、非负性综合压轴 3 题型四、实数的新定义运算 4 题型五、实数大小比较及估算证明综合问题 5 题型六、算术平方根、立方根的规律探究 6 题型七、平方根、立方根的实际应用 7 题型八、实数的几何应用 8 【经典例题一 无理数整数部分、小数部分综合求值】 1．（25-26七年级下·天津·期中）已知的平方根是，的立方根为2． (1)求a与b的值； (2)如果的整数部分为，求的平方根与的小数部分的差． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质即可求解； （2）先估算出，可得，然后再求出小数部分，再代入求出平方根，最后求出差即可求解． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根为2， ∴，， 解得，， （2）∵ ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴的小数部分为， 由（1）得，， ∴， ∴16的平方根为， ∴的平方根与的小数部分的差为 或． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）阅读下面的文字： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，所得的差，即就是其小数部分． 根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)的整数部分是________，小数部分是________； (3)若设的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)2   (2)4   (3) 【分析】本题考查了无理数的整数部分与小数部分的分离方法，掌握通过平方数比较确定无理数的取值范围是解题的关键． （1）通过平方数比较确定​的取值范围，从而得到其整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分； （2）先分别确定​和​的取值范围，相加后得到的范围，进而确定整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分； （3）先确定的取值范围，从而得到的范围，分离出整数部分和小数部分，再代入代数式计算． 【详解】（1）解：且 ∴的整数部分是；小数部分是． （2）解：，，且， ， ，，且， ， ， 的整数部分是，小数部分：． （3）解：， ， ，， ． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）观察下面表格： 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 根据上表回答问题： (1)__________，__________，__________； (2)设的整数部分为，求的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据表格和算术平方根的定义即可得出答案； （2）根据题意先求出a的值，再求出的值，然后根据立方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：，，； （2）解：由表格可得，， ∵ ∴ ∵的整数部分为， ∴， ∴，的立方根为， ∴的立方根为． 4．（25-26七年级下·辽宁盘锦·阶段检测）阅读下面的对话，解答问题． 小红：是无理数，是无限不循环小数，因此它的小数部分我们不可能表示出来，对吗？ 小高：你说的不对，我们知道，它在2和3之间，它的整数部分是2，用它本身减去整数部分2就可以表示它的小数部分． (1)的整数部分是________，小数部分是________． (2)若的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)若的算术平方根是7，的立方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)5， (2) (3) 【分析】（1）先用夹逼法估算，再求出其整数部分和小数部分即可； （2）先用夹逼法估算，进而估算和，得出a和b，即可求解； （3）根据算术平方根的定义得出，即可求出a的值，根据立方根的定义得出，即可求出b的值，用夹逼法估算，即可得出c的值，再将a、b、c的值代入，即可求出其平方根． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是5，小数部分是； （2）解：∵， ∴，则， ∴，， ∴的整数部分为7，小数部分为， 的整数部分为1，小数部分为， ∴， ∴； （3）解：∵的算术平方根是， ∴， 解得：； ∵的立方根是， ∴， 解得：； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 5．（25-26七年级下·广东中山·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 请解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的平方根； (3)已知，其中m是整数，且，求的值． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】（1）估算出，即可得出答案； （2）估算出，，即可得出的值，代入进行计算即可； （3）估算出，得出，从而得出的值，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，即， 的整数部分是，小数部分是， 故答案为：4，； （2）解：， ，即， ， ， ，即， ， ， 的平方根为； （3）解：， ，即， ∴， ． ，其中m是整数，且， ，， ， ． 6．（25-26七年级下·广西河池·期中）阅读材料，完成探究任务： 我们知道，无理数是无限不循环小数，因此其小数部分无法被完整地书写出来．我们可以首先确定一个无理数的整数部分，再将该无理数减去其整数部分，所得差值即为其小数部分．例如：，的整数部分是1，的小数部分是． 【基础应用】 (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； 【综合拓展】 (2)求的整数部分； (3)已知的平方根是的立方根是是的整数部分，求的立方根． 【答案】(1)3， (2)7 (3) 【分析】（1）估算，即可求得答案； （2）先估算，即可得到 ，进而得到结果； （3）先求出的值，再代入，最后利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是，小数部分是； （2）解：， ， ，即， 的整数部分是7； （3）解：的平方根是， ，解得， 的立方根是3， ，解得 ， 是的整数部分， ， ， 的立方根为． 7．（25-26七年级下·吉林·期中）阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)2 (3) 【分析】（1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干得到a、b的值，进而代入计算即可； （3）仿照题干得到x、y的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是； （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分， ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴． 【经典例题二 实数与数轴综合】 8．（25-26七年级下·山东德州·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是_____． (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)； (2)的值为2； (3)的平方根为． 【分析】（1）根据点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，即可得到的值； （2）根据数轴得到的取值范围，去绝对值化简即可得出答案； （3）根据非负数的性质得到的值，代入求值，再求平方根得出答案． 【详解】（1）解：∵点A表示，蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B， ∴点表示的数为：； （2）解：由数轴可知，， ∴，， ． （3）解：与互为相反数， ， ，， 解得：，， ， 的平方根为． 9．（25-26八年级上·浙江金华·期末）教材第82页的合作学习，探究发现了无理数（每一方格的边长为1个单位长度）． (1)如图1，求方格中阴影正方形的面积和它的边长． (2)请类比（1）的方法，在图2中画出实数在数轴上表示的点（保留作图痕迹）． 【答案】(1)阴影正方形的面积为，它的边长为 (2) 如图，点即为所求， 【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数与数轴； （1）根据大正方形的面积减去4个小三角形的面积，即可求得阴影正方形的面积，根据算术平方根求得它的边长； （2）先得出边长为的小正方形的对角线长为，再在数轴上构造边长为的正方形，即可求解． 【详解】（1）解：阴影正方形的面积为 它的边长为； （2）解：如图，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形． ∴大正方形的面积为，则小正方形的对角线长为， 如图，画边长为的正方形，则边长为的小正方形的对角线长为， ∴点即为所求． 10．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，半径为 个单位长度的圆片上有一点与数轴上的原点重合．（所有结果均保留） (1)若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点，设点表示的数为．求的值： (2)若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：，，，，． ①第几次滚动后，点距离原点最近？第几次滚动后，点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，点运动的路程共有多少？此时点所表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)①第四次滚动距离原点最近，第三次滚动距离原点最远； ②点运动的路程共有，此时点所表示的数是 【分析】（1）将的值代入，计算算术平方根即可得； （2）①分别求出第次滚动后，点距离原点的距离，由此即可得； ②先将滚动记录的数字的绝对值相加，再乘以即可得点运动的总路程；先将滚动记录的数字相加，再乘以即可得此时点所表示的数． 【详解】（1）解：该圆片滚动一周的距离为， ∵该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点， ∴点表示的数； （2）解：①第1次滚动后，，点距离原点2周， 第2次滚动后，，点距离原点1周， 第3次滚动后，，点距离原点4周， 第4次滚动后，，点在原点处， 第5次滚动后，，点距离原点3周， 由此可知，第4次滚动后，点距离原点最近；第3次滚动后，点距离原点最远； ②∵， ∴当圆片结束运动时，点运动的路程共有； ∵， ∴当圆片结束运动时，此时点所表示的数是． 11．（25-26七年级下·全国·周测）小云的作业中有一道题目如下： 请画出数轴并把实数，π，，－4，，在数轴上表示出来，再把这6个数用“＜”连接． (1)下图是小云画的数轴和标出来的4个无理数，你认为表示的是点________． (2)请你帮助小云完成剩下的任务． 【答案】(1)C (2) 将个实数在数轴上表示出来如图所示． 由图可知，． 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系及实数的大小比较，掌握估算无理数的取值范围，结合数轴上点的位置和实数大小比较规则是解题的关键． （1）先估算​的取值范围，再确定它在数轴上的对应点； （2）先化简绝对值、估算无理数的近似值，再根据实数大小比较规则，将个数按从小到大的顺序连接． 【详解】（1）解： 因此在数轴上位于和之间，对应点． （2）略 12．（25-26七年级下·广东肇庆·期末）探究：如图，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)若图所得到的大正方形面积为，即小正方形的对角线长为________； (2)如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________． (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的边长________；如图，请借鉴（2）中的方法在数轴上找到点，使点所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）求出正方形的边长可得结论； （2）根据正方形的对角线长为，求出点表示的数，可得结论． （3）利用分割法求出阴影部分的面积即可；再画出点即为所求． 【详解】（1）解：面积为2的大正方形的边就是原先边长为1的小正方形的对角线长， 小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即； （2）解：圆心在数轴上表示的点，半径为正方形对角线长， 如图中小正方形对角线长为 ∴原点与之间的距离为， 点在圆心左侧， 因此点表示的数为； （3）解：阴影部分的面积， 正方形的边长为． 作图步骤（对应图）： 以数字所在的点为圆心，沿数轴向右取个单位，过该点作数轴垂线向上截取单位，连接所在的点和垂线端点，由上述得该长方形的对角线长为，以该长度半径画弧，与数轴的其中一个交点即为表示的点，图略 13．（25-26七年级下·广东珠海·期末）综合与实践． 主题：实数与数轴的对应关系．素材：一张圆形纸片． 步骤1：将直径为1的圆形纸片的接触点对准数轴原点，沿着数轴正方向无滑动完整滚动1周，滚轮上初始对准原点的标记点随之移动到数轴上点处； 步骤2：规定滚轮向右滚动的周数记作正数，向左滚动的周数记作负数，连续多次滚动记录周数依次为：，，，，； 通过滚轮滚动实验不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念、运算法则及运算律同样适合于实数．据此完成下列问题． (1)数轴上点对应的数是 ； (2)针对步骤2的连续滚动过程： ①标记点移动的总路程一共是多少个单位长度？ ②滚动全部结束后，标记点最终落在数轴上表示的数是多少？ (3)若用直径为的圆形纸片从原点开始滚动，先向右滚动3周，再额外向右滚动一小段距离，恰好到达数轴上对应的点处，求： ①额外滚动的这段距离？ ②的整数部分、小数部分，计算的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)①；② 【详解】（1）解：将直径为1的圆形纸片的接触点对准数轴原点，沿着数轴正方向无滑动完整滚动1周，滚动的距离为周长， ∴数轴上点对应的数是； （2）解：①各次滚动周数的绝对值之和为：， 总路程为：． ②各次滚动周数的代数和为：， 对应数轴上的数为． （3）解：①圆周长为：． 向右滚动三周，移动距离为：． 设额外滚动的距离为，则， ． ②， ， ，， ． 14．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个大正方形．       (1)则大正方形的边长为______； (2)将图1中的正方形放到数轴上，如图2，点表示的数为－1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点翻滚到数轴上时记为第二次翻滚，经过三次翻滚，点滚到数轴上的点时，点表示的数为_________； (3)是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点、、、中某个点与数轴上的2025重合？答：_________（填“存在”或“不存在”）； (4)在（2）的基础上以数2对应的点为折点，将数轴向右对折，则点与数_______对应的点重合． 【答案】(1) (2) (3)不存在 (4) 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长； （2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点P表示的数； （3）设存在正整数n，则，由进行判断即可求解； （4）设点D与数x对应的点重合，根据对折可得，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：； 故答案为：； （2）∵点A表示的数为，正方形的边长为， ∴第一次翻滚后B表示的数为， 第二次翻滚后C表示的数为， 第三次翻滚后D表示的数为， ∵经过三次翻滚，点D滚到数轴上的点P， ∴点P表示的数为； 故答案为：； （3）设存在正整数n，则， ∴， ∵n为正整数， ∴为有理数，而为无理数， ∴上述等式不成立，即不存在正整数n； 故答案为：不存在； （4）设点D与数x对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 故答案为：． 【经典例题三 非负性综合压轴】 15．（2026七年级下·山东临沂·模拟预测）已知，的立方根是． (1)求的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2)在实数范围内没有平方根 【分析】（1）根据算术平方根被开方数必须为非负数，列出不等式组求出的值，再代入代数式算出；利用立方根定义求出的立方根，建立等式解出； （2）将求得的的值代入代数式完成有理数运算，再依据平方根的定义求出结果的平方根． 【详解】（1）解：由题意得 解得：， 此时，，， ， ， 解得：； （2）解：， 根据平方根的性质：任何数的平方都不可能是负数，因此负数没有平方根， 在实数范围内没有平方根． 16．（25-26七年级下·重庆潼南·期中）已知某正数的两个不同的平方根是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． (3)若实数m、n、p满足条件，那么的平方根是多少？ 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）由平方根的含义列方程，解方程求解a的值，利用立方根的含义求解b，由无理数的整数部分的含义求解c，从而可得答案； （2）把（1）中的a，b，c的值代入，再求解平方根即可； （3）根据非负数的性质求出m、n、p的值，进而求出的值，进而求出的平方根． 【详解】（1）解：某正数的两个不同的平方根是和， ∴， 解得， 的立方根为， ， ， 是的整数部分，， ， ∴； （2）解：∵， 的平方根为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是． 17．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）探究以下问题： (1)【特例探究】 _______，_______，______． (2)【规律总结】 对于实数a，当时，_______，当时，______． (3)【学以致用】 计算：． 【答案】(1)5，0，6 (2)a， (3) 【分析】（1）根据算术平方根的性质即可求出各数的值； （2）根据正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数，求解即可． （3）运用（2）得出的规律进行运算即可． 【详解】（1）解：，，． （2）解：根据算术平方根的非负性，， 当时，； 当时，． （3）解：∵，，，， ∴ ． 18．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查新定义运算，有理数的混合运算，绝对值非负性质，理解新定义的运算规则并正确计算是解题的关键． （1）根据新定义的运算规则计算即可； （2）先求出m、n的值，再代入根据新定义运算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ， ， ． 19．（24-25七年级下·浙江台州·期中）小博和小雅在求多项式的最小值时，有如下的思考： (1)根据小博的思路，请完成求多项式最小值的过程； (2)模仿上述方法，求多项式的最值． 【答案】(1)当时，的最小值为2 (2)当时，的最大值为17 【分析】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）多项式配方变形后，利用非负数的性质求出最小值，以及此时的值即可． （2）多项式配方变形后，利用非负数的性质求出最大值，以及此时的值即可． 【详解】（1）解：， ， 当时，的最小值为2． （2）解：， ， 当时，的最大值为17． 20．（25-26八年级下·福建厦门·期中）【课本再现】 一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫作的算术平方根，记为．0的算术平方根是0，即，所以被开方数为非负数． 【探究新知】 (1)若，则的取值范围是__________． 【知识应用】 (2)若，求的值． 【拓展应用】 (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据算术平方根的被开方数为非负数可得a的取值范围； （2）根据绝对值与算术平方根的非负性列出二元一次方程组，求解后代入计算即可； （3）先根据被开方数的非负性确定a的取值范围，再化简绝对值，整理等式即可得到结果． 【详解】（1）解：对于，根据算术平方根定义，被开方数必须为非负数， 因此的取值范围是； （2）解：，，且， ， 解得 ， ； （3）解：， ，即， ， 原方程可化为， 整理得， 两边平方得， ． 21．（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为25时，输出______． (2)是否存在输入有效的x值后，始终输不出y值？如果存在，请写出所有满足要求的x的值；如果不存在，请说明理由． (3)小明输入了下面的几个备选数据中的某一个，结果转换器运行过程中显示“该操作无法运行”，请你判断输入x的值可能是哪一个数据？请说明理由． 备选数据：，，，． (4)若小明输入了某个x的值后得到了，请你判断一下他输入x的值是否是唯一的？若不唯一，请你写出3个不同的数值． 【答案】(1) (2)存在，x的值是0或1 (3)负数没有算术平方根，故输入x的值为 (4)不唯一，x可为2或4或16 【分析】本题考查了求算术平方根、算术平方根有意义的条件，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据运算规则计算即可得解； （2）根据0和1的算术平方根分别是0和1，一定是有理数，即可得解； （3）根据负数没有算术平方根即可得解； （4）根据运算法则，进行逆运算即可得解． 【详解】（1）解：当输入x的值为25时，，则； （2）解：存在 0和1的算术平方根分别是0和1，一定是有理数， 故永远不能输出无理数， 故满足要求的x的值是0或1． （3）解：负数没有算术平方根， 故输入x的值为． （4）解：第一次输入2时，可得到，故x可为2； 第二次输入2时，x可为4； 第三次输入2时，x可为16； 故x可为2或4或16．（答案不唯一） 【经典例题四 实数的新定义运算】 22．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）定义：若无理数的被开方数（N为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若整数x，y满足关系式：，求的“共同体区间”． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数，非负数的性质：绝对值与算术平方根，熟练掌握无理数的大小估算是关键．． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据非负数的性质求出x和y值，再根据“共同体区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的“共同体区间”为； 故答案为：； （2）解：   ， ，    的“共同体区间”为 的“共同体区间”为． 23．（24-25八年级上·浙江金华·期末）定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，其中是整数，且，则__________； __________ (2)若，其中是整数，且，求的值． (3)若，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)2， (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小及无理数整数部分的计算，根据题意，确定无理数的整数部分是解题的关键． （1）根据即可得出结论； （2）先得出，进而求出，，代入求出值即可； （3）先求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：即， 则，； （2）解：， ， 是整数，， ，， ． （3）解：， 根据题意得：，， ． 24．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为连续的整数），则称无理数的“臻美区间”为，如，所以的“臻美区间”为． (1)无理数的“臻美区间”是______． (2)若一个无理数的“臻美区间”为，且满足，其中是关于的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数满足如下关系式：，求的算术平方根的“臻美区间”． 【答案】(1) (2)37 (3) 【分析】（1）先估算的大小，然后再估算的大小，然后根据无理数的“臻美区间”进行解答即可； （2）先根据已知条件，求出满足题意的，的值，从而求出，，然后根据二元一次方程解的定义，把、、和的值分别代入，求出即可； （3）先根据二次根式的非负性，求出，从而得到，再根据偶次方的非负性，列出关于，的两个含有字母参数的二元一次方程，从而求出的值，然后估算的算术平方根的大小，求出的“臻美区间”即可． 【详解】（1）解：， ， ， 无理数的“臻美区间”是， 故答案为：； （2）解：、为连续的整数，是关于，的二元一次方程的一组正整数解， 是正整数，， 一个无理数的“臻美区间”为， ， ， 当，即时，不存在，舍去； 当，即时，不满足不等式，舍去； 当，即时，满足不等式，则； 当，即时，不存在，舍去； 满足题意的，的值为， ，则； （3）解：，，， ， ， ， ， ，， ①，②， ①②得，则，即，解得， ，即， 的算术平方根的“臻美区间”为． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算和新定义，涉及二元一次方程的解、非负数的性质-算术平方根、二次根式有意义的条件、非负数的性质-偶次方、估算无理数的大小等知识，解题关键是熟练掌握正确估算无理数的大小和理解新定义的含义． 25．（25-26八年级上·上海长宁·期中）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：2.4的整数部分为2，小数分部为，的整数部分为1，小数部分可用表示，再如，的整数部分为，小数部分为，由此得到，如果，其中x是整数，且，那么，． (1)如果，其中a是整数，且，那么___________，___________． (2)已知，其中m是整数，且，求的值； (3)如果，其中c是整数，且，求出c，d的值． 【答案】(1)2， (2) (3)， 【分析】（1）估算出，即可求解． （2）根据题意确定出m，n的值，代入即可求解． （3）由（1）可得，即可求解． 【详解】（1）解：，其中a是整数，且，， ，， 故答案为：2，． （2），其中m是整数，且， ，， ． （3）由（1）可得：， ， ，其中c是整数，且， ，． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小及无理数整数部分的计算，根据题意，确定无理数的整数部分是解题的关键． 26．（24-25七年级下·福建福州·期中）【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机． 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，与是互质的两个整数，且， 则，即 ① ． 因为是整数且不为0， 所以是不为0的偶数． 设（是整数，且），则． 所以 ② ． 所以也是偶数，与是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数． 【答案】(1)①；② (2) 证明：设，a与b是互质的两个整数，且，则， 所以， ∵a，b是整数且不为0， ∴a为6的倍数． 设（n是整数）， ∴， ∴， ∴b也是6的倍数，与a与b是互质的整数矛盾， ∴是无理数． 【分析】本题主要考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 27．（24-25七年级下·福建厦门·阶段检测）【阅读理解】 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 解：设，a与b是互质的两个整数，且， 则，即_________①． ∵是整数且不为， ∴是的倍数． 设（是整数，且）， 则． ∴_________②． ∴也是的倍数，与，是互质的整数矛盾． ∴是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； ①__________________；②__________________ (2)证明：是无理数． 【答案】(1)①；② (2) 证明：设，与是互质的两个整数，且，则， 所以， ，是整数且不为， 为的倍数． 设（是整数）， ， 也是的倍数，与与是互质的整数矛盾， 是无理数． 【分析】考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 【详解】（1）解：设，与是互质的两个整数，且， 则 即． 因为是整数且不为， 所以是不为的偶数． 设（是整数，且）， 则． 所以． 所以也是偶数，与，是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 故答案为：，． （2）略 28．（24-25七年级下·福建福州·期中）【生活发现】 （1）如图1，把两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到了一个面积为2的大正方形，则大正方形边长为______． 根据有理数的定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数． 【提出猜想】 通过不断估算，发现不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商．因此，提出猜想：不是有理数． 【数学证明】 假设：为有理数，那么存在（与是互质的两个整数，且）， 则，即． 是整数且不为0， 是2的倍数． 设（是整数，且）， 则． ． 也是2的倍数，与，是互质的整数矛盾． 不是有理数． 【类比迁移】 （2）如图2，是一个顶点与原点重合的正方形，且该正方形面积为5，请你利用尺规，在数轴上标出表示的点； （3）请你模仿上述过程，证明：不是有理数． 【答案】（1）； （2）如图，点即为所作； （3）证明：假设为有理数，那么存在（与是互质的两个整数，且）， 则，即． 是整数且不为0， 是10的倍数． 设（是整数，且）， 则． ． 也是2的倍数，与，是互质的整数矛盾． 不是有理数． 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）根据大正方形的面积等于两个小面积之和，进而问题可求解； （2）该正方形面积为5，则边长为，对角线长为； （3）依照例题求解即可． 【详解】解：（1）由题意可知：两个小正方形的面积分别为1， ∴大正方形的面积之和为：2， ∴大正方形的边长为； 故答案为：； （2）略 （3）略 【经典例题五 实数大小比较及估算证明综合问题】 29．（25-26七年级下·四川广元·期末）有一个正数，它的两个互不相等的平方根分别是a和；代数式的立方根等于它本身，且；无理数的小数部分记作 c． (1)求a， b， c的值； (2)比较，，的大小，用“<”连接并说明理由． 【答案】(1) (2) 理由：三个数为、、，三个数均为正数， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，求出；根据立方根等于本身的数为，求出；根据算术平方根的整数部分和小数部分确定方法求出； （2）先求出三个数，再根据无理数的大小比较方法解答即可． 【详解】（1）解：∵有一个正数，它的两个互不相等的平方根分别是a和， ∴， 解得； ∵，立方根等于本身的数为， ∴， 将代入得：，解得； ∵， ∴的整数部分为，小数部分； （2）略 30．（25-26七年级下·全国·周测）观察表格并回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … (1)__________，__________． (2)①已知，则__________； ②已知，若，则__________（用含m的代数式表示b）． (3)试比较与a的大小． 【答案】(1)0.1  10 (2)①31.6  ②10000m (3)当或1时，；当时，；当时，． 【分析】本题考查了算术平方根的性质与规律，掌握算术平方根的定义、被开方数与算术平方根的缩放关系，以及分情况讨论数的大小是解题的关键． （1）根据表格中与​的对应关系，利用算术平方根的定义，直接求出和的值； （2）①将变形为​，利用算术平方根的乘积性质，结合已知进行计算； ②观察​与​的数值倍数关系，根据算术平方根的缩放规律，推出被开方数与的关系； （3）分或三种情况，结合表格中的数据实例，比较与的大小． 【详解】（1）解：∵​，且， ∴； ∵，且， ∴． （2）解：①​， ∵， ∴． ②∵， ∴． （3）解：当或1时，； 当时，； 当时，． 31．（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）如图1，探究：把两个面积为的小正方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，因此，可得大正方形的边长为．启发：把两个长为3、宽为2的长方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形． (1)求的值； (2)比较和的大小． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据大正方形面积＝空白部分面积+4个直角三角形的面积，通过计算得出的值； （2）由（1）可确定k的取值范围，再确定的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意，得， 即，解得或（舍去）． 因此的值为. （2）解：，即， ． ． 32．（25-26七年级下·江西南昌·期末）若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ，． ．． 请根据上述方法解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为，第二块面积为，小智想知道第一块玻璃的边长比多出的长度，与第二块玻璃的边长比少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：，，，） 【答案】(1)； (2)第一块玻璃的边长比多出的长度小于第二块玻璃的边长比少的长度． 【分析】（1）利用结合作差法比较与的大小即可； （2）求解第一块的边长为，第二块的边长为，设第一块玻璃的边长比多出的长度为a，第二块玻璃的边长比少的长度为b，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵第一块面积为，第二块面积为， ∴第一块的边长为，第二块的边长为， 设第一块玻璃的边长比多出的长度为a，第二块玻璃的边长比少的长度为b， ∴，， ∴， ∵，， ∴，． ∴，即． ∴第一块玻璃的边长比多出的长度小于第二块玻璃的边长比少的长度． 33．（25-26七年级下·河北廊坊·期末）请阅读下面的文字，完成相应的任务． 怎样表示无理数的小数部分？例如：要表示无理数的小数部分，我们可以先估算它的整数部分，再用它减去整数部分，就可得到其小数部分的表示．其过程如下： ，，的整数部分为2，小数部分为． 任务一： (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 任务二： (3)课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下：解： ．因为，所以，所以， 所以，所以．我们把这种比较大小的方法称为作差法． 请利用上述方法比较实数与的大小． 【答案】(1)2； (2) (3) 【分析】（1）先估算的范围，再由材料中的方法表示即可得到答案； （2）先估算的范围，再由材料中的方法表示x，y，代值求解即可得到答案； （3）根据作差法的步骤进行比较大小即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为2，小数部分为； （2）解：， ， ， 是的整数部分，是的小数部分， ，， ， （3）解：， ， ， ， ， ． 34．（25-26七年级下·山东临沂·期末）根据题意解答下列问题 阅读与理解 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ，，， ． ∴能确定59319的立方根是个两位数． 步骤二 ∵59319的个位数是9，， ∴能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得．由此能确定59319的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 思路分析：仿照素材的解题步骤：先求位数，再求个位，接着求十位……以此推算即可．（参考数据：，，，，，，，，） (1)任务1：问题解决，方法迁移，已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是____________位数； ②它的立方根的十位上的数是____________； (2)任务2：解决问题，已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根． 【答案】(1)①两；②5 (2) 【分析】（1）①参照第一步求出，由此即可得； ②参照第三步求出，由此即可得； （2）参照素材中的三个步骤：第一步确定它的立方根是两位数，第二步确定它的立方根的个位上的数，第三步确定它的立方根的十位上的数，由此即可得． 【详解】（1）解：①，，， ． ∴能确定195112的立方根是两位数． ②∵如果划去195112后面的三位112得到数195，且，即， ∴， ∴它的立方根的十位上的数是5． （2）解：第一步：，，， ， ∴能确定的立方根是个两位数． 第二步：∵110592的个位上的数是2，且， ∴能确定的立方根的个位上的数是8． 第三步：∵如果划去110592后面的三位592得到数110，且，即， ∴， ∴能确定的立方根的十位上的数是4， ∴的立方根是48． 35．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）小茗同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为的正方形的边长是且， ∴设，其中． 画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 依题意，得， ∴， ∵， ∴， 此时可忽略，得解得， ∴即的近似值是． (1)的整数部分为__________． (2)仿照小茗的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程，近似值精确到） 【答案】(1)； (2)的近似值是． 【分析】（）根据无理数估算方法即可求解； （）仿照小茗的探索过程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分为， 故答案为：； （2）解：∵面积为的正方形的边长是且， ∴设，其中， 画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 依题意，得， ∴， ∵， ∴， 此时可忽略，得， 解得， ∴，即的近似值是． 【经典例题六 算术平方根、立方根的规律探究】 36．（25-26七年级下·辽宁鞍山·阶段检测）数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：实践探究： (1)按照此规律，计算： ； (2)计算：； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据式子的规律，即可求解； （2）根据规律表示出每项，再计算乘法，即可求解． 【详解】（1）解：∵; ∴; ∴; （2）解： 37．（24-25七年级下·广西南宁·期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 【答案】(1)80，4 (2)， (3) 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）根据表格得出算术平方根的规律，即可求解． （3）根据（2）中规律求出a，根据表格得出立方根的规律，然后求出b，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80，4； （2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵， ∴，； （3）解：根据平方根的变化规律得： ∵， ∴ 又， ∴， 从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵ ∴， ∴． 38．（25-26七年级下·河南商丘·期末）观察下列式子： ①； ②； ③； ④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)（或与互为相反数）； (3)． 【分析】本题考探索数字规律及立方根，解题的关键是观察阅读材料得到规律，掌握立方根的定义． （1）观察规律，写出一个类似的等式即可； （2）用含、的式子表达规律即可得答案； （3）根据相反数的定义列方程求出的值． 【详解】（1）观察规律可写出类似的等式，如：， 故答案为：（答案不唯一）； （2）由规律可得：对于任意两个有理数，，若（或与互为相反数），则， 故答案为：（或与互为相反数）； （3）若若与的值互为相反数，则， 解得． 39．（25-26八年级上·山西长治·阶段检测）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 【答案】(1)80； (2)被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位 (3) 【分析】（1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）仿照算术平方根的规律探索即可． （3）根据发现的规律计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故． ∵， ∴， 故 故答案为：80，． （2）发现规律如下：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． 故答案为：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． （3）根据平方根的变化规律得： ， ， ． 根据立方根的变化规律得： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． 40．（2026·安徽合肥·模拟预测）【观察思考】 如图是由长度为和的两种线段拼成的正方形图案： 【规律发现】 请用含的式子表示： （1）第个图案中需要长的线段的条数为 ； （2）第个图案中需要长的线段的条数为 ； 【规律应用】 （3）若要组成一个面积为的正方形图案，则需要这两种线段各多少条？ 【答案】（1）；（2）；（3）需要长的线段200条，需要长的线段220条 【分析】本题考查算术平方根及图案的规律总结问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键． （1）根据题干中所给的图案总结出规律即可； （2）根据题干中所给的图案总结出规律即可； （3）由题意可得此为第10个图案，然后代入（1）（2）中所得结论中计算即可． 【详解】解：（1）第1个图案中长的线段的条数为． 第2个图案中长的线段的条数为， 第3个图案中长的线段的条数为， 第个图案中长的线段的条数为， 故答案为：； （2）第1个图案中长的线段的条数为． 第2个图案中长的线段的条数为， 第3个图案中长的线段的条数为， 第个图案中长的线段的条数为， 故答案为：； （3）由题意得，面积为 的正方形图案为第个图案， 当时，，， 即需要长的线段200条，需要长的线段220条． 41．（25-26八年级上·全国·课后作业）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框中三个位置上的数按如下方式计算： ， ， 不难发现，结果都是7．    (1)请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？ 发现图2计算结果为______；图3计算结果为______． (2)请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明． 【答案】(1)8，6 (2)， 理由如下： ． 【分析】本题考查数字类规律探究、求一个数的算术平方根，理解题意，找到变化规律是解答的关键． （1）类比上述算法，结合算术平方根求解即可； （2）根据上述算法，得出规律，利用整式运算和算术平方根证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，图2中被框起来3个数按以下方式计算： ， ， 故计算结果为8； 图3中被框起来的3个数按以下方式计算： ， ， 故计算结果为6， 故答案为：8，6； （2）略 42．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）阅读理解  我国著名数学家华罗庚善于利用数字规律快速巧算.他心算的思路如下： ①先判断位数：由，，确定是一个两位数； ②再确定个位：由59319的个位上的数是9，确定的个位上的数是9； ③最后确定十位：划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此确定的十位上的数是3； 综上，得． 迁移应用 的立方数如下表： 底数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 立方数 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 观察上表规律可知：底数的个位上的数是3时，立方数的个位上的数是7 (1)若底数的个位上的数是5，则立方数的个位上的数是______，当底数的个位上的数是_____时，立方数的个位上的数是6； (2)用上述方法求，它是_____位数，个位上的数是_____，十位上的数是_____，所以______； (3)直接写出与的值． 【答案】(1)5，6 (2)两，2，7，72 (3)；． 【分析】（1）根据表格数据即可解答； （2）仿照题干中方法求解即可； （3）根据，，再仿照题干中方法求解和即可． 【详解】（1）解：由表格数据得，底数的个位上的数是5，则立方数的个位上的数是，当底数的个位上的数是时，立方数的个位上的数是6； （2）解：∵，， ∴是一个两位数； ∵373248的个位上的数是8， ∴的个位上的数是2； ∵划去后面的三位248得到373，而，且， ∴的十位上的数是7， ∴； （3）解：∵，，，且， ∴是一个两位数； ∵的个位上的数是7， ∴的个位上的数是3； ∵划去后面的三位得到，而，且， ∴的十位上的数是8， ∴， ∵， ∴； ∵，，，且， ∴是一个两位数， ∵的末位上的数是6， ∴的个位上的数是6， ∵划去后面的三位得到，而，且， ∴的十位上的数是2， ∴， ∵， ∴． 【经典例题七 平方根、立方根的实际应用】 43．（25-26七年级下·山东滨州·阶段检测）（1）已知与是正数的两个不同的平方根，求的值． （2）已知：的立方根是，的算术平方根是，是整数部分，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、平方根的意义等知识点，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平方根的定义先求出值，再求出的平方根，即可求解； （2）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】解：（1）与是正数的两个不同的平方根， ， 解得：， ， ； （2）的立方根是，的算术平方根是， ，， 解得：，， 是整数部分， ， ， 的平方根是． 44．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期末）一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，表示物体的质量，单位是千克，表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名学生在匀速跑步，他的质量是千克，若动能是焦耳，求该学生的跑步速度． 【答案】米/秒 【分析】根据题意可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可知千克，焦耳， ，               解得或（负数舍去）．      答：该学生的跑步速度是米/秒． 45．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图1是一个立方体木块，其体积是． (1)求立方体的棱长； (2)如图2所示，在立方体木块中挖去一个圆柱体后，木块体积只剩，求圆柱体底面半径．（取3.14） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根和平方根的应用，掌握正方体和圆柱体的体积是解题关键． （1）根据正方体的体积公式求解即可； （2）设圆柱体底面半径为，用正方体的体积减圆柱的体积列方程求解即可． 【详解】（1）解：立方体木块的体积是， 则棱长为； （2）解：设圆柱体底面半径为， 则， 解得：（负值舍去）， 即圆柱体底面半径为． 46．（25-26七年级下·湖北宜昌·阶段检测）（1）填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 由表你发现了：被开方数的小数点向右(或左)移动 位，其立方根的小数点向右(或左)移动 位； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． （3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为立方米，需要多大面积的铁皮？ 【答案】 （1）填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 三，一； （2）①；②； （3）需要大约平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义，先将表格填完整，根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （2）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可； （3）设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：规律：数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位； （2）解：①∵， ∴； ②∵ ∴； （3）解：设正方体的棱长为米，则， ， （平方米）， 答：需要大约平方米的铁皮． 47．（25-26七年级下·安徽淮南·阶段检测）已知正方形A和B，其边长分别为m，，如图1．现将正方形B放在正方形A的内部得到图2，将正方形A和B并列放置后构造新的正方形得到图3． (1)若图2和图3中阴影部分的面积分别为1和24，求的值； (2)要拼一个两边长分别为和的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以m，n为边的长方形多少个？ (3)在（1）的条件下，三个正方形A和两个正方形B按如图4摆放，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)需要以m，n为边的长方形11个 (3) 【分析】（1）由图2和图3的阴影部分面积为1和24可得，，然后展开计算即可求解； （2）计算，得到项的系数即可； （3）由（1）知，，求出，，则，再展开代入求解即可． 【详解】（1）解：由图2得， 则． 由图3得， 得． 所以， 解得； （2）解： ， 而以m，n为边的长方形面积为， 故需要以m，n为边的长方形11个； （3）解：由（1）知，， 所以， 又因为， 所以． 因为， 所以， 所以 ． 48．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）【情境导入】据说我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道求大数的立方根的题目，并很快给出了正确答案． 【知识储备】开立方和立方互为逆运算．请补全下面表格： 整数 [应用]根据以下步骤尝试求出的立方根： 步骤一：根据，，得到的立方根是 位数； 步骤二：根据个位上的数是，得到的立方根个位上的数是 ； 步骤三：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数是 ，因此的立方根是 ． （1）将上述过程补充完整； （2）请用同样的方法求的立方根． 【答案】[知识储备]，，，，，；[应用]（）两，，，；（）． 【分析】本题考查了有理数乘方，立方根及尾数特征，理解题干中求一个数的立方根的步骤是解题的关键． [知识储备]根据有理数乘方即可求解； [应用]根据有理数乘方，立方根即可求解； （）根据有理数乘方，立方根即可求解； （）根据有理数乘方，立方根即可求解． 【详解】解：[知识储备] ∵，，，，，； 补全表格如下： 整数 故答案为：，，，，，； [应用]（）步骤一：根据，，得到的立方根是两位数； 步骤二：根据个位上的数是，得到的立方根个位上的数是； 步骤三：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数是，因此的立方根是； 故答案为：两，，，， （）因为，， 所以的立方根是两位数， 因为的个位上的数是，， 所以的立方根个位上的数是， 如果划去后面的三位数，得到数， 而，， 所以的立方根十位上的数是， 所以的立方根为． 49．（25-26八年级上·江苏·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2)3 (3)，或， 【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1 解得：或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时，； 当，． 【经典例题八 实数的几何应用】 50．（25-26七年级下·广西玉林·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了． 【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度． 【分析】先把d=32米，f=2分别代入v=16，求出当时汽车的速度再和100千米/时比较即可解答． 【详解】解：把d=32，f=2代入v=16， v=16=128（km/h）， ∵128＞100， ∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度． 【点睛】本题考查了实数运算的应用，读懂题意是解题的关键，另外要熟悉实数的相关运算． 51．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． 52．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【答案】(1)3， (2)阴影部分的面积为 (3)周长为 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键： （1）利用算术平方根进行求解即可； （2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （3）根据周长公式列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的边长为；小正方形的边长为； （2）解：阴影部分的面积为； （3）解：长方形的周长为． 53．（24-25七年级下·陕西安康·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【答案】(1) (2)A类正方形的周长是：；B类正方形的周长为 (3)长方形的长为，宽为 【分析】本题考查了算术平方根，实数的混合运算．正确求解四边形的边长是解题的关键． （1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是； （2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是， （3）根据长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解，即可求解． 【详解】（1）解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：∵A类正方形的边长是， ∴A类正方形的周长是：， ∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴B类正方形的周长为； （3）解：长方形的长为，宽为． 54．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中． （1）求_______________． （2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形． 【答案】（1）10； （2）作图如下： . 【分析】（1）用大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得出阴影部分面积； （2）边长为的正方形，则面积为，则每个三角形的面积为，据此作图即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：10； （2）边长为的正方形，则面积为， 则每个三角形的面积为， 【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格求出周围四个小三角形的边长． 55．（24-25七年级下·福建南平·期末）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查了无理数的估算和实数混合运算的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键； （1）利用夹逼法求解即可； （2）仿照题干中的解题思路解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分的值为11； 故答案为：11； （2）解：∵面积为127的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得， 解得， 即． 56．（25-26七年级下·山西大同·期中）阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 【答案】(1) (2) (3)A0纸的长为，宽为 【分析】（1）根据系列纸的面积规律即可求出答案； （2）根据折叠的性质和材料中得到的正方形的性质即可求出答案； （3）设纸的宽为，则长为，则，运算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知， A0纸的面积为1平方米， A1纸的面积为平方米， A2纸的面积为平方米， A3纸的面积为平方米， A4纸的面积为平方米， A5纸的面积是平方米． （2）解：如图， 由折叠的性质可知，由材料一可知，在图3折叠得到正方形中， ，即A4纸的长宽之比为； （3）解：设纸的宽为，则长为， 依题意得， ， ∵， ∴， ∵（负值不合题意，舍去）， ∴， ∴， 答：纸的长为，宽为． 学科网（北京）股份有限公司 $