专题04 一元二次方程含参求值问题（压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

专题04 一元二次方程含参求值问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、依据一元二次方程的定义求解参数 题型二、已知一元二次方程的解求参数或代数式的值 题型三、根据一元二次方程根的判别式求参数范围 题型四、利用根与系数的关系求参数的值或范围 题型五、新定义背景下一元二次方程的含参求解问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次方程含参数问题是初中数学核心重难点，所有题型均围绕方程定义、方程的解、根的判别式、根与系数关系四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是一元二次方程二次项系数不能为 0，二是运用韦达定理求出参数后，必须回代检验判别式，保证方程存在实数根。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、依据一元二次方程的定义求解参数 题型模版 1.特征：题干说明某整式方程是一元二次方程，式子含有字母参数，需要求出参数。隐含条件是未知数最高次数为2，极易忽略二次项系数不能为0这一限制条件，是基础高频考点。 2.方法：令未知数最高次数等于2，同时列出不等式保证二次项系数不为0，联立求解参数。算出参数后回代原式检验，确认方程符合一元二次方程定义。 【例1】若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A．任意实数 B．1或 C．1 D． 【例2】已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【变式1-1】若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【变式1-2】关于的方程是一元二次方程，求的值． 【变式1-3】若方程是关于的一元二次方程，求的值． 题型二、已知一元二次方程的解求参数或代数式的值 题型模版 1.特征：题目给出方程的一个或两个根，方程中带有参数，求参数数值，或是求含参数代数式的值。可直接利用方程解的定义，部分题目会结合整体代入简化运算。 2.方法：将已知根代入原方程，得到含参数的方程并求解。求出参数后，检验二次项系数不为0；求代数式值优先整体代换，减少计算量，最后验证结果。 【例3】若是关于的方程的一个解，则代数式的值为（     ） A． B．1 C． D．2 【例4】已知代数式，，，若，且z为方程的一个实根，则的值为（   ） A．2026 B．2028 C．4052 D．4054 【变式2-1】若是方程的一个根，则的值为_________． 【变式2-2】若关于x的一元二次方程有一个根为，则代数式的值是_______________． 【变式2-3】已知是方程的一个根，求的值． 题型三、根据一元二次方程根的判别式求参数范围 题型模版 1.特征：告知方程有实数根、两个不等实根或无实数根，据此求参数取值范围，容易漏掉一元二次方程前提，忘记二次项系数不等于0的限制。 2.方法：写出判别式Δ的表达式，根据根的情况列出不等式，求解参数范围。若为一元二次方程，必须额外保证二次项系数不为0，联立得到完整参数取值范围。 【例5】小明在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 【例6】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，求原方程的解． 【变式3-1】已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是______． 【变式3-2】已知关于的一元二次方程． (1)当时，的值为_______． (2)若该方程有两个相等的实数根，求的值． 【变式3-3】定义：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 题型四、利用根与系数的关系求参数的值或范围 题型模版 1.特征：给出两根的和、积或者两根之间数量关系，借助韦达定理求参数。该定理仅在方程有实数根时可用，很多学生直接计算，忽略判别式检验。 2.方法：利用韦达定理写出两根之和、两根之积，结合题干条件列方程求参数。求出参数后，双重检验：二次项系数≠0，且判别式Δ≥0，保证存在实数根。 【例7】如果关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【例8】若实数满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D．3 【变式4-1】已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的倍，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】关于的一元二次方程有两个实数根，其两个实数根分别为，． (1)__________，__________； (2)若，求的值． 【变式4-3】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何实数，此方程总有两个不等的实数根． (2)若，为方程的两个实数根，且满足，求实数k的值． 题型五、新定义背景下一元二次方程的含参求解问题 题型模版 1.特征：给出全新运算或概念，按规则可转化为一元二次方程，方程含有参数。题型新颖，需要读懂定义，剥离陌生背景，转化为常规一元二次方程含参问题。 2.方法：严格套用新定义列出方程，整理成一元二次方程标准形式，再按照定义、判别式或韦达定理求参数。求解后检验二次项系数不为0，有实根则验证Δ≥0。 【例9】对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ） A． B． C． D．0 【例10】定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，，分别以为横坐标、为纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的根序点． （1）直接写出方程的根序点的坐标为_____； （2）若关于的一元二次方程有根序点，且该根序点在直线上，则的值为_____． 【变式5-1】定义新运算：，例如：，若关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则的取值范围为__________． 【变式5-2】对于任意实数a，b，定义．若，则a的值为____． 【变式5-3】定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程_____“倍根方程”．（填“是”或“不是”） (2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_____． 2．已知，是方程的两个根，则的值为______． 3．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 4．定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 5．新定义：关于的一元二次方程：与（均为常数）称为“同类方程”．如与是“同类方程”．若关于的一元二次方程：与是“同类方程”，那么___________． 6．方程，m为何值时，方程是一元二次方程． 7．已知实数满足，则的值是___________． 8．已知是关于x的一元二次方程的一个根． （1）若，且，则b的取值范围是______； （2）若，则c的值为______． 9．已知是一元二次方程的一个根，则_________． 10．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________． 11．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 12．关于x的方程有实数根． (1)求m的取值范围． (2)设此方程的两个根为，当时，求另一个根及m的值 13．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式； (2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值； (3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值． 14．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是和，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，判断方程是几倍根方程？ (2)若关于的方程是“二倍根方程”，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元二次方程含参求值问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、依据一元二次方程的定义求解参数 题型二、已知一元二次方程的解求参数或代数式的值 题型三、根据一元二次方程根的判别式求参数范围 题型四、利用根与系数的关系求参数的值或范围 题型五、新定义背景下一元二次方程的含参求解问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次方程含参数问题是初中数学核心重难点，所有题型均围绕方程定义、方程的解、根的判别式、根与系数关系四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是一元二次方程二次项系数不能为 0，二是运用韦达定理求出参数后，必须回代检验判别式，保证方程存在实数根。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、依据一元二次方程的定义求解参数 题型模版 1.特征：题干说明某整式方程是一元二次方程，式子含有字母参数，需要求出参数。隐含条件是未知数最高次数为2，极易忽略二次项系数不能为0这一限制条件，是基础高频考点。 2.方法：令未知数最高次数等于2，同时列出不等式保证二次项系数不为0，联立求解参数。算出参数后回代原式检验，确认方程符合一元二次方程定义。 【例1】若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A．任意实数 B．1或 C．1 D． 【答案】C 【详解】解：∵关于x的方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得或， ∵ ∴， ∴． 【例2】已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【详解】解：方程是关于的一元二次方程； 解得，即； 由得． ． 【变式1-1】若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【答案】B 【分析】 【详解】解：原方程化为：， 移项得：， 由不含的一次项，得一次项系数， 解得 ， 故答案为：． 【变式1-2】关于的方程是一元二次方程，求的值． 【答案】． 【详解】解：依题意，得， 由，得，解得， 又因为，即， 所以的值为， ∴当时，方程是一元二次方程． 【变式1-3】若方程是关于的一元二次方程，求的值． 【答案】的值为2或3或4 【分析】 【详解】解：分以下三种情况讨论： ①当时，方程是一元二次方程，解得；此时方程化为，二次项系数为，符合题意； ②当时，方程是一元二次方程，解得；此时方程化为，二次项系数为，符合题意； ③当时，即，此时方程的二次项系数为，符合题意． 综上所述，的值为或或． 题型二、已知一元二次方程的解求参数或代数式的值 题型模版 1.特征：题目给出方程的一个或两个根，方程中带有参数，求参数数值，或是求含参数代数式的值。可直接利用方程解的定义，部分题目会结合整体代入简化运算。 2.方法：将已知根代入原方程，得到含参数的方程并求解。求出参数后，检验二次项系数不为0；求代数式值优先整体代换，减少计算量，最后验证结果。 【例3】若是关于的方程的一个解，则代数式的值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 整理得， ∴ ． 【例4】已知代数式，，，若，且z为方程的一个实根，则的值为（   ） A．2026 B．2028 C．4052 D．4054 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵z为方程的一个实根， ∴， 当时，，不符合题意， ∴， ∴， ∴ ∴． 【变式2-1】若是方程的一个根，则的值为_________． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程得， 整理得， ∴． 【变式2-2】若关于x的一元二次方程有一个根为，则代数式的值是_______________． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴把代入方程得: ， 整理得 :， ∴ ． ∴代数式的值为． 【变式2-3】已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 题型三、根据一元二次方程根的判别式求参数范围 题型模版 1.特征：告知方程有实数根、两个不等实根或无实数根，据此求参数取值范围，容易漏掉一元二次方程前提，忘记二次项系数不等于0的限制。 2.方法：写出判别式Δ的表达式，根据根的情况列出不等式，求解参数范围。若为一元二次方程，必须额外保证二次项系数不为0，联立得到完整参数取值范围。 【例5】小明在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：设丢掉的常数项为，则原方程为； ∵方程有两个实数根， ∴， 解得， 结合选项可知，符合条件的最大值为． 【例6】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，求原方程的解． 【答案】(1)且 (2)， 【分析】 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得且； （2）解：当时，原方程为， 即， ， 或， ，． 【变式3-1】已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴ 解得， ∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴的取值范围是． 【变式3-2】已知关于的一元二次方程． (1)当时，的值为_______． (2)若该方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：将代入，得 ． 解得． （2）解：∵该一元二次方程有两个相等的实数根． ∴，即， ∴， ∴． 解得． ∵原方程是一元二次方程． ∴，即， ∴符合题意． ∴的值为． 【变式3-3】定义：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】 【详解】解：由题意得， 整理得， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得， 解得， ∴的取值范围为． 题型四、利用根与系数的关系求参数的值或范围 题型模版 1.特征：给出两根的和、积或者两根之间数量关系，借助韦达定理求参数。该定理仅在方程有实数根时可用，很多学生直接计算，忽略判别式检验。 2.方法：利用韦达定理写出两根之和、两根之积，结合题干条件列方程求参数。求出参数后，双重检验：二次项系数≠0，且判别式Δ≥0，保证存在实数根。 【例7】如果关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个不相等实数根， ∴，即，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，符合的条件． 【例8】若实数满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】解：∵，且， ∴是一元二次方程的两个不相等的实数根， 由根与系数的关系，得，， ∴． 【变式4-1】已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的倍，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍， ∴设方程的两个根分别为和， 由根与系数的关系可得， 解得， 两根为和， ． 【变式4-2】关于的一元二次方程有两个实数根，其两个实数根分别为，． (1)__________，__________； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，． （2）解：∵， ∴ 由（1）有，， ∴， 解得，． ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何实数，此方程总有两个不等的实数根． (2)若，为方程的两个实数根，且满足，求实数k的值． 【答案】(1)证明：一元二次方程为， 其判别式 ∵ ， ∴ ，即， ∴ 无论取何实数，此方程总有两个不等的实数根． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由韦达定理知：，， ∴， ∴． 题型五、新定义背景下一元二次方程的含参求解问题 题型模版 1.特征：给出全新运算或概念，按规则可转化为一元二次方程，方程含有参数。题型新颖，需要读懂定义，剥离陌生背景，转化为常规一元二次方程含参问题。 2.方法：严格套用新定义列出方程，整理成一元二次方程标准形式，再按照定义、判别式或韦达定理求参数。求解后检验二次项系数不为0，有实根则验证Δ≥0。 【例9】对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】解：由新运算定义可得， 因此方程可化为， 整理得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 化简得， 解得， 观察选项，仅有D选项的满足． 【例10】定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，，分别以为横坐标、为纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的根序点． （1）直接写出方程的根序点的坐标为_____； （2）若关于的一元二次方程有根序点，且该根序点在直线上，则的值为_____． 【答案】 1或 【分析】 【详解】解：（1）解方程得， ∴根据根序点定义：，横坐标：，纵坐标：， ∴根序点的坐标为； （2）方程有根序点， 该方程有两个不相等的实数根， ， 根序点在直线上， 满足直线方程：，整理得：， 对于方程，由根与系数的关系得：， ， 整理得：， 解得：， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求， 的值为1或． 【变式5-1】定义新运算：，例如：，若关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】解：由题意得， 即， 有两个不相等的实数根， ， 即， 解得． 【变式5-2】对于任意实数a，b，定义．若，则a的值为____． 【答案】 【分析】 【详解】解：由定义，， 所以 ． 给定 ， 因此 ， 即 ． 解得． 故答案为：． 【变式5-3】定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程_____“倍根方程”．（填“是”或“不是”） (2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 【答案】(1)是 (2)a的值为3或 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ， 该方程是“倍根方程”， 故答案为：是． （2）解：方程的根为， 原方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 又 ∵该方程是“倍根方程”， ∴有两种情况：情况一：， ∴， ∴， 情况二：， ， ， ， 经检验，和均满足， a的值为3或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】且 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵原方程有实数根， ∴， 即， 解得， 综上，的取值范围是且． 2．已知，是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， 由根与系数的关系得， ， 同理可得， ∴原式． 3．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【详解】解：由一元二次方程的定义得 解得， 即， 解得， 因此的值为． 4．定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：， ，． 满足3的偏向方程的定义， ， ， ． ． 对于任意的实数m，都满足3的偏向方程的定义， ， ． 5．新定义：关于的一元二次方程：与（均为常数）称为“同类方程”．如与是“同类方程”．若关于的一元二次方程：与是“同类方程”，那么___________． 【答案】7 【分析】 【详解】解：根据题意，将第二个方程与展开式比较：，令其等于， 可得方程组：，解得， 故． 故答案为：7． 6．方程，m为何值时，方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】 【详解】解：根据一元二次方程的定义可得： ，解得：． 所以当时，该方程是一元二次方程． 7．已知实数满足，则的值是___________． 【答案】 【详解】解：∵ 代入，得左边， ∴ ， 对两边同时除以， 得， ∵ ，且，即， ∴ 和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系，得，， 拆分所求式子：． 8．已知是关于x的一元二次方程的一个根． （1）若，且，则b的取值范围是______； （2）若，则c的值为______． 【答案】 5 【分析】 【详解】解：（1）∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴① ∵， ∴， ，得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 且， ∴， ∴，而， ∴， ∴. 9．已知是一元二次方程的一个根，则_________． 【答案】 【详解】解：是一元二次方程的一个根， 将代入方程得， 整理得， 对所求代数式变形：， 将代入上式得：． 10．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________． 【答案】 【详解】解：根据题意，把代入方程得， ， 整理得，， ． 11．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 【答案】且 【详解】解：是一元二次方程， ，即， 有两个不相等的实数根， ， 即， 整理得， 解得， 又， 且． 12．关于x的方程有实数根． (1)求m的取值范围． (2)设此方程的两个根为，当时，求另一个根及m的值 【答案】(1) (2)； 【分析】 【详解】（1）解：∵关于x的方程有实数根， ， 解得：； （2）解：∵关于x的方程有实数根，且， ， ， ， ． 13．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式； (2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值； (3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：， 其中只有是两个平方数的和， ； （2）解： ， ， ； （3）解：， 要使S对任意整数x, y都为“完美数”，则， 解得． 14．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是和，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，判断方程是几倍根方程？ (2)若关于的方程是“二倍根方程”，求的值． 【答案】(1)方程是4倍根方程 (2)或24 【分析】 【详解】（1）解：， ， ， ， 方程是4倍根方程； （2）方程的解为， 方程是“二倍根方程”， 或12， 当时，， 当时，， 的值为或24． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 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