精品解析：新疆维吾尔自治区新疆乌鲁木齐市部分校2026-2027学年度九年级上学期第一次学情自测数学试卷

2026-2027学年第一学期九年级第一次学情诊断数学问卷 时间120分钟 满分150分 一．选择题（共9小题，每题4分，共36分） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：形如（a、b、c为常数，且）的函数是二次函数，即可判断． 【详解】解：A、中的最高次数为1，不是二次函数，故选项不符合题意； B、未明确，不一定是二次函数，故选项不符合题意； C、是分式形式，不是二次函数，故选项不符合题意； D、将整理得，符合二次函数的定义，是二次函数，故选项符合题意． 2. 用配方法解方程x2－6x＝5，下列变形正确的是（ ） A. (x－6)2＝41 B. (x－3)2＝4 C. (x－3)2＝14 D. (x－3)2＝9 【答案】C 【解析】 【分析】将常数项移到等式的右边，再在两边都配上一次项系数一半的平方即可得． 【详解】∵x2-6x=5， ∴x2-6x+9=5+9，即（x-3）2=14， 故选C． 【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【详解】解：A，，开口向下，原说法错误； B，对称轴是直线，原说法错误； C，顶点坐标为，原说法正确； D，当时，y随x的增大而增大，原说法错误； 故选C． 4. 下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程的根对应二次函数与轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间，再结合区间内函数值与的接近程度，判断近似根更靠近． 【详解】解：一元二次方程的根，就是二次函数中函数值时对应的自变量， 观察表格： 当时，，最接近； 当 时，，距离比更远； 又∵在到之间由负变正，说明的根在和之间， ∴对应的函数值更接近， ∴一元二次方程的一个近似根是． 5. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、比较二次函数的函数值的大小，根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，再求出、、到对称轴的距离，进行比较即可得出答案． 【详解】解：二次函数的抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，，，， ， 故选：D． 6. 秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染个人，那么满足的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据流感传染模型，两轮传染后总患病人数为初始人数、第一轮新增人数和第二轮新增人数之和，据此列方程． 【详解】∵ 开始有1人患了流感， 第一轮后患病人数为， 第二轮新增患病人数为， ∴ 两轮后总患病人数为， ∴， 故满足的方程为， 故选：A． 7. 一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先观察每一个选项中二次函数图象得到字母系数，的正负，接下来判断一次函数的图象中的参数，的正负； 结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的，取值一致时，即为正确答案． 【详解】解：：一次函数，二次函数，可得，不符合题意； ：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意． 8. 九年级一班的同学计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来10米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（ ） A. 方案1 B. 方案2 C. 方案3 D. 三种方案使得菜园面积一样大 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算三个方案的菜园面积进行比较即可． 【详解】解：方案1：设米，则米， 则菜园面积， 当时，此时菜园最大面积为米2； 方案2：如图，过点B作于H，则， ∵， ∴当时，的面积最大为平方米； 方案3：半圆的半径米， ∴此时菜园最大面积（米2）（米2）． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的应用，根据题意计算三个方案的最大面积是解本题的关键． 9. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故⑤不正确； 把代入得，即，故②正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 10. 将一元二次方程化成一般形式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式． 将一元二次方程化为一般形式，需通过移项使方程右边为0，并按降幂排列左边各项． 【详解】解：， 移项得， 故答案为：． 11. 若关于的一元二次方程有两个实数根，其中一根，则另一根__________． 【答案】2025 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可求解另一根． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数． 根据根与系数的关系可得： ， 已知，代入得： 解得：． 12. 已知二次函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，能够将增减性与对称轴及开口方向联系起来是解题关键．根据二次函数的图象和性质即可得解． 【详解】二次函数开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而减小， ， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是________________ 【答案】（或） 【解析】 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再根据平移规律“左加右减，上加下减”，即可求解． 【详解】解：将原抛物线配方化为顶点式得： ． 根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”，将抛物线向左平移个单位，自变量加，再向下平移个单位，整体减，可得： ． 整理得：． 化为一般式得． 14. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是__________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵对称轴为直线，且该抛物线与轴的一个交点为， ∴该抛物线与轴的另一个交点为， ∵函数图象开口向下， ∴不等式的解集是或． 15. 如图，点、、、...、在抛物线图象上，点、、、...、在抛物线的对称轴上，若、、...、都为等边三角形（点是抛物线的顶点）且，则的坐标为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求得的坐标，进而根据，以及等边三角形的性质求得，找到规律，进而求得的坐标． 【详解】如图，过点作 点、、、...、在抛物线的对称轴上，对称轴为 则点、、、...、的横坐标为， ， ， 在抛物线上， 解得 抛物线解析式为： 设， ， 则的纵坐标为，的横坐标为 解得（舍去）或 的纵坐标为，的横坐标为，即 点、、、...、在抛物线上，且在第一象限， 纵坐标为 同理可得的纵坐标为，横坐标为 …… 的纵坐标为，横坐标为 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的性质，勾股定理，坐标系中点的规律问题，找到规律是解题的关键． 三．解答题（共8小题，共90分） 16. 解一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），； （2），； （3），． 【解析】 【小问1详解】 解：， 因式分解得， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得， 整理得， 或， 解得，； 【小问3详解】 解：， 整理得， 因式分解得， 或， 解得，． 17. 解决问题 （1）生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ （2）是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 【答案】（1）这种植物每个支干长出6个小分支 （2）存在三边长是三个连续正整数的直角三角形，这样的直角三角形有1个 【解析】 【分析】（1）设这种植物每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43建立方程求解即可； （2）假设存在三边长是三个连续正整数的直角三角形，设这个直角三角形的三边长分别为，利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设这种植物每个支干长出x个小分支， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：这种植物每个支干长出6个小分支； 【小问2详解】 解：假设存在三边长是三个连续正整数的直角三角形， 设这个直角三角形的三边长分别为， 由勾股定理得， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴存在三边长是三个连续正整数的直角三角形，这样的直角三角形有1个． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1）证明：在一元二次方程中，，，， ∴根的判别式， ∵无论取何实数，， ∴，即， ∴ 方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，代入已知等式求解的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵、是方程的两根， ∴由根与系数的关系得：，， 将上述两式代入得：， 整理得：， 解得． 19. 已知二次函数，完成下列各题： （1）该抛物线的顶点坐标是________，对称轴是直线____； （2）请在图中的网格中建立合适的平面直角坐标系，画出该抛物线的简图； （3）根据图象回答：当的取值范围为_________时，． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴该抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线； 【小问2详解】 解：列表得： 建立平面直角坐标系并描点连线后得到该抛物线的简图略； 【小问3详解】 解：根据图象可得：当的取值范围为或时，． 20. 如图，用长为的篱笆和一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门． （1）设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为__________． （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽． （3）在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到．请说明理由．猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？ 【答案】（1） （2）此时花圃的长为9米，宽为5米 （3）这个花圃的面积不能达到；这个花圃面积最大可以做到． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，配方法的应用，列代数式： （1）用篱笆的总长减去三个的长，然后加上两个门的长即可表示出； （2）根据长方形的面积公式列方程求解即可； （3）长方形的面积公式列方程，看方程是否有符合题意的解即可；利用配方法得到，再由偶次方的非负性即可得到答案． 【小问1详解】 解：设花圃的宽为x米， 则米， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可得：， ∴ 解得：，， 当时，，不符合题意，故舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的长为9米，宽为5米； 【小问3详解】 解：当时，则， ∴， ∴此时原方程无解， ∴这个花圃的面积不能达到 ， ∵， ∴， ∴这个花圃面积最大可以做到． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 材料 如图，某经济开发区计划在道路上方搭建一座抛物线形彩虹桥，已知道路的宽为（路内侧两边各有宽的绿化带，其余路面正常通行），桥面最高处与路面的距离为． （1）任务1：以所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求该抛物线形彩虹桥的解析式． （2）任务2：按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路的正常通行，求支撑柱的最大高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，确定抛物线顶点坐标和点B坐标，利用待定系数法求解即可； （2）根据“确保道路正常通行”确定支撑柱的横坐标范围，代入抛物线解析式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，根据题意建立平面直角坐标系： ∴， ∴顶点，点， 可设该抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵要确保道路的正常通行， ∴两个支撑柱之间的距离最少为， ∵支撑柱对称安置且要确保道路正常通行， ∴支撑柱到的距离至少为， 令，则， 即支撑柱的最大高度为． 22. 2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某旅游景点紧抓春节消费机遇，自春节假期开始售卖马年吉祥物套装，且线上线下同步销售．该套装因做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其中每套进价为40元，经市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量（套）与销售单价（元/套）之间的关系如图所示： （1）求该景点马年吉祥物套装的月销售量与销售单价的函数表达式； （2）若该景点希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ （3）当该景点马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）60元 （3）当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）由题意得，每套利润为元，月销售量为套，再根据单件利润乘以销售量等于总利润列出方程，求出解得出符合题意的结果； （3）先设每月销售利润为w元，再根据单件利润乘以销售量得出二次函数，然后求出二次函数的最值即可． 【小问1详解】 解：设月销售量与销售单价的函数表达式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴月销售量与销售单价的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得，每套利润为元，月销售量为套，则 ， 解得：， ∵要尽可能让利于顾客， ∴选择较低定价， 答：每套吉祥物套装应定价60元； 【小问3详解】 解：设每月销售利润为w元，根据题意得： ， 根据题意得：， 解得：， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为6250， 答：当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元． 23. 定义：在平面直角坐标系中一点，点P的纵坐标n与其横坐标m的差称为点P的“影差”．例如：点的“影差”为：． （1）已知二次函数，当，时“影差”值为0． ①求b，c的值； ②求此时该二次函数点“影差”最大值． （2）若二次函数的“影差”最小值为，点M与点N分别是此二次函数图象与x轴和y轴的交点，且点M与点N的“影差”相等，求c的值． 【答案】（1）①，；②二次函数点“影差”有最大值为4 （2）c的值为1或3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数与不等式，熟知二次函数相关的性质是解题的关键． （1）①根据题意可得经过，，把，代入二次函数即可解答；②根据“影差”的定义得到新的二次函数解析式，利用二次函数的性质即可解答； （2）由题意求出，由点与点的“影差”相等，得到，把代入，可得，根据二次函数的“影差”最小值为，即可求得． 【小问1详解】 解：①根据题意可得经过，， 把，代入二次函数可得， ，解得， ∴，； ②二次函数的解析式为， 则该二次函数点“影差”为， 当时，该二次函数点“影差”有最大值为4； 【小问2详解】 解：令，可得， ∴， ∵点M与点N的“影差”相等， ∴，把代入， 可得：， ∵， ∴，即， ∴设二次函数图象上任一点为， ∵“影差”最小值为， ∴的最小值为， 则可得，，即， 解得，， 故c的值为1或3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级第一次学情诊断数学问卷 时间120分钟 满分150分 一．选择题（共9小题，每题4分，共36分） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程x2－6x＝5，下列变形正确的是（ ） A. (x－6)2＝41 B. (x－3)2＝4 C. (x－3)2＝14 D. (x－3)2＝9 3. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 4. 下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（ ） A. B. C. D. 5. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染个人，那么满足的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 九年级一班的同学计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来10米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（ ） A. 方案1 B. 方案2 C. 方案3 D. 三种方案使得菜园面积一样大 9. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①②④ 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 10. 将一元二次方程化成一般形式为______． 11. 若关于的一元二次方程有两个实数根，其中一根，则另一根__________． 12. 已知二次函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是________． 13. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是________________ 14. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是__________ 15. 如图，点、、、...、在抛物线图象上，点、、、...、在抛物线的对称轴上，若、、...、都为等边三角形（点是抛物线的顶点）且，则的坐标为______． 三．解答题（共8小题，共90分） 16. 解一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 17. 解决问题 （1）生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ （2）是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 19. 已知二次函数，完成下列各题： （1）该抛物线的顶点坐标是________，对称轴是直线____； （2）请在图中的网格中建立合适的平面直角坐标系，画出该抛物线的简图； （3）根据图象回答：当的取值范围为_________时，． 20. 如图，用长为的篱笆和一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门． （1）设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为__________． （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽． （3）在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到．请说明理由．猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？ 21. 根据以下素材，探索完成任务． 材料 如图，某经济开发区计划在道路上方搭建一座抛物线形彩虹桥，已知道路的宽为（路内侧两边各有宽的绿化带，其余路面正常通行），桥面最高处与路面的距离为． （1）任务1：以所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求该抛物线形彩虹桥的解析式． （2）任务2：按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路的正常通行，求支撑柱的最大高度． 22. 2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某旅游景点紧抓春节消费机遇，自春节假期开始售卖马年吉祥物套装，且线上线下同步销售．该套装因做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其中每套进价为40元，经市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量（套）与销售单价（元/套）之间的关系如图所示： （1）求该景点马年吉祥物套装的月销售量与销售单价的函数表达式； （2）若该景点希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ （3）当该景点马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 23. 定义：在平面直角坐标系中一点，点P的纵坐标n与其横坐标m的差称为点P的“影差”．例如：点的“影差”为：． （1）已知二次函数，当，时“影差”值为0． ①求b，c的值； ②求此时该二次函数点“影差”最大值． （2）若二次函数的“影差”最小值为，点M与点N分别是此二次函数图象与x轴和y轴的交点，且点M与点N的“影差”相等，求c的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $