专题03 一元二次方程的应用重难点题型专训（2个知识点+12大题型+自我检测）-2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题03 一元二次方程的应用重难点题型专训（2个知识点+12大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、实数范围内分解因式 1 题型二、传播问题(一元二次方程的应用) 2 题型三、增长率问题(一元二次方程的应用) 3 题型四、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 4 题型五、数字问题(一元二次方程的应用) 5 题型六、营销问题(一元二次方程的应用) 6 题型七、动态几何问题(一元二次方程的应用) 7 题型八、工程问题(一元二次方程的应用) 8 题型九、行程问题(一元二次方程的应用) 9 题型十、图表信息题(一元二次方程的应用) 10 题型十一、握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 11 题型十二、其他问题(一元二次方程的应用) 12 第二部分·练提高题型 题型一、一元二次方程与动点问题相关 1 题型二、一元二次方程应用的规律探究问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 列一元二次方程解决问题 用一元二次方程解决问题的步骤如下： 1. 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 2. 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 3. 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 4. 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 5. 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 6. 答(写出答案，切忌答非所问). 【即时训练】 1．（21-22八年级下·山东青岛·期中）列方程解应用题 某商店经销某种日用品，进价为每个20元．如果以每个30元销售，每天可售出100个．根据以往销售经验，此种日用品的销售单价每涨1元，每天的销售量将减少2个．若商店每天要获利1800元，应将销售的单价定多少元？ 【答案】50元 【分析】设销售的单价定为元，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设应将销售的单价定为元， 根据题意，得， 整理得：， 解得：， 答：应将销售的单价定为50元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系列出方程是解题的关键． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）列方程解应用题：某中学2024投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，预计2026年投资万元，求该学校为新增电脑投资的年平均增长率． 【答案】该学校为新增电脑投资的年平均增长率为 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用——增长率模型． 设该学校为新增电脑投资的年平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设该学校为新增电脑投资的年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该学校为新增电脑投资的年平均增长率为 ． 知识点02 一元二次方程解决问题的类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a； (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)； (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量). 3.利息问题与销售问题 （1）利息有关概念： · 本金：顾客存入银行的钱叫本金. · 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. · 本息和：本金和利息的和叫本息和. · 期数：存入银行的时间叫期数. · 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. （2）利息相关公式: · 利息=本金×利率×期数 · 利息税=利息×税率 · 本金×(1+利率×期数)=本息和 · 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) （3）销售问题中的常用等量关系 利润＝售价－进价（成本） 总利润＝每件的利润×总件数 利润率＝×100% 售价＝×标价 进价×（1＋利润率）＝标价× 【即时训练】 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段检测）一个两位数，个位数字与十位数字的和为，并且个位数字的平方比十位数字大，求这个两位数． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，根据题意，设这个两位数的个位数字为，则十位数字为，由此列式求解即可． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为， 根据题意，得，整理，得， 解得（不符合题意，舍去），， ， 这个两位数为． 2．（25-26八年级下·全国·暑假作业）某种生活用品平均每天销售40件，每件盈利20元，每件每降价1元，每天可多销售10件，如果想每天盈利1350元，每件应降价多少元？ 【答案】每件应降价5元或11元 【分析】设每件应降价元，则每件盈利元，平均每天销售件，根据每天盈利1350元，建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设每件应降价元， 由题意得：， 整理得：， 解得或（均符合题意）， 答：每件应降价5元或11元． 【基础题型一 实数范围内分解因式】 【例1】（21-22七年级下·浙江宁波·阶段检测）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，变形后不是整式乘积的形式，不符合题意． B．，变形后不是整式乘积的形式，不符合题意． C．，变形后不是整式乘积的形式，不符合题意． D．将多项式化为两个整式的乘积形式，符合题意． 【例2】（25-26八年级下·江苏淮安·期末）因式分解：_____． 【答案】 【详解】解：． 1．（25-26八年级上·全国·期中）若二次三项式在实数范围内能因式分解，则a的取值范围是（　　） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，根的判别式，根据二次三项式的定义得到，根据其在实数范围内能够因式分解，得到，进行求解即可． 【详解】解：二次三项式在实数范围内能因式分解，则且， 解得且， 故选：B． 2．（25-26八年级上·上海·期末）在实数范围内分解因式：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了在实数范围内因式分解，利用配方法将原式变形，再利用平方差公式进行因式分解，由此求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·广东梅州·期末）在实数范围内分解因式：． 丽华的解题过程如下： 解：原式． 请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，请把正确的解题过程写出来． 【答案】不正确， 正确的解题过程如下： 原式 【分析】分解因式需要分解至不能再分解为止，利用平方差公式进行两次分解即可得到正确结果． 【详解】略 【基础题型二 传播问题（一元二次方程的应用）】 【例1】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设1人每次都能教会x名同学，根据两次教会全班36人，再根据题意列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设1人每次都能教会x名同学， 根据题意得：． 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·海南三亚·阶段检测）有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，可列得方程_____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，根据题意，设每轮传染中平均一人传染人，由此列方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染人， 根据题意得，， 整理得得，． 故答案为：． 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）某种植物的一根主干长出了若干个枝干，每个枝干又长出了同样数目的小分支．经统计，这根主干与枝干和小分支共有个，则每个枝干长出了多少个小分支? 【答案】每个枝干长出个小分支 【分析】设每个枝干长出的小分支的数目是个，则共有个小分支，根据这根主干与枝干和小分支共有个列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每个枝干长出的小分支的数目是个， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：每个枝干长出个小分支． 2．（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段检测）某名同学参加了学校统一组织的某项实验培训，回到班上后，第一节课他教会了若干名同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36名同学会做这项实验．求每节课每名同学教会多少名同学做实验？ 【答案】5 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出两节课教会的人数是解题关键． 设平均每节课一人教会x人，第一节课后会做的有人，第二节课教会人，会做的有人，据此列方程求解即可． 【详解】解：设每节课一人教会x人，根据题意可得： ， 解得：（不合题意舍去） 答：每节课一人教会5人． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． (1)每轮平均1人会传染多少人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 【答案】(1)每轮平均1人会传染8人 (2)三轮传染后，患病的人数会超过700 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． （1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论． 【详解】（1）解：由题意，得，解得（不合题意，舍去）． 故每轮平均1人会传染8人． （2）解：三轮传染后的人数为． ， ∴三轮传染后，患病的人数会超过700． 【基础题型三 增长率问题（一元二次方程的应用）】 【例1】（25-26八年级下·山东威海·期末）某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出第二、三、四季度实现垃圾分类的社区个数，根据总个数为285列方程，即可判断正确选项． 【详解】解：∵第二季度实现垃圾分类的社区个数为，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率为， ∴第三季度实现垃圾分类的社区个数为，第四季度实现垃圾分类的社区个数为， ∵到本年底全部285个社区都要实现垃圾分类， ∴三个季度实现垃圾分类的总个数为285， 可得方程， 因此正确选项为D． 【例2】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）近年来，快递行业快速发展，据调查，某家快递公司，去年十月份与十二月份完成投递的快递总件数分别为万件和万件，则月平均增长率为_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用——增长率问题，关键是掌握增长率问题的模型：若初始量为，平均增长率为，经过次增长后的量为，则有． 【详解】解：设月平均增长率为． 根据题意，得， 开平方，得． ∵增长率， ∴， 解得； 故答案为：． 1．（26-27八年级上·全国·单元复习）某公司月份的营业额为万，月份的营业额为万，已知，月的营业额月增长率相同，求月增长率． 【答案】月增长率为． 【分析】利用增长率公式，列出一元二次方程求解，其中为初始量，月增长率为，经过次增长后，变为． 【详解】解：设月增长率为， 由题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：月增长率为． 2．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）某公司通过技术创新开发了一条芯片生产线，开工第一季度生产200万个芯片，第三季度生产288万个芯片． (1)已知每季度生产量的平均增长率相等，求每季度生产量的平均增长率； (2)1条生产线最大产能是600万个/季度．若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该需要几条生产线？ 【答案】(1) 每季度生产量的平均增长率为； (2) 应该需要条生产线． 【分析】（1）根据第一季度、第三季度产量与平均增长率的等量关系列一元二次方程求解； （2）根据总产能与生产线数量、单条产能的等量关系列方程，结合节省投入的要求选取最优解． 【详解】（1）解：设每季度生产量的平均增长率为， ∵ 第一季度生产200万个芯片，第三季度生产288万个芯片，每季度生产量的平均增长率相等， ∴， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：每季度生产量的平均增长率为； （2）解：设需要条生产线， ∵1条生产线最大产能是600万个/季度，每增加1条生产线，每条生产线的最大产能减少20万个/季度， ∴单条生产线的最大产能为万个/季度， ∵要保证每季度生产芯片2600万个， ∴， 整理得 ， 解得，， ∵要节省投入成本，生产线越多投入成本越大， ∴选择生产线数量较少的解，即， 答：应该需要条生产线． 3．（26-27八年级上·河南许昌·阶段检测）随着消费观念的转变，中药代茶饮“火爆出圈”，成为众多年轻人的饮品首选．据统计，某购物网站上某品牌的中药茶饮包6月份的销量为5万盒，8月份的销量为万盒． (1)求该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率； (2)假设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率保持不变，则9月份的销量能不能达到万盒？请通过计算说明． 【答案】(1) 该品牌中药茶饮包销量的月平均增长率为 (2) 解：9月份的销量能达到6.6万盒，计算说明如下： 9月份销量为（万盒）， ∵， ∴9月份的销量能达到6.6万盒． 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据6月、8月的销量关系列一元二次方程求解； （2）用8月销量乘（月平均增长率）得到9月的销量，与6.6万盒比较即可判断． 【详解】（1）解：设该品牌中药茶饮包销量的月平均增长率为， 由题意得， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， 答： 该品牌中药茶饮包销量的月平均增长率为； （2）略 【基础题型四 与图形有关的问题（一元二次方程的应用）】 【例1】（2026·广东深圳·二模）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为7米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块12平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出矩形的另一条边长，根据矩形的面积公式列出方程即可. 【详解】解：设矩形的一边长为米，则另一条边长为米，由题意，得： . 【例2】（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为_______米． 【答案】1 【分析】设石板小径的宽度为米，利用平移法将剩余草坪拼成一个长方形，根据剩余草坪面积等于总面积乘以剩余比例列出一元二次方程，求解并取合适的值即可． 【详解】解：设石板小径的宽度为米， 根据题意，利用平移法，剩余草坪可视为长为米，宽为米的长方形， 草坪总面积为平方米， 石板小径的总面积占草坪总面积的，则剩余草坪面积占总面积的， 列方程得： ， 解得： ， 当时，，不合题意，舍去， 所以． 即石板小径的宽度为1米． 1．（26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）用一条长的绳子能否围成一个面积为的矩形区域？如果能围成，求该矩形的长和宽． 【答案】能围成面积为的矩形区域，该矩形的长为，宽为． 【分析】先根据绳子总长，设矩形一边长，表示出邻边，利用矩形面积列出一元二次方程，再解方程求出边长，检验结果是否符合实际． 【详解】解：设矩形的一边长为（长宽），则邻边长为． ， 解得，， 矩形的长大于宽， 长为，宽为． 答：能围成面积为的矩形区域，该矩形的长为，宽为． 2．（26-27八年级上·北京·阶段检测）如图是某矩形停车场的平面示意图，从“入口”至“出口”均是车道，停车场的长为米，宽为米，停车场内的车道宽度都相等，若停车位的占地总面积为平方米，求车道的宽度． 【答案】车道的宽度为6米 【分析】设车道宽度为x米，根据图片可列出一元二次方程，求出x的值，并判断是否符合题意即可． 【详解】解：设车道宽度为x米， 由图可得， 解得（舍去）， 答：车道宽度为6米． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）在一块长、宽的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．你能给出设计方案吗？ (1)小明的设计方案如图（1）所示，其中花园四周小路的宽度都相等，求小路的宽度； (2)小亮的设计方案如图（2）所示，其中花园每个角上的扇形都相同，求图（2）中的x（单位：m）． 【答案】(1)小路的宽度为； (2)． 【分析】（1）设小路宽为米，列方程求解就可判断小明的结果是否正确； （2）由题意可知四个扇形刚好可以合成一个半径为米的圆，由此可列出方程求解． 【详解】（1）解：设小路的宽为ym，则由题意可得： ， 解得：（不合题意，舍去） ∴， 答：小路的宽度为； （2）解：四个角上的四个扇形可合并成一个圆，根据题意可得： ， 解得（负值已舍去）． 【基础题型五 数字问题（一元二次方程的应用）】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如果两个连续偶数的积为288，那么这两个数的和为（   ） A．34 B．34或 C．35或 D． 【答案】B 【分析】先设出其中一个偶数，根据两个连续偶数的关系表示出另一个偶数，再根据题目列出方程，最后求出这两个数的和。 【详解】解：设较小的偶数为，较大的偶数为 由题意可得： 解得： 当时，，这两个数之和为34 当时，，这两个数之和为-34 这两个数的和为34或-34 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用代数式表示两个连续的偶数，根据等量关系列出方程是解决问题的关键。 【例2】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）2026年7日1日是建党105周年纪念日，在该月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若方框圈出的四个数中，最小的数与最大的数的乘积为84，则该方框圈出的最小的数为________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出最大数与最小数的差值是解题的关键． 设圈出的四个数中最小数为，则最大的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的乘积为，即可得出关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设这个最小数为，则最大数为， 依题意，得， 整理，得， 解得，，（不合题意，舍去）， 故答案为：这个最小数为6． 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）一个两位数等于它十位上的数与个位上的数的积的倍．已知它十位上的数比个位上的数小，求这个两位数． 【答案】这个两位数是. 【分析】设个位上的数为，用含未知数的式子表示十位数字与这个两位数，根据题目等量关系列方程，结合个位数字的整数特性筛选有效解，进而求出这个两位数． 【详解】解：设这个两位数个位上的数为，则十位上的数为． 根据题意，得 整理，得 解得，， 个位数字为到的整数， 不符合题意，舍去． 十位数字为， 这个两位数为． 答：这个两位数是． 2．（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）两个相邻偶数的平方和的平均数为，则一定是偶数．如：，，为偶数． (1)偶数12和14是否满足上述结论，请说明理由； (2)设两个相邻偶数为和，请论证上述结论； (3)若．求符合要求的偶数． 【答案】(1) 满足上述结论； 理由如下： ， ， 为偶数； (2) ， 为偶数； 故上述结论正确； (3)，；， 【分析】本题考查了整数规律问题及一元二次方程的应用； （1）根据已知条件进行运算，即可求解； （2）计算的结果是否能被整除，即可求解； （3）根据规律可得方程，解方程，即可求解； 理解规律，并能根据规律得到一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． （3）解：由题意得 ， 整理得：， 解得：，， ，， 或，， 故符合要求的偶数为，；，． 3．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）阅读与思考：下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细阅读并完成任务． 求为正整数）方法欣赏在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前行的点数计算”．老师给出了提示：．课后我们小组收集了“求为正整数）的值”这个问题的两种解法供大家欣赏． 方法1：把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2 ．．．．．．．．①   则．．．．．．② ①+②得   即： ∴． 方法2：“递归法”（设． 由完全平方公式可得，． 我们列出特殊情况：； ； ； … ．两边分别相加可得，． ． 任务： (1)计算：　　； (2)我们知道：；；；则 ； (3)列方程解答问题：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？” 【答案】(1)20706 (2) (3)这群人共有11人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及数字的变化规律 （1）根据方法1：“头尾相加法”，即可解答； （2）根据方法2：“递归法”计算即可； （3）设这群人共有人，根据等差数列求和公式和平均数公式得到关于梨子个数的方程，解方程求解即可解答． 【详解】（1）， 故答案为：20706； （2）令 ..... ①， ....................② ②①：有， 故答案为：； （3）设这群人共有人， 由题意，得， 即， 解方程，得（舍去），， 答：这群人共有11人． 【基础题型六 营销问题（一元二次方程的应用）】 【例1】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）商场将进价为2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元，同时又要使消费者得到更多实惠，每台冰箱应降价（    ） A．100元 B．200元 C．300元 D．400元 【答案】B 【分析】本题考查“一元二次方程的应用”，根据题意列出方程是解题关键． 设降价x元，根据题意，分别用x表示销售量和售价，根据利润（售价进价）销售量，列方程求解即可． 【详解】设每台冰箱降价x元，则售价为元， 由题意，得每天的销售量为（台）， 由题意，可列方程， 整理得， 解得或， ∵要让消费者得到更多实惠，即降价幅度尽可能大， ∴应降价200元， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）商场将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时每天能卖出30件．经调查发现，每降价1元，每天可多卖出5件，若降价元，每天将盈利1080元，则可列方程为_______． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设降价元，则每件利润为元，销售量为，根据“每天将盈利1080元”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设降价元，则每件利润为元，销售量为， 由题意得：， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）某水果超市经销一种高档水果，售价每千克50元． (1)若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若按现价销售，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该超市希望每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】(1)每次下降的百分率为 (2)每千克应涨价元 【分析】（1）设每次下降的百分率为，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设每千克应涨价元，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为， 由题意可得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴每次下降的百分率为； （2）解：设每千克应涨价元， 由题意可得， 整理得， 解得，， ∵在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过8元， ∴， ∴每千克应涨价元． 2．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）列方程解下列问题： 每一届足球世界杯都是巨大的商机，在2026世界杯期间，某工厂设计生产的周边产品“冰箱贴”的出货量达10万个．工厂安排甲、乙两个车间来生产，其中甲车间生产4万个，乙车间生产6万个，已知乙车间每天生产的数量是甲车间每天生产数量的1.2倍，结果甲车间比乙车间少用2天完成生产任务． (1)求甲、乙两车间每天各能生产多少万个“冰箱贴”？ (2)某商店经销此款进价为每个40元的世界杯周边产品“冰箱贴”，按每个元出售，一周卖出个，获利6750元，其中，求的值． 【答案】(1) 甲车间每天能生产0.5万个“冰箱贴”，乙车间每天能生产0.6万个“冰箱贴” (2) 的值为5 【分析】 （1）设甲车间日产量为未知数，根据乙的效率关系表示乙的日产量，结合时间差列分式方程求解； （2）根据总利润的等量关系列一元二次方程，结合的条件舍去不符合的根. 【详解】（1）解：设甲车间每天能生产万个“冰箱贴”，则乙车间每天能生产万个“冰箱贴”， 由题意得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意； ； 答：甲车间每天能生产0.5万个“冰箱贴”，乙车间每天能生产0.6万个“冰箱贴”； （2）解：单个冰箱贴的利润为元，即元， 由题意得， 整理得， 解得，， ， 不符合题意，舍去， . 3．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某商场对接的工厂车间借助智能化，对某种衬衫进行一体化加工，生产效率提升，该衬衫4月份生产2500件，6月份生产3600件． 素材2 该商场销售这批衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． 问题解决 (1)该商场对接的工厂车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率是多少？ (2)为使降价后商场销售这批衬衫每天赢利1250元，那么衬衫的单价应该降多少元？ 【答案】(1) 该商场对接的工厂车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为 (2) 衬衫的单价应该降15元 【分析】（1）利用月平均增长率的数量关系列一元二次方程求解； （2）利用总利润等于单件利润乘以销售量的等量关系列一元二次方程求解． 【详解】（1） 解：设4月份到6月份生产数量的月平均增长率为，则6月份产量为件， 根据题意可知，， 解得，（不符合实际意义，舍去）， 答：4月份到6月份生产数量的月平均增长率是． （2）解：设衬衫的单价降元， ∵原平均每天售出20件，每件赢利40元，单价每降1元多售2件， ∴降价后每件利润为元，每天销售量为件， ∵每天赢利1250元， ∴， 解得， 答：衬衫的单价应该降15元． 【基础题型七 动态几何问题（一元二次方程的应用）】 【例1】（24-25八年级下·安徽安庆·阶段检测）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（   ） A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型． 根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题． 【详解】解：设运动时间为t秒，则有，， 即， ， ， ， 解得或20（舍去）， 时，的面积为． 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图，中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动，那么_____秒后，线段将分成面积的两部分． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题关键．设运动时间为，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒， 根据题意得：，， ，，， ，， ， 线段将分成面积的两部分， 或， 即或， 整理得：或（无实数解）， 解得：，， 即线段将分成面积的两部分，运动时间为或秒． 故答案为：或． 1．（25-26八年级上·广东中山·期中）如图所示， 中，，，，点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 【答案】 解：不能，理由如下： 设经过x秒，线段能将分成面积相等的两部分，即是 面积的一半， 由题意知：，，则， ， ， ∵， ∴此方程无解， ∴线段不能将 分成面积相等的两部分． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，设经过x秒，线段能将分成面积相等的两部分，由题意知：，，则，根据的面积是的面积的一半，列出一元二次方程，化为一般式，再利用根的判别式可得结论． 【详解】略 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在等腰直角三角形中，，点从点开始以每秒2个单位长度的速度沿边向点运动，过点作，分别交于点的面积能否为7？如果能，请求出点运动的时间；如果不能，请说明理由． 【答案】点运动的时间为或时，的面积为7 【分析】设动点从点出发移动个单位时，的面积等于，根据等腰三角形的性质和平行四边形的面积公式列方程求解即可. 【详解】解：的面积能为7． 设点从点出发运动个单位长度时，的面积为7． 依题意，得， 解得． 故点运动的时间为或时，的面积为7． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用三角形和平行四边形的面积得出等量关系是解决问题的关键. 3．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿着运动；点从点出发，以的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点运动到点时，点和点的运动停止． (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积为？ (3)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 不会，理由如下： 由（2）知， ， 当的面积会等于面积的一半时，则 ， 整理得， 此时， ∴的面积不会等于面积的一半． 【分析】本题考查的了勾股定理，列代数式，一元二次方程的应用． （1）设运动时间为，则，，，利用勾股定理得出关于t的方程，解方程即可； （2）根据题意得，解方程即可； （3）当的面积会等于面积的一半时，则，再根据的值可得结论． 【详解】（1）解：设运动时间为，则，，， ∵，的长为， ∴在中，，即， 解得， 即经过，的长为； （2）解：由（1）得，， ∵的面积为， ∴，即， 解得或， ∵当点运动到点时，点和点的运动停止， ∴，即， ∴经过或，的面积为； （3）解：略． 【基础题型八 工程问题（一元二次方程的应用）】 【例1】（2026·辽宁鞍山·一模）某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 【例2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 1．（25-26八年级下·上海静安·期中）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【分析】设现在计划每天加固的长度为x米，则原计划每天加固的长度为米，根据“现计划比原计划所需天数缩短2天”列分式方程，即可求解． 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验． 2．（25-26八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 3．（2026·重庆·一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万． (1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米． (2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值． 【答案】(1)甲最多施工2500米 (2)a的值为6 【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米， 依题意，得：12（5000-x）≥×10x， 解得：x≤2500， 答：甲最多施工2500米． （2）依题意，得： ， 整理，得：， 解得：，， 当时，总成本为：（万元）， ∵， ∴不符合题意舍去； 当时，总成本为：（万元）， ∵， ∴符合题意； 答：a的值为6． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【基础题型九 行程问题（一元二次方程的应用）】 【例1】（2026·广东茂名·二模）2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均增长率的增长规律求出第二次调整后的速度，根据调整后最终速度为即可列出正确方程． 【详解】解：∵初始速度为，两次调整的平均增长率为， ∴第一次调整后速度为， 第二次调整是在第一次调整后的速度基础上再次增长， 因此第二次调整后速度为， 又∵调整后最终速度为， ∴可列方程． 【例2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）一个小球以速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动．小球滚动约用了________秒（结果保留小数点后一位） 【答案】1.2． 【分析】利用等量关系：速度时间=路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可． 【详解】由题意得：小球的平均每秒减少的滚动速度是， 设小球滚动5时约用了， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， 故小球滚动用了1.2秒． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球的运动减少的速度，读懂题意是解题的关键． 1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少； (2)小球滚动到用了秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用等量关系：速度×时间＝路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可． 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少； （2）解：设小球滚动到用了， 即， 解得（舍），． 答：小球滚动到用了秒． 2．（2026·安徽宣城·一模）甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 【答案】(1)7分钟 (2)15分钟 【分析】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可得甲、乙开始运动后几分钟相遇； （2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多少分钟． 【详解】（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有+5n＝70， 整理得n2+13n﹣140＝0， 解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去） 第1次相遇是在开始后7分钟． 答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置； （2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有5n＝3×70， 整理得n2+13n﹣420＝0， 解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去） 故第2次相遇是在开始后15分钟． 答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关键． 3．（2026·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 【基础题型十 图表信息题（一元二次方程的应用）】 【例1】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 【答案】12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】设最小数为x，则最大数为， ， ， 解得（舍去）， 所以小欧框出的最小数是12． 【例2】（21-22八年级上·广东广州·期末）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按元缴纳水费． (1)若，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ (2)若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 【答案】(1)该用户应缴纳水费元 (2)10 【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按元缴纳水费”，即可求解； （2）当时，根据4月份的用水量和水费总额建立方程求出a的值，再根据5月份的用水量和水费总额验证a的值即可；当时，根据4月份的用水量和水费总额建立方程求出a的值即可． 【详解】（1）解：元， 答：该用户应缴纳水费元； （2）解：当时， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，， ∴符合题意； 当时，则， 解得（舍去）； 综上所述，． 1．（26-27八年级上·全国·单元复习）某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量不超过，那么这个月这户居民只缴10元电费；如果超过，那么这个月这户居民除了要缴10元电费外，超过部分按元／缴费．下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表中的数据，求的值． 月份 用电量／ 缴电费／元 5 80 25 6 45 10 【答案】 【分析】根据题意列出一元二次方程求解，然后根据实际情况判定根的取舍． 【详解】解：依题意，得， 整理，得， 解得，． 月份用电，且缴电费10元， ， ． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知：p为实数. p k q … … … 3 4 5 6 7 … … … 根据上表中的规律，回答下列问题： (1)当p为何值时，? (2)当p为何值时，k与q的值相等？ 【答案】(1)； (2)当或时， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及数字的变化类问题，解题的关键是通过观察题目中的表格总结出各个未知数之间的关系． （1）首先根据表格总结出k、p之间的关系，然后将38代入求得p值即可； （2）根据表格中有关数字的规律找到q与p之间的关系，与上题中的关系式联立组成有关p的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 当时，， 则． 答：当时，． （2）根据题意，得 ． 当时，则有． 整理，得：． 解方程，得：． 答：当或时，． 3．（21-22八年级上·山西吕梁·期中）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 【答案】（1）②；（2）． 【分析】（1）仿照案例构造图形，即可判断正确构图； （2）仿照案例构造图形即可求得x的值． 【详解】解：（1）应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形的面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得．故正确构图的是②． 故答案为：②； （2）首先构造了如图2所示的图形． 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得． 【点睛】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程．体现了数形结合的思想． 【基础题型十一 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）】 【例1】（26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）某场比赛中每两支球队之间比赛1场，若x支球队共进行了21场比赛，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵支球队中每支球队需与其余支球队各赛1场 ∴累计比赛场次为 ∵每两支球队之间的比赛被重复计算2次 ∴实际总场次为 ∵总场次为21 ∴． 【例2】（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）期末即将到来，为激励大家，班主任要求班上每位同学给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小红所在的学习小组共写了56份留言，设该学习小组共有人，可列方程为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该学习小组有x人，则每人写份留言，共写份留言，由此即可列出方程． 【详解】解：设该学习小组有x人，则每人写份留言，共写份留言， ∴可列方程为． 故答案为：． 1．（26-27八年级上·陕西延安·阶段检测）某家庭微信群玩抢红包游戏，规定群内的每个人都要发一次红包（一次可以发多个红包），并保证群内其他人恰好都能抢到，且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包游戏结束后，群内所有人共收到90个红包，求该家庭微信群一共有多少人？ 【答案】该家庭微信群一共有10人． 【分析】以总收到红包数为等量关系，结合每人发出的红包数比总人数少1，列一元二次方程求解． 【详解】解：设该家庭微信群一共有人． 每人不能抢自己发的红包，且群内其他微信群成员能收到自己发的红包， 每人发出个红包． 群内共人， 总发出红包数为个． 总收到红包数等于总发出红包数，且总收到90个红包， ． 整理得． 因式分解得， 解得，． 为正整数， 不符合题意，舍去． ． 答：该家庭微信群一共有10人． 2．（26-27八年级上·天津·阶段检测）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手______次；若参加聚会的人数为6，则共握手______次； (2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． 【答案】(1)，15； (2)10人 【分析】(1) n个人两两握手，每人需与其余人各握一次手，共次，但每次握手被重复计算了一次，故握手总次数为，分别代入和即可． (2) 设参加聚会的有人，根据握手总次数公式列方程，解方程并检验即可． 【详解】（1）解：当时，握手次数（次）， 当时，握手次数（次）． （2）解：设参加聚会的有人， 由题意得：， 整理得：， ， 或， 解得：，（不合题意，舍去）， 参加聚会的有10人． 3．（24-25八年级上·广东汕尾·阶段检测）某单位准备举办羽毛球邀请赛，赛制为单循环（每两位选手之间各比赛一场），计划一共举行45场比赛． (1)求该邀请赛的参赛选手人数； (2)为保证比赛正常进行，邀请方与羽毛球商两次协商后，羽毛球商由原来每桶羽毛球售价50元，降为每桶32元，求平均每次协商后降价的百分率． 【答案】(1)10人； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该邀请赛的参赛选手人数为x，根据实行单循环赛制共赛了45场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设平均每次协商后降价的百分率为a，根据两次降价列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设该邀请赛的参赛选手人数为x人． 根据题意： 解得：，（不合题意，舍去） 答：该邀请赛的参赛人数为10人； （2）解：设平均每次协商后降价的百分率为a． 根据题意： 解得：，（不合题意，舍去） 答：平均每次协商后降价的百分率为． 【基础题型十二 其他问题（一元二次方程的应用）】 【例1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到20元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总盈利每盆总株数平均单株盈利”，分别表示出每盆总株数和平均单株盈利，即可列出方程． 【详解】解：设每盆多植株， ∵原来每盆植3株， ∴现在每盆总株数为株， ∵每增加1株，平均每株盈利减少元， ∴增加株后，平均单株盈利为元， ∵要求每盆盈利达到20元， ∴列出方程为 ． 【例2】（26-27八年级上·全国·课后作业）为体现青春活力、健康向上的团队精神，主办方招募了一批啦啦队队员，并从中选出几名小队长，已知小队长的人数与每个小队长管理的队员人数相同，若啦啦队共有人，则选出的小队长有_______名． 【答案】 【分析】设小队长人数为人，根据总人数的等量关系列一元二次方程，取符合题意的正整数解即可． 【详解】解：设选出的小队长有名， 小队长的人数与每个小队长管理的队员人数相同， 每个小队长管理名队员，所有队员总人数为名， 啦啦队总人数为人，总人数为小队长人数加队员人数， 列方程得：， 整理得：， 因式分解得 ， 解得 ，， 人数不能为负数， 舍去， 答：选出的小队长有名． 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）请结合生活实际，提出一个与一元二次方程有关的问题，并加以解决． 【答案】提出问题： 某学校打算利用一面足够长的院墙，修建一个矩形花圃，现有总长20米的围栏材料，若要使花圃的面积为48平方米，求花圃的长和宽分别是多少米？ 解答： 解：设矩形花圃与院墙垂直的边长为x米，则与院墙平行的边长为米， 根据题意列方程：， ， ， ， 解得：，， 当时，（米）， 当时，（米）， 答：花圃的长为12米，宽为4米，或长为8米，宽为6米． （答案不唯一，合理即可） 【分析】先提出符合要求的生活实际问题，问题需包含可转化为一元二次方程的等量关系；再分析问题中的数量关系，列出一元二次方程；最后解方程并验证解的实际合理性，得到最终答案． 【详解】略 2．（26-27八年级上·全国·课后作业）建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径．经过市场调查发现：搭建一个面积为x公顷的大棚，所需建设费用与成正比例，比例系数为1.8；内部设备费用与成正比例，比例系数为6．某农户新建了一个大棚，投入的总费用为4.2万元．请计算该农户新建的这个大棚的面积．（注：总费用=建设费用+内部设备费用） 【答案】 该农户新建的这个大棚的面积为0.2公顷. 【分析】根据正比例关系分别表示建设费用与内部设备费用，利用总费用的等量关系列方程求解，舍去不符合实际意义的负根． 【详解】解：设该大棚的面积为公顷， ∵建设费用与成正比例，比例系数为1.8， ∴建设费用为万元； ∵内部设备费用与成正比例，比例系数为6， ∴内部设备费用为万元， ∵总费用建设费用内部设备费用，总费用为4.2万元， ∴， 整理得， ∴， 解得，， ∵大棚面积为正数， ∴ 不符合题意，舍去； 答：该农户新建的这个大棚的面积为0.2公顷． 3．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）列方程解应用题： 如今，无人机、机器狗等玩具备受孩子们的喜爱，某工厂安排100名工人组装无人机和机器狗，每人每天可组装12架无人机或5个机器狗，且每人每天只能组装一种产品，组装160架无人机所用的时间与组装100个机器狗所用的时间相等． (1)应安排多少名工人组装无人机，多少名工人组装机器狗？ (2)由于工厂改进组装工艺，工人每人每天比原来多组装无人机架，每人每天组装机器狗的数量比原来多，工长从组装无人机的工人中调拨人增援组装机器狗，抽调后每天组装机器狗总数量比无人机的总数量仍少180个，求的值． 【答案】(1)应安排40名工人组装无人机，60名工人组装机器狗 (2)的值为1． 【分析】（1）设安排x名工人组装无人机，则名工人组装机器狗，根据“组装160架无人机所用的时间与组装100个机器狗所用的时间相等”列方程即可求解； （2）根据“机器狗总数量比无人机总数量仍少180个”列方程即可求解． 【详解】（1）解：设安排x名工人组装无人机，则名工人组装机器狗， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解且满足题意， ， 应安排40名工人组装无人机，60名工人组装机器狗； （2）解：无人机单人日产量：架，抽调m人后，组装无人机人数： ，日总产量：， 机器狗单人日产量： 个，组装机器狗人数： ，日总产量：， 根据题意得： ， 解得或（舍去）， 即的值为1． 【提高题型一 一元二次方程与动点问题相关】 【例1】（26-27八年级上·全国·单元复习）如图，在中，．动点分别从点同时开始移动，点P在上以的速度向点B移动，点Q在上以的速度向点C移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使四边形的面积为的是（　    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设时间为，表示出，，则，根据题意四边形的面积为列方程求解即可． 【详解】解：点Q移动到点C的时间为， 设时间为， 根据题意得，，，则， ∵四边形的面积为， ∴， 解得或（舍去）， ∴能使四边形的面积为的是． 【例2】（21-22八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．当____s时，的面积为16cm2    【答案】1或4/4或1 【分析】若运动的时间为t s，则CP=（20-4t）cm，CQ=2t cm，利用三角形的面积计算公式列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：若运动的时间为t s，则CP=（20-4t）cm，CQ=2t cm， 依题意得：（20-4t）×2t=16， 整理得：t2-5t+4=0， 解得：， 答：当t=1或4s时，△CPQ的面积为16cm2． 故答案为：1或4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 1．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为，则当为何值时，的面积为． 【答案】或时，的面积为 【分析】此题主要考查了动点问题，一元二次方程的应用．利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论． 【详解】解：由题意得：，，  ， ； 由题意得：， 解得或， ∴或时，的面积为． 2．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 【答案】(1)t， (2) (3)经过5秒或9秒，的长为 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知矩形的判定和性质是解题的关键 （1）根据路程=速度乘以时间列式即可； （2）四边形为矩形，根据，列方程求解即可； （3）根据勾股定理，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）由题意，得线段， 故答案为：t，； （2）解：∵四边形为矩形， 则，即， 解得：； （3）解：过点作于点 在中，根据勾股定理， 已知， ， 则可得方程， 即， 移项可得， 两边同时开平方得； 当时， 移项可得， 解得； 当时， 移项可得， 解得； 所以，经过秒或秒，的长为． 3．（25-26八年级上·吉林延边·阶段检测）在中，，，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点停止运动，设运动时间为秒． (1)求的面积； (2)如图①，过点作、交于点、若与的面积和是的面积的，求的值； (3)如图②、点在射线上，且，以线段为边向上方作正方形．在运动过程中，若设正方形与重叠部分的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)t的值为或． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）根据三角形的面积公式求出的面积， （2）根据题意可得，，然后再与的面积和是的面积的，列出方程、解方程即可解答； （3）根据不同时间段分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）中，，， ∴， （2），， 与的面积和， 与的面积和是的面积的， ， 解得，； （3），， ， ①如图，当时，， 解得： ， 不合题意，舍去， ②如图，当时， 解得： 不合题意，舍去， 不合题意，舍去， ③如图，当时， ， 解得： ， 不合题意，舍去， 综上，的值为或时，重叠面积为． 【提高题型二 一元二次方程应用的规律探究问题】 【例1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，……依此规律，若第n个图案中，三角形的个数是点个数的3倍，则n的值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】此题考查图形的变化规律，由题意可知：第（1）个图案中，三角形的个数为：，点个数的个数为：；第（2）个图案中，三角形的个数为：，点个数的个数为：；第（3）个图案中，三角形的个数为：，点个数的个数为：；则第n个图案中，三角形的个数为：，点个数的个数为：，问题随之得解． 【详解】第（1）个图案中，三角形的个数为：，点个数的个数为：， 第（2）个图案中，三角形的个数为：，点个数的个数为：， 第（3）个图案中，三角形的个数为：，点个数的个数为：， …， ∴第n个图案中，三角形的个数为：，点个数的个数为：， ∵第n个图案中，三角形的个数是点个数的3倍， ∴，n为正整数， 解得：， 故选：C． 【例2】（25-26八年级下·全国·期末）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过x秒离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过_______秒落回地面．（结果精确到） 【答案】 【分析】根据物体落回地面时高度为0，建立方程，解方程即可． 【详解】解：∵物体落回地面时高度为0， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴物体经过秒落回地面． 1．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）商场某种商品平均每天可销售60件，每件盈利100元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律，请回答： (1)商场日销售量80件，商场日盈利可达到______元（直接填答案）； (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到8400元？ (3)若商场日盈利元，求的最大值． 【答案】(1)7200 (2)每件商品降价40元，商场日盈利可达8400元 (3)的最大值为8450元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确列出方程求解是解决问题的关键． （1）根据销量可得出降价的数目，根据降价后每件的利润销量日盈利进行计算即可； （2）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到8400元，列出方程求解即可； （3）表示出关于的方程，然后整理为关于的一元二次方程，根据判别式，可得出的最大值． 【详解】（1）解：由销量增加了20件，得降价了10元， 日盈利（元， 故答案为：7200； （2）解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到8400元， 由题意得：， 化简得：，解得：，， 该商场为了尽快减少库存，则不合题意，舍去， ， 答：每件商品降价40元，商场日盈利可达8400元； （3）解：由（2）得， 化简得：， 由得，，解得：， 故的最大值为8450， 答：商场日盈利元，的最大值为8450元． 2．（2026·安徽蚌埠·二模）【观察思考】 如图，春节期间，广场上用红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点）组成“中国结”图案． 【规律总结】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中黄梅花的盆数为 ； （2）第n个图案中红梅花的盆数可表示为 ； 【问题解决】 （3）已知按照上述规律摆放的第n个“中国结”图案中红梅花比黄梅花多68盆，结合图案中红梅花和黄梅花的排列方式及上述规律，求n的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了图形类规律探索，一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． （1）观察图案中黄梅花的盆数，得出规律即可； （2）观察图案中红梅花的盆数，得出规律即可； （3）根据题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）第1个图案中黄梅花的盆数可表示为， 第2个图案中黄梅花的盆数可表示为， 第3个图案中黄梅花的盆数可表示为， 第4个图案中黄梅花的盆数可表示为， …； 第n个图案中黄梅花的盆数可表示为； 故答案为：； （2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为， 第2个图案中红梅花的盆数可表示为， 第3个图案中红梅花的盆数可表示为， 第4个图案中红梅花的盆数可表示为， …； 第n个图案中红梅花的盆数可表示为； 故答案为：； （3）根据题意得， 整理得，即， 解得（舍去）或． 3．（24-25八年级上·广东东莞·期中）综合与实践 【主题】三角点阵前n行的点数计算 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，⋯⋯，第n行有n个点，⋯⋯，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数和是，可以发现，把两个中括号中的第一项相加，第二项相加，……，第n项相加，上式等号的右边变形为这n个小括号都等于，整个式子等于，于是得到．这就是说，三角点阵中前n行的点数和是． 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，，…，请探究出前n行的点数和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【答案】 （1）三角形点阵中前行的点数之和不可能是600． 理由：设三角形点阵中前行的点数之和是600， 根据题意，得， 整理得， ， 解方程，得，， 该方程没有正整数根， 所以三角形点阵中前行的点数之和不可能是600； （2）前行的点数之和为；（3） 【分析】本题考查了图形类规律探索和一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）根据规律，令，计算即可； （2）结合题意知，再根据题目中的规律即可求解； （3）根据规律，令，计算即可． 【详解】解：（1）略 （2）由题意得： ， ∴前行的点数之和为． （3）依题意得：， 整理得：，即， ∴（舍去），， 即：． 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式；通过求根公式求出二次方程的根，然后写出因式分解形式. 【详解】解：∵对于，判别式， ∴根为， ∴因式分解为， 故选：B. 2．（26-27八年级上·广东佛山·阶段检测）某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品200台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】需先表示出二月、三月的产量，再根据三个月总产量列方程. 【详解】解：设二、三月份平均每月增长率为， ∵一月份生产产品50台， ∴二月份产量为台，三月份产量为台， ∵一、二、三月份共生产200台， ∴可列方程. 3．（26-27八年级上·甘肃定西·阶段检测）某社区开展"科技之冬"培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信条．若设参加培训的有人，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题中所给的总共发送短信条，直接列出符合题意的一元二次方程． 【详解】解：设参加培训的有人，每人需向其余人各发一条短信，总短信条数为条，由题意得． 4．（26-27八年级上·浙江温州·阶段练习）某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出100件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出10件，若要使每周销售该款T恤获利2250元，设每件降低元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据利润售价进价，由每降价元，每星期可多卖出件，可知每件售价降低元，每星期可多卖出件，从而列出方程即可． 【详解】解：每件降低元时，单件利润为元，每周销售量为件， 根据题意得. 5．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，在一个直角墙角处，两面墙互相垂直，即，已知，．甲机器人从点沿方向以每秒的速度爬行，同时乙机器人从点沿方向以每秒的速度爬行．设运动秒后，分别到达点的位置，这时的面积恰好为，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的综合题，准确地理解题意并列出代数式是解题的关键．设运动秒后，分别到达点的位置，根据路程公式，可得、的长，继而得、的长，根据的面积恰好为，即可列出关于t的一元二次方程． 【详解】解：设运动秒后，分别到达点的位置， 由题意得，， 故选：D． 6．（21-22八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）有1人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了____人 【答案】5 【分析】设每轮传染中平均一个人传染x人，先得到第一轮传染后患流感的总人数，再推导得到第二轮传染后总的患流感人数，根据两轮后共人患流感列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人． 根据题意列方程得， 解得：，， 因为传染人数不能为负数，所以舍去， 因此每轮传染中平均一个人传染了人． 7．（21-22八年级上·陕西延安·阶段检测）一个农业合作社以64000元的成本收获了某种农产品80吨，目前可以以1200元/吨的价格售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元，那么储藏________个星期再出售这批农产品可获利122000元． 【答案】15 【分析】等量关系式：总收入成本支付各种费用，据此列方程，即可求解． 【详解】解：设储藏个星期再出售这批农产品可获利122000元，由题意得 农产品的成本：(元/吨)， ， 整理得：， 解得：； 故答案为：15． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键． 8．（2026九年级·全国·模拟预测）望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点出发，都按顺时针方向跑步，王老师的速度比望望的速度快多了，过一段时间后王老师第一次从后面追上了望望，这时王老师立即改变方向，按逆时针方向以原来的速度跑去，当他们俩再次相遇时，望望恰好跑了4圈，则王老师的速度与望望的速度之比为______． 【答案】 【分析】本题考查的是有关环形跑道的问题，解决本题的关键是设环形跑道周长为，根据甲、乙两人两次相遇时所用的时间相等建立等量关系．设王老师的速度为，望望的速度为，圆形跑道的周长为，根据望望和王老师两人两次相遇时所用的时间相等建立等量关系，然后将方程恒等变形后解方程就可解决问题． 【详解】解：设王老师的速度为，望望的速度为，圆形跑道的周长为，则 ， 整理得， 解得（舍去）或． 则王老师的速度与望望的速度之比为， 故答案为： 9．（25-26八年级下·山西大同·期末）如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 【答案】 【分析】设切去正方形的边长为 ，根据矩形的长和宽分别减去 表示出底面的长和宽，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，并根据实际意义检验根的合理性即可． 【详解】解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为． 根据题意，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 当 时，，不合题意，舍去． 所以 ，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1． 10．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看作线段，且满足．若蜻蜓的全身长为，则蜻蜓的腹部长为________．（结果保留根号） 【答案】 【分析】设的长为，根据线段的和差关系表示出的长，再根据已知比例式列出关于的一元二次方程，解方程并根据线段长度为正数取舍，即可作答． 【详解】设， ，点在线段上， ， ∵． ， ， 整理得， ∴， ∴， ∴（舍去）， 的长为． 11．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）某品牌汽车第一季度的销售量为万辆，第二季度的销售量下降了，经销商从第三季度起加强管理，改善经营，使销售量稳步上升，第三、四季度的销售量共达到了万辆． (1)求第二季度的销售量； (2)求第三、四季度的销售量的平均增长率． 【答案】(1)第二季度的销售量为50万辆 (2)第三、四季度销售量的平均增长率为 【分析】（1）根据题意直接计算即可； （2）设第三、四季度销售的平均增长率为x．根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：(万辆)， 答:第二季度的销售量为50万辆； （2）解：设第三、四季度销售的平均增长率为x， 依题意,得， 解得， (不合题意,舍去)， 答:第三、四季度销售量的平均增长率为． 12．（26-27八年级上·新疆和田·阶段检测）如图，把长为、宽为的长方形铁片的四角各截去一个大小相同的正方形，然后把每边折起来，做成一个无盖的盒子，使它的底面积（阴影部分）是原来铁片面积的一半，求盒子的高． 【答案】 【分析】设盒子的高为x，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设盒子的高为x． 由题意可得：， 整理得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 所以盒子的高为． 13．（26-27八年级上·广东深圳·阶段练习）暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱．已知某电影院，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元，用525元购买《奥德赛》电影票数量与用450元购买《牛来》电影票数量一样多． (1)求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． (2)该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额要达到1820元，单价应降低多少元？ 【答案】(1)《牛来》电影票单价为30元，《奥德赛》电影票单价为35元 (2)单价应降低4元 【分析】（1）设《牛来》电影票的单价为元，则《奥德赛》电影票的单价为元，根据题意列出分式方程，即可求解； （2）设单价应降低元，根据题意列出一元二次方程，解方程得的值，再根据销售单价不得低于20元，确定的值，即可求解． 【详解】（1）解：设《牛来》电影票的单价为元，则《奥德赛》电影票的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解， ∴（元）． 答：《牛来》电影票单价为30元，《奥德赛》电影票单价为35元． （2）解：设单价应降低元， 由题意得，， 解得，， ∵销售单价不得低于20元， ∴， 解得， ∴， ∴． 答：单价应降低4元． 14．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1秒后的面积等于 (2)不能等于 【分析】（1）设经过x秒钟，的面积等于，根据题意表示出和的长，然后列方程求解； （2）根据（1）的方法列出方程，通过根的判别式即可判定能否达到． 【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为， 依题意，，， 则， 整理得：， 解得：，（舍去）， 答：1秒后的面积等于； （2）解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为， 则， 整理得：， ， ∴此方程无解， ∴的面积不能等于． 15．（2025·安徽淮北·模拟预测）【观察思考】 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，1个碳原子；第2种如图2有6个氢原子，2个碳原子；第3种如图3有8个氢原子，3个碳原子；第4种如图4有10个氢原子，4个碳原子；……， （1）直接写出第5种化合物的分子结构模型图有 个氢原子， 个碳原子； 【规律发现】 请用含 n 的式子填空： （2）第n种化合物的分子结构模型图中碳原子的个数为 ； （3）第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数为 ； 【规律应用】 （4）求正整数n，使得连续的正整数之和等于第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数的3倍． 【答案】（1）12，5；（2）n；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元二次方程的应用，正确找到图形之间的规律是解题的关键． （1）观察前面四幅图可知碳原子个数为序号，氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据（1）所求即可得到答案； （4）根据（1）所求结合题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）第1种化合物的分子模型中，碳原子个数为1，氢原子的个数为， 第2种化合物的分子模型中，碳原子个数为2，氢原子的个数为， 第3种化合物的分子模型中，碳原子个数为3，氢原子的个数为， 第4种化合物的分子模型中，碳原子个数为4，氢原子的个数为， ， ∴第种化合物的分子模型中，碳原子个数为n，氢原子的个数为， ∴第5种化合物的分子结构模型图有个氢原子，5个碳原子， 故答案为：12，5； （2）由（1）可得第种化合物的分子模型中，碳原子个数为n， 故答案为：； （3）由（1）可得第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为， 故答案为：； （4）由题意得，， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程的应用重难点题型专训（2个知识点+12大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、实数范围内分解因式 1 题型二、传播问题(一元二次方程的应用) 2 题型三、增长率问题(一元二次方程的应用) 3 题型四、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 4 题型五、数字问题(一元二次方程的应用) 5 题型六、营销问题(一元二次方程的应用) 6 题型七、动态几何问题(一元二次方程的应用) 7 题型八、工程问题(一元二次方程的应用) 8 题型九、行程问题(一元二次方程的应用) 9 题型十、图表信息题(一元二次方程的应用) 10 题型十一、握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 11 题型十二、其他问题(一元二次方程的应用) 12 第二部分·练提高题型 题型一、一元二次方程与动点问题相关 1 题型二、一元二次方程应用的规律探究问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 列一元二次方程解决问题 用一元二次方程解决问题的步骤如下： 1. 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 2. 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 3. 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 4. 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 5. 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 6. 答(写出答案，切忌答非所问). 【即时训练】 1．（21-22八年级下·山东青岛·期中）列方程解应用题 某商店经销某种日用品，进价为每个20元．如果以每个30元销售，每天可售出100个．根据以往销售经验，此种日用品的销售单价每涨1元，每天的销售量将减少2个．若商店每天要获利1800元，应将销售的单价定多少元？ 2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）列方程解应用题：某中学2024投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，预计2026年投资万元，求该学校为新增电脑投资的年平均增长率． 知识点02 一元二次方程解决问题的类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a； (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)； (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量). 3.利息问题与销售问题 （1）利息有关概念： · 本金：顾客存入银行的钱叫本金. · 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. · 本息和：本金和利息的和叫本息和. · 期数：存入银行的时间叫期数. · 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. （2）利息相关公式: · 利息=本金×利率×期数 · 利息税=利息×税率 · 本金×(1+利率×期数)=本息和 · 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) （3）销售问题中的常用等量关系 利润＝售价－进价（成本） 总利润＝每件的利润×总件数 利润率＝×100% 售价＝×标价 进价×（1＋利润率）＝标价× 【即时训练】 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段检测）一个两位数，个位数字与十位数字的和为，并且个位数字的平方比十位数字大，求这个两位数． 2．（25-26八年级下·全国·暑假作业）某种生活用品平均每天销售40件，每件盈利20元，每件每降价1元，每天可多销售10件，如果想每天盈利1350元，每件应降价多少元？ 【基础题型一 实数范围内分解因式】 【例1】（21-22七年级下·浙江宁波·阶段检测）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·江苏淮安·期末）因式分解：_____． 1．（25-26八年级上·全国·期中）若二次三项式在实数范围内能因式分解，则a的取值范围是（　　） A． B．且 C． D． 2．（25-26八年级上·上海·期末）在实数范围内分解因式：__________． 3．（25-26八年级下·广东梅州·期末）在实数范围内分解因式：． 丽华的解题过程如下： 解：原式． 请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，请把正确的解题过程写出来． 【基础题型二 传播问题（一元二次方程的应用）】 【例1】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·海南三亚·阶段检测）有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，可列得方程_____________． 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）某种植物的一根主干长出了若干个枝干，每个枝干又长出了同样数目的小分支．经统计，这根主干与枝干和小分支共有个，则每个枝干长出了多少个小分支? 2．（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段检测）某名同学参加了学校统一组织的某项实验培训，回到班上后，第一节课他教会了若干名同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36名同学会做这项实验．求每节课每名同学教会多少名同学做实验？ 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． (1)每轮平均1人会传染多少人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 【基础题型三 增长率问题（一元二次方程的应用）】 【例1】（25-26八年级下·山东威海·期末）某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）近年来，快递行业快速发展，据调查，某家快递公司，去年十月份与十二月份完成投递的快递总件数分别为万件和万件，则月平均增长率为_____． 1．（26-27八年级上·全国·单元复习）某公司月份的营业额为万，月份的营业额为万，已知，月的营业额月增长率相同，求月增长率． 2．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）某公司通过技术创新开发了一条芯片生产线，开工第一季度生产200万个芯片，第三季度生产288万个芯片． (1)已知每季度生产量的平均增长率相等，求每季度生产量的平均增长率； (2)1条生产线最大产能是600万个/季度．若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该需要几条生产线？ 3．（26-27八年级上·河南许昌·阶段检测）随着消费观念的转变，中药代茶饮“火爆出圈”，成为众多年轻人的饮品首选．据统计，某购物网站上某品牌的中药茶饮包6月份的销量为5万盒，8月份的销量为万盒． (1)求该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率； (2)假设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率保持不变，则9月份的销量能不能达到万盒？请通过计算说明． 【基础题型四 与图形有关的问题（一元二次方程的应用）】 【例1】（2026·广东深圳·二模）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为7米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块12平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为_______米． 1．（26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）用一条长的绳子能否围成一个面积为的矩形区域？如果能围成，求该矩形的长和宽． 2．（26-27八年级上·北京·阶段检测）如图是某矩形停车场的平面示意图，从“入口”至“出口”均是车道，停车场的长为米，宽为米，停车场内的车道宽度都相等，若停车位的占地总面积为平方米，求车道的宽度． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）在一块长、宽的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．你能给出设计方案吗？ (1)小明的设计方案如图（1）所示，其中花园四周小路的宽度都相等，求小路的宽度； (2)小亮的设计方案如图（2）所示，其中花园每个角上的扇形都相同，求图（2）中的x（单位：m）． 【基础题型五 数字问题（一元二次方程的应用）】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如果两个连续偶数的积为288，那么这两个数的和为（   ） A．34 B．34或 C．35或 D． 【例2】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）2026年7日1日是建党105周年纪念日，在该月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若方框圈出的四个数中，最小的数与最大的数的乘积为84，则该方框圈出的最小的数为________． 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）一个两位数等于它十位上的数与个位上的数的积的倍．已知它十位上的数比个位上的数小，求这个两位数． 2．（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）两个相邻偶数的平方和的平均数为，则一定是偶数．如：，，为偶数． (1)偶数12和14是否满足上述结论，请说明理由； (2)设两个相邻偶数为和，请论证上述结论； (3)若．求符合要求的偶数． 3．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）阅读与思考：下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细阅读并完成任务． 求为正整数）方法欣赏在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前行的点数计算”．老师给出了提示：．课后我们小组收集了“求为正整数）的值”这个问题的两种解法供大家欣赏． 方法1：把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2 ．．．．．．．．①   则．．．．．．② ①+②得   即： ∴． 方法2：“递归法”（设． 由完全平方公式可得，． 我们列出特殊情况：； ； ； … ．两边分别相加可得，． ． 任务： (1)计算：　　； (2)我们知道：；；；则 ； (3)列方程解答问题：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？” 【基础题型六 营销问题（一元二次方程的应用）】 【例1】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）商场将进价为2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元，同时又要使消费者得到更多实惠，每台冰箱应降价（    ） A．100元 B．200元 C．300元 D．400元 【例2】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）商场将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时每天能卖出30件．经调查发现，每降价1元，每天可多卖出5件，若降价元，每天将盈利1080元，则可列方程为_______． 1．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）某水果超市经销一种高档水果，售价每千克50元． (1)若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若按现价销售，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该超市希望每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 2．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）列方程解下列问题： 每一届足球世界杯都是巨大的商机，在2026世界杯期间，某工厂设计生产的周边产品“冰箱贴”的出货量达10万个．工厂安排甲、乙两个车间来生产，其中甲车间生产4万个，乙车间生产6万个，已知乙车间每天生产的数量是甲车间每天生产数量的1.2倍，结果甲车间比乙车间少用2天完成生产任务． (1)求甲、乙两车间每天各能生产多少万个“冰箱贴”？ (2)某商店经销此款进价为每个40元的世界杯周边产品“冰箱贴”，按每个元出售，一周卖出个，获利6750元，其中，求的值． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某商场对接的工厂车间借助智能化，对某种衬衫进行一体化加工，生产效率提升，该衬衫4月份生产2500件，6月份生产3600件． 素材2 该商场销售这批衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． 问题解决 (1)该商场对接的工厂车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率是多少？ (2)为使降价后商场销售这批衬衫每天赢利1250元，那么衬衫的单价应该降多少元？ 【基础题型七 动态几何问题（一元二次方程的应用）】 【例1】（24-25八年级下·安徽安庆·阶段检测）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（   ） A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s 【例2】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图，中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动，那么_____秒后，线段将分成面积的两部分． 1．（25-26八年级上·广东中山·期中）如图所示， 中，，，，点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在等腰直角三角形中，，点从点开始以每秒2个单位长度的速度沿边向点运动，过点作，分别交于点的面积能否为7？如果能，请求出点运动的时间；如果不能，请说明理由． 3．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿着运动；点从点出发，以的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点运动到点时，点和点的运动停止． (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积为？ (3)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【基础题型八 工程问题（一元二次方程的应用）】 【例1】（2026·辽宁鞍山·一模）某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【例2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 1．（25-26八年级下·上海静安·期中）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 2．（25-26八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 3．（2026·重庆·一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万． (1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米． (2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值． 【基础题型九 行程问题（一元二次方程的应用）】 【例1】（2026·广东茂名·二模）2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）一个小球以速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动．小球滚动约用了________秒（结果保留小数点后一位） 1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 2．（2026·安徽宣城·一模）甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 3．（2026·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【基础题型十 图表信息题（一元二次方程的应用）】 【例1】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 【例2】（21-22八年级上·广东广州·期末）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按元缴纳水费． (1)若，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ (2)若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 1．（26-27八年级上·全国·单元复习）某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量不超过，那么这个月这户居民只缴10元电费；如果超过，那么这个月这户居民除了要缴10元电费外，超过部分按元／缴费．下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表中的数据，求的值． 月份 用电量／ 缴电费／元 5 80 25 6 45 10 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知：p为实数. p k q … … … 3 4 5 6 7 … … … 根据上表中的规律，回答下列问题： (1)当p为何值时，? (2)当p为何值时，k与q的值相等？ 3．（21-22八年级上·山西吕梁·期中）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 【基础题型十一 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）】 【例1】（26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）某场比赛中每两支球队之间比赛1场，若x支球队共进行了21场比赛，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）期末即将到来，为激励大家，班主任要求班上每位同学给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小红所在的学习小组共写了56份留言，设该学习小组共有人，可列方程为_______． 1．（26-27八年级上·陕西延安·阶段检测）某家庭微信群玩抢红包游戏，规定群内的每个人都要发一次红包（一次可以发多个红包），并保证群内其他人恰好都能抢到，且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包游戏结束后，群内所有人共收到90个红包，求该家庭微信群一共有多少人？ 2．（26-27八年级上·天津·阶段检测）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手______次；若参加聚会的人数为6，则共握手______次； (2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． 3．（24-25八年级上·广东汕尾·阶段检测）某单位准备举办羽毛球邀请赛，赛制为单循环（每两位选手之间各比赛一场），计划一共举行45场比赛． (1)求该邀请赛的参赛选手人数； (2)为保证比赛正常进行，邀请方与羽毛球商两次协商后，羽毛球商由原来每桶羽毛球售价50元，降为每桶32元，求平均每次协商后降价的百分率． 【基础题型十二 其他问题（一元二次方程的应用）】 【例1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到20元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27八年级上·全国·课后作业）为体现青春活力、健康向上的团队精神，主办方招募了一批啦啦队队员，并从中选出几名小队长，已知小队长的人数与每个小队长管理的队员人数相同，若啦啦队共有人，则选出的小队长有_______名． 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）请结合生活实际，提出一个与一元二次方程有关的问题，并加以解决． 2．（26-27八年级上·全国·课后作业）建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径．经过市场调查发现：搭建一个面积为x公顷的大棚，所需建设费用与成正比例，比例系数为1.8；内部设备费用与成正比例，比例系数为6．某农户新建了一个大棚，投入的总费用为4.2万元．请计算该农户新建的这个大棚的面积．（注：总费用=建设费用+内部设备费用） 3．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）列方程解应用题： 如今，无人机、机器狗等玩具备受孩子们的喜爱，某工厂安排100名工人组装无人机和机器狗，每人每天可组装12架无人机或5个机器狗，且每人每天只能组装一种产品，组装160架无人机所用的时间与组装100个机器狗所用的时间相等． (1)应安排多少名工人组装无人机，多少名工人组装机器狗？ (2)由于工厂改进组装工艺，工人每人每天比原来多组装无人机架，每人每天组装机器狗的数量比原来多，工长从组装无人机的工人中调拨人增援组装机器狗，抽调后每天组装机器狗总数量比无人机的总数量仍少180个，求的值． 【提高题型一 一元二次方程与动点问题相关】 【例1】（26-27八年级上·全国·单元复习）如图，在中，．动点分别从点同时开始移动，点P在上以的速度向点B移动，点Q在上以的速度向点C移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使四边形的面积为的是（　    ） A． B． C． D． 【例2】（21-22八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．当____s时，的面积为16cm2    1．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为，则当为何值时，的面积为． 2．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 3．（25-26八年级上·吉林延边·阶段检测）在中，，，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点停止运动，设运动时间为秒． (1)求的面积； (2)如图①，过点作、交于点、若与的面积和是的面积的，求的值； (3)如图②、点在射线上，且，以线段为边向上方作正方形．在运动过程中，若设正方形与重叠部分的面积为，求的值． 【提高题型二 一元二次方程应用的规律探究问题】 【例1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，……依此规律，若第n个图案中，三角形的个数是点个数的3倍，则n的值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【例2】（25-26八年级下·全国·期末）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过x秒离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过_______秒落回地面．（结果精确到） 1．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）商场某种商品平均每天可销售60件，每件盈利100元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律，请回答： (1)商场日销售量80件，商场日盈利可达到______元（直接填答案）； (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到8400元？ (3)若商场日盈利元，求的最大值． 2．（2026·安徽蚌埠·二模）【观察思考】 如图，春节期间，广场上用红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点）组成“中国结”图案． 【规律总结】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中黄梅花的盆数为 ； （2）第n个图案中红梅花的盆数可表示为 ； 【问题解决】 （3）已知按照上述规律摆放的第n个“中国结”图案中红梅花比黄梅花多68盆，结合图案中红梅花和黄梅花的排列方式及上述规律，求n的值． 3．（24-25八年级上·广东东莞·期中）综合与实践 【主题】三角点阵前n行的点数计算 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，⋯⋯，第n行有n个点，⋯⋯，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数和是，可以发现，把两个中括号中的第一项相加，第二项相加，……，第n项相加，上式等号的右边变形为这n个小括号都等于，整个式子等于，于是得到．这就是说，三角点阵中前n行的点数和是． 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，，…，请探究出前n行的点数和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理． 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·广东佛山·阶段检测）某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品200台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·甘肃定西·阶段检测）某社区开展"科技之冬"培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信条．若设参加培训的有人，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·浙江温州·阶段练习）某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出100件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出10件，若要使每周销售该款T恤获利2250元，设每件降低元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，在一个直角墙角处，两面墙互相垂直，即，已知，．甲机器人从点沿方向以每秒的速度爬行，同时乙机器人从点沿方向以每秒的速度爬行．设运动秒后，分别到达点的位置，这时的面积恰好为，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．（21-22八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）有1人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了____人 7．（21-22八年级上·陕西延安·阶段检测）一个农业合作社以64000元的成本收获了某种农产品80吨，目前可以以1200元/吨的价格售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元，那么储藏________个星期再出售这批农产品可获利122000元． 8．（2026九年级·全国·模拟预测）望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点出发，都按顺时针方向跑步，王老师的速度比望望的速度快多了，过一段时间后王老师第一次从后面追上了望望，这时王老师立即改变方向，按逆时针方向以原来的速度跑去，当他们俩再次相遇时，望望恰好跑了4圈，则王老师的速度与望望的速度之比为______． 9．（25-26八年级下·山西大同·期末）如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 10．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看作线段，且满足．若蜻蜓的全身长为，则蜻蜓的腹部长为________．（结果保留根号） 11．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）某品牌汽车第一季度的销售量为万辆，第二季度的销售量下降了，经销商从第三季度起加强管理，改善经营，使销售量稳步上升，第三、四季度的销售量共达到了万辆． (1)求第二季度的销售量； (2)求第三、四季度的销售量的平均增长率． 12．（26-27八年级上·新疆和田·阶段检测）如图，把长为、宽为的长方形铁片的四角各截去一个大小相同的正方形，然后把每边折起来，做成一个无盖的盒子，使它的底面积（阴影部分）是原来铁片面积的一半，求盒子的高． 13．（26-27八年级上·广东深圳·阶段练习）暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱．已知某电影院，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元，用525元购买《奥德赛》电影票数量与用450元购买《牛来》电影票数量一样多． (1)求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． (2)该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额要达到1820元，单价应降低多少元？ 14．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 15．（2025·安徽淮北·模拟预测）【观察思考】 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，1个碳原子；第2种如图2有6个氢原子，2个碳原子；第3种如图3有8个氢原子，3个碳原子；第4种如图4有10个氢原子，4个碳原子；……， （1）直接写出第5种化合物的分子结构模型图有 个氢原子， 个碳原子； 【规律发现】 请用含 n 的式子填空： （2）第n种化合物的分子结构模型图中碳原子的个数为 ； （3）第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数为 ； 【规律应用】 （4）求正整数n，使得连续的正整数之和等于第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数的3倍． 学科网（北京）股份有限公司 $