专题04 反比例函数的k值意义重难点题型专训（1个知识点+2大题型+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

**基本信息** 以k的几何意义为核心，通过2大基础模型构建正向（知k求面积）与逆向（知面积求k）的解题体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|2种基础模型|模型1：三角形面积=|k|/2；模型2：矩形面积=|k| |从k的几何意义出发，构建面积与k值的直接关联| |题型一|1-20题（前半）|正向应用模型，结合图形性质（如等边三角形、矩形）求面积|从k值到面积的推导，强化模型直接应用| |题型二|1-20题（后半）|逆向应用面积，通过方程思想（如面积公式建立关于k的方程）求k|从面积到k值的转化，培养推理与方程意识|

专题04 反比例函数的k值意义重难点题型专训 （1个知识点+2大题型+自我检测） 题型一 已知比例系数求图形面积 题型二 根据图形面积求比例系数 知识点一： 反比例函数中k的几何意义（2种基础模型） 【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【模型结论2】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 【经典例题一 已知比例系数求图形面积】 1．（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图，A为反比例函数的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C．若四边形的面积为2，则k的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点向坐标轴引垂线，所得垂线与坐标轴围成矩形的面积为．从而可求解． 【详解】解：设A点坐标为， ∵轴， ∴ ∴ ∵， ∵反比例函数的图象在第四象限， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图所示，点在反比例函数的图象上，过分别向轴，轴作垂线，垂足分，两点，则矩形的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了反比例函数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数k的几何意义．反比例函数k的几何意义：反比例函数上任意一点与两坐标轴围成的矩形面积．根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】解：∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴矩形的面积为． 故选：D． 3．（24-25九年级上·广东梅州·月考）如图，为等边三角形，点B在x轴正半轴上．若反比例函数的图象的一支经过点A，则的面积为（   ）    A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，等边三角形的性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义和等边三角形的性质是解题的关键． 过点A作于点C，根据等边三角形，得，再根据三角形的面积公式得出，然后根据，即可求出． 【详解】解：如图，过点A作于点C，    ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ ∵反比例函数 ∴， ∴的面积． 故选：B． 4．（24-25九年级上·贵州贵阳·期末）如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于A，B两点，连接AB、若轴，则的面积是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数值的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，连接、， 轴， ． 故选：B． 5．（24-25八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数比例系数k的几何意义，根据题意得，从而可得结论． 【详解】解：如图，与x轴交于点C， 由图可知，， ，， ， 故选B． 6．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，反比例函数上两点A，B的横坐标分别为，，则的面积是___________． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点．关键是将求不规则三角形的面积的问题转化为几个图形面积的和差的形式求解．过点作轴，过点作轴，垂足分别为、，根据已知条件可求，，再利用求面积． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，垂足分别为、， 、两点在反比例函数的图象上，且、的横坐标分别是，， ，， ． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线＞上，连接交于，连接，则图中是________． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数，等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，综合运用以上知识是解题的关键． 先根据和均为正三角形可知，故可得出，所以，过点B作于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论． 【详解】解：如图： ∵和均为正三角形， ∴， ∴， ∴， 过点B作于点E，则， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·海南海口·期末）如图，函数与函数的图象相交于、两点，轴于点，轴于点，则四边形的面积为___________． 【答案】8 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数的对称性．注意：从反比例函数图象上任意一点向轴或轴引垂线，则这点、原点、垂足所组成的三角形的面积是．根据题意，得到四边形是平行四边形，则平行四边形的面积即为三角形的面积的4倍．根据点是反比例函数图象上一点，则三角形的面积即为，从而求得四边形的面积． 【详解】解：函数与函数的图象相交于、两点， ，是函数的图象上关于原点对称的两点， ，， 四边形是平行四边形，三角形的面积是． 四边形的面积三角形的面积的4倍． 故答案为8． 9．（24-25九年级上·湖南湘西·月考）如图，点P是反比例函数（，）图象上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数（且）的图象于E、F两点． （1）图1中，四边形的面积____________（用含、的式子表示）； （2）图2中，设P点坐标为．若的面积为，反比例函数的解析式是____________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数综合题，涉及到反比例函数系数k的几何意义及三角形的面积公式、两点间的距离公式． （1）设，则，，由轴，轴，得到点E的横坐标为a，点F的纵坐标坐标为b，分别把，代入函数，得，，因此，，根据即可求解； （2）由（1）有，，，可求得，进而得到，把相关数据代入，解方程后进行取舍即可求解． 【详解】解：（1）设 ∵点P是反比例函数（，）图象上一动点， ∴ ∴， ∵轴，轴， ∴点E的横坐标为a，点F的纵坐标为b， 把代入函数，得， ∴， ∴， 把代入函数，得， ∴， ∴ ∴， ∴． 故答案为：． （2）由（1）有，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点， ∴，，， ∵的面积为， ∴， 解得， ∵， ∴． ∴． 故答案为： 10．（24-25九年级上·山东东营·期末）如图，在反比例函数的图象上有，，，……，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，……，2025，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，……，，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 将面积为的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，再利用矩形的面积差求解即可． 【详解】解：∵的横坐标依次为， ∴阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点轴于点轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为的矩形向左平移到面积为的矩形的下方， 则， 把代入得：，即， ∴， 根据反比例函数中的几何意义，可得：， ∴， 即， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·吉林长春·期末）在反比例函数的图象上有不重合的两点、，点的纵坐标为2． (1)求点的横坐标； (2)过点向轴作垂线，垂足是，试求． 【答案】(1)点的横坐标为4； (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质． （1）将点的横坐标代入求解即可； （2）设，则有，，根据三角形面积公式可得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象上的点纵坐标为2， ∴， ∴， ∴点的横坐标为4； （2）解：设则有， ，， ∴． 12．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，过反比例函数的图象上任意两点A、B，分别作轴的垂线，垂足为，连接OA，OB，与OB的交点为P，记△AOP与梯形的面积分别为，试比较的大小． 【答案】 【分析】利用图形面积关系可得：再利用反比例函数的的几何意义可得：从而可得答案. 【详解】 【点睛】本题考查的是反比例函数的系数的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数系数与过反比例函数图象上任意一点向两轴作垂线所形成的矩形的面积之间的关系. 13．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，已知反比例函数的图象经过点．    (1)求k的值． (2)若点B在x轴上，且，则的面积为______． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）把点A坐标代入即可； （2）过A作与C，设点A的坐标为，得到，根据得到，将的面积用m，n来表示即可． 【详解】（1）解：把代入到，得 ， 解得，； （2）如图，过A作于点C，设点A的坐标为，    设点A的坐标为， ∴ ∵，， ∴， ∴的面积为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了学生对于待定系数法，等腰三角形三线合一性质的应用和反比例函数系数k的几何意义的掌握情况．解得关键是用找到三角形面积与k之间的关系． 14．（2025八年级下·上海嘉定·专题练习）如图，点C在反比例函数y的图象上，CA∥y轴，交反比例函数y的图象于点A，CB∥x轴，交反比例函数y的图象于点B，连结AB、OA和OB，已知CA＝2，求△ABO的面积． 【答案】4 【分析】设A（a，），则C（a，），根据题意求得a＝1，从而求得A（1，3），C（1，1），进一步求得B（3，1），然后作BE⊥x轴于E，延长AC交x轴于D，根据S△ABO＝S△AOD＋S梯形ABED﹣S△BOE和反比例函数系数k的几何意义得出S△ABO＝S梯形ABED，即可求得结果． 【详解】解：设A（a，），则C（a，）， ∵CA＝2， ∴， 解得a＝1， ∴A（1，3），C（1，1）， ∴B（3，1）， 作BE⊥x轴于E，延长AC交x轴于D， ∵S△ABO＝S△AOD＋S梯形ABED﹣S△BOE，S△AOD＝S△BOE， ∴S△ABO＝S梯形ABED=（1＋3）（3﹣1）＝4； 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，准确计算是解题的关键． 15．（25-26八年级下·上海松江·期中）已知反比例函数与一次函数交于A，B两点，点B的纵坐标为． (1)求一次函数解析式及与y轴交点C的坐标； (2)若点B与点D关于原点对称，求的面积． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）由点B的纵坐标为，求得点B的坐标为，再代入，求得一次函数解析式，令，则，即可求得点C的坐标； （2）根据点B与点D关于原点对称，得到，推出即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得， 把代入中，得， ∴， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解：∵点B与点D关于原点对称， ∴， ∴． 16．（2026·河南洛阳·一模）如图，的顶点A，B分别在双曲线和上，顶点C在x轴上，已知点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）连接，设与y轴交于点D，根据反比例函数的比例系数的几何意义可得，，从而可知，即可求得答案． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：， 双曲线的解析式为； （2）解：连接，设与y轴交于点D， 四边形为平行四边形，点C在x轴上， 轴， 点A和点B分别在双曲线和上， ，， ， ． 17．（24-25八年级下·上海长宁·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，反比例函数与矩形的两条边的交点分别是M，N，其中点M的坐标为．连接，，已知的面积是矩形面积的．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）将M代入反比例函数的表达式中求解即可； （2）利用k的几何意义求出、的面积，进而求出矩形的面积，借助割补法求解面积即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数经过点， ∴． ∴． ∴反比例函数的解析式为． （2）解：由反比例函数k的几何意义可知的面积的面积． ∵的面积是矩形面积的， ∴矩形的面积． ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形性质、待定系数法求函数表达式、反比例函数比例系数k的几何意义，熟练反比例函数比例系数k的几何意义，利用割补法求解图形面积是解答的关键． 18．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，反比例函数的图象经过点，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，点在反比例函数第三象限的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的长． (3)记图中两处矩形阴影的面积分别为，，则__________．（填“<”“=”或“>”） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象，比例系数的几何意义，熟练掌握相关知识是关键． （1）将点代入反比例函数的表示式求出的值即可； （2）将代入反比例函数的表达式，求出点的坐标，使用勾股定理计算出的长； （3）根据反比例函数的比例系数的几何意义进行判断即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数，得， ， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为， ∵轴于点， ∴，， 在直角中，； （3）解：由反比例函数的比例系数的几何意义可知， ，， ∴． 故答案为：． 19．（24-25八年级下·上海虹口 ·月考）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标是，轴于点A，点B在反比例函数的图像上，将向右平移，得到，交双曲线于点． (1)求k，a的值； (2)连接，，，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据待定系数法求得反比例函数解析式，进而把点代入，即可求得a的值； （2）作轴于M，根据C的坐标，得到，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：点B坐标是，点B在反比例函数的图像上， ， 反比例函数为， 双曲线经过点， ， 解得：，， 在第一象限， ， ． （2）解：作轴于M， ， ， ，， 轴于点A，轴于M， ， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，掌握系数k的几何意义是解此题的关键． 20．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，过点B分别作x轴和y轴的平行线交函数y＝（x＞0）的图象于点A，C． (1)若点B的坐标为（1，2），求A，C两点的坐标； (2)若点B是y＝（x＞0）的图象上任意一点，求△ABC的面积． (3)OC平分OA与x轴正半轴的夹角，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，求四边形OABC的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由轴，轴，可得A、C的纵坐标和横坐标，代入即可得出点A、C的坐标； （2）设，由（1）同理得，即可得出△ABC的面积； （3）延长BC交x 轴于D点，利用角平分线的性质可得CD＝CB'，再证Rt△OCD≌Rt△OCB'（HL），得S△OCD＝S△OB'C，从而解决问题． 【详解】（1）解：（1）∵轴，B（1，2）， ∴当x＝1时，y＝1， 即C（1，1）， ∵轴， ∴当y＝2时，x＝， 即； （2）解：当点B是（x＞0）的图象上任意一点时， 设， 由（1）同理得， ∴S△ABC＝AB×BC＝； （3）解：延长BC交x轴于D点， ∵轴，轴，则∠ABC＝90°， ∴∠CDO＝180°﹣∠ABC＝90°， ∴CD⊥x轴， ∵将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上， ∴∠CB'O＝∠ABC＝90°， ∴CB'⊥OA， ∵OC平分∠AOD，CD⊥x轴，CB'⊥OA， ∴CD＝CB'， 在Rt△OCD和Rt△OCB'中， ， ∴Rt△OCD≌Rt△OCB'（HL）， ∴， 由（2）知，S△OCD＝，S△ABC＝， ∴四边形OABC的面积为． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，坐标与图形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练的运用反比例函数的性质是解本题的关键． 【经典例题二 根据图形面积求比例系数】 1．（25-26九年级上·广西百色·期中）点A是反比例函数在第三象限图象上一点，过作轴，垂足为，过作轴，若的面积为，则的值是（　　） A．3 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．点在反比例函数第三象限图象上，过作坐标轴垂线，形成直角三角形，利用三角形面积公式和反比例系数的几何意义求解． 【详解】解：如图 设点坐标为， ∵点在第三象限， ∴， ∵轴，垂足为， ∴点坐标为， ∵轴，垂足为， ∴点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点A，在轴上．若点，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），求反比例函数解析式，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 延长交y轴于点，先根据平行四边形面积求得，，进而可求出，继而可得点A坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可． 【详解】 解：如图，延长交y轴于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴轴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴． 故选：D． 3．（2025·宁夏·模拟预测）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．连接，由、轴得到，根据反比例函数系数k的几何意义可得，继而求出，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，连接， 轴，， ， ． 点A在反比例函数图象上， ， ， 且， ∴， ∴． 故选A． 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在轴的正半轴依次截取，过点，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，若，则的值为（   ） A．2 B．1 C．-2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，利用反比例函数系数k的几何意义求解是解答此题的关键． 连接，再根据反比例函数中k的几何意义进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵点，，，是反比例函数的图象上的点， 都垂直于x轴， ∴， ∵， ∴，，． 以此类推，解得． 故选：A． 5．（2025·河北邯郸·三模）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点B在函数的图象上，，．将线段沿x轴正方向平移得线段（点A平移后的对应点为），交函数的图象于点D，过点D作轴于点E，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由代入求出k值，故①符合题意；和、分别交于M和N两点，利用k的几何意义可得，故②符合题意；根据的最小值逐渐趋向于的长度，故③不符合题意；向右平移的过程中与是矩形的对角线与边的夹角，即判断④解答即可． 【详解】解：①∵A，， ∴， ∵矩形的顶点B在函数的图象上， ∴，故①正确； ②和、分别交于M和N两点， ∵点B、点D在函数的图象上， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③随着线段向右平移的过程，平移后的线段与反比例函数的交点D也逐渐下移，此时过点D作y轴的垂线交点E也下移，所以的最小值逐渐趋向于的长度，故③错误； ④向右平移的过程中与变化相同，这两个角刚好是矩形的对角线与边的夹角，所以是相等，④正确． 故正确的结论有①②④． 故答案为：C． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 6．（25-26九年级上·吉林通化·期末）如图，点是轴上一点，过点作轴交反比例函数于点，点是轴上的两点，，若四边形的面积是，则的值为 _______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数图形与几何图形的综合，掌握几何图形面积的计算方法，反比例函数的基础知识是解题的关键． 根据题意，设，可得，则，根据几何图形的面积的计算方法可得，再根据反比例函数的知识即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， 则， ∵四边形的面积是， ∴， 解得：， ∵点在反比例函数图像上， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在双曲线上，交轴于点，，轴于，若，则______ ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，由题意可得，进而得到，即得，再结合反比例函数图象的位置解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 解得， ∵反比例函数图象分布在二、四象限， ∴， ∴ 故答案为：． 8．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，点是反比例函数的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象的对称性的知识点，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据A在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值． 【详解】解：连接， 设圆的半径是r， 根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：阴影部分的面积等于圆的面积的， ∴， 解得：， ∵点是反比例函数的图象与⊙O的一个交点，， ∴且， ∴， ∴， 则反比例函数的解析式是：． 故答案为． 9．（24-25八年级下·河南驻马店·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若轴，是轴上一点，的面积为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，连接，设与轴交于点，由轴，则，又，则有，然后求出的值并检验即可，掌握反比例函数系数的几何意义以及三角形面积的计算方法是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与轴交于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·广西北海·月考）如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质．设，先求出，，则，，根据得出方程求出即可． 【详解】解：设， 在中，令，得， 令，得， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解，符合题意， 故答案为：． 11．（2025·广西百色·一模）如图，点A，B关于y轴对称，S△AOB＝8，点A在双曲线y＝，求k的值． 【答案】k＝﹣4． 【分析】记AB与y轴的交点为C，先据轴对称求得S△AOC的面积，由反比例函数系数的几何意义，即可求出2k的绝对值，再根据反比例函数在第二象限有图象即可确定2k符号．求得2k的值，再除以2可得k值． 【详解】解：如下图，记AB与y轴的交点为C， ∵点A，B关于y轴对称， ∴AB垂直于y轴，且AC＝BC， ∴S△AOC＝S△AOB＝， ∵S△AOC＝|2k|， ∴|2k|＝4， ∴ ∵在第二象限， ∴2k＝﹣8 ∴k＝﹣4． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，求得S△AOC=4和利用反比例函数系数的几何意义求出k值是解题的关键． 12．（2025·四川绵阳·二模）如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，，求点所在的反比例函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．利用反比例函数中值的几何意义，求出三角形的面积就可推导出值，写出解析式． 【详解】解：设点所在的反比例函数解析式为：， 过点作，垂足为， ，， ， ； ，且图象在第四象限， ． 点所在的反比例函数解析式为：． 13．（2025·贵州毕节·一模）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8． (1)求的值； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 【答案】(1)8 (2)或 【分析】（1）先根据反比例函数k的几何意义，求出k，再反比例函数的图象位置确定k的值； （2）先写出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，然后分“点在第一象限”、“点在第三象限”两种情况，分别求出当时的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8， ∴， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ； （2）， ∴反比例函数的表达式是， ∵点在该反比例函数的图象上， ， ， 点在第一象限． 分情况讨论： ①当点在第一象限时， 随的增大而减小， 当时，； ②当点在第三象限时，， ，符合题意，此时． 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），已知反比例函数的增减性求参数，解题关键是理解反比例函数k的几何意义． 14．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象经过点为A(-2，m)．过点A作AB⊥x轴，且ABO的面积为2． （1）k和m的值； （2）若点C(x，y)也在反比例函数的图象上，当时，直接写出函数值的取值范围． 【答案】（1）m=2；；（2）． 【分析】（1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入，可求出k的值； （2）先分别求出x=1和x=3时，y的值，再根据反比例函数的性质求解． 【详解】解：（1）∵A（2，m）， ∴OB=2，AB=m， ∴S△AOB=•OB•AB=×2×m=2， ∴m=2； ∴点A的坐标为（2，2）， 把A（-2，2）代入， 得k=2×2=4； （2）∵反比例函数为， ∴当x=1时，y=4；当x=3时，， 又∵反比例函数在x＞0时，y随x的增大而增大， ∴当1≤x≤3时，y的取值范围为． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式以及代数式的变形能力． 15．（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接交x轴于点C，轴，点D在x轴正半轴上，，连接，已知的面积为12． (1)求k的值； (2)若点，在反比例函数的图象上是否存在点E使得四边形为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的几何应用，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设点，结合轴，得出，根据面积公式以及的面积为12，进行列式计算，即可作答． （2）先得出，再代入反比例函数求出，假设存在点使得四边形为平行四边形， 结合平行四边形以为对角线，列式计算得，因为，即不在反比例函数的图象上． 【详解】（1）解：∵点A在反比例函数的图象上， 设点， ∵轴， 则点， ∴ ∵ 点， 的面积为12， ， 解得， ∴k的值为． （2）解：不存在． 理由如下： ，， ∴， 由（1）得k的值为． 把代入 得， ， 由（1）得k的值为． 把代入，得， 得， 假设存在点使得四边形为平行四边形， 根据题意得，平行四边形以为对角线， ，， ， ∵ 即不在反比例函数的图象上． 16．（2026·江苏扬州·一模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出的取值范围； (3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】（1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值； （2）利用函数图像即可求出不等式的解集； （3）作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵的面积为4， ∴， 解得，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，． （2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知， 不等式的解集为： 或； （3）解：作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，如图所示： 根据轴对称可得：， ∴， ∴此时最大， 点关于轴的对称点， 设直线的关系式为，代入和得， ， 解得， ∴直线的关系式为， 令，， ∴直线与轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 17．（2025·河南省直辖县级单位·一模）如图，点、在反比例函数的图象上，轴，轴，垂足分别为C、D，与相交于点E． (1)根据图象直接写出、的大小关系，并通过计算加以验证； (2)结合以上信息，从①的面积为3，②这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值并解释k的几何意义． 你选择的条件是______（只填序号）． 【答案】(1)；验证见解析 (2),k表示（或者）面积的2倍，①或,k表示（或者）面积的2倍，② 【分析】（1）根据图象可知，，，，可得，由，即可得到； （2）选择①作为条件：由（1）可得，，，的面积等于的面积等于，由的面积为3，可得四边形CDBE的面积为3，易证，即可求出；选择②作为条件：由，可得的面积为2，由，可得的面积为8，可求出；k的几何意义是：k表示（或者）面积的2倍． 【详解】（1）解：根据图象可知，， ∵点、在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， ∴． （2）选择①作为条件： 由（1）可得，，， ∵轴，轴， ∴，，，， ∴的面积等于的面积等于， ∴，的面积等于四边形CDBE的面积． ∵的面积为3， ∴四边形CDBE的面积为3． ∵轴，轴， ∴，∴， 又∵四边形CDBE的面积为3， ∴． ∵， ∴； 选择②作为条件： ∵由（1）可得，，，轴，轴， ∴，，，． ∴的面积等于的面积等于． ∴，的面积等于四边形CDBE的面积． ∵， ∴的面积为2， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴的面积为8， ∵， ∴； k的几何意义是：k表示（或者）面积的2倍． 18．（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数的图象经过点，过点A作轴于点B，且的面积为6． (1)求m和k的值； (2)当时，求函数值y的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数系数k的几何意义及反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）先根据的面积求出k的值，再将点A坐标代入所得反比例函数解析式求出m即可． （2）根据反比例函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：∵点A在反比例函数的图象上，轴，且的面积为6， ∴， 解得或． 又∵， ∴， ∴反比例函数解析式为， 将点代入反比例函数解析式得， ， 所以m的值为，k的值为13． （2）解：将代得， ， 所以当时，y的取值范围是：． 19．（2025·山东枣庄·一模）已知正方形OABC的面积为9，点O是坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y＝（x＞0，k＞0）的图象上，点P（m，n）是函数y＝（x＞0，k＞0）的图象上任意一点．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．若矩形OEPF和正方形OABC不重合部分（阴影）面积为S．（提示：考虑点P在点B的左侧或右侧两种情况） (1)求B点的坐标和k的值； (2)写出S关于m的函数关系式； (3)当S＝3时，求点P的坐标． 【答案】(1)B（3，3），k＝9 (2)S＝9﹣ (3)（2，）或（，2） 【分析】（1）由正方形的性质可求B点坐标，再将B点代入函数，即可求k；（2）分两种情况求：当点P在点B的左侧时，即0＜m＜3时，S＝3（3﹣m）＝9﹣3m；当点P在点B的右侧时，即m＞3时，S＝9﹣；（3）将S＝3代入（2）中所求表达式，即可求m的值． 【详解】（1）∵正方形OABC的面积为9， ∴OA＝OC， ∴B（3，3）， ∵B点在函数（x＞0，k＞0）的图象上， ∴k＝9； （2）当点P在点B的左侧时，即0＜m＜3时， ∵点P（m，n）是函数图象上的点， ∴mn＝9， ∵A（3，0），C（0，3）， ∴S＝3（3﹣m）＝9﹣3m； 当点P在点B的右侧时，即m＞3时， S＝（m﹣3）n＝9﹣3n， ∵n＝， ∴S＝9﹣； （3）当点P在点B的左侧时，S＝9﹣3m＝3， ∴m＝2， ∴P（2，）； 当点P在点B的右侧时，S＝9﹣＝3， m＝， ∴P（，2）； 综上所述：P点坐标为（2，）或（，2）． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义，并分情况讨论是解题的关键． 20．（2025·山西运城·一模）阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 反比例函数是初中函数学习的重要组成部分，它与物理、化学等密切相关，函数本身又是一个重要的数学思想，利用函数的思想和方法可以加深对一些代数问题的理解，现从反比例函数系数k的几何意义出发来探究反比例函数的一些规律． 逐梦学习小组在熟练掌握k的几何意义基础之上又进行了深入的探究后发现：如图1，以矩形的顶点O为坐标原点，射线为x轴正半轴、射线为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，当时，则，在老师指导下逐梦学习小组进行了如下推理，证明了这一结论是正确的． 证明：在图1中，过点E作轴，垂足为G，过点F作轴，垂足为H 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 任务： (1)在图1中，已知，若反比例函数的系数，则矩形的面积______； (2)逐梦学习小组继续探究后发现，如图2，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则，请帮助逐梦学习小组完成证明； (3)如图3，反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则图中阴影部分（即四边形）的面积______． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义．熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． （1）由题意知，，由，可得，进而可得； （2）如图2，作于，于， 证明过程同题干； （3）如图3，作于，于，同理可得，，，，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∵ ∴， 解得，， 故答案为：2； （2）证明：如图2，作于，于， 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，作于，于， 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， 解得，， ∴，， ∴， 故答案为：3． 1．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）若下列反比例函数的表达式均为，则图形的面积为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，反比例函数的对称性，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为． 根据反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形的面积，即可求解． 【详解】解：根据反比例函数的表达式为，则， A．图中面积，故A选项不符合题意； B．阴影面积，故B选项不符合题意； C．阴影面积，故C选项符合题意； D．阴影面积，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）反比例函数的图象如图所示，已知正方形的面积为11，点的坐标为，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．根据点B、E的位置和坐标求得k值的取值范围，即可解答． 【详解】解：设,则， ∵正方形的面积为11， ∴，即 ∵由图象可知，点在双曲线第二象限的一支的上方， ∴， ∵点的坐标为，且点在双曲线第四象限的一支的上方， ∴， ∴， 则的值可能是， 故选：B． 3．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点在双曲线上，轴于点轴于点，点在轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数，掌握反比例函数的性质，解题的关键是运用反比例函数的性质来解题． 过作轴，交轴于点，将阴影部分拆成个三角形面积和，利用、、点都在反比例函数上，可得各个三角形面积，即可求阴影部分面积之和． 【详解】解：过作轴，交轴于点，如图所示： ∵，轴， ∴为的中点，即， ∴， 又∵、、点都在反比例函数上， ∴， ∴ 则， 故选： C． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，正方形的顶点在位于第二象限的分支上，点B、C分别在轴、轴负半轴上，点在直线位于第一象限的图象上，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，于点，交轴于点，令、与坐标轴的交点分别为、，先证明四边形是正方形，进而证明，得到，从而推出，求出，同理可证，，得到，，确定点的坐标，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，于点，交轴于点，令、与坐标轴的交点分别为、， ， 四边形是矩形， 点在第一象限直线的图象上， ， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证，， ，， ， ， 点的坐标为， ． 5．（2025·广东广州·一模）如图，直线交y轴于点C，与双曲线交于A、B两点，P是线段上的点（不与A、B重合），Q为线段上的点（不与B、C重合），过点A、P、Q分别向x轴作垂线，垂足分别为D、E、F，连接，设的面积为、的面积为、的面积为，则有（　　） A． B． C． D．的大小关系无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由于点A在上，可知，又由于点P在双曲线的上方，可知，而Q在双曲线的下方，可得，进而可比较三个三角形面积的大小． 【详解】解：如图， ∵点A在上， ∴， ∵点P在双曲线上方， ∴， ∵Q在双曲线下方， ∴， ∴． 故选：B． 6．（2026·陕西渭南·一模）如图，在平面直角坐标系中，、为反比例函数图象上两点，轴于点H，轴于点G，连接交于点C，连接，若的面积为2，则k的值为________． 【答案】6 【分析】由题意得即，则，，根据求出即可． 【详解】解：∵、为反比例函数图象上两点， ∴即， ∴，， ∴， ∴． 7．（25-26九年级上·广东河源·期末）如图所示，反比例函数（常数）图象经过点，分别过这三个点作轴、轴的平行线．若，图中的“十字形”阴影部分的面积为，则的值为_____．    【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的坐标特征、代数式表示线段长度以及阴影面积的计算方法，同时也涉及利用方程思想解决几何与函数结合的问题首先根据的条件设出，进而得到反比例函数上三点的坐标，再分别求出三点的纵坐标，以此确定“十字形”阴影各部分的边长，通过计算各阴影部分的面积并求和得到面积方程，最后解方程求出的值为． 【详解】解：∵， ∴可以假设， 则 ∴， ∵图中所构成的“十字形”阴影部分面积为， ∴， 解得， 故答案为：． 8．（2025·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，A，B是反比例函数上的两点，设，，且，连接，分别过点A，B作轴，轴．若，则______． 【答案】2 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，过点A作轴于点H，延长交轴于点D，先求出，由反比例函数的几何意义得到，根据得到，求出，得到即可． 【详解】过点A作轴于点H，延长交轴于点D， ∵，在反比例函数上 ∴， ∵， ∴， ∴ 由反比例函数的几何意义得到， ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 即， 由题意得：， ∵， ∴， 故答案为：2． 9．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，轴于点C，轴于点D，连接．若点C的坐标为，，的面积为3，则的面积是______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，求反比例函数的解析式，根据三角形的面积公式求出的长，进而求出点的坐标，利用待定系数法确定的值，再根据三角形的面积与的关系求出结果即可． 【详解】解：， ， ，的面积为3，轴， ∴， ， ， ， ∵点A是反比例函数图象上的一点，且轴， ， 故答案为：4． 10．（24-25九年级上·安徽合肥·月考）如图，在反比例函数的图象上有点，，，，，其横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作轴、轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，已知的纵坐标为10．    （1）的值为___________； （2）阴影部分的面积，，，的和为___________． 【答案】 【分析】（1）可得，代入即可求解； （2）可求，将所以阴影部分面积移到一起是矩形，即可求解． 【详解】解：（1）由题意得， ， 解得：， 故答案：． （2）由（1）得：， 当时， ， 解得：， ， ， 故答案：． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数关系式，根据的意义求矩形面积，理解的意义是解题的关键． 11．（25-26九年级上·天津南开·期末）已知，，完成以下填空． (1)y关于x的函数关系式为________； (2)①y关于x的函数图象是________线，且经过第________象限； ②在y关于x的函数图象上取点，和，请将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为________； ③在②中，连接，，，则的面积为________． 【答案】(1) (2)①双曲，一、三；②；③6 【分析】（1）将代入即可； （2）①根据（1）中求得的函数解析式，确定函数图象及所经过的象限； ②根据三点的纵坐标，分别求出三点的横坐标，再比较大小即可； ③根据②求得的三点的横坐标，得出三点坐标，再求出这三点构成的三角形的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴y关于x的函数关系式为， 故答案为：； （2）（2）①∵y关于x的函数关系式为， ∴y关于x的函数图象是双曲线， ∵， ∴它的图象在第一、三象限， 故答案为：双曲，一、三； ②解：在y关于x的函数图象上取点，和， 则，，， ， 所以， 故答案为：； ③解：由②，得，和， 的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了判断（画）反比例函数图象，用反比例函数描述数量关系，判断反比例函数图象所在象限，已知比例系数求特殊图形的面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 12．（2026·江西·模拟预测）如图，已知轴，点A在反比例函数的图象上，将线段平移，得到线段，且点B恰好落在反比例函数的图象上，点O为四边形的中心，． (1)求k的值； (2)若点D到x轴的距离为1，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及反比例函数k的几何意义，反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与几何的综合是解题的关键． (1) 设， 分别交y轴于点E，F，连接，，，由点O 是平行四边形的中心， 得，证明，得进而可求k． (2) 根据点D到x轴的距离为1，轴，点O 是平行四边形的中心，分别求得点A 、点 B 的坐标，用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：如图，设， 分别交y轴于点E，F，连接，，， 轴， 轴， ∴由平移知轴， 则 ．                                由平移可知四边形是平行四边形， ∵点O 是平行四边形的中心，      ∵点O 是平行四边形的中心， ，， ， ， ， ．     ∵函数 的图象在第四象限， ， ． （2）解：∵点D到x轴的距离为1，轴，点O 是平行四边形的中心， ∴点A 的纵坐标为， ∴ 点 B 的纵坐标为1．     将代入 得， ． 将代入 得， ． 设直线的解析式为， 将，分别代入， 得 解得 ∴直线的解析式为． 13．（25-26九年级上·北京·课后作业）已知点是轴正半轴的一个动点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接． (1)如图甲，当点在轴的正方向上运动时，的面积大小是否变化？答： （请填“变化”或“不变化”），若不变，请求出的面积 ；若改变，试说明理由（自行思索，不必作答）； (2)如图乙，在轴上的点的右侧有一点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接交于，设的面积是，梯形的面积为，则与的大小关系是 （请填“”、“”或“”）． 【答案】(1)不变化， (2) 【分析】（）根据反比例函数比例系数的几何意义即可求解； （）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，即得到，进而即可判断求解； 本题考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，掌握该知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点位于反比例函数的图象上，而且轴， ∴， ∴当点在轴的正方向上运动时，的面积不变化，值总等于， 故答案为：不变化，； （2）解：由（）知，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2025·河南·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，交反比例函数的图象于B，C两点，以为边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，矩形面积分别记为，已知． (1)直接写出反比例函数的表达式； (2)求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，得出，根据反比例函数的图象在第一象限，得出 ，即可得出答案； （2）点B，C均在反比例函数的图象上，得出．设分别交x轴于点分别交y轴于点G，H．得出，，根据，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点B，C均在反比例函数的图象上， ． 如图，设分别交x轴于点分别交y轴于点G，H． ，， ， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握反比例函数比例系数k的意义． 15．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，点、分别在反比例函数和的图象上，四边形ABCO为平行四边形．    (1)m＝______；n＝______；点C的坐标为______． (2)求面积． (3)将平行四边形沿y轴向上平移，使点C落在反比例函数的图象上的D点，则图中两平行四边形重叠的阴影部分的面积为______． 【答案】(1)2，5， (2)3 (3) 【分析】（1）把、分别在反比例函数和代入即可； （2）根据平行四边形的面积公式计算即可； （3）求出E点坐标利用三角面积公式计算即可； 【详解】（1）把代入得 ， 把代入得 ∵、 ∴ ∴ ∴ 故答案为：2，5， （2）面积= （3）C往上平移后为D，设 ∵D是的图象上的点 ∴，即 ∴平行四边形沿y轴向上平移了个单位， 设的解析式为，代入 得，即的解析式为 如图：   当时，，则点 A到的距离、 ∴重叠的阴影部分的面积为= 故答案为 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，直线与双曲线的交点的求法. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 反比例函数的k值意义重难点题型专训 （1个知识点+2大题型+自我检测） 题型一 已知比例系数求图形面积 题型二 根据图形面积求比例系数 知识点一： 反比例函数中k的几何意义（2种基础模型） 【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【模型结论2】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 【经典例题一 已知比例系数求图形面积】 1．（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图，A为反比例函数的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C．若四边形的面积为2，则k的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图所示，点在反比例函数的图象上，过分别向轴，轴作垂线，垂足分，两点，则矩形的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25九年级上·广东梅州·月考）如图，为等边三角形，点B在x轴正半轴上．若反比例函数的图象的一支经过点A，则的面积为（   ）    A．8 B． C．4 D． 4．（24-25九年级上·贵州贵阳·期末）如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于A，B两点，连接AB、若轴，则的面积是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，反比例函数上两点A，B的横坐标分别为，，则的面积是___________． 7．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线＞上，连接交于，连接，则图中是________． 8．（24-25八年级下·海南海口·期末）如图，函数与函数的图象相交于、两点，轴于点，轴于点，则四边形的面积为___________． 9．（24-25九年级上·湖南湘西·月考）如图，点P是反比例函数（，）图象上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数（且）的图象于E、F两点． （1）图1中，四边形的面积____________（用含、的式子表示）； （2）图2中，设P点坐标为．若的面积为，反比例函数的解析式是____________． 10．（24-25九年级上·山东东营·期末）如图，在反比例函数的图象上有，，，……，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，……，2025，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，……，，则________． 11．（24-25九年级上·吉林长春·期末）在反比例函数的图象上有不重合的两点、，点的纵坐标为2． (1)求点的横坐标； (2)过点向轴作垂线，垂足是，试求． 12．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，过反比例函数的图象上任意两点A、B，分别作轴的垂线，垂足为，连接OA，OB，与OB的交点为P，记△AOP与梯形的面积分别为，试比较的大小． 13．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，已知反比例函数的图象经过点．    (1)求k的值． (2)若点B在x轴上，且，则的面积为______． 14．（2025八年级下·上海嘉定·专题练习）如图，点C在反比例函数y的图象上，CA∥y轴，交反比例函数y的图象于点A，CB∥x轴，交反比例函数y的图象于点B，连结AB、OA和OB，已知CA＝2，求△ABO的面积． 15．（25-26八年级下·上海松江·期中）已知反比例函数与一次函数交于A，B两点，点B的纵坐标为． (1)求一次函数解析式及与y轴交点C的坐标； (2)若点B与点D关于原点对称，求的面积． 16．（2026·河南洛阳·一模）如图，的顶点A，B分别在双曲线和上，顶点C在x轴上，已知点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求的面积． 17．（24-25八年级下·上海长宁·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，反比例函数与矩形的两条边的交点分别是M，N，其中点M的坐标为．连接，，已知的面积是矩形面积的．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 18．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，反比例函数的图象经过点，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，点在反比例函数第三象限的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的长． (3)记图中两处矩形阴影的面积分别为，，则__________．（填“<”“=”或“>”） 19．（24-25八年级下·上海虹口 ·月考）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标是，轴于点A，点B在反比例函数的图像上，将向右平移，得到，交双曲线于点． (1)求k，a的值； (2)连接，，，求的面积． 20．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，过点B分别作x轴和y轴的平行线交函数y＝（x＞0）的图象于点A，C． (1)若点B的坐标为（1，2），求A，C两点的坐标； (2)若点B是y＝（x＞0）的图象上任意一点，求△ABC的面积． (3)OC平分OA与x轴正半轴的夹角，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，求四边形OABC的面积． 【经典例题二 根据图形面积求比例系数】 1．（25-26九年级上·广西百色·期中）点A是反比例函数在第三象限图象上一点，过作轴，垂足为，过作轴，若的面积为，则的值是（　　） A．3 B． C．6 D． 2．（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点A，在轴上．若点，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·宁夏·模拟预测）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在轴的正半轴依次截取，过点，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，若，则的值为（   ） A．2 B．1 C．-2 D．4 5．（2025·河北邯郸·三模）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点B在函数的图象上，，．将线段沿x轴正方向平移得线段（点A平移后的对应点为），交函数的图象于点D，过点D作轴于点E，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26九年级上·吉林通化·期末）如图，点是轴上一点，过点作轴交反比例函数于点，点是轴上的两点，，若四边形的面积是，则的值为 _______ ． 7．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在双曲线上，交轴于点，，轴于，若，则______ ． 8．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，点是反比例函数的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为______． 9．（24-25八年级下·河南驻马店·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若轴，是轴上一点，的面积为，则的值为______． 10．（25-26九年级上·广西北海·月考）如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为______． 11．（2025·广西百色·一模）如图，点A，B关于y轴对称，S△AOB＝8，点A在双曲线y＝，求k的值． 12．（2025·四川绵阳·二模）如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，，求点所在的反比例函数解析式． 13．（2025·贵州毕节·一模）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8． (1)求的值； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 14．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象经过点为A(-2，m)．过点A作AB⊥x轴，且ABO的面积为2． （1）k和m的值； （2）若点C(x，y)也在反比例函数的图象上，当时，直接写出函数值的取值范围． 15．（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接交x轴于点C，轴，点D在x轴正半轴上，，连接，已知的面积为12． (1)求k的值； (2)若点，在反比例函数的图象上是否存在点E使得四边形为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 16．（2026·江苏扬州·一模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出的取值范围； (3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 17．（2025·河南省直辖县级单位·一模）如图，点、在反比例函数的图象上，轴，轴，垂足分别为C、D，与相交于点E． (1)根据图象直接写出、的大小关系，并通过计算加以验证； (2)结合以上信息，从①的面积为3，②这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值并解释k的几何意义． 你选择的条件是______（只填序号）． 18．（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数的图象经过点，过点A作轴于点B，且的面积为6． (1)求m和k的值； (2)当时，求函数值y的取值范围． 19．（2025·山东枣庄·一模）已知正方形OABC的面积为9，点O是坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y＝（x＞0，k＞0）的图象上，点P（m，n）是函数y＝（x＞0，k＞0）的图象上任意一点．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．若矩形OEPF和正方形OABC不重合部分（阴影）面积为S．（提示：考虑点P在点B的左侧或右侧两种情况） (1)求B点的坐标和k的值； (2)写出S关于m的函数关系式； (3)当S＝3时，求点P的坐标． 20．（2025·山西运城·一模）阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 反比例函数是初中函数学习的重要组成部分，它与物理、化学等密切相关，函数本身又是一个重要的数学思想，利用函数的思想和方法可以加深对一些代数问题的理解，现从反比例函数系数k的几何意义出发来探究反比例函数的一些规律． 逐梦学习小组在熟练掌握k的几何意义基础之上又进行了深入的探究后发现：如图1，以矩形的顶点O为坐标原点，射线为x轴正半轴、射线为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，当时，则，在老师指导下逐梦学习小组进行了如下推理，证明了这一结论是正确的． 证明：在图1中，过点E作轴，垂足为G，过点F作轴，垂足为H 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 任务： (1)在图1中，已知，若反比例函数的系数，则矩形的面积______； (2)逐梦学习小组继续探究后发现，如图2，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则，请帮助逐梦学习小组完成证明； (3)如图3，反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则图中阴影部分（即四边形）的面积______． 1．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）若下列反比例函数的表达式均为，则图形的面积为4的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）反比例函数的图象如图所示，已知正方形的面积为11，点的坐标为，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点在双曲线上，轴于点轴于点，点在轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，正方形的顶点在位于第二象限的分支上，点B、C分别在轴、轴负半轴上，点在直线位于第一象限的图象上，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东广州·一模）如图，直线交y轴于点C，与双曲线交于A、B两点，P是线段上的点（不与A、B重合），Q为线段上的点（不与B、C重合），过点A、P、Q分别向x轴作垂线，垂足分别为D、E、F，连接，设的面积为、的面积为、的面积为，则有（　　） A． B． C． D．的大小关系无法确定 6．（2026·陕西渭南·一模）如图，在平面直角坐标系中，、为反比例函数图象上两点，轴于点H，轴于点G，连接交于点C，连接，若的面积为2，则k的值为________． 7．（25-26九年级上·广东河源·期末）如图所示，反比例函数（常数）图象经过点，分别过这三个点作轴、轴的平行线．若，图中的“十字形”阴影部分的面积为，则的值为_____．    8．（2025·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，A，B是反比例函数上的两点，设，，且，连接，分别过点A，B作轴，轴．若，则______． 9．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，轴于点C，轴于点D，连接．若点C的坐标为，，的面积为3，则的面积是______． 10．（24-25九年级上·安徽合肥·月考）如图，在反比例函数的图象上有点，，，，，其横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作轴、轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，已知的纵坐标为10．    （1）的值为___________； （2）阴影部分的面积，，，的和为___________． 11．（25-26九年级上·天津南开·期末）已知，，完成以下填空． (1)y关于x的函数关系式为________； (2)①y关于x的函数图象是________线，且经过第________象限； ②在y关于x的函数图象上取点，和，请将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为________； ③在②中，连接，，，则的面积为________． 12．（2026·江西·模拟预测）如图，已知轴，点A在反比例函数的图象上，将线段平移，得到线段，且点B恰好落在反比例函数的图象上，点O为四边形的中心，． (1)求k的值； (2)若点D到x轴的距离为1，求直线的解析式． 13．（25-26九年级上·北京·课后作业）已知点是轴正半轴的一个动点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接． (1)如图甲，当点在轴的正方向上运动时，的面积大小是否变化？答： （请填“变化”或“不变化”），若不变，请求出的面积 ；若改变，试说明理由（自行思索，不必作答）； (2)如图乙，在轴上的点的右侧有一点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接交于，设的面积是，梯形的面积为，则与的大小关系是 （请填“”、“”或“”）． 14．（2025·河南·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，交反比例函数的图象于B，C两点，以为边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，矩形面积分别记为，已知． (1)直接写出反比例函数的表达式； (2)求矩形的面积． 15．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，点、分别在反比例函数和的图象上，四边形ABCO为平行四边形．    (1)m＝______；n＝______；点C的坐标为______． (2)求面积． (3)将平行四边形沿y轴向上平移，使点C落在反比例函数的图象上的D点，则图中两平行四边形重叠的阴影部分的面积为______． 学科网（北京）股份有限公司 $