专题02 反比例函数的图像与性质重难点题型专训（3个知识点+14大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

**基本信息** 以“知识点-题型-拓展”三维架构系统构建反比例函数备考体系，通过14类分层题型实现从概念理解到综合应用的能力进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |双曲线概念|2题即时训练|图像对称性应用、象限分布规律|从双曲线定义出发，构建“图像特征-性质判定-参数求解”的逻辑链| |解析式确定|2题即时训练|待定系数法四步法、面积法求k值|通过坐标与面积关系，建立代数表达与几何直观的联系| |图像与性质|14大题型+2拓展|增减性比较技巧、跨函数综合分析|以k值符号为核心，串联象限分布、增减性、交点问题的知识网络|

专题02反比例函数的图像与性质重难点题型专训 （3个知识点+14大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 判断（画）反比例函数图象 题型二 已知反比例函数的图象，判断其解析式 题型三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型四 已知双曲线分布的象限，求参数范围 题型五 判断反比例函数的增减性 题型六 判断反比例函数图象所在象限 题型七 已知反比例函数的增减性求参数 题型八 比较反比例函数值或自变量的大小 题型九 已知比例系数求特殊图形的面积 题型十 根据图形面积求比例系数（解析式） 题型十一 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型十二 一次函数与反比例函数的交点问题 题型十三 一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型十四 反比例函数与几何综合 拓展训练一 一次函数与反比例函数图象综合判断 拓展训练二 反比例函数图像与几何图形综合应用 知识点一： 双曲线 定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·河北邢台·月考）已知反比例函数的图象如图所示，则“”的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象性质，掌握“反比例函数图象所在象限与比例系数符号的关系”是解题关键．根据反比例函数的性质：当时，图象位于一、三象限；结合题目中图象经过一、三象限的条件，可推出，进而确定的取值范围． 【详解】解：反比例函数，当时，图象位于一、三象限，当时，图象位于二、四象限， 由题意得，的图象位于一、三象限， ， ， 的值可以是． 故选：． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）对于双曲线，当时，随的增大而减小，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，据此可得答案． 【详解】解：∵对于双曲线，当时，随的增大而减小， ∴， 故答案为：． 知识点二：确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： 　（1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式中. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·上海·月考）如图，为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义求解即可，要注意图象所在的象限． 【详解】解：由反比例函数的比例系数的几何意义可知， ， ∴， ∵函数图象在第二象限， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·上海松江·月考）已知点，都在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据点，的坐标可知，当时，，可知，解不等式可得． 【详解】解：点，都在反比例函数的图象上， ，， ， ， 解得：， ∴． 知识点三：反比例函数的图象和性质 　　1、反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明： （1） 若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反 比例函数的图象关于原点对称； （2） 在反比例函数(为常数，)中，由于，所以两个分支 都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 【即时训练】 1．（2026·广西梧州·模拟预测）若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质和正比例函数的图象和性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两方面分类讨论得出答案． 【详解】解：， 分两种情况： （1）当时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； （2）当时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D符合． 故选D 2．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，反比例函数（）的图像和一次函数（）的图像相交于，两点，则当时，的取值范围是______． 【答案】或． 【分析】本题考查了用函数图象求不等式的解集，本题中根据一次函数与反比例函数的图象的位置关系找到不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知：在第二象限时，在点的左侧， 即， 在第四象限时 ，在点的左侧， 即， 综上所述，当时，的取值范围是或． 故答案为：或． 【经典例题一 判断（画）反比例函数图象】 【例1】（2025·江西宜春·模拟预测）二次函数的图象可以由二次函数的图象向右平移2个单位长度得到，类似的，函数的图象可以由反比例函数的图象向右平移1个单位长度得到．下列关于函数的图象与性质描述错误的是（   ） A．函数图象与y轴的交点坐标为 B．当时，y随x的增大而增大 C．函数图象与x轴没有交点 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象，先画出函数图象，根据反比例函数的性质和函数的图象逐项分析即可． 【详解】解：如图，画出函数的图象， A、在中，当时，，即函数图象与y轴的交点坐标为，该选项正确，不符合题意； B、根据函数图象得，当时，y随x的增大而增大，该选项错误，符合题意； C、根据函数图象得，函数的图象与x轴没有交点，该选项正确，不符合题意； D、根据函数图象得，当时，y随x的增大而增大，该选项正确，不符合题意． 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·北京海淀·月考）反比例函数与两条坐标轴的正半轴所夹的开放区域内（不含边界）只有8个整点（横、纵坐标均为整数），则的取值范围为______． 【答案】 【分析】画出图象，找到临界状态，会发现，当时，是8个整点，满足条件． 【详解】解：如图， 当时，是5个整点，当时，是8个整点． ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，画出函数图象是解题的关键． 1．（24-25九年级上·江苏南通·期末）函数的图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象，根据列表、描点、连线画出的图象，即可解题． 【详解】解：列表： x … 1 2 3 … y … … 描点，连线，画出函数图象如图， 故选：C． 2．（2025·河北唐山·一模）如图，矩形在平面直角坐标系中，点，点，已知双曲线经过点，双曲线． 如果把矩形内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为“优点”． （1）则和坐标轴之间（不含边界）有__________个“优点”； （2）当，则和之间（不含边界）最多有________个“优点”． 【答案】 9 6 【分析】（1）、将 代入，求出解析式，找出其经过的整点坐标，画出图像，即可得出； （2）、画出 和 的图像，即可得出． 【详解】解：将 代入， 得： ， ， 其经过，画出其图像： 从图中可数出：和坐标轴之间（不含边界）有9个“优点”； （2）、双曲线经过点 ， 双曲线经过点 ， 画出双曲线的图像如下： 由图像可知：与双曲线之间有4个“优点”（不含边界）， 与双曲线之间有6个“优点”（不含边界）， ∴和之间（不含边界）最多有6个“优点”． 故答案为9，6． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数的图像，熟练掌握待定系数法以及画反比例函数图像是解题的关键． 3．（2025·辽宁阜新·一模）函数的图象如图1所示（正方形网格边长为1）．      x … 1 2 4 … … 4 2 1 … … 0 5 3 2 … (1)根据表格中的数据，在图1中画出函数的图象．根据表格中的数据及图象，可以发现：的图象是由的图象向 （填“上”或“下”）平移了 个单位长度而得到的； (2)函数的图象向下平移3个单位长度后的函数表达式是 ； (3)如图2，函数的图象无限接近y轴及直线，则 ，A是该函数图象上的一点，轴，轴，矩形的面积为4，，则 ． 【答案】(1)见详解，上，1； (2) (3)1；3 【分析】（1）观察图象即可得出结论； （2）根据（1）的结论可得； （3）根据图象填空即可． 【详解】（1）解：画出函数的图象如图，    根据表格中的数据及图象，可以发现：的图象是由的图象向上平移 1 个单位长度而得到的； （2）解：函数的图象向下平移3 个单位长度后的函数表达式是； （3）解：如图2， 函数的图象无限接近轴及直线， 则， 是该函数图象上的一点，轴，轴，矩形的面积为 4 ，， 则． 【经典例题二 已知反比例函数的图象，判断其解析式】 【例1】（24-25八年级下·上海闵行·单元测试）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过（﹣4，2），那么下列四个点中，在这个函数图象上的是（　　） A．（1，8） B．（3，） C．（，6） D．（﹣2，﹣4） 【答案】B 【分析】根据反比例函数y=（k≠0）的图象经过（-4，2），可以得到k的值，从而可以判断各个选项是否符合题意． 【详解】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过（﹣4，2）， ∴k＝xy＝（﹣4）×2＝﹣8， ∵1×8＝8≠﹣8，故选项A不符合题意， ∵3×（）＝﹣8，故选项B符合题意， ∵×6＝3≠﹣8，故选项C不符合题意， ∵（﹣2）×（﹣4）＝8≠﹣8，故选项D不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 【例2】（24-25八年级下·北京·期末）如图为反比例函数的图象，请写出满足图象的一个的值______．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据图象可得比例系数的坐标在和之间，即可得，据此即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，比例系数的坐标在和之间， ∴，即， ∴满足图象的一个的值可以为， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·上海崇明·期中）如图是某同学利用计算机软件绘制的某函数的图像，根据图像判断可能是下列的哪一个函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象；能够通过函数的图象得出结论是解题的关键．由图象可知，当时，函数值不存在，当时，，当时，随的增大先增大后减小；据此即可判断． 【详解】解：A、，当时，随的增大而减小，与图象不符，不符合题意； B、，满足图象特点，符合题意； C、，当时，，与图象不符，不符合题意； D、，当时，，与图象不符，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，反比例函数的图象上有一点C，作轴，轴，交函数图象上点A，B，且，，则_____． 【答案】4 【分析】设，由，，则，，，，然后根据建立方程，得出C的横坐标和纵坐标的关系，再根据C在反比例函数，即可求出C的坐标，代入即可求得k的值． 【详解】解：设， 则，，，， ∵， ∴， ∴， 又∵C在反比例函数，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的特征，根据反比例函数图象上的点的横坐标与纵坐标之积为常数，列出方程是解答本题的关键． 3．（24-25九年级上·湖南益阳·月考）已知反比例函数的图象如图所示，试回答下列问题： (1)求这个函数的表达式； (2)你认为点，是否在这个函数的图象上，请说明理由． 【答案】(1)这个函数的表达式为； (2)不在这个函数的图象上，理由见解析． 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法求解析式，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （）把点代入即可求解； （）当时，即可判断点是否在这个函数的图象上． 【详解】（1）解：根据图象可知，反比例函数的图象过点， ∴， ∴这个函数的表达式为； （2）解：不在这个函数的图象上，理由， 当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 【经典例题三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 【例1】（25-26九年级上·福建福州·月考）直线与双曲线交于、两点，则的值为（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．由直线经过第一、三象限，且与双曲线交于A、B两点，可得A、B两点关于原点对称，即，再由反比例函数可得，，将原式化简再代入数据即可解答． 【详解】解：由题意得，直线经过第一、三象限，且与双曲线交于A、B两点，则A、B两点关于原点对称， ， 又，在双曲线上， ，， ． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·上海嘉定 ·单元测试）如图，正比例函数与反比例函数相交于点，则它们的另一个交点坐标是________． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，根据一个交点结合对称性即可求得另一个交点． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故答案为． 1．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图为反比例函数与在第一象限中的图象，点P为其中一个反比例函数图象上点，过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B，则面积应是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．设，即可求出点A，点B的坐标从而求出面积． 【详解】解： P在反比例函数图象上， 设， 点A，点B在反比例函数图象上， 过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B， ， ， ． 故选C． 2．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，直线y＝kx与双曲线相交于点A和B，已知点A的坐标为（4，1） （1）k＝______； （2）不等式的解集为______． 【答案】 或 【分析】（1）把A点坐标代入直线的解析式求k即可； （2）根据一次函数图象和反比例反比例函数图象都是关于原点对称的，得出A和B关于原点对称，从而求出B点坐标，观察图象找出直线在双曲线的上方时x的范围即可解答． 【详解】解：（1）∵点A在直线y=kx上， ∴1=4k， 解得； （1）∵一次函数图象和反比例函数图象都是关于原点对称的， ∴A和B关于原点对称， ∵A（4，1）， ∴B（-4，-1）， 由图象可得，当或时，直线在双曲线的上方， ∴的解集为：或． 故答案为：，或． 【点睛】本题考查了一次函数图象和反比例函数图象的交点问题，关于原点对称的坐标特点，以及利用函数图象解不等式，运用数形结合的思想是解题的关键． 3．（24-25九年级上·北京顺义·期中）探究函数的图象与性质，小安根据学习函数的经验，对问题进行了探究．请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)取几组y与x的对应值，填写在表中，其中______； x … 0 2 3 … y … 1 2 4 4 m 1 … (3)如图，根据（2）中表里各组对应值，请把图象补充完整； (4)若是函数图象上的两点，则______． 【答案】(1) (2)2 (3)见解析 (4) 【分析】（1）只需要求出分母不为0时自变量的取值范围即可； （2）把代入函数解析式求出y的值即可； （3）先描点，再连线，画出函数图象即可； （4）根据函数图象可得P、Q关于直线对称，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，函数的自变量x的取值范围是，即， 故答案为：； （2）解：在中，当时，， ∴， 故答案为：2； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：由函数图象可知，函数的函数图象关于直线对称， ∵是函数图象上的两点， ∴P、Q关于直线对称， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，求函数值，画反比例函数图象，反比例函数的性质等等，正确利用数形结合的思想求解是解题的关键． 【经典例题四 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 【例1】（24-25九年级上·山西大同·期末）反比例函数（m为常数）的图象在第二、四象限，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数的性质：当时，图象过一、三象限；当时，图象过二、四象限可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数中的意义以及相对应图象所在象限的位置是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·重庆九龙坡·月考）已知函数 ，当自变量的取值为，函数值y的取值范围为__________． 【答案】/ 【分析】根据在每一个象限内，y随x的增大而增大的性质计算即可． 【详解】∵函数 ， ∴在每一个象限内，y随x的增大而增大 故当， ， 故当自变量的取值为，函数值y的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·月考）如图是三个反比例函数在轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图像及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，由图象分布的位置可得，再由时，由图象可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第二象限，反比例函数和的图象分布在第一象限， ， 当时，由图象可得， ， 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图是反比例函数的图像，则k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由图象可知，再根据在函数图象的上方，可得，即可求得的取值范围． 【详解】解：由图象可知，， ∵在函数图象的上方， ∴当时，， ∴， 即：， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象及图象上点的特征，理解函数反比例函数图象的特征是解决问题的关键． 3．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，对于函数y（x＞0），它的图象是双曲线在第一象限内的一部分，如图1，这条曲线将第一象限分成了三个部分，即曲线上方、曲线下方和曲线上． (1)对于函数y（x＞0）的图象而言， ①点P（3，1）在　 　（填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”）． ②横、纵坐标满足不等式y的点在　 　（填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”）． (2)已知m＞0，将在第一象限内满足不等式组的所有点组成的区域记为W． ①当m＝1时，请在图2中画出区域W（用阴影部分标示）； ②若A（1，2），B（2，4）两点恰有一个点在区域W内，结合图象，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①曲线上方；②曲线下方 (2)①见解析；②1＜m＜8且m≠2 【分析】（1）①把相应坐标代入函数式即可得到答案；②根据函数图象可得到答案； （2）①根据题意得不等式组，根据轨迹可得答案；②分当点A（1，2）在区域W内时，当点B（2，4）在区域W内时，两种情况得不等式组，求解可得答案． 【详解】（1）解：①在函数y图象上，当x＝3时，y， ∴点P（3，1）在曲线上方； ②y为曲线，横、纵坐标满足不等式y的点在曲线下方． 故答案为：①曲线上方；②曲线下方． （2）解：①由题意知，区域W满足， ∴区域W满足在y的上方且在y＝x+1的下方，如图： ②当点A（1，2）在区域W内时，， 得1＜m＜2， 当点B（2，4）在区域W内时，， 得2＜m＜8， ∴m的取值范围为1＜m＜8且m≠2． 【点睛】此题考查的是函数的轨迹问题，掌握反比例函数性质及数形结合思想的应用是解决此题关键． 【经典例题五 判断反比例函数的增减性】 【例1】（25-26九年级上·四川达州·期末）关于反比例函数，已知点在它的图象上，下列说法中错误的是（   ） A．当时，随的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点和都在该图象上 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数系数k的符号判断图象所在象限和增减性，并验证点的坐标是否满足函数解析式． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象在第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，即当 时，随增大而增大， ∴故选项A、B正确，不符合题意； ∵点在图象上，∴，即， 对于点，当时，，故点在函数的图象上； 对于点，当时，，故点在函数的图象上， 故选项C正确，不符合题意； 对于D，当 时，，但当时，故当时，不一定成立，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 【例2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）点，都在反比例函数的图象上，则___．（填“”或“”） 【答案】 【分析】由反比例函数的图像性质得到在同一象限内，随的增大而减小，即可得到答案． 【详解】解：， 在同一象限内，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据反比例函数的图像性质判断出函数的增减性，熟练掌握函数的增减性是解题的关键． 1．（24-25九年级上·江西抚州·月考）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点A，则下列说法正确的是（   ） A．点P到y轴的距离为2 B．当时，y随x的增大而增大 C．点也在反比例函数的图象上 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握函数的图像和性质是解题的关键．根据题意求出函数解析式，根据反比例的图像和性质进行判断即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，轴于点A，则， 反比例函数解析式为， A．点P到y轴的距离为1，该选项错误，不符合题意； B．根据函数图象可知，当时，y随x的增大而减小，该选项错误，不符合题意； C．当时，，则点不在反比例函数的图象上，该选项错误，不符合题意； D． ，该选项正确，符合题意； 故选D． 2．（24-25九年级上·山西忻州·期末）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积之比是．如果A，B，C三个面分别向下放在地上，地面所受压强分别为，，，压强的计算公式为，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则，，的大小关系为______（用小于号连接）． 【答案】 【分析】根据这块砖的重量不变可得压力F的大小不变，且，再根据反比例函数的性质（增减性）即可得到答案． 【详解】解：这块砖的重量不变， 压力F的大小都不变，且， ， 随S的增大而减小， A，B，C三个面的面积比是， ，，，的大小关系是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键． 3．（24-25九年级上·贵州铜仁·月考）有这样一个问题：探究函数的图象与性质并解决问题．小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： x … 0 1 1.2 1.25 2.75 2.8 3 4 5 6 8 … y … 1 1.5 2 3 6 7.5 8 8 7.5 6 3 2 1.5 1 … (1)如图，在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； (2)①通过观察、分析、证明，可知函数的图象是轴对称图形，它的对称轴是 ；它的另一个性质是 ． ②过点作直线轴，与函数的图象交于点M，N（点M在点N的左侧）．求的值． 【答案】(1)图见解析； (2)①当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；②的值为6． 【分析】（1）利用描点法画出函数图象； （2）①根据轴对称图形的定义即可判断是轴对称图形，根据图象即可得到函数的性质； ②求出的长(用n表示)即可解决问题． 本题考查反比例函数的性质，解题的关键是学会用描点法画出函数图象． 【详解】（1）解：根据表格描点，函数图象如图所示： （2）解：①观察图象可知图象是轴对称图形，对称轴 它的另一个性质是：当时， y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， 故答案为：当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大； ②由题意， 故答案为：6． 【经典例题六 判断反比例函数图象所在象限】 【例1】（25-26九年级上·河北廊坊·月考）定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义和反比例函数的图象，正确理解题意并结合反比例函数图象与系数的关系是解题关键． 按照题干给的新定义运算法则，对x的符号进行分类讨论，判断每种情况下，反比例函数的图象所在象限即可． 【详解】解：当时，，其图象在第一象限； 当时，，其图象在第二象限． 故选：B． 【例2】（2025·浙江杭州·一模）已知点，在反比例函数图象上． （1）若，则______． （2）若，，则当自变量时，函数y的取值范围是______． 【答案】 /0.5 或 【分析】（1）根据在反比例函数上的点可得，即可求解； （2）根据已知条件，结合（1）的结论可得，，进而根据反比例函数图象的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵点，在反比例函数图象上． ∴ ∴ ∵， ∴， 故答案为：． （2）∵，， ∴，则 ∴， ∴， ∴， 当时，， ∵反比例函数的图象在第一，三象限，在每个象限内随的增大而减小， ∴当时，即时，或 或 故答案为：或． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 1．（24-25八年级下·上海普陀·月考）在如图所示的某函数图象上可以找到个不同的点：，使得，则的最大值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】此题考查了正比例函数的图象和性质，根据题意构造正比例函数，利用数形结合是解题的关键．设，则点：均在反比例函数图象上，根据反比例函数图象与此图的交点个数，即可得到答案． 【详解】解：设， 则点：均在反比例函数图象上， 根据函数图象可知：当时，反比例函数图象与此图在第一象限最多有4个交点，在第三象限最多有4个交点，即此时最多有8个交点， 当时，反比例函数图象与此图在第二象限最多有2个交点，在第四象限最多有2个交点，即此时最多有4个交点， ∴n的最大取值为8， 故选：A．   2．（2025·湖北武汉·三模）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小明用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 1 2 3 … y … b a 2 … 下列五个结论： ①，，； ②此函数的图象关于原点中心对称； ③当时，y随x增大而减小； ④在第一象限的函数的图象，当时，函数y有最小值为2； ⑤当时，则或． 其中正确的结论是______（只填写正确的序号）． 【答案】①②④ 【分析】此题考查了函数的图象和性质．画出函数图象，逐项进行分析判断即可． 【详解】解：函数图象如图， 根据表格中的性质可以其此函数图象关于原点中心对称，故②正确； 将代入得到， ，所以， ∴， 当时，，即， 当，，即， 故①正确； 因为此函数的自变量x的值不能取0，所以③错误； 根据图象的性质可知当时，函数y有最小值为2，故④正确； 当时，， 即 解得或3， 根据图象，可知当或，故⑤错误； 所以填写①②④． 故答案为：①②④ 3．（25-26八年级下·上海嘉定 ·单元复习）如下图，在平面直角坐标系中，为轴负半轴上一点，且，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)若是该反比例函数图象上的两点，且时，，则点各位于哪个象限？请简要说明理由． 【答案】(1) (2)点在第二象限，点在第四象限，理由见解析 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数、反比例函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）先求出点B的坐标，再代入求解即可得出答案； （2）根据反比例函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：，， 得点的坐标为． 把代入中， 得到， 反比例函数的表达式为． （2）点在第二象限，点在第四象限． 理由：， 反比例函数在每个象限中，随的增大而增大． 是该反比例函数图象上的两点，且时，， 点在不同的象限中， ， 点在第二象限，点在第四象限． 【经典例题七 已知反比例函数的增减性求参数】 【例1】（2025·山西晋中·二模）若点在反比例函数（）的图象上，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知当时，在第三象限内，y随x的增大而减小，由，可得，解得，由第三象限内的点坐标特点可知，即，，可求，进而可得a的取值范围． 【详解】解：∵， ∴当时，在第三象限内，y随x的增大而减小． ∵， ∴， 解得， ∵， ∴，， ∴， ∴a的取值范围是． 故选：A. 【例2】（24-25八年级下·河南洛阳·期中）已知反比例函数的图象经过点，当时，所对应的函数值的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是求出反比例函数的解析式．利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再结合图象即可求解． 【详解】解：设反比例函数的关系式为， 反比例函数的图象经过点， ， ， 当时，， 结合图象可得当时，， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·上海普陀·月考）已知函数中，在每个象限内，随的增大而减小，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，掌握k对正比例函数和反比例函数图象的影响成为解答本题的关键． 先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，再确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限即可解答． 【详解】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴， ∴函数的图象在第一、三象限，函数的图象经过第一、三象限， ∴D选项满足题意． 故选：D． 2．（2025·江苏南京·三模）如图，图像分别是反比例函数、、（为常数）的部分图像，比较的大小关系______．（用“或”连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数、的图象分布在第三象限， ∴，， 又∵反比例函数随的增大减小的更快， ∴， ∵反比例函数的图象分布在第四象限， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·福建南平·月考）如图，正比例函数与反比例函数的图象都经过点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)若点在该反比例函数图象上，且它到轴的距离小于3，请直接写出n的取值范围是___________． (3)请直接写出不等式的解集___________． 【答案】(1)，反比例函数的解析式为 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，与不等式的关系，待定系数法求解函数解析式等知识点． （1）由待定系数法求解即可； （2）当时，；当时，，由题意得，，再根据反比例函数的性质求解即可； （3）先确定直线与双曲线的另外一个交点为，再利用图象即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象都经过点 ∴， 解得 ∴，反比例函数的解析式为； （2）解：当时，；当时， 由题意得，， ∵， ∴在每一象限内，随着的增大而减小， ∴或； （3）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴另一个交点为， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 【经典例题八 比较反比例函数值或自变量的大小】 【例1】（25-26九年级上·甘肃武威·期末）若点，和都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 由于反比例函数中，因此当时，当时；对于的部分，函数随增大而增大． 【详解】解：∵， ∴当时，当时． ∵， ∴， ∵，，且， 又∵当时，函数随增大而增大， ∴，且，． 综上，． 故选：D． 【例2】（2025·陕西·模拟预测）已知反比例函数（k为常数，且）的图象上有两个点、，点P与点Q在同一象限内，且满足，若点、也在该反比例函数的图象上，且，则、与0的大小关系是__________．（用“＞”连接） 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据题意可得反比例函数的图象在第一、三象限，再根据反比例函数的性质即可得． 【详解】解：∵点、在反比例函数（k为常数，且）的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴反比例函数（k为常数，且）的图象的两支分布在第二、四象限， ∵， ∴点在第四象限、点在第二象限， ∴，， ∴， 故答案为：． 1．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知点，和都在反比例函数（k为任意实数）图象上，则，与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由得出，从而可得反比例函数的图象在第一、三象限，且每个象限内，随着的增大而减小，再结合，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数的图象在第一、三象限，且每个象限内，随着的增大而减小， ∵点在第一象限，点和点在第三象限， ∴，，，故最大， 又∵在第三象限内，随的增大而减小，且， ∴；综上所述，． 故选：A． 2．（2025·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，字母“M”的五个顶点坐标分别为，，，，，已知反比例函数，当的值为5时，图象经过字母“M”中的点______；当的值为2时，图象与字母“M”中的线段______有交点．    【答案】 【分析】本题考查反比例函数与点的坐标，根据反比例函数和点的坐标确定点与图象的位置关系是解题的关键． 计算的函数值，可判定反比例函数图象上的点，分别计算和的函数值，判定点，，，，与反比例函数的图象的位置关系，根据位置关系求解即可． 【详解】当时，反比例函数为：， 当时，， ∴点在反比例函数的图象上； 当时，反比例函数为：， 当时，， 当时，， ∵，， ∴点在反比例函数的图象的下面，点，，，在反比例函数的图象的上面， ∴反比例函数的图象与线段有交点， 故答案为：，． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）一次函数经过点，交反比例函数于点． (1)求； (2)连接，求的面积． (3)点在反比例函数第一象限的图象上，若，直接写出的横坐标的取值范围． 【答案】(1)，， (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，一次函数与反比例函数图象和性质，交点坐标，函数与不等式，是解题的关键． （1）利用一次函数经过点，点，列方程计算求得，得到点，再利用待定系数法求解即可； （2）求出，利用计算即得； （3）利用三角形面积公式求得，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵经过点，点， ∴， 解得， ∴点， ∵反比例函数经过点， ∴； （2）∵，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴C的横坐标的取值范围为：． 【经典例题九 已知比例系数求特殊图形的面积】 【例1】（24-25八年级下·四川内江·期中）如图，点A在双曲线上，过点A作轴交双曲线于点B，点C、D都在x轴上，连接、，若四边形是平行四边形，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的综合运用，解决问题的关键是明确平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等；由轴可知，A、B两点纵坐标相等，且都设为b，根据点A在双曲线，B在双曲线上，求得，而的边上高为b，根据平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵点A在双曲线上，B在双曲线上，且轴， ∴A、B两点纵坐标相等，且都设为b， 则，， ∴， 故的边上高为b， ∴． 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，A是反比例函数（）的图象上一点，过点A作轴于点B，P是y轴上任意一点，连接，，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例系数的几何意义，连接，由反比例系数的几何意义得，由同底等高的三角形面积相等即可求解；理解反比例系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：连接， 轴， 轴， ， ， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·上海嘉定 ·单元测试）如图，函数和的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于得出A的坐标和B的坐标． 设P的坐标是，推出A的坐标和B的坐标，求出，求出的值，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：设P的坐标是 (a为正数)， ∵轴， ∴A的横坐标是a， ∵A在上， ∴A的坐标是， ∵轴， ∴B的纵坐标是， ∵B在上， ∴代入得：， 解得：， ∴B的坐标是， ∴，， ∵轴，轴，x轴轴， ∴， ∴的面积是：． 故选A． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，平面直角坐标系中，矩形的边与函数图象交于E，F两点，且F是的中点，则四边形的面积等于_______． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题．由四边形是矩形，F是的中点，可设，则，又E点在抛物线上，则．可以用含m，n的式子表示出矩形，三角形和三角形的面积．F在反比例函数的图形上可得到的关系，再依据，列式即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，F是的中点， ∴可设，则，又E点在抛物线上，则， ∵F在抛物线上， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，求平行四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数中系数k的几何意义以及平行四边形的性质，解题的关键是通过作辅助线，利用平行四边形的性质得到相关线段的关系，再结合系数k的几何意义来求解平行四边形的面积．作轴于D，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 【详解】解：如图作轴于D，延长交y轴于E， ∵四边形是平行四边形， ∴，； ∴轴， ∴， ∴， 根据系数k的几何意义，，， ∴四边形的面积． 【经典例题十 根据图形面积求比例系数（解析式）】 【例1】（25-26九年级上·广西百色·期中）点A是反比例函数在第三象限图象上一点，过作轴，垂足为，过作轴，若的面积为，则的值是（　　） A．3 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．点在反比例函数第三象限图象上，过作坐标轴垂线，形成直角三角形，利用三角形面积公式和反比例系数的几何意义求解． 【详解】解：如图 设点坐标为， ∵点在第三象限， ∴， ∵轴，垂足为， ∴点坐标为， ∵轴，垂足为， ∴点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【例2】（2026·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，为坐标原点，顶点在反比例函数（为常数，且，）的图象上，边交轴于点，且，若的面积为9，则的值为______． 【答案】 【分析】连接，可知的面积为，根据“三角形高相等，面积比等于底的比”求出的面积为，根据k的几何意义求出，根据反比例函数经过第二象限可知． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为9， ∴的面积为， ∵， ∴， ∴的面积为， 即， ∴， ∵反比例函数经过第二象限， ∴， ∴． 1．（24-25八年级下·上海长宁·阶段练习）如图所示，已知菱形，点在轴上，直线经过点，菱形的面积是，若反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B．9 C． D． 【答案】D 【分析】设A的坐标为，根据勾股定理求出，根据面积公式求出的值，即可得出B的坐标，代入求出即可． 【详解】解：过于， ∵直线经过点， ∴设的坐标为， 在 中，由勾股定理得：， ∵ 四边形是菱形， ∴， ∴点的坐标为， ∵菱形的面积等于， ∴菱形的面积 =， ∴， 解得：， ∵在第一象限， ∴， ∵点的坐标为    ， 代入 得：. 2．（25-26八年级下·上海松江·期中）如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点在轴上，且，若，则的值为_____． 【答案】4 【分析】作于，根据反比例函数系数的几何意义得到，利用正比例函数和反比例函数的性质得到点与点关于原点对称，，即可得到，由得到，根据等腰三角形三线合一，得出，即可得出，从而求得． 【详解】作于， 过原点的直线交双曲线于、两点， 点与点关于原点对称，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．（2026·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x，y轴的垂线，垂足为C和B，矩形的面积为4． (1)求该反比例函数的解析式； (2)如图2，点D，E分别在边上，线段和的长成反比例关系，比例系数为1，顺次连接． ①当点A的横坐标为4时，求的面积； ②当点A在该反比例函数的图象上运动时，的面积是否发生改变？若发生改变，写出它们的变化规律；若没有发生改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)①②不会发生改变．理由见解析 【分析】（1）利用反比例函数的性质求解； （2）①根据函数解析式求出点纵坐标，设点D的坐标为，点E的坐标为，得出，然后利用割补法表示出三角形的面积即可； ②设点A的坐标为，表示出点D的坐标为，点E的坐标为，然后利用割补法表示出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵矩形的面积为4， ∴， ∴或， ∵函数图象位于第一象限， ∴ ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：①∵点A的横坐标为4， ∴， ∴点A的纵坐标为1． ∴可设点D的坐标为，点E的坐标为． ∵线段和的长成反比例关系，比例系数为1， ． ． 即． ； ②不会发生改变．理由如下： ∵设点A的坐标为， ∴可设点D的坐标为，点E的坐标为，且． ∵线段和的长成反比例关系，比例系数为1， ． ， ． 即． ． 【经典例题十一 一次函数与反比例函数图象综合判断】 【例1】（24-25九年级上·山东泰安·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．由于本题不确定的符号，所以应分和两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选择比较，从而确定答案．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想． 【详解】解：当时，一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限，如图所示： ，与C选项符合； 当时，一次函数经过二、三、四象限，反比例函数经过一、三象限．如图所示： ，没有选项与之符合． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·上海·期末）正比例函数与反比例函数的一个交点为 ，当正比例函数的图像在反比例函数图像的上方时，则 的取值范围是_____________ 【答案】或 【分析】先运用待定系数法先求出正比例函数与反比例函数解析式，再根据反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质列方程求出自变量x的取值范即可． 【详解】解：由正比例函数与反比例函数图象都经过点，即正比例函数为 反比例函数为 当正比例函数图象在反比例函数图象上方时，即＞，解得或． 故答案是或． 【点睛】主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，正确求出它们的解析式成为解答本题的关键． 1．（2025八年级·上海嘉定 ·模拟预测）反比例函数与一次函数（其中x为自变量，k为非零常数）在同一直角坐标系中的大致图象是（    ）． A．   B．   C．   D．     【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数以及反比例函数的知识，解题的关键是掌握一次函数以及反比例函数的图象与性质； 根据反比例函数的图象可知的正负，由一次函数的图象可知k的正负，由一次函数在y轴上的截距得k的正负，依次判断即可； 【详解】A、由反比例函数的图象可知，，由一次函数的图象可知，，由一次函数在y轴上的截距可知，两结论矛盾，故本选项不符合题意； B、由反比例函数的图象可知，，由一次函数的图象可知，，由一次函数在y轴上的截距可知，故本选项符合题意； C、由反比例函数的图象可知，，由一次函数的图象可知，，两结论矛盾，故本选项不符合题意； D、由反比例函数的图象可知，，由一次函数的图象可知，，由一次函数在y轴上的截距可知，两结论矛盾，故本选项不符合题意； 故选：B 2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图象交于A，C两点，点D为x轴负半轴上一点，连结CD并延长，交反比例函数的图象于点B、连结AB，若，且的面积为1，则的值是______． 【答案】4 【分析】由，可得，进而利用三角形全等得出，，设出，，得出点，进而将线段用坐标表示出来，借助三角形的面积公式可得，由，即，得出，代入即可得出答案． 【详解】解：如图，过点、分别作轴，轴，垂足分别为、， ， ， 又，， （AAS）， ，， 设点，，则点，则，，，， 的面积为1， ， 即， ， 又，即， ， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标，用坐标表示图形中线段的长，利用一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征表示出的面积是解决问题的关键． 3．（24-25八年级下·江苏南京·月考）我们研究反比例函数图象平移后的性质． 初步探究 （1）将反比例函数的图象向右平移一个单位，可以得到函数的图象，关于这个函数的性质正确的有： ； ①该函数图象与y轴的交点坐标是； ②该函数图象是中心对称图形，对称中心是； ③该函数图象关于直线轴时称； ④当时，y随x的增大而减小． （2）在图中画出函数的图象，根据图象写出其两条不同类型的性质： ； ． 问题解决 （3）若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求k的值； 深入思考 （4）当时，对于任意正数k，方程均无解，直接写出a，b，k满足的数量关系． 【答案】（1）③④；（2）根据图象可得性质：①图象关于直线对称；②当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而增大． （3）；（4）没有交点 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象、反比例函数的性质、一次函数的图象、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，根据所给解析式，结合图象逐个判断可以得解； （2）依据题意，函数的图象可以由函数y＝﹣的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，进而可得函数的图象关于成中心对称，进而作出图象，然后可以得出性质； （3）依据题意得，函数，再由函数 的图象可以由函数图象通过平移得到，故可得，进而计算可以得解； （4）依据题意得，，即，又当时，对于任意正数k，方程均无解，故函数与函数没有交点．再结合图象即可判断得解． 【详解】解：（1）由题意，当时，， ∴该函数图象与y轴的交点坐标是，故①错误． ∵图象的对称中心是， ∴图象的对称中心是，故②错误． ∵图象关于直线和对称， ∴图象关于直线和对称，故③正确． 由题意，对应函数图象， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小，故④正确． 故答案为：③④． （2）由题意，函数的图象可以由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到， ∴函数的图象关于对称． 作图如下． 根据图象可得性质： ①图象关于直线对称； ②当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而增大． （3）由题意得，函数， 又∵函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， ∴． ∴． （4）由题意得，， ∴． ∵当时，对于任意正数k，方程均无解， ∴函数与函数没有交点． 如图． 结合图象可得，当直线过时符合题意， ∴即． 【经典例题十二 一次函数与反比例函数的交点问题】 【例1】（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知直线与函数的图象相交于点，则的值是（　　） A．13 B．11 C．7 D．5 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及代数式求值，根据函数的知识求得相应代数式的值是解题的关键． 利用反比例函数与一次函数的交点问题得到，则，再利用完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：根据题意得， 所以， 所以 故选：A． 【例2】（2025·湖南娄底·三模）已知反比例函数与正比例函数的图象的一个交点的横坐标为，则______． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求得交点坐标是解题的关键． 利用正比例函数的解析式求得交点坐标，然后代入，即可求得的值． 【详解】解：将代入得：， 此点为， 代入反比例函数得：， 解得：． 故答案为：． 1．（2025八年级下·甘肃平凉·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，当函数时，自变量x的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，找到双曲线在直线上方时的自变量的范围即可． 【详解】解：由图象可知：当函数时，自变量x的取值范围为或； 故选C． 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，双曲线的图象如图所示，直线自原点开始沿y轴上下平移，在平移过程中，当双曲线上有某个点到直线的距离为时，那么称两个图形为“正相连”，则从直线与双曲线恰好有且只有1个点的“正相连”开始到与双曲线有且只有3个点的“正相连”终止，在这个过程中，m的取值范围是_______． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数综合，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是找到两个临界点． 如图所示，设直线和双曲线的图象交于点A， 直线和直线的图象交于点B，过点A作轴，过点B作轴交于点C， 当直线在双曲线下面时，利用勾股定理求出，然后求出，代入求出，当直线在双曲线上面时，同理求出，进而求解即可． 【详解】如图所示，设直线和双曲线的图象交于点A， 直线和直线的图象交于点B，过点A作轴，过点B作轴交于点C， ∵直线和直线垂直 ∴根据题意得，如图所示，当直线在双曲线下面时， 当时，直线与双曲线恰好有且只有1个点的“正相连” 由图象得，是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ 联立得， 解得或 ∴ ∴ ∴将代入直线得， 解得； 如图所示，当直线在双曲线上面时， 当时，直线与双曲线恰好有且只有3个点的“正相连”， 同理可得， ∴将代入直线得， 解得； ∴m的取值范围是． 故答案为：． 3．（2026·甘肃陇南·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)把一次函数的图象向上平移3个单位长度，与反比例函数的图象交于点，连接，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入一次函数求出，再将其代入反比例函数求解，即可解题； （2）根据平移性质先求出平移后的一次函数表达式，令平移后的一次函数与轴的交点坐标为，连接，联立反比例函数解析式求出交点坐标，再结合同底等高，利用三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点， ， 解得． 点， ， 解得， 反比例函数的表达式为； （2）解：把一次函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数， 令，则． 令平移后的一次函数与轴的交点坐标为，连接． 联立方程组 解得或（舍去）． ． 由平移得， 同底等高． ， ． 【经典例题十三 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 【例1】（2025·广东深圳·一模）线段AB是直线y＝5x+1的一部分，点A的坐标为（0，1），点B的纵坐标是6，曲线BC是双曲线y的一部分，点C的横坐标是6．由点C开始，不断重复曲线“A→B→C”，形成一组波浪线．已知点P（18，m），Q（22，n）均在该组波浪线上，分别过点P，Q向x轴作垂线段，垂足分别为D和E，则四边形PDEQ的面积是（　　） A．6 B．5 C．9 D．12 【答案】B 【分析】根据题意和题目中的函数解析式，可以先求得点、的坐标，再根据题意，可以得到点和的坐标，从而可以计算出四边形的面积． 【详解】解：线段是直线的一部分，点的纵坐标是6， ， 解得， 点的坐标为， 曲线是双曲线的一部分，点的坐标为， ， 解得， 双曲线， 点在该双曲线上，点的横坐标是6， ， 即点的坐标为， 点，均在该组波浪线上，，， ，， ，，， 四边形的面积是：， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是求出、的值． 【例2】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式的解集？ 思路：，当时，不等式一定不成立；当时，不等式变为；当时，不等式变为．问题转化为研究函数与的图像关系；请你根据上面的思路，画出函数图像的简图，并结合图像求不等式的解集是____________． 【答案】或 【分析】先把不等式化为当时，不等式变为；当时，不等式变为．再画函数与的图像，再利用函数图像解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，不等式一定不成立； 当时，不等式变为； 当时，不等式变为． 画函数与的图像如下：    ∴当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 综上： 解集为：或； 故答案为：或 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，画函数图像，利用函数图像解不等式，熟练的运用数形结合的思想解题是关键． 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）观察图中给出的直线和反比例函数的图像，下列结论中错误的是（   ） A． B．当时，有 C．直线与坐标轴围成的的面积是4 D．直线与反比例函数的图像的交点坐标为， 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出k2、b、k1，从而可对A进行判断；结合图像可对B进行判断；利用一次函数解析式确定A、B点坐标，然后利用三角形面积公式可对C进行判断；通过观察图像可对D进行判断． 【详解】解：把代入得，则反比例函数解析式为， 把，代入得，解得，则一次函数解析式为； ；所以A选项的结论正确； 当或时，有，所以B选项的结论错误； 当时，，解得，则， 当时，，则， ，所以，C选项的结论正确； 直线与反比例函数的图像的交点坐标为，，所以D选项的结论正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式． 2．（24-25九年级上·广西桂林·期中）如图，已知点，，均在直线上，点，，均在双曲线上，并且满足：轴，轴，轴，轴，，轴，轴，记点的横坐标为为正整数若，则的坐标为______． 【答案】 【分析】首先根据，求出，，，，，所以，，，，，，每个数一个循环，分别是、、；然后用除以，根据商和余数的情况，判断出是第几个循环的第几个数，进而求出它的值是多少即可． 【详解】解：， 的坐标是， 的坐标是， 即， ， 的坐标是， 的坐标是， 即， ， 的坐标是， 的坐标是， 即， ， 的坐标是， 的坐标是， 即， ， ，，，，，，每个数一个循环，分别是、、， ， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：图象上的点的横纵坐标的积是定值，即；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；在图像中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 3．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图1，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为，点B的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)连结，，求的面积； (3)如图2，点是x轴上的一个动点，过点T作轴的垂线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于，两点，当在的上方时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，待定系数法，图象法解不等式； （1）把分别代入一次函数与反比例函数，即可求解； （2）求出、点的坐标，分别过点A、B作轴于点D，轴于点E，由即可求解； （3）画出满足条件的图象，根据图象，即可求解； 掌握待定系数法，割补法，图象法是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入一次函数得， ， 解得：， 一次函数的解析式为：， 把代入反比例函数得， ， 解得：， 反比例函数的解析式为：； （2）解：如图，分别过点A、B作轴于点D，轴于点E，    把代入得 ； ，， 设直线与轴交于点， 当时，， 解得：， ，， ∴ ； （3）解：如图，   ， 由图象可得：当在的上方时，的取值范围为：或． 【经典例题十四 反比例函数与几何综合】 【例1】（25-26九年级上·河北邢台·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A为y轴正半轴上一点，过点A作x轴的平行线，交函数的图象于点B，交函数的图象于点C，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解决此题的关键是要能够根据两点的坐标求得两点之间的长度，再求出的值即可． 【详解】解：设， 是函数的图象上的一点，是函数的图象上的一点， ，， ，， ， ， ， 故选：C． 【例2】（2026·陕西咸阳·一模）如图，点A是反比例函数的图象上的动点，过点A分别作x轴、y轴的平行线，交反比例函数的图象于点B、C，连接，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据题意，设点A的坐标为，根据轴，轴，分别求出点和点的坐标，进而表示出线段和的长，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意，设点A的坐标为， ∵轴，轴，且点B、C在反比例函数的图象上， ∴，，且， ∴，， ∴． 1．（25-26九年级上·湖南怀化·期中）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、 ，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、”分别表示如图所示的三角形的面积，记，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质和裂项相消法的应用．解题关键是先确定反比例函数上点的坐标，再分析三角形面积规律，最后通过裂项相消简化求和．易错点是对三角形面积的推导和裂项相消时项的抵消规律把握不准确． 首先根据反比例函数，求出点、、等的坐标，进而推出三角形①、②、③……的面积分别为1、、……．然后根据、等，将其展开为，通过裂项相消，中间项抵消后得到，从而得出答案． 【详解】解：， 、、；以此类推，． 观察图形，每个三角形的底为1（横坐标依次增加1），高为对应点的纵坐标． ． ． ． 以此类推，三角形k的面积为． 根据题意，，，，． ． 故选：A． 2．（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，矩形的顶点，，的坐标分别为，，．将矩形向右平移个单位，若平移后的矩形与函数（）的图象有公共点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形性质、反比例函数图象上点的坐标特征、平移的性质，根据点，，的坐标可得点的坐标为，根据平移的方向和距离可得点，，、平移后的对应点的坐标，分别求出当点在反比例函数的图像上时和点在反比例函数的图像上时的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：矩形的顶点，，的坐标分别为，，， 点的坐标为， 将矩形向右平移个单位后， 顶点，，、的坐标分别为，，，， 当点在反比例函数的图象上时， 可得：， 解得：； 当点在反比例函数的图象上时， 可得：， 解得：， ． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为和，直尺的宽度为，，（注：平面直角坐标系内一个单位长度为），连接，，求的面积． 【答案】的面积为． 【分析】根据题意可得，，，则，可得反比例函数解析式为，将代入可得，即，利用割补法求解面积即可． 【详解】解：根据题意可得，，，， ∴， 将代入可得， ∴， 将代入可得，即， 如图，作轴于点E，于点F， 则的面积， 答：的面积为． 【拓展训练一 一次函数与反比例函数图象综合判断】 【例1】（25-26九年级上·广东湛江·期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中B的横坐标为，当时，x的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题为根据函数图象确定不等式的解集，考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键．根据反比例函数、正比例函数的中心对称性得到点A的横坐标为2，结合函数图象即可求解． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点B的横坐标为， ∴点A的横坐标为2． ∵由函数图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数图象的上方， ∴当时，x的取值范围是或． 故选：B 【例2】（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图，函数与函数图像的交于点P，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B，点M是函数图像上一动点（不与P点重合），过点M作于点D，若，点M的坐标是________． 【答案】（12，2） 【分析】过点D作GH⊥PB，交BP的延长线于G，作MH⊥HG于H，证得△PGD≅△DHM(AAS)，得PG=DH，DG=MH，设D(m，)，表示出点M的坐标，从而得出m的方程，解方程即可． 【详解】解：过点D作GH⊥PB，交BP的延长线于G，作MH⊥HG于H，如图所示， ∵△PMD是等腰直角三角形， ∴PD=DM， ∵∠PDG+∠MDH＝90°， ∠PDG+∠DPG=90°， ∴∠DPG=∠MDH， ∵∠G=∠H， ∴△PGD≅△DHM(AAS)， ∴PG=DH，DG=MH， ∵点P的纵坐标为4， ∴将y=4代入，得x=6， ∴P点坐标为（6，4）， 将P（6，4），代入，得：k=24， ∴反比例函数解析式为： 设D(m，)， ∴DG=m-6，PG=， ∴MH＝m-6，DH=， ∴M（，）， ∵点M在反比例的图象上， ∴， 解得，， 当m＝6时，M（6，4）(舍去)， 当m=10时，M（12，2）， 故答案为：（12，2）． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数图象的交点问题，主 要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，构造全等三角形表示出点M的坐标是解题的关键． 1．（2025·浙江杭州·三模）已知一次函数与反比例函数， (1)若函数与函数的图像交于点，点， ①求一次函数和反比例函数的表达式； ②当时，直接写出的取值范围； (2)若点在函数的图像上，求函数的图像经过的定点． 【答案】(1)①一次函数的表达式为，反比例函数解析式为，②　或 (2) 【分析】（1）①把点代入即可求得，然后由反比例函数的解析式求得的坐标，最后利用待定系数法即可求得一次函数的表达式；②在同一平面直角坐标系中，画出一次函数图像与反比例函数图像，根据图像即可求得； （2）把点代入函数，得,然后把一次函数化为即可． 【详解】（1）解：① 一次函数的图像与反比例函数的图像的相交于点，点 ， 反比例函数解析式为，， ， 把点，点代入得， 解得， 一次函数的表达式为； ②一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像如图，    由图可知：当时，或； （2）解：点在函数的图像上， 得, , , 当时，，即过定点． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 2．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点． (1)求m、k的值； (2)点D是的图像上一点，且，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）先把点代入一次函数，求得，再将点代入一次函数，得到，将代入反比例函数，即可求出的值； （2）利用，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与y轴交于点， ∴， ∵一次函数的图像过点， ∴，解得， ∴， ∵反比例函数的图像过点， ∴． （2）解：由（1）知，，当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∵点D是的图像上一点， ∴当时，；当时，， ∴或． 3．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，正比例函数和反比例函数的图像相交于A，B两点，已知点B的横坐标为，点A的纵坐标为4． (1)请直接写出A、B两点的坐标； (2)求出这两个函数的表达式； (3)根据图像写出正比例函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． 【答案】(1)，； (2)正比例函数解析式为：；反比例函数解析式为：； (3)或． 【分析】（1）根据题意得出A、B关于原点成中心对称，根据中心对称的性质即可得出答案； （2）把A、B分别代入两个函数解析式中即可求得解析式； （3）根据图像和交点A、B的坐标即可得出答案. 【详解】（1）和的图像相交于A，B两点, A、B关于原点成中心对称， 点A的纵坐标为4，点B的横坐标为， ，； （2）把代入， 解得， 把代入； 解得， 正比例函数解析式为： 反比例函数解析式为：； （3）由图像可知正比例函数的值大于反比例函数的值时得取值范围为： 或． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，利用中心对称求得A、B两点的坐标是解题的关键． 【拓展训练二 反比例函数图像与几何图形综合应用】 【例1】（2025八年级下·上海嘉定 ·专题练习）如图，点A，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，．若四边形的面积为8，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 设点，可得，，从而得到，再由．可得点，从而得到，然后根据求解即可． 【详解】解：设点，可得，， ∵， ，， 轴，， ∴轴， ∴， ∴， ∵，四边形的面积为8， ∴，解得：． 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_______． 【答案】3或 【分析】设，则，求出点在反比例函数上，再分两种情况：当点在边上时；当点在边上时；分别计算即可得出结果． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴设， ∵点B是点A的“倒数点”， ∴点， ∵点的横、纵坐标满足， ∴点在反比例函数上， ∵点B在矩形的一边上， ∴当点在边上时，此时点的横坐标为，纵坐标为，即， 此时的面积为； 当点在边上时，此时点与点的纵坐标相同，即， 解得：（负值不符合题意，舍去）， ∴此时， ∴此时的面积为， 综上所述，的面积为3或． 1．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，边长为2的正方形的两边分别在坐标轴上，反比例函数过点B． (1)求该反比例函数的表达式． (2)点P在该反比例函数的图象上，且在的上方，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F．若矩形与正方形不重合部分的面积为2，试求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)点P的坐标． 【分析】（1）先求出正方形的面积，再根据反比例函数k的几何意义作答即可； （2）根据正方形的性质得到，根据反比例函数k的几何意义得到，进而得到，即，求出，进而求出即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为2， ∴正方形的面积为， ∴， 即； （2）解：如图，设交于G， ∵正方形的边长为2， ∴， ∵点P在该反比例函数的图象上， ∴， ∵矩形与正方形不重合部分的面积为2， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 即点P的坐标． 2．（25-26八年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，四边形是由两块全等的直角三角板拼凑而成，其中点B在x轴的负半轴上，将四边形绕点O顺时针旋转，使得点B的对应点E落在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点D，若点C的坐标为． (1)求反比例函数的解析式． (2)连接，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得，，由全等三角形的性质得，由旋转的性质得，，可得，故可得反比例函数的解析式； （2）过点作轴于点，延长交轴于点，可得四边形、是矩形，得，，，再运用分割法可求出的面积． 【详解】（1）解：∵的直角边在轴上，点C的坐标为． ∴，， ∵， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为， 又反比例函数的图象经过点D， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：过点作轴于点，延长交轴于点，可得四边形、是矩形，如图， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴的面积 ． 3．（25-26九年级上·河北邢台·月考）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在y轴上，含角的三角板的直角顶点C的坐标为，反比例函数的图像经过点C． (1)求反比例函数的表达式． (2)将三角板绕点O顺时针旋转，边上的点D恰好落在反比例函数图像上，求旋转前点D的坐标． (3)将三角板沿x轴正方向平移得到，当（2）中旋转后的点D在内部时（包含边界），与反比例函数的图像的交点的纵坐标n的取值范围是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把C的坐标为代入反比例函数，即可得到答案； （2）由勾股定理得，证明，求解，如图，旋转到的位置，D点对应G点；可得，结合D的对应点G在的图象上，可得，进一步求解即可． （3）先求出，求出此时与反比例函数的图象交点的纵坐标n的值为，再求出当经过点D时，此时与反比例函数的图象的交点的纵坐标n的值为1，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵含角的三角板的直角顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过点C， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：∵， ∴， ∵含角的三角板为等腰直角三角形，， ∴，， 如图，旋转到的位置，D点对应G点， ∴， ∵D的对应点G在的图象上， ∴， ∴， 由旋转可得：， ∴． （3）解：当经过点D时，如图，过点 D作轴,垂足为点E， ∵， ∴ ∴； 此时与反比例函数的图象交点的纵坐标n的值为， 当经过点D时，此时与反比例函数的图象的交点的纵坐标n的值为1， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键． A基础训练 1．（25-26九年级上·湖南益阳·期中）在每一象限内的双曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，双曲线在第一和第三象限，且y随x的增大而减小求解即可 【详解】解：在每一象限内，y随x的增大而减小， 比例系数， ， 故选：A 2．（2025·浙江台州·一模）路程，速度，时间三者之间的关系式为，当其中一个量是常量时，另外两个变量的函数图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分s，v，t是常量，确定函数的属性，根据属性判断图像即可 【详解】当v是常量时，s是t的正比例函数，A是可能的，不符合题意；当t是常量时，s是v的正比例函数，B是可能的，不符合题意；当t是常量时，v是s的正比例函数，D是不可能的，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像，正比例函数的图像，熟练掌握各类函数的根本属性是解题的关键． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）反比例函数与一次函数在同一坐标系的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别根据反比例函数与一次函数的性质对各选项进行逐一分析，即可获得答案． 【详解】解：A、由反比例函数的图像可知，，由一次函数的图像可知，两结论矛盾，故本选项错误，不符合题意； B、由反比例函数的图像可知，，由一次函数的图像可知，故本选项正确，符合题意； C、由反比例函数的图像可知，，由一次函数的图像可知，两结论矛盾，故本选项错误，不符合题意； D、由反比例函数的图像可知，，由一次函数的图像可知，但由一次函数图像与轴交点可知，与题目不符，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与一次函数的图像，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质是解题的关键． 4．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个5×2的矩形DEFG网格，每个小正方形的边长都是1个单位长度，反比例函数（k≠0，x＞0）的图像经过格点A（小正方形的顶点），同时还经过矩形DEFG的边FG上的C点，反比例函数（k≠0，x＜0）的图像经过格点B，且，则k的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的对称性，且AB距离3个单位长度，可得A点、B点的横坐标，进而得到C点的横坐标．根据，且AB=3，可得C点与直线AB的距离．将A点和C点的坐标代入函数表达式即可求出k． 【详解】令经过A点和C点的反比例函数为，经过B点的反比例函数为 ∵， ∴关于y轴对称 ∴A点、B点关于y轴对称 设，则 ∵，AB=3 ∴△ABC的高为 ∴ 将，代入得∶ 解得：k= 故选：D 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像和性质，理解反比例函数的图像和性质是解题的关键． 5．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在矩形和正方形中，点在轴正半轴上，点，均在轴正半轴上，点在边上，，．若点，在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k的几何意义．设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设正方形的边长为m， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设反比例函数的表达式为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式是， 故选：C． B 提高训练 6．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知点、在反比例函数图像上，则___． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，解题的关键是将点、代入反比例函数的解析式，列出方程并求解即可． 【详解】解：∵点、在反比例函数图像上， ∴，即； ，即， ∴， 解得：． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·上海嘉定·月考）已知反比例函数的图像经过点，则该反比例函数的图像在第_____象限． 【答案】一、三/三、一 【分析】直接点代入求出k的值,然后根据k的正负即可解答． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴，即， ∴该反比例函数的图像在第一、三象限． 故答案为一、三． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的性质等知识点，根据反比例函数的性质确定函数图像所在的象限是解答本题的关键． 8．（2025·山东淄博·一模）若点和点在反比例函数（为常数）的图象上，若，则，，0的大小关系为________． 【答案】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，判断出反比例函数所在的象限，再判断函数值大小即可． 【详解】解：∵， ∴的图象过一，三象限， ∵点和点在反比例函数（为常数）的图象上，且， ∴； 故答案为：． 9．（24-25八年级下·山西长治·期中）如图，过原点的线段的两端点和分别在反比例函数和的图象上，过点作轴的垂线，垂足为．若点的横坐标为，的面积为，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，一次函数等知识，先根据反比例函数的求出点B的坐标，再根据的面积求出点C的坐标，即可求出点A的横坐标，再求出直线的解析式，根据一次函数的解析式即可求出点A的坐标，再根据点A在反比例函数的图像上即可求出k的值． 【详解】解：把点的横坐标为代入中， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C在x轴的正半轴， ∴， ∵轴， ∴点A的横坐标为， 设直线的解析式为：， 把代入， ∴， 则， ∴直线的解析式为：， 把点A的横坐标为代入， 则， ∴， ∵点A在反比例函数的图像上， ∴， 故答案为： 10．（2025·安徽芜湖·一模）如图，点均在反比例函数图象上，横轴上垂足分别为，若、是的三等分点，则图中阴影部分的面积为______________．    【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是能设出点的坐标，然后根据、是的三等分点设出、的坐标． 由题意，设，因为、是的三等分点，所以，，再根据，计算即可得出答案． 【详解】解：由题意，设， 、是的三等分点， ，， ， 故答案为：． C 培优训练 11．（2025八年级下·上海松江·专题练习）已知反比例函数（k为常数）的图象位于第二、四象限，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象在第二、四象限，可知比例系数小于零，据此建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：反比例函数（k为常数）的图象位于第二、四象限， ， 解得． 12．（2025·湖北十堰·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练运用函数图象上点的坐标满足函数解析式、联立方程组求解函数交点是解答本题的关键． （1）先将点代入一次函数解析式求出的值，确定点的坐标，再将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，从而得到反比例函数的表达式； （2）联立一次函数与反比例函数的解析式，解方程组得到两组解，结合点的坐标，即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， 把代入，得， 解得，因此反比例函数的表达式为． （2）解：解方程组， 得，， 因此点的坐标为． 13．（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，直线交反比例函数的图象于点和点． (1)填空：______，______． (2)连接，，求的面积； (3)根据图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）把点坐标代入直线中，即求出m的值，即可得出A点坐标，将A点坐标打代入反比例表达式，求出k即可； （2）令直线，求出C点坐标，再将一次函数和反比例函数联立构造方程组求出B点坐标，直接利用，即可求出结果； （3）根据反比例函数图象在一次函数图象上方时，再结合点A、点B的坐标和图象即可得出结果． 【详解】（1）将点坐标代入直线，得： 故 将代入，得 ， 故答案为：6   6 （2） 令直线中，得 故 两个函数联立成方程组，得： 解得或 故 ； （3）根据图像可知：当或时， 【点睛】此题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质的应用．利用数形结合的思想是解题的关键． 14．（2025·广东·一模）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求当时，y与x之间的函数关系式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设反比例函数的表达式为，将点代入可得的值，再求出的值，由此即可得； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， ∴与之间的函数表达式为， 当时，， ∴与之间的函数表达式为． （2）解：设当时，与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则， 当时，，解得， 对于， 当时，， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 15．（25-26九年级上·山东临沂·期末）小军在研究三角板时发现，一副三角板中，含角的三角板的斜边与含角的三角板的长直角边长度相等．他将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在y轴上，含角的三角板的直角顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)将三角板绕点O顺时针旋转，边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）旋转到的位置，D点对应G点，根据旋转的性质，以及双曲线上的点的特征，求出的长，进而得到的长，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点C的坐标为，反比例函数的图象经过点C， ， 反比例函数的表达式为：； （2）解：， ， 含角的三角板为等腰直角三角形，， ，， 如图，旋转到的位置，D点对应G点， ，， D的对应点G在的图象上，， ， ， 由旋转可得：， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02反比例函数的图像与性质重难点题型专训 （3个知识点+14大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 判断（画）反比例函数图象 题型二 已知反比例函数的图象，判断其解析式 题型三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型四 已知双曲线分布的象限，求参数范围 题型五 判断反比例函数的增减性 题型六 判断反比例函数图象所在象限 题型七 已知反比例函数的增减性求参数 题型八 比较反比例函数值或自变量的大小 题型九 已知比例系数求特殊图形的面积 题型十 根据图形面积求比例系数（解析式） 题型十一 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型十二 一次函数与反比例函数的交点问题 题型十三 一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型十四 反比例函数与几何综合 拓展训练一 一次函数与反比例函数图象综合判断 拓展训练二 反比例函数图像与几何图形综合应用 知识点一： 双曲线 定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·河北邢台·月考）已知反比例函数的图象如图所示，则“”的值可以是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）对于双曲线，当时，随的增大而减小，则的取值范围为______． 知识点二：确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： 　（1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式中. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·上海·月考）如图，为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海松江·月考）已知点，都在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是________． 知识点三：反比例函数的图象和性质 　　1、反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明： （1） 若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反 比例函数的图象关于原点对称； （2） 在反比例函数(为常数，)中，由于，所以两个分支 都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 【即时训练】 1．（2026·广西梧州·模拟预测）若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，反比例函数（）的图像和一次函数（）的图像相交于，两点，则当时，的取值范围是______． 【经典例题一 判断（画）反比例函数图象】 【例1】（2025·江西宜春·模拟预测）二次函数的图象可以由二次函数的图象向右平移2个单位长度得到，类似的，函数的图象可以由反比例函数的图象向右平移1个单位长度得到．下列关于函数的图象与性质描述错误的是（   ） A．函数图象与y轴的交点坐标为 B．当时，y随x的增大而增大 C．函数图象与x轴没有交点 D．当时，y随x的增大而增大 【例2】（24-25九年级上·北京海淀·月考）反比例函数与两条坐标轴的正半轴所夹的开放区域内（不含边界）只有8个整点（横、纵坐标均为整数），则的取值范围为______． 1．（24-25九年级上·江苏南通·期末）函数的图象为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河北唐山·一模）如图，矩形在平面直角坐标系中，点，点，已知双曲线经过点，双曲线． 如果把矩形内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为“优点”． （1）则和坐标轴之间（不含边界）有__________个“优点”； （2）当，则和之间（不含边界）最多有________个“优点”． 3．（2025·辽宁阜新·一模）函数的图象如图1所示（正方形网格边长为1）．      x … 1 2 4 … … 4 2 1 … … 0 5 3 2 … (1)根据表格中的数据，在图1中画出函数的图象．根据表格中的数据及图象，可以发现：的图象是由的图象向 （填“上”或“下”）平移了 个单位长度而得到的； (2)函数的图象向下平移3个单位长度后的函数表达式是 ； (3)如图2，函数的图象无限接近y轴及直线，则 ，A是该函数图象上的一点，轴，轴，矩形的面积为4，，则 ． 【经典例题二 已知反比例函数的图象，判断其解析式】 【例1】（24-25八年级下·上海闵行·单元测试）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过（﹣4，2），那么下列四个点中，在这个函数图象上的是（　　） A．（1，8） B．（3，） C．（，6） D．（﹣2，﹣4） 【例2】（24-25八年级下·北京·期末）如图为反比例函数的图象，请写出满足图象的一个的值______．    1．（24-25八年级下·上海崇明·期中）如图是某同学利用计算机软件绘制的某函数的图像，根据图像判断可能是下列的哪一个函数（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，反比例函数的图象上有一点C，作轴，轴，交函数图象上点A，B，且，，则_____． 3．（24-25九年级上·湖南益阳·月考）已知反比例函数的图象如图所示，试回答下列问题： (1)求这个函数的表达式； (2)你认为点，是否在这个函数的图象上，请说明理由． 【经典例题三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 【例1】（25-26九年级上·福建福州·月考）直线与双曲线交于、两点，则的值为（   ） A． B． C．3 D．6 【例2】（24-25八年级上·上海嘉定 ·单元测试）如图，正比例函数与反比例函数相交于点，则它们的另一个交点坐标是________． 1．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图为反比例函数与在第一象限中的图象，点P为其中一个反比例函数图象上点，过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B，则面积应是（　　） A．1 B． C． D． 2．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，直线y＝kx与双曲线相交于点A和B，已知点A的坐标为（4，1） （1）k＝______； （2）不等式的解集为______． 3．（24-25九年级上·北京顺义·期中）探究函数的图象与性质，小安根据学习函数的经验，对问题进行了探究．请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)取几组y与x的对应值，填写在表中，其中______； x … 0 2 3 … y … 1 2 4 4 m 1 … (3)如图，根据（2）中表里各组对应值，请把图象补充完整； (4)若是函数图象上的两点，则______． 【经典例题四 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 【例1】（24-25九年级上·山西大同·期末）反比例函数（m为常数）的图象在第二、四象限，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·重庆九龙坡·月考）已知函数 ，当自变量的取值为，函数值y的取值范围为__________． 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·月考）如图是三个反比例函数在轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图是反比例函数的图像，则k的取值范围是__________． 3．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，对于函数y（x＞0），它的图象是双曲线在第一象限内的一部分，如图1，这条曲线将第一象限分成了三个部分，即曲线上方、曲线下方和曲线上． (1)对于函数y（x＞0）的图象而言， ①点P（3，1）在　 　（填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”）． ②横、纵坐标满足不等式y的点在　 　（填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”）． (2)已知m＞0，将在第一象限内满足不等式组的所有点组成的区域记为W． ①当m＝1时，请在图2中画出区域W（用阴影部分标示）； ②若A（1，2），B（2，4）两点恰有一个点在区域W内，结合图象，直接写出m的取值范围． 【经典例题五 判断反比例函数的增减性】 【例1】（25-26九年级上·四川达州·期末）关于反比例函数，已知点在它的图象上，下列说法中错误的是（   ） A．当时，随的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点和都在该图象上 D．当时， 【例2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）点，都在反比例函数的图象上，则___．（填“”或“”） 1．（24-25九年级上·江西抚州·月考）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点A，则下列说法正确的是（   ） A．点P到y轴的距离为2 B．当时，y随x的增大而增大 C．点也在反比例函数的图象上 D． 2．（24-25九年级上·山西忻州·期末）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积之比是．如果A，B，C三个面分别向下放在地上，地面所受压强分别为，，，压强的计算公式为，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则，，的大小关系为______（用小于号连接）． 3．（24-25九年级上·贵州铜仁·月考）有这样一个问题：探究函数的图象与性质并解决问题．小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： x … 0 1 1.2 1.25 2.75 2.8 3 4 5 6 8 … y … 1 1.5 2 3 6 7.5 8 8 7.5 6 3 2 1.5 1 … (1)如图，在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； (2)①通过观察、分析、证明，可知函数的图象是轴对称图形，它的对称轴是 ；它的另一个性质是 ． ②过点作直线轴，与函数的图象交于点M，N（点M在点N的左侧）．求的值． 【经典例题六 判断反比例函数图象所在象限】 【例1】（25-26九年级上·河北廊坊·月考）定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 【例2】（2025·浙江杭州·一模）已知点，在反比例函数图象上． （1）若，则______． （2）若，，则当自变量时，函数y的取值范围是______． 1．（24-25八年级下·上海普陀·月考）在如图所示的某函数图象上可以找到个不同的点：，使得，则的最大值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（2025·湖北武汉·三模）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小明用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 1 2 3 … y … b a 2 … 下列五个结论： ①，，； ②此函数的图象关于原点中心对称； ③当时，y随x增大而减小； ④在第一象限的函数的图象，当时，函数y有最小值为2； ⑤当时，则或． 其中正确的结论是______（只填写正确的序号）． 3．（25-26八年级下·上海嘉定 ·单元复习）如下图，在平面直角坐标系中，为轴负半轴上一点，且，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)若是该反比例函数图象上的两点，且时，，则点各位于哪个象限？请简要说明理由． 【经典例题七 已知反比例函数的增减性求参数】 【例1】（2025·山西晋中·二模）若点在反比例函数（）的图象上，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·河南洛阳·期中）已知反比例函数的图象经过点，当时，所对应的函数值的取值范围是__________． 1．（24-25八年级上·上海普陀·月考）已知函数中，在每个象限内，随的增大而减小，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南京·三模）如图，图像分别是反比例函数、、（为常数）的部分图像，比较的大小关系______．（用“或”连接） 3．（25-26九年级上·福建南平·月考）如图，正比例函数与反比例函数的图象都经过点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)若点在该反比例函数图象上，且它到轴的距离小于3，请直接写出n的取值范围是___________． (3)请直接写出不等式的解集___________． 【经典例题八 比较反比例函数值或自变量的大小】 【例1】（25-26九年级上·甘肃武威·期末）若点，和都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·陕西·模拟预测）已知反比例函数（k为常数，且）的图象上有两个点、，点P与点Q在同一象限内，且满足，若点、也在该反比例函数的图象上，且，则、与0的大小关系是__________．（用“＞”连接） 1．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知点，和都在反比例函数（k为任意实数）图象上，则，与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，字母“M”的五个顶点坐标分别为，，，，，已知反比例函数，当的值为5时，图象经过字母“M”中的点______；当的值为2时，图象与字母“M”中的线段______有交点．    3．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）一次函数经过点，交反比例函数于点． (1)求； (2)连接，求的面积． (3)点在反比例函数第一象限的图象上，若，直接写出的横坐标的取值范围． 【经典例题九 已知比例系数求特殊图形的面积】 【例1】（24-25八年级下·四川内江·期中）如图，点A在双曲线上，过点A作轴交双曲线于点B，点C、D都在x轴上，连接、，若四边形是平行四边形，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．2 D．1 【例2】（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，A是反比例函数（）的图象上一点，过点A作轴于点B，P是y轴上任意一点，连接，，则的面积为__________． 1．（24-25八年级上·上海嘉定 ·单元测试）如图，函数和的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，平面直角坐标系中，矩形的边与函数图象交于E，F两点，且F是的中点，则四边形的面积等于_______． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，求平行四边形的面积． 【经典例题十 根据图形面积求比例系数（解析式）】 【例1】（25-26九年级上·广西百色·期中）点A是反比例函数在第三象限图象上一点，过作轴，垂足为，过作轴，若的面积为，则的值是（　　） A．3 B． C．6 D． 【例2】（2026·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，为坐标原点，顶点在反比例函数（为常数，且，）的图象上，边交轴于点，且，若的面积为9，则的值为______． 1．（24-25八年级下·上海长宁·阶段练习）如图所示，已知菱形，点在轴上，直线经过点，菱形的面积是，若反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B．9 C． D． 2．（25-26八年级下·上海松江·期中）如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点在轴上，且，若，则的值为_____． 3．（2026·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x，y轴的垂线，垂足为C和B，矩形的面积为4． (1)求该反比例函数的解析式； (2)如图2，点D，E分别在边上，线段和的长成反比例关系，比例系数为1，顺次连接． ①当点A的横坐标为4时，求的面积； ②当点A在该反比例函数的图象上运动时，的面积是否发生改变？若发生改变，写出它们的变化规律；若没有发生改变，请说明理由． 【经典例题十一 一次函数与反比例函数图象综合判断】 【例1】（24-25九年级上·山东泰安·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·上海·期末）正比例函数与反比例函数的一个交点为 ，当正比例函数的图像在反比例函数图像的上方时，则 的取值范围是_____________ 1．（2025八年级·上海嘉定 ·模拟预测）反比例函数与一次函数（其中x为自变量，k为非零常数）在同一直角坐标系中的大致图象是（    ）． A．   B．   C．   D．     2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图象交于A，C两点，点D为x轴负半轴上一点，连结CD并延长，交反比例函数的图象于点B、连结AB，若，且的面积为1，则的值是______． 3．（24-25八年级下·江苏南京·月考）我们研究反比例函数图象平移后的性质． 初步探究 （1）将反比例函数的图象向右平移一个单位，可以得到函数的图象，关于这个函数的性质正确的有： ； ①该函数图象与y轴的交点坐标是； ②该函数图象是中心对称图形，对称中心是； ③该函数图象关于直线轴时称； ④当时，y随x的增大而减小． （2）在图中画出函数的图象，根据图象写出其两条不同类型的性质： ； ． 问题解决 （3）若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求k的值； 深入思考 （4）当时，对于任意正数k，方程均无解，直接写出a，b，k满足的数量关系． 【经典例题十二 一次函数与反比例函数的交点问题】 【例1】（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知直线与函数的图象相交于点，则的值是（　　） A．13 B．11 C．7 D．5 【例2】（2025·湖南娄底·三模）已知反比例函数与正比例函数的图象的一个交点的横坐标为，则______． 1．（2025八年级下·甘肃平凉·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，当函数时，自变量x的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，双曲线的图象如图所示，直线自原点开始沿y轴上下平移，在平移过程中，当双曲线上有某个点到直线的距离为时，那么称两个图形为“正相连”，则从直线与双曲线恰好有且只有1个点的“正相连”开始到与双曲线有且只有3个点的“正相连”终止，在这个过程中，m的取值范围是_______． 3．（2026·甘肃陇南·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)把一次函数的图象向上平移3个单位长度，与反比例函数的图象交于点，连接，求的面积． 【经典例题十三 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 【例1】（2025·广东深圳·一模）线段AB是直线y＝5x+1的一部分，点A的坐标为（0，1），点B的纵坐标是6，曲线BC是双曲线y的一部分，点C的横坐标是6．由点C开始，不断重复曲线“A→B→C”，形成一组波浪线．已知点P（18，m），Q（22，n）均在该组波浪线上，分别过点P，Q向x轴作垂线段，垂足分别为D和E，则四边形PDEQ的面积是（　　） A．6 B．5 C．9 D．12 【例2】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式的解集？ 思路：，当时，不等式一定不成立；当时，不等式变为；当时，不等式变为．问题转化为研究函数与的图像关系；请你根据上面的思路，画出函数图像的简图，并结合图像求不等式的解集是____________． 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）观察图中给出的直线和反比例函数的图像，下列结论中错误的是（   ） A． B．当时，有 C．直线与坐标轴围成的的面积是4 D．直线与反比例函数的图像的交点坐标为， 2．（24-25九年级上·广西桂林·期中）如图，已知点，，均在直线上，点，，均在双曲线上，并且满足：轴，轴，轴，轴，，轴，轴，记点的横坐标为为正整数若，则的坐标为______． 3．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图1，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为，点B的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)连结，，求的面积； (3)如图2，点是x轴上的一个动点，过点T作轴的垂线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于，两点，当在的上方时，请直接写出的取值范围． 【经典例题十四 反比例函数与几何综合】 【例1】（25-26九年级上·河北邢台·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A为y轴正半轴上一点，过点A作x轴的平行线，交函数的图象于点B，交函数的图象于点C，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【例2】（2026·陕西咸阳·一模）如图，点A是反比例函数的图象上的动点，过点A分别作x轴、y轴的平行线，交反比例函数的图象于点B、C，连接，则的面积为______． 1．（25-26九年级上·湖南怀化·期中）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、 ，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、”分别表示如图所示的三角形的面积，记，则（    ） A． B．1 C． D．2 2．（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，矩形的顶点，，的坐标分别为，，．将矩形向右平移个单位，若平移后的矩形与函数（）的图象有公共点，则的取值范围是______． 3．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为和，直尺的宽度为，，（注：平面直角坐标系内一个单位长度为），连接，，求的面积． 【拓展训练一 一次函数与反比例函数图象综合判断】 【例1】（25-26九年级上·广东湛江·期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中B的横坐标为，当时，x的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 【例2】（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图，函数与函数图像的交于点P，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B，点M是函数图像上一动点（不与P点重合），过点M作于点D，若，点M的坐标是________． 1．（2025·浙江杭州·三模）已知一次函数与反比例函数， (1)若函数与函数的图像交于点，点， ①求一次函数和反比例函数的表达式； ②当时，直接写出的取值范围； (2)若点在函数的图像上，求函数的图像经过的定点． 2．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点． (1)求m、k的值； (2)点D是的图像上一点，且，求点D的坐标． 3．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，正比例函数和反比例函数的图像相交于A，B两点，已知点B的横坐标为，点A的纵坐标为4． (1)请直接写出A、B两点的坐标； (2)求出这两个函数的表达式； (3)根据图像写出正比例函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． 【拓展训练二 反比例函数图像与几何图形综合应用】 【例1】（2025八年级下·上海嘉定 ·专题练习）如图，点A，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，．若四边形的面积为8，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_______． 1．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，边长为2的正方形的两边分别在坐标轴上，反比例函数过点B． (1)求该反比例函数的表达式． (2)点P在该反比例函数的图象上，且在的上方，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F．若矩形与正方形不重合部分的面积为2，试求点P的坐标． 2．（25-26八年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，四边形是由两块全等的直角三角板拼凑而成，其中点B在x轴的负半轴上，将四边形绕点O顺时针旋转，使得点B的对应点E落在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点D，若点C的坐标为． (1)求反比例函数的解析式． (2)连接，，，求的面积． 3．（25-26九年级上·河北邢台·月考）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在y轴上，含角的三角板的直角顶点C的坐标为，反比例函数的图像经过点C． (1)求反比例函数的表达式． (2)将三角板绕点O顺时针旋转，边上的点D恰好落在反比例函数图像上，求旋转前点D的坐标． (3)将三角板沿x轴正方向平移得到，当（2）中旋转后的点D在内部时（包含边界），与反比例函数的图像的交点的纵坐标n的取值范围是______． A基础训练 1．（25-26九年级上·湖南益阳·期中）在每一象限内的双曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江台州·一模）路程，速度，时间三者之间的关系式为，当其中一个量是常量时，另外两个变量的函数图象不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）反比例函数与一次函数在同一坐标系的图像可能是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个5×2的矩形DEFG网格，每个小正方形的边长都是1个单位长度，反比例函数（k≠0，x＞0）的图像经过格点A（小正方形的顶点），同时还经过矩形DEFG的边FG上的C点，反比例函数（k≠0，x＜0）的图像经过格点B，且，则k的值是（    ） A．2 B． C． D． 5．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在矩形和正方形中，点在轴正半轴上，点，均在轴正半轴上，点在边上，，．若点，在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是（    ） A． B． C． D． B 提高训练 6．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知点、在反比例函数图像上，则___． 7．（24-25八年级下·上海嘉定·月考）已知反比例函数的图像经过点，则该反比例函数的图像在第_____象限． 8．（2025·山东淄博·一模）若点和点在反比例函数（为常数）的图象上，若，则，，0的大小关系为________． 9．（24-25八年级下·山西长治·期中）如图，过原点的线段的两端点和分别在反比例函数和的图象上，过点作轴的垂线，垂足为．若点的横坐标为，的面积为，则的值为_________． 10．（2025·安徽芜湖·一模）如图，点均在反比例函数图象上，横轴上垂足分别为，若、是的三等分点，则图中阴影部分的面积为______________．    C 培优训练 11．（2025八年级下·上海松江·专题练习）已知反比例函数（k为常数）的图象位于第二、四象限，求k的取值范围． 12．（2025·湖北十堰·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点坐标． 13．（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，直线交反比例函数的图象于点和点． (1)填空：______，______． (2)连接，，求的面积； (3)根据图象，直接写出当时的取值范围． 14．（2025·广东·一模）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求当时，y与x之间的函数关系式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 15．（25-26九年级上·山东临沂·期末）小军在研究三角板时发现，一副三角板中，含角的三角板的斜边与含角的三角板的长直角边长度相等．他将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在y轴上，含角的三角板的直角顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)将三角板绕点O顺时针旋转，边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $