江西赣州市定南中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

定南中学2026-2027学年度高二年级10月月考卷 数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.i是虚数单位，z+2i=1+i,则复数z的实部是() A.-1 B.I C.2 D.3 2.直线3x-4y-1=0与6x-8y+9=0间的距离是() A.1 B品 C.2 D.1 5 3.设m,n是两条不同的直线，α，B是两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A.若mlla,nl/a,则mlln B.若mca,ncB,mln,则allB C.若m⊥a,m⊥B,则alB D.若m⊥n,m⊥a,则nl/a 4.已知圆C:x2+y2-2x+my+1=0(m≠0)关于直线x+2y+1=0对称，圆C2:(x+2)}+(y-3)2=16, 则圆C与圆C,的位置关系是() A.外离 B.外切 C.相交 D.内含 5.如图，在正方体ABCD-ABCD中，给出以下四个结论： D ①D,CI∥平面AABB ②AD与平面BCD,相交 B ③AD⊥平面DDB ④平面BCD⊥平面A,ABB, 正确的结论的序号是() D A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 6.如图，在三棱锥P-ABC中，PA,PB,PC两两垂直且相等，E为BC中点，则 直线AE与PC所成角的余弦值为() A.② B.V5 C.v3 D.6 2 5 3 6 7.已知点0是坐标原点，点2是圆(x-3)+(y+4)2=1上的动点，点P是直线 x+y+4=0上的一个动点，则P9+PO的最小值为() P A.7 B.6 C.5 D.4 8.已知直线：y=k(x-5)(k为常数)与圆C:(x-1)+y2=9相离，P是1上的 B 动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A,B.若|ABlm=3,则k=() A.3 B./3 C.1 D.√2 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数1=1-2i在复平面内的对应点为A,复数z2在复平面内的对应点为B,且AB=（2,3),则 () A.22=10 B.1+2z2是纯虚数 c.至=1-i Z D.复数2在复平面内的对应点位于第四象限 10.已知直线1：x+2my+1=0,圆E:x2+y2=3,则下列说法正确的是() A.直线1必过点(-1,0) B.直线I与圆E必相交 C.圆F:(x-3)2+(y-3V2)2=12与圆E有3条公切线 D.当m=2时，直线/被圆E截得的弦长为4 11.如图，在棱长均为2的正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，M,N分别为侧棱PA, PB的中点，则下列结论中正确的是() A.PC//平面OMN B.过M,N,D三点的平面截四棱锥，截面是等腰梯形 C.Q为棱PB上动点，则AQ+CQ最小值为26 D.三棱锥P-OMN与四棱锥P-ABCD体积之比为1：16 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.复数)31的共轭复数为 B 2+i 13.己知直线：m(x+y+1)+y-x=0,m∈R,圆C:(x-1)+(y-2)=9,则直线I被圆C截得的最短 弦的长度为 14.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑A-BCD中，满 足CD⊥平面ABD,且CD=AD=2,BD=1,AB=V3,则此鳖臑外接球的表面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.完成下列各题： (1)若复数(m2-m)+mi为纯虚数，求实数m的值： (2)在复数集C中解方程：x2-8x+17=0; (3)若复数z=(m-2)+(m+1)i(m∈R)在复平面上对应的点位于第二象限，求m的取值范围. 16.分别求满足下列条件的直线方程： (1)过点(3,1)且与直线y=3x-1垂直的直线方程： (2)过点(1,2)且与直线2x+y-10=0平行的直线方程： (3)求过点A(-1,3),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的直线方程. 17.已知圆C:x2+y2-10x=0. (1)过点A(1,2)作倾斜角为45°的直线L,求l被C截得的弦长； (2)求过点B(0,3)的圆C的切线方程. 18.过点M(1,0)的直线与圆C:x2+(y-2)=4交于A,B两点，N为圆C与y轴正半轴的交点. (I)若1AB|=2V5,求直线的方程： (2)证明：直线AN,BN的斜率之和为定值. 19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点E、F分别为A1C1、BC的中点，平面BCC1B1与平面ABE相交 于l. (1)求证：FC1/儿 A (2C C L BC,AB=V3,BC=1,AA=2,AC1=AC,AC=2 (i)求证：AB⊥FC1; (i)若D为AB中点，Q为DE上动点，求三棱锥B1一QFC1的体积. B B 2 《2026-2027学年度高二数学10月月考卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 8 9 10 11 答案 B C B D B ACD ABC ABD 1.B【详解】因为z+2i=1+i,所以z=1+i-2i=1-i, 所以复数z的实部是1. 9 2.B【详解】由6x-8y+9=0得3x-4y+三=0， D C 所以直线3x--1=0与3x4+号-0间的跑离是3( m 9 11 D B V9+16 10 B 3.C【详解】如图：在长方体ABCD-AB,CD中， B 选项A:如图，记平面ABCD为平面a,设AD为直线m,设DC为直线n, 显然有ml/a,nl/a,但m∩n=D,故A错误； D C 选项B:如图，记平面ABCD为平面x,设平面BCCB,为平面B,记BC为直 n 线m, 记B,C为直线n,显然有mca,ncB,mlln,但a∩B=m,故B错误； D B 选项C:由线面垂直的性质定理：垂直于同一条直线的两个不同平面互相平行， 6 因此该命题成立，C正确： B 选项D:如图：记平面ABCD为平面a,设AA为直线m,设AD为直线n, 白 显然有m⊥n,m⊥a,但nca,故D不正确 4.B【详解】因G的网心为-罗) D B m n. a 因为圆C关于直线x+2y+1=0对称，所以圆心在该直线上，故 1+2(空1=0解得m=2. 所以C:x2+y2-2x+2y+1=0,即(x-1)2+(y+1)2=1 故圆C的圆心为O(1,-1),半径=1： 圆C2的圆心为02(-2,3)，半径2=4. 两圆圆心距0,02=V(1+2)2+(-1-3)2=5. 又片+5=5，因此0,02=片+2，所以圆C与圆C2外切. 5.C【详解】对于①，因为平面AABB‖平面DDCC,而DCc平面DDCC,所以DCII平面AABB, 故①正确： 对于②，因为AD‖BC,则AD与BC确定一个平面BCDA,所以A,DC平 面BCD,故②错误： 对于③，AD与平面DDB内的直线DB不垂直，故③错误： 对于④，在正方体ABCD-AB,CD中，得BC⊥平面AABB,而BCc平面BCD 所以平面BCD⊥平面AABB,故④正确. 6.D【详解】取BP的中点D,连接DE,因为E是BC的中点，则DE/ICP, P 连接AD,则直线AE与PC所成角为∠AED或其补角， 由题设，令PA=PB=PC=2,而PA,PB,PC两两垂直，△ABC为等边三角 形， 3 所以AD=NPf+PD=5,DE=)PC=1,AB=5BC=5x2PC=6, 2 2 在△ADE中，cos∠AED=1E+DE2-AD2-6+1-5_V6 2AE·DE 2×V6×16 故直线AE与PC所成角的余弦值为6 6 7.B【详解】圆C的方程为(x-3)+(y+4)2=1,圆心C(3,-4),半径r=1, 原点O(0,0)关于直线x+y+4=0的对称点为O',设O'(a,b), 8+b+4=0 则： 22 ,解得a=b=-4,所以0'(-4，-4)， b-0(0=-1 a-0 由对称性，PO=PO, O. 所以Pg+PO=Pg+Po2Q01, 当P为线OO'与直线x+y+4=0的交点时取等号， 所以问题转化为求圆C上的动点Q到定点O(-4,-4)距离的最小值， 因为圆心C(3,-4)到0'(-4，-4)的距离为C0=7, 所以圆上点到O的最小距离为CO-r=7-1=6. 所以P9+PO的最小值为6. 8.B【详解】由题可知C(1,0),圆C的半径为3 设PC=d,由题可知d>3,PA=Vd-9.设AB与PC交于点H. 由Se=CPA=2PCa,可得Ah=3N-9,则 d h=24=69-6小号 因为AB取最小值的充要条件是d取最小值，d的最小值为圆心C到I的距 k.1-0-5k4k 9 =3 离，即 12 Vk2+1Vk2+1 所以 4k ，解得k风=V3,此时满足1与圆C相离。 V2+1 9.ACD【详解】复数z,=1-2i在复平面内的对应点为A,.A的坐标为(L,-2) :AB=(2,3),点B的坐标为(1+2，-2+3)=(3，)，即22=3+i, 选项A:|z2上V32+12=0,正确。 选项B:z1+2z2=1-2i+2(3+i)=1-2i+6+2i=7,为实数，不是纯虚数，错误 选项C:名=1+2i,则2=3+=6+D0-2列-361+i+2_51-1-i,正确 z11+2i1+2i1-2) 1+45 选项D:zz2=(1-2i)3+i)=3+i-6i+2=5-5i,其在复平面内对应点为(5，-5)，位于第四象限，故D 正确 10.ABC【详解】A:由l:x+2y+1=0,则必过定点(-1,0)，正确： B:将定点(-1,0)代入圆，有(-1)2+0=1<3， 故点(-1,0)在圆内，即直线1与圆E必相交，正确： C:由题设E(0,0)且半径为5=V3,而F3,3V2)且半径为5=2V3, 所以EF=3V5=片+5，即两圆外切，故两圆有3条公切线，正确； D:当m= 1 。时，1：x+y+1=0,则E(0,0)到直线l的距离d= 故直线1被圆E截得的弦长为2√2-d严=V0,错误. 11.ABD【详解】对于A,由题意得O是AC与BD的交点，且为AC,BD的中点， 且M为PA的中点，所以在△PAC中，MO是中位线，所以PC/MO, 因为MOc平面OMN,且PCt平面OMN,所以PC//平面OMN,故A正确， D B 对于B,因为M,N分别为PA,PB的中点，所以MN IIAB且MNAB=1, 在正方形ABCD中，AB/ICD,所以MN/ICD, 所以M,N,C,D四点共面，即截面为MNCD, 由于MN/CD且MN≠CD,所以四边形MNCD为梯形， 在边长为2的正△PAD和正△PBC中，MD=NC=V22-12=√5， 所以截面MNCD为等腰梯形，故B正确， 对于C,将APAB与△PCB沿PB展开到同一平面， 展开后，当A,Q,C三点共线时，AQ+CQ取得最小值，此时最小值为AC的长度， 因为∠APB=∠BPC=60°，所以展开后的平面内，∠APC=120°， 在△APC中，由余弦定理得AC2=PA+PC2-2,PA·PC.cos120°， 即AC2=22+22-2×2×2× (》-4+4+4=12,因t40=25, 即AQ+CQ的最小值为2W3,故C错误， B 对于D,因为M,N分别为PA,PB的中点，所以△PMN与△PAB的相似比为1：2， 所以面积比SPww:SPMB=l:4, 三棱锥O-PMN与O-PAB共顶点O,底面在同一平面上，所以高相等， 所以体积比o-pw:%s=l:4,即ow=4om, 三棱锥P-OAB与四棱锥P-ABCD共顶点P,底面在同一平面上，所以高相等， 1 且底面积S0m=4Sn,因此，m=子-m, 综上，V,oN=×4n6'D,故D正确一 以培器骨专 所以复数-31的共轭复数为-+i. 17. 2+i 55 x=- 1B.2【详解】由1：m(x+y+)+y-x=0,令x+y+1=0, y-x=0，得 y= 2 所以直线江过抗点P分》 圆C:(x-1)2+(y-2)2=9的圆心C(1,2),半径r=3, 由k-,分小行习-受8，可得点P在国C内即直线与国C始相胶， 因直线1被圆C截得的弦长公式为L=2√~2-d-2√9-dP,d为圆心C到直线1的距离， 当d取最大值时，弦长最短，则当1PC时，d=CA= 2 2 此时最短弦的长度为2 √2 14.8π 【详解】该鳖臑如图所示： 因为AD=2,BD=1,AB=V3,所以BD2+AB2=1+3=4=AD2, 所以∠ABD=90°，所以AB⊥BD, 又CD⊥平面ABD,AB,BDC平面ABD,所以CD⊥AB,CD⊥BD, 将该鳖臑补形为长方体，该鳖臑的外接球即该长方体的外接球， 又AC是长方体的体对角线，也是外接球的直径， 设外接球半径为R,则(2R)=（N3+1P+2,所以4R2=8 所以此鳖臑的外接球表面积为4πR2=8π. 15.(1)m=1(2)x=4±1(3)(-1,2) 【详解】(1)由m2-m=0,得m=0或m=1, 又m≠0，所以m=1: D (2)方程x2-8x+17=0的判别式△=(-8)2-4×1×17=-4<0， 所以x=84=8±21=4士i1, (3)由复数z=(m-2)+(m+1)i(m∈R)在复平面上对应的点位于第二象限， 和织258解得-1<m<2 所以m的取值范围是(-1,2). 16.(1)x+3y-6=0(2)2x+y-4=0(3)3x+y=0或x+y-2=0 4 【详解】(1)因为y=3x-1的斜率为3，所以所求直线的斜率为k=-了 所以由点斜式方程可得y-1=-(x-3),即x+3y-6=0. (2)因为2x+y-10=0的斜率为-2，所以所求直线的斜率为k=-2, 所以由点斜式方程可得y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0. (3)①当截距为0时，设直线方程为y=kx, 因为直线过点A(-1,3),所以3=-k,即k=-3, 所以直线方程为y=-3x,即3x+y=0. ②当截距不为0时，设直线方程为+二=1(a≠0)， 因为直线过点A(-1,3),所以+3=1，解得a=2, 所以直线方程为岁+兰=1，即x+y-2=0. 综述：所求直线方程为3x+y=0或x+y一2=0. 17.(1)2V7(2)x=0和8x-15y+45=0. 【详解】(1)由已知得，圆心C(5,0),半径为5，直线的方程为y=x+1, 网心到直线的距斑d=-号-32， 故直线被圆C截得的弦长为252-(3V22=2V7 (2)当过点B的直线斜率不存在时，直线方程为x=0,符合题意： 当过点B的直线存在斜率时，设直线方程为y=kx+3, 圆心到直线的距离d=15x+=5,解得k=,则切线方程为8x-15y+45=0, √1+k2 15 综上，满足条件的切线方程为x=0和8x-15y+45=0. 18.(1)x=1或3x+4y-3=0 【详解】(1)①直线l垂直于x轴时，可得出直线l为x=1, 此时直线与圆C的两交点距离AB引为2V3,满足题意： ②当直线不垂直x轴时，设直线方程为y=k(x-1) 因为AB|=2V3,所以半弦长为V3,由勾股定理得弦心距d=】 22-(32=1, 又有点到直线的距离公式可得弦心距d=x-12-=1,解得k=- 3 k2+(-1)2 此时直线方程为3x+4y-3=0, 所以满足题设条件的直线的方程为x=1或3x+4y-3=0 (2)由题设容易得到点N坐标(0,4)， 设直线方程为y=k(x-1),联立圆的方程，可得关于x的一元二次方程：(k2+1)x2-(2k2+4k)x+ (k2+4k)=0, 设点A(x,y),B(2,2),由根与系数的关系（韦达定理）可得x1·2=+“ 2k2+4 k2+1 1+X2= k2+1 AN的斜率KAN=二4=1-)-4=1-k+ X1 X1 1 BN的斜率KN=24=2-4=x2k+型 X2 X2 X2 则KAN+KBN=1k+型+k2-k+9 B =2kx1x2-(k+401+2）=2k (+422+4 2+1=2k-2k-4=-4, X1X2 k2+4 k2+1 所以AN与BN的斜率之和为定值，从而结论得证 B 19.【详解】(1)如图，取AB的中点D,连接ED,FD 因E,F分别为A1C1、BC的中点，则FD/AC,FD=AC, 又EC1/AC,EC1=AC,故EC1/FD,EC1=FD, 所以四边形FDEC1为平行四边形，所以DE//FC1: 又FC1平面ABE,DEC平面ABE,所以FC1//平面ABE, 又平面BCC1B1n平面ABE=L,FC1C平面BCC1B1, 所以FC1//儿： (2)(i)因为A1A=2,AC=2,AC1=A1C, 所以平行四边形ACC1A1为正方形，即CC1⊥AC 又C1C⊥BC,BCnAC=C,BC,ACC平面ABC, 所以CC1⊥平面ABC,即三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱， 又因为AC=2,AB=V3,BC=1,由AB2+BC2=AC2,可得AB1BC, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，因BB11平面ABC,ABC平面ABC,则BB1⊥AB, 又BB1nBC=B,BB1,BCC平面BCC1B1,故AB⊥平面BCC1B1, 因FC1C平面BCC1B1,故AB⊥FC1; (i)由(1)知DE/FC1, 所以S△QFC1=SADFC1,故VB1-QFC1=VB1-DFC1, 又D为AB中点，所以Vg1-QFC1=VB1-DC,=VD-B1G1=VA-B,FC1 由(i),已得AB⊥平面BCC1B1, 故VA-BFo=SaB,rc,×AB=×X1×2×V5=, 所以vVg0,-,=号 即三棱锥B,-QFC1的体积为。