精品解析：江西南昌市新建区第二中学2026-2027学年高二上学期10月数学试卷（培优部）

新建二中2026—2027学年度上学期高二数学（培优部2801）10月 综合作业 内容范围：直线与圆、立体几何 第I卷（选择题） 一、单项选择题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线， 则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若点在圆：的外部，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知四棱锥平面，底面是矩形，且，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线过点，且在轴与轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 2 7. 在直三棱柱中，，，，若其外接球球的表面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆和圆相交于两点，点是圆上任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标为 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 C. 向量在向量上的投影向量的模长为 D. 设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是 10. 设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 四边形面积的最小值为 C. 满足的点有两个 D. 的面积最大值为 11. 已知圆，圆，圆，直线与，，均有两个交点．记被，，截得的弦长分别为，，，则（ ） A. 可以取任意实数 B. 满足的直线共有条 C. 满足的直线多于条 D. 当时，的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线和之间的距离是 _____________. 13. 如图，在长方体中，为棱的中点，为四边形内（含边界）的一个动点．且，则动点的轨迹长度为______． 14. 已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，直线与交于点，则的最小值为______． 四、解答题 15. 已知的三个顶点分别为，，. （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程. 16. 在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角B的大小； （2）若的面积为且，求的周长． 17. 已知圆的圆心在直线上，且截x轴的弦长为2，截y轴的弦长为. （1）求圆C的方程； （2）若一光线从点出发，经直线反射后恰好与圆C相切，求反射光线所在的直线方程. 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 19. 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到的“切比雪夫距离”，记作. （1）已知点和点，直线：，求和. （2）已知圆C：和圆E：. （i）若两圆心的切比雪夫距离，判断圆C和圆E的位置关系； （ii）若，圆E与x轴交于M，N两点，其中点M在圆C外，且，过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A，B两点，记直线为，直线为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新建二中2026—2027学年度上学期高二数学（培优部2801）10月 综合作业 内容范围：直线与圆、立体几何 第I卷（选择题） 一、单项选择题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，因此该直线方程为. 因此该直线的倾斜角为. 2. 已知直线， 则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】两直线平行条件：， 代入系数：，解得， 代入检验发现当时，，两直线重合，故舍去， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 3. 若点在圆：的外部，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知点与圆心的距离大于圆的半径，由此可以列出与有关的不等式，从而解不等式即可求解. 【详解】一方面：将圆：化为标准方程可得， 首先有圆心，其次圆的半径满足，解得， 另一方面：又因为点在圆：的外部， 所以，即，解得； 综上所述：的取值范围为. 故选：A. 4. 如图，已知四棱锥平面，底面是矩形，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意，根据向量的线性运算即可求解. 【详解】,， 所以， 所以， 所以 . 故选：A. 5. 已知直线过点，且在轴与轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设所求直线的横截距为，分和讨论，设出直线方程，将点代入，求出即可得出答案. 【详解】设所求直线的横截距为， 当时，可设直线为，将点代入，可得， 所以直线方程为， 当时，可设直线为，将点代入，可得， 所以直线方程为， 综上，直线的方程为或. 故选：C. 6. 已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程确定其所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆相交弦长最小时定点与圆心所在直线与垂直，最后应用几何法求弦长. 【详解】由题设即， 令得，所以直线过定点， 而即， 所以，即定点在圆内，且圆心为，半径为3， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心所在直线与垂直，此时. 故选：D 7. 在直三棱柱中，，，，若其外接球球的表面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过余弦定理判断形状后确定外接圆圆心位置，进一步判断球心位置，并通过数量积求解直线夹角余弦值. 【详解】因为，，，所以， 解得，所以，因此， 所以外接圆圆心位于中点，且底面外接圆半径， 同理，外接圆圆心位于中点. 由此可知，外接球的球心位于中点. 因为球表面积为，设外接球半径为， 所以，解得， 所以，. 以作为基底，分别记作，得，. 所以. 故所求线线角的余弦值为. 8. 已知圆和圆相交于两点，点是圆上任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取线段的中点，连接，将的取值范围问题转化为的范围问题，通过将圆的方程做差得到公共弦的方程，求出，结合圆的性质可得的范围. 【详解】圆，即，其圆心，半径， 圆，即，其圆心，半径， 取线段的中点，连接， 则， 将圆与圆的方程做差可得公共弦的方程为， 则， 则， 所以. 故选：B. 二、多项选择题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标为 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 C. 向量在向量上的投影向量的模长为 D. 设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，根据空间点关于平面对称，即可得出；B选项，由直线垂直求出，即可判断；C选项，代入投影向量模长公式进行计算即可； D选项，把分式可看作定点与线段上动点连线的斜率，即可求出范围. 【详解】对于A：直角坐标系中，点关于平面对称时，横坐标、纵坐标保持不变，坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标为，故A错误； 对于B：若直线与直线互相垂直， 则，即，解得：或， 所以当时，两直线一定垂直，充分性成立； 两直线垂直时，的取值不一定是，必要性不成立， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故B正确； 对于C：向量在向量上的投影向量的模长为，故C正确； 对于D：表示点与定点连线的斜率. 当与重合时，斜率； 当与重合时，斜率， 所以当点在线段上（含端点）时，斜率的取值范围为. 10. 设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 四边形面积的最小值为 C. 满足的点有两个 D. 的面积最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据切线长公式、两点间距离公式可判断A，B，C，根据三角形的面积公式可求解D. 【详解】 对于A，圆心C到直线的距离为， 所以，因为圆的半径为， 根据切线长公式可得，当时取等号， 所以的取值范围是，故A正确； 对于B，因为，，，， 所以四边形面积为，故B错误； 对于C，因为，所以， 在直角三角形中，，所以，设， 因为，整理得， 则有，所以满足条件的点有两个，故C正确； 对于D，， 所以当时，即，面积最大值为， 此时四边形为正方形，则满足要求，故D正确. 11. 已知圆，圆，圆，直线与，，均有两个交点．记被，，截得的弦长分别为，，，则（ ） A. 可以取任意实数 B. 满足的直线共有条 C. 满足的直线多于条 D. 当时，的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】已知三个圆均为半径的等圆，圆心分别为、、，利用弦长公式（为对应圆心到直线的距离，且以保证直线与圆有两个交点），逐个分析选项即可. 【详解】记到直线的距离分别为，则，，. ∵ 直线与三个圆均有两个交点， ∴ ，，，对应弦长为. A：∵ 解，得， 解，得， 不妨取， ∵， ∴，记， 解，得，记， 当，即时，， 此时不存在这样的直线与三个圆都相交. ∴ 不能取任意实数，A错误. B：∵ ， ∴ . 由得，平方得，即或. ①当时，直线为，由得，解得， 此时，符合条件，对应直线条. ②当时，直线为，由得，解得， 此时，符合条件，对应直线条. 综上，共条直线满足条件，B正确. C：令， ∴ ，， 令，则， ∴ . 令，即， 平方整理可得，解得或，即或， 经验证，此时均小于，满足题目要求，此时已有条直线，多于条，C正确. D：当时，，， ∴ ，， 令，则， ∴ . 设，求导得， 令得，此时取最大值， ∴ 的最大值为，D正确. 【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆的位置关系，核心是利用弦长公式将弦长关系转化为圆心到直线的距离关系，最值问题可通过换元结合导数求解，多选题可逐个验证选项，结合特殊情形快速判断正误. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线和之间的距离是 _____________. 【答案】## 【解析】 【详解】两条直线的斜率分别为​，​，且截距不相等，因此这两条直线是平行直线. 将第一条直线两边同乘，变形为. 所以两直线之间的距离. 13. 如图，在长方体中，为棱的中点，为四边形内（含边界）的一个动点．且，则动点的轨迹长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据垂直关系，得到平面，并证明，即可求得点的轨迹，并求长度. 【详解】假设存在点，使， 连结，因为平面，平面，所以， 且，平面，所以平面，平面， 所以， 如图，正方形中，点是的中点，点是的中点， ，所以，所以， 所以，所以点的轨迹为线段， 因为，所以， 所以点的轨迹长度为. 14. 已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，直线与交于点，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用相似得到点与点的坐标关系，代入直线方程求出的轨迹圆，定点到圆心距离减去半径即为的最小值. 【详解】设，因为为切点，所以和均为直角三角形， 又因为为公共角，所以，可得，则， 于是，如图，由三点共线，可得， 即点，将其代入，可得， 整理得：，即（不同时为0）， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又点， 故的最小值为. 四、解答题 15. 已知的三个顶点分别为，，. （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两点式斜率公式求出斜率，利用垂直关系得的斜率，代入点斜式即可求解； （2）求出点的坐标为，由两点式斜率公式求出的斜率，代入点斜式即可求解. 【小问1详解】 由题意得，且，所以. 则边上的高所在直线的方程为，化简得. 【小问2详解】 由题知的中点，所以， 则边上的中线所在直线的方程为，化简得. 16. 在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角B的大小； （2）若的面积为且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及和角的正弦公式，诱导公式将变形化简，再结合角的范围即可求出角B； （2）由三角形的面积公式求出，再由余弦定理求出，即可求出的周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得． 即， 因为，所以． 所以． 因为，，所以， 因为，所以． 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理得， 由，可得， 所以，所以的周长为． 17. 已知圆的圆心在直线上，且截x轴的弦长为2，截y轴的弦长为. （1）求圆C的方程； （2）若一光线从点出发，经直线反射后恰好与圆C相切，求反射光线所在的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由已知条件，用待定系数法列方程组解得，得到方程. (2) 求M关于直线的对称点为，过的圆的切线为所求直线. 【小问1详解】 依题意得：，由解得 ∴圆C的方程为 【小问2详解】 设M关于直线的对称点为， 由， 设过与圆C相切的直线为l， 当斜率不存在时，l：x=3，圆心到直线距离d=3-1=r符合条件； 当斜率存在时，设l： 即 圆心到直线的距离 ，解得， 则直线l的方程为： ，即： 所以反射光线所在直线为：或 . 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】（1） 连结，交于点，连结， 点是的中点，点是的中点， 所以，平面，平面， 所以平面； （2） （3） 或 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，根据几何关系，构造中位线，即可证明； （2）首先建立空间直角坐标系，分别求平面和的法向量，根据法向量夹角的余弦值，即可求解； （3）根据（2）的结果，代入线面角的向量公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以向量，，为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，， 则，， 设平面的法向量， 则，令，，， 所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 ，，，， ，，， ， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则，， 解得或， 又， 则或. 19. 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到的“切比雪夫距离”，记作. （1）已知点和点，直线：，求和. （2）已知圆C：和圆E：. （i）若两圆心的切比雪夫距离，判断圆C和圆E的位置关系； （ii）若，圆E与x轴交于M，N两点，其中点M在圆C外，且，过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A，B两点，记直线为，直线为，证明：. 【答案】（1），； （2）（i）内切； （ii）圆E与x轴交于M，N两点， 则方程，即（*）有两个不等的实数解， 所以，解得，又，所以， ，方程（*）的两解为，则， 由韦达定理有， 所以，解得或（舍去）， 时方程（*）为，解得，，交点为和， 点M在圆C外，则，因此，， 设直线的方程为，设， 由得， ，， ，， ， 所以，因此直线关于轴对称， 直线上任意一点与直线上点关于轴对称，它们是一一对应的关系， ，， 即， 所以的最小值与的最小值相等，即． 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接计算，设是上一点，分类讨论计算出，再确定最小值得； （2）（i）求出圆心坐标，根据切比雪夫距离的定义，由或求得参数，并检验是否满足题意，然后根据圆心距判断两圆位置关系； （ii）由已知求出，得出两点坐标，设直线方程为，，直线方程代入圆方程后，应用韦达定理得，从而证明，得直线与关于轴对称，然后由直线上任意一点与直线上点关于轴对称，它们是一一对应的关系，且，则其最小值也相等，从而证得结论成立， 【小问1详解】 ，，，所以， 直线方程为，是上一点，， 当，即时，， 当，即或时，， 所以的最小值是2，所以； 【小问2详解】 （i）圆标准方程是，圆心为，半径为2， 圆的圆心为，半径为， ， 若，则或， 时，，不合题意，时，，满足题意， 此时，，因此两圆内切； 若，则或， 时，，不合题意，时，，满足题意， 此时，，两圆内切． 所以圆C和圆E内切； （ii）略 【点睛】方法点睛：本题第（2）小题的第（ii）问，证明点到两条直线的“切比雪夫距离”相等，如果单纯从“切比雪夫距离”角度考虑，这个“距离”没法求解，换个角度，在直线与圆相交问题中，利用韦达定理证得直线的斜率是相反数，它们关于轴对称，而点在轴上，因此我们可得出这两条直线上的点与点的“切比雪夫距离”所组成的集合相等，从而最小值相等，最小值即为点线间的“切比雪夫距离”，完成证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $