专题02 一元二次方程的判别式及根与系数的关系重难点题型专训（2个知识点+7大题型+自我检测）-2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题02 一元二次方程的判别式及根与系数的关系重难点题型专训（2个知识点+7大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、利用根与系数的关系直接求代数式的值 1 题型二、利用根与系数的关系间接求代数式的值 2 题型三、利用根与系数的关系求参数的值 3 题型四、利用根与系数的关系判断根的情况 4 题型五、根据判别式判断一元二次方程根的情况 5 题型六、根与系数的关系中新定义问题 6 题型七、根据一元二次方程根的情况求参数 7 第二部分·练提高题型 题型一、利用根与系数关系求参综合 1 题型二、根与系数关系的新考法 2 第三部分・自我检测 知识点01 一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【即时训练】 1．（2026·湖北襄阳·一模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】解：∵一元二次方程中，二次项系数，一次项系数，，是方程的两个实数根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系得， ∵， ∴， 解得． 2．（25-26八年级上·湖北宜昌·期中）已知α，β是方程的两个根，则______． 【答案】2 【分析】对于一元二次方程 ，若方程的两个实数根为，，根据根与系数的关系可得，据此求解即可． 【详解】解：，其中，， 根据根与系数的关系可得 ． 知识点02 一元二次方程根与系数的关系应用 1.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数 2.求与两个根有关的代数式的值 3.不解方程，判定根的符号 除了以上几种应用外，利用根与系数的关系还可以求出关于、的对称式的值，涉及到的变形如下： · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · . 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）已知、是方程的两个实数根，求下列各代数式的值． (1)； (2)； 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟记相关结论即可．若一元二次方程的两个根为，则． （1）根据即可求解； （2）根据即可求解． 【详解】（1）解：∵、是方程的两个实数根， ∴，． （2）解： 2．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，． (1)求n的取值范围； (2)当时，求n的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，，再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：方程有两个实数根， ， 解得． （2）由题意得：，， ， ， ，解得：， ， ． 【基础题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例1】（25-26八年级下·江苏南通·期末）若关于x的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，以及代数式求值，根据一元二次方程判别式与根的关系可得到，进而得到，然后进一步整体代入求解即可． 【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根， ， 整理得， ∴， ∴ ， 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，当m取最大整数值时，代数式的值为______． 【答案】6 【分析】根据题意可知，一元二次方程根的判别式大于或等于0，且，进而求得的值，得到，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，则， ∴，且， 解得，且， m取最大整数为0，此时原方程为， 即， ∴代数式． 1．（25-26八年级上·广东江门·期末）已知关于的方程有两个实数根，则代数式的化简结果是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键． 首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 整理得：， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：B． 2．（25-26八年级下·浙江金华·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，当m取最大整数值时，代数式的值为______． 【答案】4 【分析】根据题意可知，一元二次方程根的判别式大于或等于0，且，进而求得的值，得到，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，则， ∴，且， 解得， m取最大整数为1，此时原方程为， 即， ， 代数式的值为， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，求得的值是解题的关键． 3．（25-26八年级上·广东汕头·期中）已知关于x的方程有实数根，且为非负整数，求代数式的值． 【答案】3 【分析】先根据一元二次方程有实数根，利用判别式求出的取值范围，结合为非负整数及代数式有意义的条件，确定的值；再对代数式进行化简，最后代入的值计算结果． 【详解】解：关于的方程有实数根 ，即 解得：，   又为非负整数， 的值为：0，1，2， 根据代数式有意义的条件，有 ， ． 【基础题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 【例1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列说法：①若一元二次方程有一个根是，则代数式的值是；②若，则关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根；③若，则关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根；④已知两实数，满足，，且，则的值为其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】对四个说法逐一用一元二次方程根的定义、根的判别式、根与系数的关系验证，统计正确说法的个数即可． 【详解】解：①∵是方程的根， ∴把代入方程得， 提取公因式得， ∵， ∴，即，故①正确； ②∵是一元二次方程，故， 当， 若，则，可得，即； 若，则，，若，则得，此时， 因此一定大于0，方程一定有两个不相等的实数根，故②正确； ③∵是一元二次方程，故， ∵， ∴， ∵，，故，方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ④对，，两边同除以得， 又，即，故和是方程的两个不相等实数根， ∴，， 则， 故④错误； 综上，正确的说法共3个． 【例2】（2026八年级下·浙江·模拟预测）若关于的一元二次方程的一个根为，则方程两根的平方和是________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程的另一个根，设，根据方程的根代入求的值即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为，设方程另一根为， ， 解得， 设，方程变形为， 由一元二次方程的根可得，， 或， ，， 方程两根的平方和是． 1．（2025·广东广州·一模）若关于的方程有两个实数根，且两根之和不小于，则代数式化简的结果是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次根式化简，解题的关键在于正确掌握相关知识． 根据一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，建立不等式推出的取值范围，再结合完全平方公式变形，以及二次根式性质，绝对值性质化简求解，即可解题． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ， 两根之和不小于， ， 解得， 综上， ， ， ， 故选：D． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）已知方程的两个实数根为、，求下列代数式的值． ①________；     ②________；     ③________；     ④________． 【答案】 /0.5 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：，． 根据一元二次方程根与系数的关系求出和的值，然后代入和变形后的式子计算求解． 【详解】解：方程的两个实数根为、， ∴，，， ∴，， ∴， ． 故答案为：①，②，③，④． 3．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“3倍根方程”． (1)若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； (2)已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“3倍根方程”，请写出m的值． 【答案】(1)50或 (2)17或 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，解一元二次方程，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）由得，，根据“3倍根方程”定义可得或，然后代入求解即可； （2）由关于的一元二次方程（m是常数）是“3倍根方程”，不妨设是的三倍，根据根与系数的关系得，，，解得，然后分情况代入解方程即可． 【详解】（1）∵， 解得  ． ∵是“3倍根方程”， 分情况讨论： ①则：． ②则：． 综上，的值为50或； （2）∵（是常数）是“3倍根方程”， ∴不妨设是的三倍， 由韦达定理：，解得． 当时， ， ∴． 当， ， ∴． 【基础题型三 利用根与系数的关系求参数的值】 【例1】（25-26八年级上·全国·阶段练习）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2023 B．2026 C．2029 D．4052 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根的定义得，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， ， ， ． 【例2】（26-27八年级上·广东佛山·阶段检测）若实数m，n满足，，且，则的值为______． 【答案】 【分析】两个等式结构相同，且，可知，是一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系结合完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：∵满足，满足，且， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程的根与系数的关系可得：，， ∵， 将，代入得：， ∴． 1．（26-27八年级上·全国·单元测试）小唯与小夏在解方程时，小唯写错了常数项，得到方程的两个根是2和，小夏写错了一次项系数，得到方程的两个根是和3，则b与c的值分别是（    ） A．2， B．2， C．，8 D．2，3 【答案】B 【分析】根据写错某一项时另一项系数正确的条件，结合根与系数的关系求解与． 【详解】解：∵小唯写错常数项，一次项系数正确，方程两根为和， ∴， ∴． ∵小夏写错一次项系数，常数项正确，方程两根为和， ∴， ∴． 2．（26-27八年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于的方程的两个不相等的实数根分别是，那么的值是___________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到关于、的等式，结合两个根不相等的条件排除不符合的解，即可得到结果． 【详解】解：∵方程的两个不相等的实数根分别是，， ∴， 由得， ∴或， 当时，代入得，此时原方程为，两根相等，不符合题意，舍去； 当时，代入，得，解得，此时原方程的判别式，符合有两个不相等实数根的条件， ∴． 3．（26-27八年级上·甘肃临夏·阶段检测）阅读理解材料：已知实数m，n满足，且．根据材料，求的值． 解：由题意，可得：m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：， ． 解决以下问题： (1)若方程的两个实数根为，求的值． (2)已知实数m，n满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求分式通分后代入计算； （2）先判断m，n是方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到与的值，将所求代数式变形后代入计算． 【详解】（1）解：∵，是方程的两个实数根 ， ∴由根与系数的关系得：， ， ∴． （2）解：∵实数m，n满足，，且， ∴m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴由根与系数的关系得：，， ∴， 将，代入得：． 【基础题型四 利用根与系数的关系判断根的情况】 【例1】（26-27八年级上·云南曲靖·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有一个根为1，则方程的另一个根为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用根与系数的关系求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， 由根与系数的关系得， 解得． 【例2】（26-27八年级上·湖北·阶段检测）对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的是__ ． 【答案】①③④ 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：若方程的两个根是和2，则， ， ，故①正确； 若是方程的一个根，则， 或，故②错误； 若，则， 即有一个根是，故③正确； 若方程有一个根是，则， 当时，， 若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根，故④正确； 综上可知，正确的是①③④． 1．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】类比一元二次方程根与系数的探究方法，将三次方程因式分解为含根的乘积形式，对比常数项系数求解． 【详解】解：∵，，是一元三次方程的三个根， ∴， 展开右边得． ∵等式为恒等式，两边常数项对应相等， ∴， 整理得． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，，设一元三次方程三个非零实数根分别为，，，现给出以下结论：①；②；③，其中正确的是_____ 【答案】①②③ 【分析】仿照题干给出的一元二次方程根与系数关系的推导方法，将一元三次方程按因式形式展开后，对比对应系数即可判断各结论． 【详解】解：一元三次方程三个非零实数根分别为，，， 原方程可写为 展开多项式得： 整理得 将上式与原方程对比系数可得： ，即，故①正确； ，即，故③正确； ，即，故②正确． 综上所述，正确的是①②③． 3．（2026八年级上·福建漳州·专题练习）阅读材料，回答问题： 主题 一元二次方程整数根的分布 提出问题 小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他提出了一个大胆的猜想：若已知的根，在的条件下，当时，方程的两根同正或同负． 分析探究 问题一  小漳的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 推广延伸 小漳的猜想激发了小浦的探究热情，为使问题的研究推广到不等式的传递 性，进而迁移到对“可能值”的研究，借此，小余提出了问题并回答．    问题：设为实数，已知方程有两实根、，且，，求的取值范围． 解法一：设，则原方程变形为：，化简得，又原方程两根为、，∴上述方程的两根为，，∵，，∴，  ∴， ∴   又 即   即 ① 解得2或    又 ②    得⇒   易得或 解法二：∵    …… 拓展迁移 问题二 已知m为实数，关于x的方程在范围内有根，求m的取值范围． (1)解决问题一； (2)请将①②补充完整； (3)完成解法二； (4)解决问题二． 【答案】(1) 证明：猜想正确，证明过程如下： 设的根为、， 由根与系数的关系得： ， 由于， 则 因此，当时，方程的两根同正或同负； (2)①；② (3) 设，则原方程变形为： ， 化简得， 又原方程两根为、， 上述方程的两根为，， ，， ，， 由求根公式得： ， 解得或， ， 解得或， 的取值范围为或； (4)或 【分析】（1）根据根与系数的关系进行证明即可； （2）①先去分母，再合并同类项化简上步不等式即可； ②计算即可； （3）设，则原方程变形为，由原方程的根的范围得到，，由求根公式得到，再根据两根的范围得到和，解不等式即可； （4）设二次函数，根据方程有根得到判别式，再分情况讨论，当或当时，根据对称轴的位置，结合函数在上端点处的函数值符号，判断m的取值范围． 【详解】（1）略 （2）解：①， 去分母得， 整理得； ② 整理得， 故答案为：①②； （3）略 （4）解：设二次函数， 方程在范围内有根， ， 或， 当时，函数的对称轴， 函数在上，随的增大而增大， 方程在范围内有根 解得； 当时，函数的对称轴， 函数在上，随的增大而减小， 方程在范围内有根 解得； 综上所述，m的取值范围为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、解一元二次不等式，一元二次方程的求根公式、一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【基础题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例1】（26-27八年级上·全国·单元测试）若方程只有两个实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分当和两种情况讨论，由根的判别式列式计算即可． 【详解】解：当时，方程为，，满足只有两个实数根， 当时，对于方程，即， ， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 由题意得，方程与方程只有两个实数根， ∴方程没有实数根， ∴，即，解得， 综上，的取值范围是或． 【例2】（26-27八年级上·天津河西·阶段练习）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】该方程为一元二次方程，有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，据此列不等式求解即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴ 根的判别式， ∵, , ， ∴， 计算得， ∴， 解得． 1．（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）九年级一同学在解关于的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，将常数项写成了，解出误方程的两个根分别是和．现有以下两种说法：甲：原方程必定有一个根是；乙：原方程有两个不相等的实数根．则下列判断正确的是（     ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】B 【分析】利用误方程的根得到、与的数量关系，再分别判断甲、乙说法的正误． 【详解】解：由题意得，误方程为 ∵，是误方程的根， ∴将代入得， 将代入得， 两式相减得，即， 将代入，得 甲：将代入原方程左边，得 将，代入，得 ∵， ∴，即不是原方程的根，甲错误； 乙：原方程的判别式 将，代入，得 ∵， ∴，即， ∴原方程有两个不相等的实数根，乙正确． 2．（2026·四川成都·模拟预测）已知整式，其中…，…且，，，，…，均为整数，n为正整数．若，，则满足条件的整式A共有__________个；若，，且当x为任意实数时，整式A的值都是正数，则满足条件的整式A共有__________个． 【答案】 【分析】对两个问题分别按条件列举所有可能的系数组合，结合二次整式恒正的判别式条件逐一判断，统计满足条件的个数即可． 【详解】解：先计算第一个空： 当，时，，满足，，为整数． 满足条件的组合为： ，符合条件； ，符合条件； 时，，不满足，因此共个满足条件的整式； 再计算第二个空： 当，时，，满足，，为整数，且对任意实数，． ， 对任意成立等价于判别式． 按分类讨论： 1. 当时，，，，不满足条件，共0个； 2. 当时，，，得，故； 其中满足的共4个； 3. 当时，，，得，故； 所有组合都满足，共4个； 4. 当时，，，得，故； 所有组合都满足，共3个； 5. 当时，，，仅，满足，共1个； 6. 当时，最小系数和为，无满足条件的组合； 综上，满足条件的整式共个． 3．（25-26八年级上·全国·阶段练习）定义：方程与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【答案】(1) (2)证明：当时，对于方程①及其“换位方程”均有， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)， 【分析】（1）根据“换位方程”的定义即可求得； （2）直接判断一元二次方程根的判别式是否大于即可得到证明； （3）把公共根代入两个方程，作差，可得到公共根与的等式，根据此等式可得公共根及的值． 【详解】（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为； （2）详解见答案 （3）方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ，， ， ， 当时，方程①与其“换位方程”相同，有两个公共根，不符合题意， ，解得或（舍去）， 当时，代入方程①得，，解得， ，． 【基础题型六 根与系数的关系中新定义问题】 【例1】（2025·四川凉山·模拟预测）对于任意实数a，b，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为，，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，根据新定义运算法则，结合，得出方程，整理该方程，得出，再根据根与系数的关系，得出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， 整理得：， ∴． 故选：A． 【例2】（2025·四川巴中·模拟预测）定义新运算：，若方程的解为a、b，则的值为________． 【答案】0 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，然后根据新定义可进行求解． 【详解】解：∵a、b是方程的解， ∴， ∴ ； 故答案为0． 1．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期中）对于代数式、，定义新运算♣，则下列说法正确的个数为（    ） ①若♣，则或1； ②若♣，则的值为3或； ③若方程的解为、，则♣的值为； ④若关于的方程♣有两个不相等的实数解，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据新定义的运算法则，将♣1化为一个关于x的一元二次方程求解，即可判断①；根据新定义得♣，则得出或，代入，即可判断②；根据一元二次方程根与系数的关系得出，则，求出，即可判断③；根据新定义和绝对值可得，根据一元二次方程的判别式，即可判断④． 【详解】解：①♣，解得：或1； 故①正确，符合题意； ②♣，整理得：， ∴， ∴或， ∴或， 故②正确，符合题意； ③♣， ∵方程的解为、， ∴， ∴，则 当时，♣， 当时，♣， ∴♣的值为或， 故③不正确，不符合题意； ④∵♣， ∴， 当时，整理得：， ∴，解得：； 当时，整理得：， ∴，解得：； ∴， 故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①②，共2个； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根于系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是正确理解题意，明确新定义的运算顺序和运算法则，掌握一元二次方程根与系数关系：；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 2．（25-26八年级上·黑龙江绥化·阶段检测）①设是方程的两个根，则______． ②对于实数a，b定义一种新运算“”：，例如，，则方程的解是______． 【答案】 177 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系和分式方程的解法，熟练掌握一元二次方程根与系数关系和分式方程的解法是解题的关键． ①根据根与系数关系得到，再整体代入即可求得答案； ②由新定义得到，再代入得分式方程，解分式方程并检验后即可得到答案． 【详解】解：①是方程的两个根， ∴， ∴ 故答案为：； ②∵ ∴， ∴ 去分母得，， 解得 经检验，是分式方程的解， 故答案为： 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）新定义：若关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；若关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (2)若一元二次方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，求，的值． 【答案】(1) (2)，或， 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义方程的应用，掌握利用韦达定理结合新定义条件，分情况讨论求解，注意根不为0的限制是解题的关键． （1）设方程的两根为和，利用韦达定理的两根和与积，代入方程系数求的值 （2）设方程的两根，根据既是倍根又是方根的条件分两种情况讨论，利用韦达定理求和的值，注意根不为0的条件． 【详解】（1）解：设方程的两个根分别为，． ∵该方程是“倍根方程”， ∴可设． ，， ，， ， ． （2）解：设方程的两个根为，． ∵这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”， ∴分以下两种情况讨论： ①当，时，得， 解得或（不合题意，舍去）， ． ，， ，； ②当，时，得， 解得或（不合题意，舍去）， ． ，， ，． 综上，，或，． 【基础题型七 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例1】（26-27八年级上·山西大同·阶段检测）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ，即， 解得． 【例2】（26-27八年级上·重庆·期中）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足等式，则所有满足条件的整数的值之和是___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式、二次根式有意义的条件得出的取值范围，据此解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴这个方程根的判别式，且， 解得且， ∵， ∴， 解得， ∴且， ∴所有满足条件的整数的值是，，，，，， ∴所有满足条件的整数的值之和是． 1．（25-26八年级下·福建福州·期末）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用根的判别式判断根的情况，结合根的定义变形验证每个说法即可． 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式， ① 若，则，代入得，因此方程一定有两个不相等的实数根，①正确； ② 若，则，因为，可得即，因此，所以，方程没有实数根，②正确； ③ 若且是方程的根，代入方程得，提取公因式得，因为，所以，即，③正确； ④ 若是原方程的根，代入得，两边同除以（，）得，整理得，因此是方程的一个根，④正确． 综上，①②③④都正确，共4个正确说法． 2．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 【答案】或 【分析】先对关于的一元二次方程因式分解求解得到两个根，再根据“邻根方程”的定义，得到两根的差为，分情况列方程计算的值即可． 【详解】解：对因式分解得：， 或， 解得：，， 方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 3．（26-27八年级上·吉林松原·阶段检测）关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)若是该方程的一个根，求k的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）利用方程解的定义得到，解k的方程即可． 【详解】（1）解：∵有实数根， ∴， 即， ∴． （2）解：∵是方程的一个根， ∴ ， ∴， ， 或， 解得． 【提高题型一 利用根与系数关系求参综合】 【例1】（2026·河北张家口·二模）嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是结论一：原方程有两个不相等的实数根；结论二：原方程的两根之和为（     ） A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一正确，结论二正确 D．结论一不正确，结论二不正确 【答案】A 【分析】先根据错方程和已知根求出原方程的k值，再分别验证两个结论即可． 【详解】解：∵原方程为，嘉嘉抄错的正负号， ∴嘉嘉解的错方程为， 将代入错方程得：，解得， 验证结论一：原方程的判别式， ∴原方程有两个不相等的实数根，结论一正确； 验证结论二：根据一元二次方程根与系数的关系，对于，两根之和为，这里，， ∴， ∵结论二给出两根之和为， ∴结论二不正确； 综上，结论一正确，结论二不正确． 【例2】（25-26八年级下·安徽淮北·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为． （1）________； （2）求代数式的值为________． 【答案】 1 【分析】（1）设一元二次方程的另一个根为，利用根与系数的关系求得，； （2）由题意得，对原式化简，再利用整体代入求解即可． 【详解】解：（1）设一元二次方程的另一个根为， 则， ， ， ， ； （2）， ， ． 1．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于x的方程．若，是方程的两根． (1)当时，求m的值； (2)写出代数式的最小值． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）把代入方程求解即可； （2）先把方程整理得，由根与系数的关系求出，，代入代数式求解即可． 【详解】（1）解：∵是方程的根， ∴，即， 解得． （2）解：将，整理得， ∵，是方程的两根， ，， ∴， ∴代数式的最小值为5． 2．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程 有两个实数根和． (1)求实数m的取值范围； (2)是否存在m的值使得 成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由 【答案】(1)； (2)不存在的值，使得 成立． 理由如下： 、 是一元二次方程 的两个实数根， ， ． ， ， 解得，． 中 ， ∴不符合要求， 矛盾， 不存在的值，使得成立． 【分析】（1）根据，建立不等式解答即可； （2）利用一元二次方程的根与系数关系定理，解答即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根和， ， 解得； （2）解：略． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）解答下列问题，并考虑有哪些不同的解法： (1)已知关于的方程的两个根是和，求和的值； (2)已知关于的方程的一个根是，求它的另一个根和p的值． 【答案】(1)，； (2)方程的另一个根为，或 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系计算即可； （2）先利用一元二次方程根与系数的关系求出方程的另一个根，继而得到， 解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得，； （2）解：设方程的另一个根为， ， 解得； ， ， 解得或． 【提高题型二 根与系数关系的新考法】 【例1】（2026·四川广安·模拟预测）对于任意实数，，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为、，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】先根据新定义代入，，整理得到一元二次方程的标准形式，再利用根与系数的关系即可得到答案. 【详解】∵ ，且， ∴ 将，代入得： ， 整理得：， ∴ ． 【例2】（24-25八年级上·福建泉州·期中）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：，例如．若m，n是方程的两根，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 根据新定义运算列出一元二次方程，再结合根与系数的关系求出和的值，最后通过对完全平方公式变形求出分式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵m，n是方程的两根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系等知识点，解题的关键是正确理解新定义． （1）根据新定义计算即可； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由方程的解得到，根据新定义得到，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， ∵， ∴ 2．（2026·安徽合肥·二模）类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料： 设的两个根为和，那么比较系数，可得，． 类比推广，回答问题：设的三个根为，，，那么 （___________）（___________）． 比较系数，可以得到一元三次方程的根与系数的关系： ___________，___________，___________． 【答案】，，，，，r 【分析】本题主要考查根据一元二次方程中根和系数之间的关系推理一元三次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程中根与系数的关系，多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 将一元三次方程按照一元二次方程的方式因式分解为，再将其按照多项式乘以多项式的方式展开，得到，最后得到根与系数关系，，即可； 【详解】解：根据材料提示得， ， ， ， ， ， ， ，，； 故答案为：，，，，，-r． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据学习材料得，据此即可求解； （）结合（）的结果，再根据即可求解； （）由题意可得，，进而得是方程的两根，由和可得，即得，进而可得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关键，一元二次方程根的判别式，多项式的乘法运算，掌握一元二次方程中根与系数的关系以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）根据学习材料提示得， ， ， ， ∴，， ∴的值为； （）∵的三个根分别为，，， 又∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （）∵，， ∴，， ∵是方程的两根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴正数的最小值为． 1．（26-27八年级上·山西运城·阶段检测）已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的位置如图所示，则这个方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】计算判别式的值即可判断． 【详解】解：， 由数轴得，， ∴，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 2．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）定义新运算：，例如，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】D 【分析】由新定义运算可得，再结合一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程无实数根． 3．（26-27八年级上·河北唐山·阶段检测）已知，若关于的方程的解为，，关于的方程的解为，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用求根公式可得，．同理可得：，．再结合和比较大小即可． 【详解】解：将方程整理为． 由求根公式得． ∵， ∴，． 同理，方程的根为． ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即． 又∵， ∴． 4．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若2026是方程的一个根，则一定是的一个根； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（   ） A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③ 【答案】C 【分析】根据一元二次方程解的含义、一元二次方程根的判别式等知识逐个分析即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故正确； ∵方程有两个不相等的实根， ∴， 方程的判别式， ∵，， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根，故正确； ∵2026是方程的一个根， ∴， ∴， ∴是的一个根，故正确； ∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∵，故正确； 综上所述，正确的是①②③④． 5．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，电路中有三个定值电阻，，，且，的阻值（单位:Ω）满足方程，．若闭合开关S后，电流表的读数为，则电源的电压是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得，然后根据电路中的电阻、电流及电压关系式进行求解即可． 【详解】解：∵，的阻值（单位:Ω）满足方程， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得：， 则有， ∴， ∴电路中的总电阻为， ∴． 6．（25-26八年级上·湖南永州·单元复习）判断下列一元二次方程中根的情况： ①____________________     ②_____________________ ③____________________     ④________________________ 【答案】 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根 没有实数根 【分析】对于一元二次方程，根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，先确定每个一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项，再计算根的判别式的值，根据判别式与0的大小关系判断根的情况． 【详解】解：①方程中，，，， ，因此该方程有两个不相等的实数根； ②方程中，，，， ，因此该方程有两个相等的实数根； ③方程中，，，， ，因此该方程有两个不相等的实数根； ④方程中，，，， ，因此该方程没有实数根． 7．（25-26八年级上·青海西宁·阶段检测）已知x为实数，若 ，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 设，代入求解，进而根据根的判别式判断是否成立即可． 【详解】解：设， 则， ， 即或， 解得：，， 当时，，，成立； 当时，，，不成立； 则． 故答案为：． 8．（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义化简已知等式，得到关于的一元二次方程，求解后结合根的判别式判断即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， 根据根的定义，得，即，同理可得， 化简已知等式的两个因式：，， 代入，得：， 整理得：，解得或， 原方程有两个实数根， 根的判别式，即，解得， 满足题意，且符合等式的解为． 9．（25-26八年级下·北京·期末）若2是关于x的一元二次方程的一个根，则一元二次方程的根为_____ ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，利用换元法将新方程转化为与原方程形式相同的方程，结合原方程的根与系数的关系求出换元后变量的根，再回代得到新方程的根． 【详解】解：令，则方程可化为，与原一元二次方程形式相同， 是原方程的一个根， 是方程的一个根， 设方程的另一个根为，由根与系数的关系得： ， 代入得， 解得， ， ， 当时，， 当时，， 所求方程的根为． 10．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②，则；③若有且只有一个的值，使代数式的值为0，则；④若，则的值不可能是．其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】①④ 【分析】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故正确； ②∵， ∴， 解得：， ∴；故错误； ③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴；故错误； ④当，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，所以c的值不可能是，说法正确； 综上所述：正确的结论有①④； 11．（26-27八年级上·福建·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】先计算，得到方程有两个不相等的实数根，代入求根公式即可求解． 【详解】解：， ，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 即，． 12．（26-27八年级上·全国·课后作业）小明告诉同学，他发现了一种简便方法，可以判断一类方程必有实数根：若一元二次方程的系数a、c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．他的说法是否正确？为什么？ 【答案】 解：小明的说法正确，理由如下： 对于一元二次方程，根的判别式为， 与异号， ， ， 又， ， 该方程一定有两个不相等的实数根． 【分析】用进行判别，若，方程有两个不相等的实数根． 【详解】略 13．（2026八年级上·全国·专题练习）若是方程的两个根，且，求m的值．小明的解题过程如下，请判断他的解题过程是否正确，若不正确，请写出正确的解题过程． 解：由一元二次方程的根与系数的关系，得． ， ， ， ， 或． 【答案】解：不正确，正确解题过程如下： 由一元二次方程的根与系数的关系，得． ， ， ， ， 或． 又， ∴, ． 【分析】利用根与系数关系定理，一元二次方程根的判别式，综合求解即可． 【详解】解：略． 14．（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如：方程的两个根是1和2，则这个方程就是“倍根方程”． (1)下列方程是倍根方程的是______； ①；②；③． (2)若关于的方程是“倍根方程”，则______； (3)若关于的方程（是常数）是“倍根方程”，试求出的值； (4)若关于的方程（、是常数，）是“倍根方程”，令，试求的最小值． 【答案】(1)① (2) (3) 的值为或 (4) 的最小值为 【分析】（1）求解各方程的根，结合倍根方程的定义判断即可； （2）设两根为与，利用根与系数的关系计算即可； （3）设两根为与，结合根与系数的关系列方程即可求解； （4）设方程的两根为和，结合根与系数的关系得，代入得只含b的式子，再配方求最值即可． 【详解】（1）解：①解方程， 因式分解得， 即或， 解得，， ， 该方程是倍根方程； ②解方程， 移项，得， 解得，， 不存在一个根是另一个根的2倍，故该方程不是倍根方程； ③解方程， 因式分解得， 即或， 解得，， 不存在一个根是另一个根的2倍，故该方程不是倍根方程； 综上，是倍根方程的是①； （2）解：设方程的两根为和， 根据根与系数的关系，得 ， 解得， ； （3）解：设方程的两根为和， 根据根与系数的关系，得 ，， 即，， 将代入，得 ， 解得，， 经检验，和均使方程有两个实数根，符合题意， 的值为或； （4）解：设方程的两根为和，根据根与系数的关系，得 ，， 即，， 由得，代入，得 ， 整理得， 将代入，得 ， 当时，取得最小值，最小值为， 此时，符合题意， 的最小值为． 15．（25-26八年级下·吉林·期末）如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． (2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 【答案】(1)①④ (2)证明：∵ 完美方程是有两个相等解的同族方程，即有两个相等的实数解， ∴ ，即． ∵ 有意义， ∴ ． ∴ ． 故对任意一个完美方程，总有 (3)正整数的值为1或3 【分析】（1）分别解四个方程即可得解； （2）由题意可知根的判别式，从而求出； （3）求解这个一元二次方程，再根据同族方程定义即可得解． 【详解】（1）解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故①是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故②不是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故③不是同族方程； 解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故④是同族方程； 故是同族方程的是①④； （2）略 （3）由一元二次方程得：，， 解得：， ∵一元二次方程属于同族方程， ∴是整数， ∴正整数k的值为1或3． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程的判别式及根与系数的关系重难点题型专训（2个知识点+7大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、利用根与系数的关系直接求代数式的值 1 题型二、利用根与系数的关系间接求代数式的值 2 题型三、利用根与系数的关系求参数的值 3 题型四、利用根与系数的关系判断根的情况 4 题型五、根据判别式判断一元二次方程根的情况 5 题型六、根与系数的关系中新定义问题 6 题型七、根据一元二次方程根的情况求参数 7 第二部分·练提高题型 题型一、利用根与系数关系求参综合 1 题型二、根与系数关系的新考法 2 第三部分・自我检测 知识点01 一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【即时训练】 1．（2026·湖北襄阳·一模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中，则（    ） A． B．2 C． D．3 2．（25-26八年级上·湖北宜昌·期中）已知α，β是方程的两个根，则______． 知识点02 一元二次方程根与系数的关系应用 1.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数 2.求与两个根有关的代数式的值 3.不解方程，判定根的符号 除了以上几种应用外，利用根与系数的关系还可以求出关于、的对称式的值，涉及到的变形如下： · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · . 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）已知、是方程的两个实数根，求下列各代数式的值． (1)； (2)； 2．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，． (1)求n的取值范围； (2)当时，求n的值． 【基础题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例1】（25-26八年级下·江苏南通·期末）若关于x的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【例2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，当m取最大整数值时，代数式的值为______． 1．（25-26八年级上·广东江门·期末）已知关于的方程有两个实数根，则代数式的化简结果是（    ） A． B．1 C． D． 2．（25-26八年级下·浙江金华·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，当m取最大整数值时，代数式的值为______． 3．（25-26八年级上·广东汕头·期中）已知关于x的方程有实数根，且为非负整数，求代数式的值． 【基础题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 【例1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列说法：①若一元二次方程有一个根是，则代数式的值是；②若，则关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根；③若，则关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根；④已知两实数，满足，，且，则的值为其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（2026八年级下·浙江·模拟预测）若关于的一元二次方程的一个根为，则方程两根的平方和是________．（用含的代数式表示） 1．（2025·广东广州·一模）若关于的方程有两个实数根，且两根之和不小于，则代数式化简的结果是（   ） A． B．1 C． D． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）已知方程的两个实数根为、，求下列代数式的值． ①________；     ②________；     ③________；     ④________． 3．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“3倍根方程”． (1)若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； (2)已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“3倍根方程”，请写出m的值． 【基础题型三 利用根与系数的关系求参数的值】 【例1】（25-26八年级上·全国·阶段练习）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2023 B．2026 C．2029 D．4052 【例2】（26-27八年级上·广东佛山·阶段检测）若实数m，n满足，，且，则的值为______． 1．（26-27八年级上·全国·单元测试）小唯与小夏在解方程时，小唯写错了常数项，得到方程的两个根是2和，小夏写错了一次项系数，得到方程的两个根是和3，则b与c的值分别是（    ） A．2， B．2， C．，8 D．2，3 2．（26-27八年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于的方程的两个不相等的实数根分别是，那么的值是___________． 3．（26-27八年级上·甘肃临夏·阶段检测）阅读理解材料：已知实数m，n满足，且．根据材料，求的值． 解：由题意，可得：m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：， ． 解决以下问题： (1)若方程的两个实数根为，求的值． (2)已知实数m，n满足，且，求的值． 【基础题型四 利用根与系数的关系判断根的情况】 【例1】（26-27八年级上·云南曲靖·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有一个根为1，则方程的另一个根为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（26-27八年级上·湖北·阶段检测）对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的是__ ． 1．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，，设一元三次方程三个非零实数根分别为，，，现给出以下结论：①；②；③，其中正确的是_____ 3．（2026八年级上·福建漳州·专题练习）阅读材料，回答问题： 主题 一元二次方程整数根的分布 提出问题 小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他提出了一个大胆的猜想：若已知的根，在的条件下，当时，方程的两根同正或同负． 分析探究 问题一  小漳的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 推广延伸 小漳的猜想激发了小浦的探究热情，为使问题的研究推广到不等式的传递 性，进而迁移到对“可能值”的研究，借此，小余提出了问题并回答．    问题：设为实数，已知方程有两实根、，且，，求的取值范围． 解法一：设，则原方程变形为：，化简得，又原方程两根为、，∴上述方程的两根为，，∵，，∴，  ∴， ∴   又 即   即 ① 解得2或    又 ②    得⇒   易得或 解法二：∵    …… 拓展迁移 问题二 已知m为实数，关于x的方程在范围内有根，求m的取值范围． (1)解决问题一； (2)请将①②补充完整； (3)完成解法二； (4)解决问题二． 【基础题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例1】（26-27八年级上·全国·单元测试）若方程只有两个实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【例2】（26-27八年级上·天津河西·阶段练习）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 1．（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）九年级一同学在解关于的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，将常数项写成了，解出误方程的两个根分别是和．现有以下两种说法：甲：原方程必定有一个根是；乙：原方程有两个不相等的实数根．则下列判断正确的是（     ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 2．（2026·四川成都·模拟预测）已知整式，其中…，…且，，，，…，均为整数，n为正整数．若，，则满足条件的整式A共有__________个；若，，且当x为任意实数时，整式A的值都是正数，则满足条件的整式A共有__________个． 3．（25-26八年级上·全国·阶段练习）定义：方程与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【基础题型六 根与系数的关系中新定义问题】 【例1】（2025·四川凉山·模拟预测）对于任意实数a，b，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为，，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【例2】（2025·四川巴中·模拟预测）定义新运算：，若方程的解为a、b，则的值为________． 1．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期中）对于代数式、，定义新运算♣，则下列说法正确的个数为（    ） ①若♣，则或1； ②若♣，则的值为3或； ③若方程的解为、，则♣的值为； ④若关于的方程♣有两个不相等的实数解，则． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·黑龙江绥化·阶段检测）①设是方程的两个根，则______． ②对于实数a，b定义一种新运算“”：，例如，，则方程的解是______． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）新定义：若关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；若关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (2)若一元二次方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，求，的值． 【基础题型七 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例1】（26-27八年级上·山西大同·阶段检测）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27八年级上·重庆·期中）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足等式，则所有满足条件的整数的值之和是___________． 1．（25-26八年级下·福建福州·期末）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 3．（26-27八年级上·吉林松原·阶段检测）关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)若是该方程的一个根，求k的值． 【提高题型一 利用根与系数关系求参综合】 【例1】（2026·河北张家口·二模）嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是结论一：原方程有两个不相等的实数根；结论二：原方程的两根之和为（     ） A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一正确，结论二正确 D．结论一不正确，结论二不正确 【例2】（25-26八年级下·安徽淮北·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为． （1）________； （2）求代数式的值为________． 1．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于x的方程．若，是方程的两根． (1)当时，求m的值； (2)写出代数式的最小值． 2．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程 有两个实数根和． (1)求实数m的取值范围； (2)是否存在m的值使得 成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）解答下列问题，并考虑有哪些不同的解法： (1)已知关于的方程的两个根是和，求和的值； (2)已知关于的方程的一个根是，求它的另一个根和p的值． 【提高题型二 根与系数关系的新考法】 【例1】（2026·四川广安·模拟预测）对于任意实数，，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为、，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 【例2】（24-25八年级上·福建泉州·期中）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：，例如．若m，n是方程的两根，则的值为__________． 1．（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 2．（2026·安徽合肥·二模）类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料： 设的两个根为和，那么比较系数，可得，． 类比推广，回答问题：设的三个根为，，，那么 （___________）（___________）． 比较系数，可以得到一元三次方程的根与系数的关系： ___________，___________，___________． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 1．（26-27八年级上·山西运城·阶段检测）已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的位置如图所示，则这个方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）定义新运算：，例如，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 3．（26-27八年级上·河北唐山·阶段检测）已知，若关于的方程的解为，，关于的方程的解为，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若2026是方程的一个根，则一定是的一个根； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（   ） A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③ 5．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，电路中有三个定值电阻，，，且，的阻值（单位:Ω）满足方程，．若闭合开关S后，电流表的读数为，则电源的电压是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·湖南永州·单元复习）判断下列一元二次方程中根的情况： ①____________________     ②_____________________ ③____________________     ④________________________ 7．（25-26八年级上·青海西宁·阶段检测）已知x为实数，若 ，则_______． 8．（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为________． 9．（25-26八年级下·北京·期末）若2是关于x的一元二次方程的一个根，则一元二次方程的根为_____ ． 10．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②，则；③若有且只有一个的值，使代数式的值为0，则；④若，则的值不可能是．其中所有正确结论的序号是_____． 11．（26-27八年级上·福建·期中）解方程：． 12．（26-27八年级上·全国·课后作业）小明告诉同学，他发现了一种简便方法，可以判断一类方程必有实数根：若一元二次方程的系数a、c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．他的说法是否正确？为什么？ 13．（2026八年级上·全国·专题练习）若是方程的两个根，且，求m的值．小明的解题过程如下，请判断他的解题过程是否正确，若不正确，请写出正确的解题过程． 解：由一元二次方程的根与系数的关系，得． ， ， ， ， 或． 14．（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如：方程的两个根是1和2，则这个方程就是“倍根方程”． (1)下列方程是倍根方程的是______； ①；②；③． (2)若关于的方程是“倍根方程”，则______； (3)若关于的方程（是常数）是“倍根方程”，试求出的值； (4)若关于的方程（、是常数，）是“倍根方程”，令，试求的最小值． 15．（25-26八年级下·吉林·期末）如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． (2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 学科网（北京）股份有限公司 $