专题02 平移与轴对称重难点题型专训（5个知识点+12大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

专题02 平移与轴对称重难点题型专训 （5个知识点+12大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 坐标系中的平移 题型二 坐标系中的动点问题（不含函数） 题型三 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型四 由平移方式确定点的坐标 题型五 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 题型六 已知图形的平移，求点的坐标 题型七 已知平移后的坐标求原坐标 题型八 坐标系中的对称 题型九 坐标与图形变化——轴对称 题型十 求关于原点对称的点的坐标 题型十一 已知两点关于原点对称求参数 题型十二 判断两个点是否关于原点对称 拓展训练一 坐标系中最值问题 拓展训练二 坐标系中动点问题 拓展训练三 翻折问题中的坐标计算 拓展训练四 旋转问题中的坐标计算 知识点一：关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·上海虹口·期末）若点的坐标为，则点向左平移2个单位后对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移坐标变化，解题关键是掌握点平移时坐标变化规律． 根据向左平移横坐标减去平移距离即可求解． 【详解】解：若点的坐标为， ∴点向左平移2个单位后对应的点的坐标为，即． 故选：A． 2．（25-26八年级下·上海宝山·期末）点向右平移1个单位长度后的点的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了求点沿x轴、y轴平移后的坐标，由平移方式确定点的坐标，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据点的平移规律，向右平移时横坐标增加，纵坐标不变． 【详解】解：因为点向右平移1个单位长度， 所以横坐标变为，纵坐标不变，仍为1， 所以平移后的点坐标为． 故答案为：． 知识点二：坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 【即时训练】 1．（25-26八年级下·上海长宁·期末）已知点，点与点关于轴对称，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可求解． 【详解】解：∵点，点与点关于轴对称， ∴点的横坐标与的横坐标相同，为， 点的纵坐标是纵坐标的相反数，即， ∴点的坐标为． 2．（2026·上海松江·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点是_____． 【答案】 【分析】点关于y轴对称时，纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数，据此即可求得答案． 【详解】解：点关于y轴的对称点的坐标为． 知识点三：坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 【即时训练】 1．（25-26八年级下·上海宝山·月考）将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中的平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．根据平移时点的坐标变化规律，表示出点的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等建立关于的方程即可解决问题． 【详解】解：将点向右平移个单位长度到达点， ， 点的横坐标和纵坐标相等， ，解得． 故选：D ． 2．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）已知点与点，若直线平行于轴，则_______． 【答案】2 【分析】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是掌握直线平行于轴时，所在直线上的点的横坐标相等． 根据直线平行于轴，得到点和点的横坐标相等，据此进行解答即可． 【详解】解：∵直线平行于轴， ∴点和点的横坐标相等， 则， 故答案为：． 知识点四：关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 【即时训练】 1．（25-26八年级下上海普陀·月考）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是． 2．（25-26八年级下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特点．关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标均互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 知识点五：坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·上海金山·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标是，连接，将线段绕原点旋转，得到对应线段，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点关于原点对称点的特点，掌握点的中心对称点的特点及计算方法是解题的关键． 根据将线段绕原点旋转，可得是点的中心对称，根据中心对称点的特点，即横纵坐标均为原来点坐标的相反数，由此即可求解． 【详解】解：点的坐标是，连接，将线段绕原点旋转， ∴点关于原点成中心对称点， 故选：C ． 2．（24-25八年级下·上海奉贤·月考）如图，小明准备用旋转知识设计一个风车，已知点A的坐标是，为了补全风车，他需要找到A点关于原点O的对称点，则点的坐标是______． 【答案】（3，﹣2） 【分析】根据关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可． 【详解】解：∵A点关于原点O的对称点A′，A（﹣3，2）， ∴A′（3，﹣2）， 故答案为（3，﹣2）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，中心对称等知识，解题的关键是利用中心对称的性质，属于中考常考题型． 【经典例题一 坐标系中的平移】 【例1】（24-25八年级下·上海虹口·期中）如图，平面直角坐标中，直线分别与两坐标轴的正半轴相交，为直线AB上的一个动点，在点P从点A平移到点B的过程中，坐标x，y的值变化情况是（   ） A．x增大，y也增大 B．x增大，y却减小 C．x减小，y却增大 D．x减小，y也减小 【答案】B 【分析】本题主要考查点的平移，熟练掌握平移的特征是解题的关键．根据“右加左减，上加下减”即可得到答案． 【详解】解：在点P从点A平移到点B的过程中，坐标x，y的值变化情况是x增大，y却减小， 故选B． 【例2】（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）四盏灯笼的位置如图．已知灯笼，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是__________．（请填写序号） ①将灯笼向左平移3个单位长度；    ②将灯笼向左平移4个单位长度； ③将灯笼向左平移5.2个单位长度；    ④将灯笼向左平移4.2个单位长度． 【答案】③ 【分析】根据题意注意到A，B关于y轴对称，要使得轴两侧的灯笼对称，只需要C，D关于y轴对称，再结合平移的性质分析讨论即可解题． 【详解】解：∵，，，这四个灯笼的纵坐标都是， ∴这四个灯笼在一条直线上，且这条直线平行于x轴， ∵，的坐标分别是，， ∴A，B关于y轴对称， 要使得轴两侧的灯笼对称， 只需要C，D关于y轴对称即可， ∵，的坐标分别是，， ∴可以将灯笼向左平移到，平移5.2个单位， 或可以将灯笼向左平移到，平移5.2个单位， 综上，平移的方法可以是③． 1．（25-26八年级下·上海宝山·开学考试）在方格纸上有A、B两点，若以B点为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为，若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中原点变换后的坐标规律，先确定点相对于点的位置，再根据相对位置关系求出以为原点时点的坐标即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：在方格纸上有A、B两点，若以B点为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为，若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为， 故选：B． 2．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）长方形的长为5，宽为3，将该长方形按如图的方式放置在平面直角坐标系中，已知点，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系，由A，D横坐标相同，可得轴，进而可得轴，结合即可求解． 【详解】解：， 轴， 四边形是长方形， 轴， ，， 点的坐标为，即， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海静安·月考）如图1，在平面直角坐标系中，点，，且实数、满足． (1)直接写出A、B两点的坐标； (2)如图1，为线段上一点，且，求点的坐标； (3)如图2，将线段平移至，使点的对应点落在x轴上，点的对应点落在轴上，连接、，为线段上一点，为轴上一动点，若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用可得，解出、的值即可求出． （2）如图，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两线交于点H，过点H作于点G，过点C分别作于点M，于点N，连接，首先得到，求出，得到，，，由求出，进而求解即可； （3）设与y交于K，连接，则，得出，因为，故，由代数求解即可． 【详解】（1）， ， ， ，． （2）如图，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两线交于点H，过点H作于点G，过点C分别作于点M，于点N，连接 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴； （3）∵点，，由平移可得点，， 设与y交于K， 连接，则， ， ， ， ， ， ， ， 或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形综合，平方值和根号值的非负性、平面几何和坐标、平面直角坐标系中三角形面积求法、点的平移等知识，读懂题意，根据题意作出图形，数形结合转化为常见题型求解是解决问题的关键． 【经典例题二 坐标系中的动点问题（不含函数）】 【例1】（24-25八年级下·上海青浦·期中）如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，再将动点分成在左侧和右侧时，两种情况分别讨论即可求解． 【详解】解：∵，的面积为， ∴，即， 解得：， 当点在左侧时，， 当点在右侧时，， ∵动点在轴上， ∴， 综上可得点坐标为或， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，设点P的坐标为，根据点的坐标可得，，；再分点P在点B上方，点P在点B下方，且在x轴上方和点P在x轴下方三种情况，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵，，， ∴，，， 如图所示，当点P在点B上方时， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在点B下方，且在x轴上方时， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为：或． 1．（2025八年级下·上海松江·专题练习）如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标规律探索，坐标系中的动点问题（不含函数），写出直角坐标系中点的坐标等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先求出这个粒子运动到，，，，所用时间，则归纳类推出这个粒子运动到所用时间，再观察运动规律可得在点中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动，然后根据，，可得第1980秒时，这个粒子所处位置为，再向左运动44秒即为第2024秒，由此即可得． 【详解】解：由题意得：这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 归纳类推得：这个粒子运动到所用时间为秒（其中为正整数）， 观察运动规律可知，在点中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动， ∵，，，且44为偶数， ∴第1980秒时，这个粒子所处位置为，再向左运动44秒即为第2024秒，此时这个粒子所处位置为，即， 故选：A． 2．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点，那么点的坐标为____________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题． 动点在平面直角坐标系中按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，只要求出前几个坐标，根据规律找坐标即可． 【详解】解：根据题意可知， ，…， ∴点的纵坐标每4个点循环一次， ∵， ∴点在，，的位置上，纵坐标为0，横坐标为序号的一半， 即， ∴点的坐标， ∵点是点向上平移1个单位得到的， ∴坐标为， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为 ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】本题考查了根据新定义求点的坐标，绝对值方程． （1）①根据“等距点”的定义作答即可；②根据“等距点”的定义列出方程即的取值范围，再计算即可； （2）根据“等距点”的定义求出，或，，根据面积法列方程计算即可． 【详解】（1）①解：点到x，y轴的距离中的最大值为4， 到x，y轴的距离中的最大值为，不是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 故答案为：； ②解：∵A，M两点为“等距点” ∴或且， 解得：，，且 ∴或， ∴点的坐标为或； （2）解：∵点与点两点为“等距点”， ∴或， 解得：， ∴，或，（舍去）或，或，（舍去）， ∴，或，， 当，时，如图， ∴，即的值为； 当，时， 同理，得，即的值为； 综上，的值为． 【经典例题三 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 【例1】（25-26八年级下·上海虹口·月考）在直角坐标系中，已知点，若点A向右平移3个单位，再向下平移k个单位后，恰好与点B重合，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查坐标系中点的平移的坐标变化，根据坐标系中点的平移的坐标变化得到点A平移后的坐标，再根据点A平移与点B重合列方程求解k． 【详解】解：点向右平移3个单位，再向下平移k个单位后，坐标为 ∵平移后与点重合， ∴， ∴． 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·河北承德·期末）如图，线段两个端点分别是，．将线段先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，点A，B的对应点分别为D，C． （1）点C的坐标是_______________； （2）线段上一点，平移后对应点N的坐标是_______________； （3）四边形的面积是_______________． 【答案】 【分析】（1）根据平移的方式确定点的坐标即可； （2）根据先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，则横坐标加2，纵坐标加4，据此解答即可； （3）根据平移的性质，平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）将线段先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，点A，B的对应点分别为D，C， ， ， 即， 故答案为：； （2）根据先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，则横坐标加2，纵坐标加4， 线段上一点，平移后对应点的坐标是， 故答案为：； （3），， ， 向上平移4个单位， 四边形的高是4， 四边形的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质，平面直角坐标系中点的平移，平行于坐标轴的线段的长度，掌握平移的性质是解题的关键． 1．（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图，正方形中顶点，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2024次变换后，正方形的顶点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标系上点的翻折，平移后点的坐标，依据要求正确求出变化后点的坐标是解题关键． 依次按要求变化后写出坐标，得出坐标与变化次数n的关系即可． 【详解】解：∵点，轴，且边长为2， ∴点的坐标为， 第1次变换后， 第2次变换后， 第3次变换后， 第4次变换后， …… 从而找到规律：当为奇数时，；当为偶数时，． ∴当时，． 故选B． 2．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，原点为对角线的中点，轴，点的坐标为，，点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形性质，根据平行四边形的性质及点坐标，可求出点坐标，再由可求出点坐标．掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形，点为对角线的中点，是对角线， ∴点为的中点，即与相交于点， ∴点为的对称中心， ∴点和点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴， 又∵，且轴， 即点向左平移个单位得到点， ∴点的坐标为． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）中国象棋是我国传统文化中的一部分，体现了古人的智慧，象棋的一个规则是所有棋子最后都要落在网格的格点处．小明是象棋爱好者，在学习了平面直角坐标系后，在如图所示的一半棋盘上建立了一个直角坐标系，这样，“炮”的位置是 (1)请你在图中画出小明建立的直角坐标系，并写出棋子“相”的坐标； (2)棋子“马”走的规则是每步走“日”字形，例如：图中“马”走到“A”处我们可以说成：“马”向上平移1个单位，向右平移2个单位．请回答下列问题： ①“马”可以走到“B”处吗？若可以请写出平移的方法？ ②直接写出点“B”与“炮”所在点之间的线段上任意一点的坐标． 【答案】(1)坐标系见解析，棋子“相”的坐标为 (2)①可以，“马”向上平移2个单位，向右平移1个单位 ② 【分析】本题主要考查了建立平面直角坐标系，点的平移，点的坐标，解题的关键是掌握平面直角坐标系． （1）根据“炮”的位置建立平面直角坐标系，然后根据坐标系写出点的坐标即可； （2）①根据点的平移规律进行求解即可；②在线段上找出一点，写出坐标即可． 【详解】（1）解：∵“炮”的位置是， ∴建立直角坐标系如下： ∴棋子“相”的坐标为； （2）解：①“马”可以走到“B”处， “马”向上平移2个单位，向右平移1个单位； ②如图所示， 点“B”与“炮”所在点之间的线段上的任一点，该点的横坐标取值范围为，纵坐标为2， 故点“B”与“炮”所在点之间的线段上任意一点的坐标为． 【经典例题四 由平移方式确定点的坐标】 【例1】（2026·上海崇明·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为，点为正方形外一点．若将正方形平移，使点落在正方形内部（不含边界），则平移后点的对应点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别将点A平移至、、、四点，观察点E是否落在正方形内部，即可获得答案． 【详解】解：A.如下图，点平移至点，点E没有落在正方形内部，故本选项不符合题意； B.如下图，点平移至点，点E没有落在正方形内部，故本选项不符合题意； C.如下图，点平移至点，点E落在正方形内部，故本选项符合题意； D.如下图，点平移至点，点E没有落在正方形内部，故本选项不符合题意． 【例2】（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）如图，将先向右平移5个单位长度，再关于原点中心对称得到，则点的对应点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标的平移变换，关于原点中心对称的坐标变换，掌握向右平移横坐标加，关于原点对称横纵坐标取相反数是解题的关键． 先确定点的初始坐标，按向右平移的坐标规则计算平移后的坐标，再按关于原点对称的坐标变换规则求最终坐标． 【详解】解：根据图像，点的初始坐标为 将点向右平移5个单位长度，其坐标变为 ，即 将平移后的点 关于原点中心对称，其坐标变为 因此，点的对应点的坐标是 故答案为：． 1．（24-25八年级下·四川德阳·月考）如图所示，平面直角坐标系中，轴负半轴有一点点先向上平移1个单位至，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，照此规律平移下去，点平移至点时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形 —平移以及点的坐标变化规律，由题意可得点的坐标为（为正整数），结合规律计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意：平面直角坐标系中，轴负半轴有一点点先向上平移1个单位至，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…， 故点的坐标为（为正整数）， 令，则， ∴点的坐标为， ∴点平移至点时，点的坐标为， 故选：C． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是____． 【答案】 【分析】根据平行四边形的判定得到需将点向右平移的长度得到点． 【详解】解：∵， ∴， ∴要使四边形是平行四边形，需将点向右平移的长度得到点， ∴点的坐标是． 3．（24-25八年级下·上海金山·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点均在格点上． (1)写出A、B、C三点的坐标； (2)将三角形向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到三角形，并写出、的坐标． 【答案】(1)，， (2)图见解析，， 【分析】（1）根据平面直角坐标系作答即可； （2）找出平移后的点的位置，进而连线并写出、的坐标即可． 【详解】（1）解：根据平面直角坐标系可知，，； （2）解：如图，三角形即为所求，，． 【经典例题五 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 【例1】（24-25八年级下·北京怀柔·期末）如图，，，，将线段平移，使点平移到点，点为点的对应点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，确定出平移规律是解题的关键．根据点、的坐标确定出平移规律，然后求解即可． 【详解】解：∵点的对应点是， ∴平移规律是横坐标减2，纵坐标加2， ∴点的对应点的坐标为． 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·上海闵行·周测）如图，点A，B的坐标分别为，．若将线段AB平移至，则的值为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置， 又∵点，的坐标分别为， ∴将线段平移至时的平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴，， ∴， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·上海松江·月考）如图，点A、B的坐标分别是为，，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为（   ）． A．32 B．40 C．52 D．66 【答案】D 【分析】本题主要考查坐标系中点、线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．直接利用平移中点的变化规律求出m，n的值，再根据线段在平移过程中扫过的图形面积四边形的面积的面积求解即可． 【详解】解：∵点A、B的坐标分别是为，，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和， ∴可知将线段向右平移7个单位，向上平移6个单位得到的位置， ∴，， ∴与坐标分别是和， ∴与轴平行， ∴， ∴线段在平移过程中扫过的图形面积四边形的面积的面积， 故选：D． 2．（24-25八年级下·上海闵行·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点是，平移线段AB得到线段，若点A的对应点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化，正确得出平移规律是解题关键．利用已知对应点平移距离进而得出答案． 【详解】解：∵线段的两个端点是，平移线段AB得到线段，点A的对应点的坐标为， ∴点A向右平移5个单位，向下平移1个单位， ∴点B的对应点的坐标为：． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，经过平移得到． (1)分别写出点的坐标： ， ； (2)请说明是由经过怎样的平移得到的； (3)若点是内部的一点，平移后的对应点的坐标为，求和的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)， 【分析】本题平面直角坐标系中点的坐标读取、图形平移的坐标变化规律，同时涉及利用平移规律列方程求解未知数的代数运算能力，重点检验对平移变换的坐标逻辑理解与应用． （1）直接观察坐标系中、两点的位置，结合网格刻度确定横坐标与纵坐标，从而写出坐标； （2）选取一组对应点(如与)对比其坐标变化：点的横坐标从1变为说明向左平移了5个单位；纵坐标从0变为4，说明向上平移了4个单位．根据“图形的平移与对应点的平移一致”，即可确定整个三角形的平移方式； （3）根据第（2）小题得出的平移方式，写出点平移后的坐标表达式：横坐标为，纵坐标为．再结合已知平移后点的坐标，分别对横、纵坐标列方程：和，最后解方程求出、的值． 【详解】（1）解：由平面直角坐标系可知，点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：，． （2）解：∵点的坐标为且平移后的对应点的坐标为，，， ∴由向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得到； （3）解：因为点是内部的一点，平移后的对应点的坐标为， 所以， 解得，， 故的值为，的值为． 【经典例题六 已知图形的平移，求点的坐标】 【例1】（24-25八年级下·辽宁营口·期中）如图，第一象限内有两点，，将线段平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了点的平移规律，坐标轴上点的特征；设点P、Q平移后对应的为、， ①当在轴上，在轴上时，结合点的平移规律和坐标轴上点的特征，即可求解；②当在轴上，在轴上时，同理可求．能利用点的平移规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”求解是解题的关键． 【详解】解：设点P、Q平移后对应的为、， ①当在轴上，在轴上时， ，， 解得：， ； ②当在轴上，在轴上时， ，， ， 解得：， ； 综上所述：P平移后的对应点的坐标是或， 故选：C． 【例2】（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B的坐标是，长为2的线段在y轴上移动，则的最小值是______．    【答案】 【分析】此题主要考查平移的性质，勾股定理；将把向下平移2个单位长度得到线段，连接，则，进而得出的最小值为长，即可求解答案． 【详解】解：如图，把向下平移2个单位长度得到线段，连接，则，    ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·贵州毕节·月考）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，正方形的四个顶点都在格点上．将正方形沿x轴正方向平移3个单位长度，则点C的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的坐标变换，熟练掌握平移的坐标变换规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 先写出点C的坐标，再根据“左减右加”得出点的坐标即可． 【详解】解：由图可知：点C的坐标为， ∵将正方形沿x轴正方向平移3个单位长度， ∴点C的对应点的坐标是，即． 故先：B． 2．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向左平移m个单位，再沿x轴翻折，这样的图形运动叫做图形的变换．如图，等边的顶点，．若经变换后得，经变换后得，经变换后得……，经变换后得……，点的坐标是______． 【答案】 【分析】此题考查了点的平移，关于x轴对称的特点，点的坐标规律问题，解题的关键是找到坐标的变化规律． 写出前几次变换后的坐标得到坐标的变化规律，然后将代入求解即可． 【详解】解：根据题意得，经变换后得，的坐标为； 经变换后得，的坐标为，即； 经变换后得，的坐标为，即； 经变换后得，的坐标为，即； 经变换后得，的坐标，即； ∴经变换后得，的坐标为 ∴点的坐标是，即． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·上海闵行·期末）如图，的顶点都在方格线的交点上（每个方格的边长为1个单位长度）． (1)若将绕原点旋转，直接写出的对应点的坐标； (2)将绕点按逆时针方向旋转得到，请在图中画出； (3)将向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度得到，请在图中画出． 【答案】(1)A的对应点的坐标是 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平移作图，对称作图，旋转作图，熟练掌握图形变换的基本特征是解题的关键． （1）根据关于原点对称，横坐标，纵坐标都变成相反数解答即可； （2）根据旋转的性质画图解答即可； （3）平移到，根据平移变换，确定坐标后，画图即可． 【详解】（1）解：根据题意，的三个顶点坐标分别是，，， 故将绕原点旋转，点的对应点的坐标； （2）解：根据旋转的性质，画图如下： 则即为所求； （3）解：的三个顶点坐标分别是，，． 向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度得到，则，，，画图如下： 则即为所求． 【经典例题七 已知平移后的坐标求原坐标】 【例1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位得到点，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用平移变换的性质判断出点的坐标，根据四个象限的符号特点即可得结论． 【详解】解：将点向上平移个单位得到点， ， 点在第四象限， 故选：． 【点睛】考查坐标与图形变化一平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，以及记住各象限内点的坐标的符号． 【例2】（2025·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为______． 【答案】 【分析】设顶点A的坐标为：，根据平移规律可知：，再利用即可求出x，y的值． 【详解】解：设顶点A的坐标为：． 由题意可知： ∵是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的， ∴， ∵， ∴，，解得：，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查平移，解题的关键是掌握平移规律“左减右加，上加下减”． 1．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系中，点先向下平移4个单位得到点Q，再将点Q向右平移3个单位得到点R．若点R的坐标为，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查已知平移后的坐标求原坐标． 根据点平移的规律，用，表示点的坐标，可得关于，的方程，从而可得，的值，即可得点的坐标． 【详解】解：由平移过程可得， ∵点R的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为． 故选：B． 2．（2025八年级下·上海三角·专题练习）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，根据对应点的坐标确定平移规则，再根据平移规则，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵平移后，点的对应点为， ∴点先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到点， ∴点先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到点， ∵点的坐标为， ∴，即； 故答案为：． 3．（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形． (1)画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)求三角形的面积； (3)若点是三角形内部的一点，经过平移后对应点的坐标为，求和的值． 【答案】(1)作图见解析；，， (2) (3)；5 【分析】本题主要考查了平移作图，根据平移确定点的坐标，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握平移的性质． （1）作出点A、B、C平移后的对应点，，，然后顺次连接即可，根据图形求出，，的坐标即可； （2）利用割补法求出三角形的面积即可． （3）根据平移列出关于m、n的方程组，然后解方程组即可； 【详解】（1）解：为所求作的三角形．   ，，． （2）解：． （3）解：∵点是内部的一点，经过平移后对应点的坐标是为， ∴， 解得：． 【经典例题八 坐标系中的对称】 【例1】（25-26八年级上·山西晋中·期末）在平面直角坐标系中，点的位置如图所示，则点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于轴对称的点坐标，解决本题的关键是掌握对称点的坐标规律； 根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可解决． 【详解】解：由图可知，点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标为， 故选：A． 【例2】 （25-26八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，若点关于y轴对称的点是，则的值为__________ ． 【答案】1 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，有理数的加法，根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵点关于y轴对称的点是， ∴， 解得， ∴． 故答案为：1． 1．（25-26八年级下·山东淄博·期末）春节是中华民族的传统节日，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，在平面直角坐标系中，，两处灯笼的位置关于直线对称，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称，先求出点、的中点坐标为，再结合点、的纵坐标相同，两点的连线平行于轴，得出其垂直平分线是垂直于轴的直线，从而得出直线为直线，即可得出结果，正确求出点、的中点坐标为是解此题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，，两处灯笼的位置关于直线对称， ∴点、的中点坐标为，即 ， ∵点、的纵坐标相同，两点的连线平行于轴， ∴其垂直平分线是垂直于轴的直线， ∵点、的中点坐标为， ∴直线为直线， ∴直线一定经过点， 故选：B． 2．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，平面直角坐标系中，的顶点、在轴上，已知点，则点的坐标是_________． 【答案】 【分析】本题重点考查​平面直角坐标系中平行四边形的性质​，​理解平行四边形对角线互相平分且利用对称求解点是解题的关键． 根据平行四边形性质，得点是的中点，根据关于原点对称求出坐标即可． 【详解】 平行四边形的对角线和互相平分， 已知点和点在轴上，且，因此点是的中点，也是的中点， 所以关于原点对称， 因为，所以， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，已知点A和点B的坐标分别为和． (1)在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)点C的坐标为______，点C关于x轴的对称点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立、点的坐标确定以及关于x轴对称点的坐标规律，解题的关键是根据已知点的坐标确定坐标系的原点、x轴和y轴的位置，并掌握关于x轴对称点的坐标变化规律． （1） 根据点和点的坐标，确定坐标原点及坐标轴的位置，建立平面直角坐标系； （2） 在建立好的坐标系中，读出点C的坐标；根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”的规律，求出点C关于x轴的对称点的坐标． 【详解】（1）解：以点A向左2个单位、向上4个单位的交点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系． （2）解：在建立的坐标系中，可得点C的坐标为． ∵ 点关于x轴的对称点为， ∴ 点关于x轴的对称点的坐标为． 故答案为：． 【经典例题九 坐标与图形变化——轴对称】 【例1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2026次变换后所得的点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2026除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可． 【详解】解：点A第一次关于y轴对称后在第一象限，所得A点的坐标是； 点A第二次关于x轴对称后在第四象限，所得A点的坐标是； 点A第三次关于y轴对称后在第三象限，所得A点的坐标是； 点A第四次关于x轴对称后在第二象限，即点A回到原始位置，所得A点的坐标是； 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ∵， ∴经过第2026次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第四象限，坐标为． 【例2】（25-26八年级下·上海长宁·期中）定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”．若点，幸福直线是，则点关于这条幸福直线的对称点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查了关于直线对称的点坐标的特征，熟练掌握关于直线对称的点坐标的特征是解题的关键． 点A关于幸福直线的对称点B的坐标，由于对称轴是垂直于x轴的直线，因此点B的纵坐标与点A相同，横坐标满足点A和点B的横坐标的平均值等于，解答即可． 【详解】解：设点B的坐标为，由对称性可知：， ，解得， 故点B的坐标为， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点．连接，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称的性质，关于x轴对称的点的坐标特点，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，得到，当点，P，B三点共线时，有最小值，即的长度，然后得到由对称得，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， ∴ ∴ ∴当点，P，B三点共线时，有最小值，即的长度 ∵， ∴由对称得，， ∵ ∴ ∴的最小值为． 故选：D． 2．（2026八年级下·上海闵行·专题练习）在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2028次变换后所得的点A的坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——对称及点的坐标变化规律，得出点A的坐标重复变换的规律是解题的关键． 根据所给变换方式，得出每经过4次变换，点A的坐标重复一次，据此可解决问题． 【详解】解：根据所给变换方式可知， 每经过次变换，点A的坐标重复一次， ∵， ∴第2028次变换后点A的坐标与第4次变换后点A的坐标相同， 又∵第4次变换后点A的坐标为， ∴第2028次变换后点A的坐标为． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，的三个顶点的坐标分别为，， (1)画出关于y轴对称的图形，其中点A，B，C的对称点分别为点，，，直接写出点，，的坐标； (2)在x轴上找一点D，使的周长最小，在图中画出点（保留必要的画图痕迹） 【答案】(1)见解析；，， (2)见解析 【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出点，，的坐标，然后描点连线即可； （2）作C点关于x轴的对称点，连接交x轴于D点，根据两点之间线段最短可判断D点满足条件． 【详解】（1）解：如图，为所作，，，． （2）解：如图，点D为所作． 【经典例题十 求关于原点对称的点的坐标】 【例1】（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）以下每对函数的图象一定关于原点对称的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】判断两个函数图象是否关于原点对称，需验证第二个函数是否为第一个函数关于原点的对称变换，即x、y均变为相反数. 【详解】A：与 计算第一个函数的对称函数：，与第二个函数，不满足条件. B：与 计算第一个函数的对称函数：，与第二个函数不符. C：与 计算第一个函数的对称函数，与第二个函数完全一致，满足原点对称. D：与 计算第一个函数的对称函数，关于轴对称而非原点对称. 故选：C. 【例2】（24-25八年级下·上海嘉定·期中）如图所示，平行四边形的对称中心在原点，，，则其他点的坐标分别为________ 【答案】， 【分析】本题考查平行四边形的性质，关于原点对称点的坐标特征，熟练掌握平行四边形是中心对称图形和关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解题的关键． 由平行四边形是中心对称图形可得点A与点C关于原点对称；点B和点D关于原点对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：∵平行四边形是中心对称图形，平行四边形的中心在原点， ∴点A与点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称， ∵，， ∴A，B两点的坐标分别为，． 故答案为：，． 1．（25-26九年级上·河北邢台·月考）如图，的对角线交于原点，若点的坐标为，点的坐标为，则的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称、平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标，熟记相关性质是解题关键．根据平行四边形是中心对称图形，可得点D与点B关于原点成中心对称，根据中心对称的性质（横坐标与纵坐标互为相反数）确定m、n的值，最后求和即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形且对角线交于原点O， ∴点D与点B关于原点成中心对称， ∴， ∴． 故选：D． 2．（2025八年级上·甘肃兰州·专题练习）如图所示是一个坐标方格盘，你可操纵一只遥控机器蛙在方格盘上进行跳步游戏，机器蛙每次跳步只能按如下两种方式（第一种：向上、下、左、右可任意跳动格或格；第二种跳到关于原点的对称点上）中的一种进行．若机器蛙在点，现欲操纵它跳到点，请问机器蛙至少要跳______次． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称，根据题意得到可以先向右跳三步，再向下跳一步，然后跳到关于原点的对称点即可到达，据此即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：若机器蛙在点，根据跳步游戏规则，可以先向右跳三步，再向下跳一步，然后跳到关于原点的对称点即可跳到点，这个路径步数最少，共步， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的图形； (2)画出向右平移6个单位长度得到的图形； (3)内一点经过上述两次变换，对应的点的坐标是_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查坐标与图形变换—中心对称和平移，熟练掌握中心对称的性质，平移的性质是解题的关键： （1）根据中心对称的性质，画出即可； （2）根据平移的规则画出即可； （3）根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，以及点的平移规则左减右加，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图即为所求； （3）解：由题意，点经过上述两次变换，对应的点的坐标是． 【经典例题十一 已知两点关于原点对称求参数】 【例1】（25-26八年级下·上海闵行·周测）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了关于原点对称的点的坐标特征和二元一次方程组的应用． 根据关于原点对称的点的坐标特征，点和点B的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列出方程组求解． 【详解】解：∵点 与点 关于原点对称， ∴将， 解得， 故选：D 【例2】（25-26九年级上·青海西宁·期中）若点和点关于原点对称，则的值为_______． 【答案】1 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， 解得， ∴； 故答案为：1． 1．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，求得的值，即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴, ∴, ∴在第三象限， 故选：C． 【点睛】本题考查了关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，判断点所在的象限，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键． 2．（25-26八年级下·上海闵行·周测）已知点关于原点对称的点为，将点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点，点在第四象限，那么的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，坐标与图形变化平移，一元一次不等式组的应用知识点，掌握关于原点对称的点的坐标特征和平移的坐标变化规律是解题的关键． 根据原点对称和平移的坐标变化规律，求出点的坐标，再根据第四象限点的坐标特征列出不等式组求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为 将点向右平移个单位，向下平移2个单位，得到点的坐标为，即， 由于点在第四象限，故有 解不等式 得； 解不等式 得 所以的取值范围是 故答案为：． 3．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）已知点与点关于原点对称，将点向右移动个单位长度得到点，点关于轴的对称点为点． (1)求，的值； (2)在图中标出，，，的位置，顺次连接，，，，求所得图形的面积． 【答案】(1)， (2)图见解析， 【分析】（1）利用关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数的性质，列方程求解、； （2）先根据坐标平移与轴对称规则确定各点坐标，再将四边形分割为两个三角形，用面积公式计算总面积． 【详解】（1）解：∵点与点关于原点对称， ，， ，． （2）解：，， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∵将点向右移动个单位长度得到点， ∴点的坐标是， ∵点关于轴的对称点为点， ∴点的坐标是， ∴四边形的形状如下图所示， ，，， ∴四边形的面积． 【经典例题十二 判断两个点是否关于原点对称】 【例1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称与坐标变化，做本题时需注意①关于x轴对称的图形，横坐标不变纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的图形，纵坐标不变横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数，根据把各点的横、纵坐标都乘得到关于原点对称，即可解题． 【详解】解：把各点的横、纵坐标都乘后，即各点关于原点对称， 得到的图形是关于原点对称的图形， 故选：C． 【例2】（2025·广西柳州·一模）已知点与点，则这两个点关于______对称． 【答案】轴或原点 【分析】根据点与点的坐标，这两个点在轴上，并且到原点的距离相等，从而根据点的对称性得到答案． 【详解】解：点与点， 这两个点关于轴或原点对称， 故答案为：轴或原点． 【点睛】本题考查点的坐标特征，熟记点关于点对称、点关于线对称是解决问题的关键． 1．（24-25八年级下·上海闵行·课后作业）已知两点，若，则点与（    ） A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．以上均不对 【答案】C 【分析】首先利用等式求出 然后可以根据横纵坐标的关系得出结果． 【详解】， 两点， 点与关于原点对称， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中关于原点对称的点，属于基础题，利用等式找到点与横纵坐标的关系是解题关键． 2．（24-25八年级下·上海闵行·课后作业）把点向下平移4个单位长度，可以得到对应点______，再向左平移6个单位长度可以得到对应点_______，则点与点A关于________对称，点与点A关于_________对称，点与点关于_______对称． 【答案】 x轴 原点 y轴 【分析】根据点的坐标平移特点：左减右加，上加下减，以及关于x轴，关于y轴对称和关于原点点的坐标特征进行求解即可． 【详解】解：把点向下平移4个单位长度，可以得到对应点(3，2-4)即(3，-2)； 再向左平移6个单位长度可以得到对应点(3-6，-2)即(-3，-2)；则点与点A关于x轴对称；点与点A关于原点对称；点与点关于y轴对称， 故答案为：(3，-2)；(-3，-2)；x轴；原点；y轴． 【点睛】本题主要考查了点的坐标平移，关于x轴，关于y轴对称和关于原点点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的并写出点的坐标； (3)将每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，顺次连接这些点，会得到一个新图案，这个新图案与有怎样的位置关系？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)关于原点对称 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据点的坐标建立平面直角坐标系即可． （2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （3）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图所示，即为所求； 这个新图案与关于原点对称． 【拓展训练一 坐标系中最值问题】 【例1】（24-25八年级下·湖南湘西·月考）如图，在平面直角坐标系中有点，点第一次跳动至点，第二次向右跳动个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动个单位至点，…，依此规律跳动下去，点与点的横坐标距离是（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的坐标规律问题、两点之间距离计算等知识点，观察并归纳出规律是解题的关键．按照题目中的规律，分成偶数点与奇数点的规律，偶数点对于起始点，横、纵坐标均增加点数的一半，所以；奇数点对于点，横坐标减去点数加1的和的一半，纵坐标则增加点数加1的和的一半，所以，得到和两个点的坐标，计算进而得到两点之间的距离． 【详解】解：根据观察图中的点的坐标，我们发现规律： 第一次跳动到时的坐标为；第二次跳动到时的坐标为； 第三次跳动到时的坐标为；第四次跳动到时的坐标为； 第五次跳动到时的坐标为；第六次跳动到时的坐标为； …… 第次跳动到时的坐标为；第次跳动到时的坐标为； 第次跳动到时的坐标为； 所以的坐标为，以的坐标为， ∴， 故选： ． 【例2】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，在直角坐标平面中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的运动规律，动点第2020次运动到点______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的运动规律， 先确定点的横，纵坐标的变化规律，每4次一个循环，再求出第2020次是循环中最后一次，即可得出答案. 【详解】解：由图可知，动点P的纵坐标依次按照，每四个一循环，横坐标运动次数减1， ∵， ∴动点P第2020次运动后的纵坐标为0，横坐标为， ∴动点[P的运动到点. 故答案为：. 1．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，依作点关于直线的对称点，关于y轴的对称点，关于x轴的对称点，关于直线的对称点，关于y轴的对称点，关于x轴的对称点……按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化对称、点的坐标变化规律及关于坐标轴对称的点的坐标，根据题意，依次求出点，，，，的坐标，发现规律即可解决问题．能根据题意得出从点开始，变换后的点的坐标按，，，，，循环是解题的关键． 【详解】解：如图， 因为点的坐标为， 所以点关于直线对称的点的坐标为， 依次类推，点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 由此可见，从点开始，变换后的点的坐标按，，，，，循环，即6个一循环， 因为， 所以点的坐标为． 故选：B． 2．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、坐标分别为和．若正方形第1次沿轴翻折，第2次把第1次翻折后的图形沿轴翻折，第3次把第2次翻折后的图形沿轴翻折，第4次把第3次翻折后的图形沿轴翻折，第5次把第4次翻折后的图形沿轴翻折，…，按此规律，则第2026次翻折后的图形点对应的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点关于坐标轴对称点的坐标规律，先确定初始点的坐标，再分析每次翻折后的坐标变化，找出翻折规律，最后计算第次翻折后的坐标即可． 【详解】解：∵正方形中，，， ∴， 又∵正方形边长相等， ∴， ∴点初始坐标为． 接下来分析翻折规律： 第次沿轴翻折，点坐标变为； 第次沿轴翻折，点坐标变为； 第次沿轴翻折，点坐标变为； 第次沿轴翻折，点坐标变为，即回到初始坐标． …… ∵…， ∴第次翻折点对应的点与进行第次翻折后的点相同，对应坐标为． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）【观察思考】在平面直角坐标系中，若直线上的所有点的横坐标均为，则直线称为直线．如图，直线上的横坐标均为3，记为直线．探索关于直线对称的点的坐标规律如下： 已知点 对称轴 对称点 横坐标之间的数量关系 直线 直线 直线 (1)【特例感知】根据以上图表，可知关于直线对称的点的坐标为______． (2)【规律应用】结合以上规律完成下列问题： ①点关于直线对称的点的坐标为______． ②若点关于直线对称的点的坐标为，则的值为______． (3)【深入拓展】若点与点关于直线对称，求点的坐标．（用含有，，的代数式表示） 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题考查与点坐标有关的轴对称问题，根据表格总结规律是解题的关键； （1）根据表格规律解题即可； （2）根据表格规律解题即可； （3）根据表格规律解题即可． 【详解】（1）解：根据表格可以发现：关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为， ∴关于直线对称的点的坐标为，即， 故答案为：； （2）解：结合表格规律发现：关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为， ①点关于直线对称的点的坐标为，即， 故答案为：． ②∵点关于直线对称的点的坐标为， ∴， 解得 故答案为：． （3）解：∵关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为， ∴点关于直线对称的点的坐标． 【拓展训练二 坐标系中动点问题】 【例1】（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，在中，，点，，，P为上一动点，连接，，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查等边对等角，三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理． 在轴正半轴上截取，连接，证明，可得，由两点之间线段最短可得，当点、、共线时，取得最小值，最小值为，作轴于点，根据勾股定理可得，即可得的最小值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 在轴正半轴上截取，连接，， 在和中， ， ∴， ∴， 当点、、共线时，取得最小值，最小值为， 作轴于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，．点C为点B关于y轴对称的点，连接．若P是y轴上一动点，Q是上一动点，则的最小值是__________ ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称路径最短，熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的性质，面积法求三角形的高，是解题的关键． 过B作于Q，交于P，则此时的值最小，且的最小值，根据轴对称的性质得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过B作于Q，交于P， 则此时的值最小，且的最小值， ∵，点C为点B关于y轴对称的点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，向右平移3个单位长度到达点，再向上平移6个单位长度到达点，再向左平移9个单位长度到达点，再向下平移12个单位长度到达点，再向右平移15个单位长度到达点……按此规律进行下去，该动点到达的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出A1（3，0），A5（9，-6），A9（15，-12），A13（21，-18），•••，探究规律可得A2021（3033，-3030），从而求解． 【详解】解：由题意A1（3，0），A5（9，-6），A9（15，-12），A13（21，-18），•••， 可以看出，9=，15=，21=， 得到规律：点A2n+1的横坐标为，其中的偶数， 点A2n+1的纵坐标等于横坐标的相反数+3， ，即， 故A2021的横坐标为，A2021的纵坐标为， ∴A2021（3033，-3030）， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 2．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别为，，．一个动点从原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称，……这个动点照此规律跳下去，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称的性质与规律的综合，熟练掌握中心对称性质以及找出点的循环数是解题的关键． 根据中心对称的性质可得、、、、、的坐标，即可找出6个点一循环，从而求出的坐标． 【详解】解：的坐标分别为，，，点与点关于点A成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， ……， 以此类推可知，每6个点为一个循环， ， 点的坐标是：， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，，点A的坐标为．动点的运动速度为每秒个单位长度，动点的运动速度为每秒个单位长度，且．设运动时间为，动点、相遇则停止运动． (1)求，的值； (2)动点，同时从点出发，点沿长方形的边界逆时针方向运动，点沿长方形的边界顺时针方向运动，当为何值时、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标； (3)动点从点出发，同时动点从点出发：若点、均沿长方形的边界逆时针方向运动，为何值时，、两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，求出此时、所在位置的坐标． 【答案】(1)， (2)时，、两点相遇，此时，两点的坐标为 (3)时，P坐标为，Q坐标为 【分析】（1）根据非负数的性质即可解决问题； （2）根据路程之和等于矩形的周长构建方程即可解决问题； （3）根据题意得到两点的位置关于原点O对称，进而求解即可． 本题考查了一元一次方程的应用，绝对值的非负数的性质，相遇问题等知识，解题的关键是理解题意，利用参数构建方程解决问题． 【详解】（1）解：∵． 又∵． ∴，． （2）由题意可得：点P运动路程为t，点Q运动路程为，长方形的周长为， 根据题意得， ， 即时，、两点相遇． 此时点P所走路程：， ∵， ∴在边相遇， ∵，，点A的坐标为 ∴点D的坐标为 ∴相遇时横坐标为：，纵坐标为：， 此时，两点的坐标为． （3）由题意：、两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数 ∴两点的位置关于原点O对称， 当时，此时点P所走的路程4，坐标为 此时Q坐标为，满足条件， 所以此时P坐标为，Q坐标为． 【拓展训练三 翻折问题中的坐标计算】 【例1】（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查勾股定理和折叠问题，坐标与图形，首先得到， ，然后由折叠结合平行线的性质得到，推出，设，则，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵长方形的顶点、、， ∴， 由折叠得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为． 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·月考）在平面直角坐标系中，将点沿轴折叠，得到对应点，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，关于轴对称的点的坐标特征． 根据折叠的性质和关于轴对称的点的坐标特征，可知点和点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可得点的坐标． 【详解】解：∵将点沿轴折叠，得到对应点， ∴点的坐标为． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），B（3，﹣1），将线段AB沿y轴折叠，使点B落在点B1（﹣3，﹣1）处，则点A的对应点A1坐标为（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣2，1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣1） 【答案】B 【分析】由折叠的性质可求解． 【详解】解：∵将线段AB沿y轴折叠， ∴点A与点A1的横坐标互为相反数，纵坐标相等， ∴A1坐标为（﹣2，1）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系点的求解，运用折叠性质计算是解题的关键． 2．（2025·河南南阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的点的坐标为是线段上一点，且，沿折叠后点落在点处，那么点的坐标为___________． 【答案】/ 【分析】此题考查了勾股定理、坐标与图形、折叠的性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．作于点D，于点G，根据折叠的性质得到，，则，则，即可得到点F的坐标． 【详解】解：如图，作于点D，于点G， 正方形的点的坐标为， ， 正方形中，，沿折叠后点落在点处， ，， ， ， ，， 点的坐标为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·福建南平·期中）平面直角坐标系是一个非常重要的数学工具，它使数对和平面直角坐标系的点建立起对应关系，揭示了数对与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 小明在草稿纸上画了一个平面直角坐标系进行操作探究： （1）操作一：沿着y轴折叠，（1，0）表示的点与（-1，0）表示的点重合，则（﹣2，0）表示的点与（ ， ）表示的点重合； （2）操作二：沿着平行于y轴的某直线折叠，若使（1，0）表示的点与（﹣3，0）表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与（ ， ）表示的点重合； ②若A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），到x轴的距离都为3，且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点的坐标．（直接写出） 【答案】（1）2，0；（2）①-2-，1；②A（-5，3）、B（3，3）或A（-5，-3）、B（3，-3） 【分析】（1）根据对称性，可以得出（2，0）与（-2，0）重合； （2）根据对称性找到对称轴为x=-1， ①设（，1）表示的点与点（，1）重合，根据对称性列式求出a的值； ②因为AB=8，所以A、B两点到直线x=-1的距离为4，由此得出A、B两点表示的数； 【详解】解：（1）∵（1，0）表示的点与（-1，0）表示的点重合， 则（﹣2，0）表示的点与点（2，0）重合， 故答案为：2，0； （2）∵沿着平行于y轴的某直线折叠，若使（1，0）表示的点与（﹣3，0）表示的点重合， 则对称轴为x=-1， ①设（，1）表示的点与点（，1）重合， 则-（-1）=-1-a， a=-2-，即（，1）表示的点与点（-2-，1）重合， 故答案为：-2-，1； ②∵A、B两点之间距离为8， ∴A、B两点到对称轴x=-1的距离为4， ∵A在B的左侧，到x轴的距离都为3， 则A、B两点表示的数分别是A（-5，3）、B（3，3）或A（-5，-3）、B（3，-3）； 【点睛】本题考查了平面直角坐标系，坐标与图形变化－轴对称，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【拓展训练四 旋转问题中的坐标计算】 【例1】（2025·江苏南京·二模）格点在平面直角坐标系中的位置如图所示．和关于x轴对称，将向左平移8个单位，再向下平移2个单位得，再将绕着点按逆时针方向旋转后得． 下列说法：①绕某点旋转一定的角度可得到；②绕某点旋转一定的角度可得到；③与关于某条直线对称．其中所有正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称图形，旋转图形，根据轴对称图形，旋转图形的意义进行判断即可． 【详解】解：如图： ①绕点逆时针旋转90度可得到，故①正确； ②绕某点旋转一定的角度不能得到，故原说法错误； ③与关于直线对称，故③正确． 所以，正确的说法是①③， 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·上海闵行·期末）在平面直角坐标系中，将点绕原点旋转后，得到的对应点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标，准确计算是解题的关键． 利用关于原点中心对称的点的坐标特征，旋转180°后，点的横纵坐标均变为相反数，即可得解． 【详解】点绕原点旋转后，所得点与原点关于原点中心对称，因此坐标互为相反数，点的坐标为，故旋转后点的坐标为； 故答案为． 1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的变换，熟练掌握点的对称与旋转是解决本题的关键． 先根据图中的位置求出点A的坐标，再根据关于y轴的对称可求解点，再根据绕原点O旋转即可求解点的坐标． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点， ∴点A关于y轴对称的点， 将点绕原点O旋转， ∴如图，点． 故选：A． 2．（24-25九年级上·河南商丘·月考）如图，在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上取一点，在第一象限取一点，使，将，绕点旋转，若点落在轴上，则旋转后点的对应点的横坐标为______． 【答案】1或 【分析】本题考查了旋转的性质，关于原点对称的点坐标的特征，含的直角三角形．熟练掌握 旋转的性质，关于原点对称的点坐标的特征，含的直角三角形是解题的关键． 由题意知，有两种情况，如图，其中关于原点对称，作于，则，，，进而可求、的横坐标，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，有两种情况，如图，其中关于原点对称，作于， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴的横坐标为1，的横坐标为， 故答案为：1或． 3．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画图：将绕点旋转，画出旋转后对应点；平移，使点的对应点的坐标为，画出平移后对应的． (2)可由通过旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标及旋转角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)旋转中心的坐标为：，旋转角的度数为： 【分析】（1）将绕点旋转，点、、对应的点分别为：、、，将这三个点顺次连接即可得到；由点、可知将、向右平移2个单位，再向上平移6个单位就可得到、，顺次连接即可得到 （2）连接、，和相交于点，即可得到旋转中心的坐标为，旋转角的度数为： 【详解】（1）将绕点旋转，点、、对应的点分别为：、、，将这三个点顺次连接即可得到； ∵平移，使点的对应点的坐标为， ∴，即将点向右平移2个单位，再向上平移6个单位所得到的， ∵、， ∴、， 再将点、、顺次连接即可得到； 图形如下： （2）如下图所示：连接、，和相交于点， ∴旋转中心的坐标为：，旋转角的度数为： 【点睛】本题考查了已知点平移前后的坐标，判断平移方式、画已知图形关于某点对称的图形及根据旋转的性质求解，熟练掌握平移和旋转的性质是解决问题的关键 A基础训练 1．（24-25八年级下·山东临沂·期末）平面直角坐标系中，将点沿着轴向上平移个单位后得到点，则下列结论：①点的坐标为；②线段的长为个单位长度；③线段所在的直线与轴垂直；④点可能在线段上；⑤点一定在线段上．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查点的坐标，根据平移的性质确定点Q的坐标，进而判断各结论的正确性． 【详解】解：将点沿着轴向上平移个单位后得到点，则点的坐标为，故①正确； ∵，点的坐标为； ∴，故②正确； ∵P和Q的横坐标相同，纵坐标不同， ∴线段轴，故③正确； 点的横坐标与相同，纵坐标需满足， ∵， ∴，且， 因此，点M一定在线段上，故结论④正确； 点的横坐标与相同，纵坐标需满足， 当时，，此时点N不在线段上， 因此，点N不一定在线段上，故结论⑤错误， 综上：正确的结论为①②③④，共4个， 故选：C． 2．（2025·海南海口·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，，．将线段平移至线段，若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角坐标系中的平移，由题意，线段由线段向右平移个单位，再向下平移个单位得到，即可得出点的坐标． 【详解】解：点A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，，， ∴、． ∵线段平移至线段．点的坐标为， ∴点A向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∵点B向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后为． 故选：B． 3．（25-26八年级上·上海虹口·期末）如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，则平移的方法可以是（    ） A．将点向右平移7个单位 B．将点向右平移5个单位 C．将点向右平移1个单位 D．将点向右平移2个单位 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标的平移，坐标与图形—轴对称，根据点的坐标的平移法则，并结合轴对称的性质逐项分析即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，， ∴这四个点在同一条水平直线上，且点和点关于轴对称， A、将点向右平移7个单位，得到，即，此时点与点关于轴对称，从而可使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，符合题意； B、将点向右平移5个单位，得到，即，此时点与点不关于轴对称，故不符合题意； C、将点向右平移1个单位，得到，即，此时点与点关于轴对称，但点和点不关于轴对称，故不符合题意； D、将点向右平移2个单位，得到，即，此时点与点关于轴对称，但点和点不关于轴对称，故不符合题意； 故选：A． 4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，，依此类推，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系内点的对称规律问题，先求出至点的坐标，找出其循环的规律为每个点循环一次即可求解，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，作出如下图形： ∴点坐标为， 点关于点对称的点的坐标为， 点关于点对称的点的坐标为， 点关于点对称的点的坐标为， 点关于点对称的点的坐标为， 点关于点对称的点的坐标为， 点关于点对称的点的坐标为，此时刚好回到最开始的点处， ∴其每个点循环一次， ∴，即循环了次后余下， ∴的坐标与点的坐标相同，其坐标为 ， 故选：． 5．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线交于原点O ， 平行x轴，点M的坐标是， 点F的坐标是， 则点N的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，中心对称的性质，根据平行四边形的性质得到点与点关于原点对称，点与点关于原点对称是解题的关键． 根据平行四边形是中心对称的特点可知，点与点关于原点对称，点与点关于原点对称，即可求解． 【详解】解：∵的两条对角线，交于原点， ∴点与点关于原点对称，点与点关于原点对称， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴点的纵坐标是，点的横坐标是， ∵平行轴，即， ∴点的坐标是， 故选：A． B 提高训练 6．（24-25八年级上·甘肃白银·月考）已知与点关于x轴对称，则______． 【答案】0 【分析】根据关于x轴对称，横不变，纵坐标互为相反数，列式解答即可． 本题考查了x轴对称的特点，求代数式的值，熟练掌握对称是解题的关键． 【详解】解：与点关于x轴对称， 故， 解得， 故， 故答案为：0． 7．（24-25八年级上·上海闵行·单元测试）点向下平移个单位到达点，点与恰好关于轴对称，则点坐标是____． 【答案】 【分析】本题考查了平移与轴对称的坐标变换，掌握平移与轴对称的坐标变换特征是解题关键． 根据点的平移规律：“左减右加，上加下减”，可得平移后的点，根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵点向下平移个单位到达点， ∴，即， ∵点与恰好关于轴对称， ∴ 解得：， ∴． 故答案为：． 8．（2025九年级·上海闵行·模拟预测）已知与点关于原点对称的点在第三象限内，则的取值范围是______________． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点（关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数），掌握各象限内点的坐标特征即可解题． 【详解】解：与点关于原点对称的点在第三象限内， 点在第一象限， ， 解得：， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形与长方形，顶点，，．将长方形与长方形分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右平移．同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，当长方形与长方形的重叠面积为1时，点M的坐标是________． 【答案】、 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设运动时间为，则运动过程中的点坐标为，，，，分类讨论当长方形与长方形的重叠部分在长方形的左侧和右侧时，求出重叠部分的底，进而解题． 【详解】解：由题意知，，，，矩形的周长为， 设运动时间为，则运动过程中的点坐标为，，，， 当长方形与长方形的重叠部分在长方形的左侧时，如图， ∵高必为2，重叠部分也为矩形，面积为1， ∴底为，即， ∴， 解得， 此时，点走的路程为，位置在线段上， ∴； 当长方形与长方形的重叠部分在长方形的右侧时，如图， ∵高必为2，重叠部分也为矩形，面积为1， ∴底为，即， ∴， 解得， 此时，点走的路程为，，位置在线段上， ∴； 故答案为：、 ． 10．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘，将得到的点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到正方形及其内部的点，其中点，的对应点分别为，．已知正方形内部的一点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题综合考查了数形结合及方程思想，结合图象，利用已知点得出平移规律，再根据题意，利用方程达到解决问题的目的． 首先根据点A到，B到的点的坐标可得方程组，，即可求出、 、的值， 设点的坐标为， 点点重合可列出方程组，再解可得点坐标． 【详解】解：由点A到可得方程组， 由B到可得方程组， 解得， 设点的坐标为， 点点重合得到方程组， 解得 ， 即． 故答案为：. C 培优训练 11．（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知点，解答下列问题： (1)若点到轴和轴的距离相等，求的值． (2)若点向上平移6个单位后，所得的点与点关于轴对称，求的值． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征． （1）根据点到轴和轴的距离相等列绝对值方程求解即可； （2）求出平移后的点的坐标，根据“关于轴对称”列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点到轴和轴的距离相等， ∴， 即， ∴， 解得：或； （2）解：点向上平移6个单位后得到即， ∵所得的点与点关于轴对称， ∴， 即， 解得：． 12．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，已知点是平面直角坐标系内的三点，求三角形的面积． 【答案】 【分析】本题考查直角坐标系中三角形的面积求法，以为底并求出点A到的距离从而求面积是解题的关键．过点A作轴，交x轴于点D，求出和，再用面积公式求解即可． 【详解】解：过点A作轴，交x轴于点D． ， ． ， ， ． 13．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)请在图中作出关于轴对称的图形（点的对应点分别是点），并写出的坐标； (2)请在图中作出关于轴对称的图形（点的对应点分别是点）． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析 【分析】本题考查了坐标系中的对称，坐标与图形变化——轴对称，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）利用轴对称的性质，作出关于轴对称的图形，再写出的坐标； （2）利用轴对称的性质，作出关于轴对称的图形． 【详解】（1）解：如图，作出关于轴对称的图形， 即为所求作，； （2）解：作出关于轴对称的图形，如图， 即为所求作． 14．（25-26八年级上·江西鹰潭·期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，，，已知，，点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒． (1)在运动过程中，当点到的距离为2个单位长度时，求点的运动时间； (2)在点的运动过程中，用含的代数式表示点的坐标． 【答案】(1)t为或 (2)或或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，掌握图形与坐标性质等知识是解题的关键． （1）由题意得，当点到的距离为2个单位长度时，运动路程为或，由此即可解决问题； （2）分三种情形：①当点P在上时，②当点P在上时；③当点P在上时，分别表示即可． 【详解】（1）解：， ， 当点到的距离为2个单位长度时，运动路程为或， 或， 为或； （2）解：①当点P在上时，； ②当点P在上时，， ∵轴， ∴轴， ∴点P横坐标都为6， ∴； ③当点P在上时，， ∵轴， ∴轴， ∴点P纵坐标都为， ∴； 综上，点的坐标为或或． 15．（25-26九年级上·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，和的位置如图所示． (1)画出与关于原点对称的，并直接写出点坐标_____； (2)绕点旋转得到（点的对应点分别为点），作出旋转中心点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查的是确定旋转中心，画关于原点对称的图形，熟记旋转的性质是解本题的关键； （1）分别确定关于原点的对称点，再顺次连接即可； （2）利用网格的特点确定线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】（1）解：如图；为所求图形；          点的坐标为：； 故答案为：， （2）如图； 连接作其垂直平分线的交点即可. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平移与轴对称重难点题型专训 （5个知识点+12大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 坐标系中的平移 题型二 坐标系中的动点问题（不含函数） 题型三 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型四 由平移方式确定点的坐标 题型五 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 题型六 已知图形的平移，求点的坐标 题型七 已知平移后的坐标求原坐标 题型八 坐标系中的对称 题型九 坐标与图形变化——轴对称 题型十 求关于原点对称的点的坐标 题型十一 已知两点关于原点对称求参数 题型十二 判断两个点是否关于原点对称 拓展训练一 坐标系中最值问题 拓展训练二 坐标系中动点问题 拓展训练三 翻折问题中的坐标计算 拓展训练四 旋转问题中的坐标计算 知识点一：关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·上海虹口·期末）若点的坐标为，则点向左平移2个单位后对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海宝山·期末）点向右平移1个单位长度后的点的坐标是_____． 知识点二：坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 【即时训练】 1．（25-26八年级下·上海长宁·期末）已知点，点与点关于轴对称，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·上海松江·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点是_____． 知识点三：坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 【即时训练】 1．（25-26八年级下·上海宝山·月考）将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）已知点与点，若直线平行于轴，则_______． 知识点四：关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 【即时训练】 1．（25-26八年级下上海普陀·月考）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为_________． 知识点五：坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·上海金山·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标是，连接，将线段绕原点旋转，得到对应线段，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海奉贤·月考）如图，小明准备用旋转知识设计一个风车，已知点A的坐标是，为了补全风车，他需要找到A点关于原点O的对称点，则点的坐标是______． 【经典例题一 坐标系中的平移】 【例1】（24-25八年级下·上海虹口·期中）如图，平面直角坐标中，直线分别与两坐标轴的正半轴相交，为直线AB上的一个动点，在点P从点A平移到点B的过程中，坐标x，y的值变化情况是（   ） A．x增大，y也增大 B．x增大，y却减小 C．x减小，y却增大 D．x减小，y也减小 【例2】（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）四盏灯笼的位置如图．已知灯笼，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是__________．（请填写序号） ①将灯笼向左平移3个单位长度；    ②将灯笼向左平移4个单位长度； ③将灯笼向左平移5.2个单位长度；    ④将灯笼向左平移4.2个单位长度． 1．（25-26八年级下·上海宝山·开学考试）在方格纸上有A、B两点，若以B点为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为，若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）长方形的长为5，宽为3，将该长方形按如图的方式放置在平面直角坐标系中，已知点，则点的坐标为__________． 3．（24-25八年级下·上海静安·月考）如图1，在平面直角坐标系中，点，，且实数、满足． (1)直接写出A、B两点的坐标； (2)如图1，为线段上一点，且，求点的坐标； (3)如图2，将线段平移至，使点的对应点落在x轴上，点的对应点落在轴上，连接、，为线段上一点，为轴上一动点，若，求的值． 【经典例题二 坐标系中的动点问题（不含函数）】 【例1】（24-25八年级下·上海青浦·期中）如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【例2】（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标______． 1．（2025八年级下·上海松江·专题练习）如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点，那么点的坐标为____________． 3．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为 ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 【经典例题三 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 【例1】（25-26八年级下·上海虹口·月考）在直角坐标系中，已知点，若点A向右平移3个单位，再向下平移k个单位后，恰好与点B重合，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（24-25八年级下·河北承德·期末）如图，线段两个端点分别是，．将线段先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，点A，B的对应点分别为D，C． （1）点C的坐标是_______________； （2）线段上一点，平移后对应点N的坐标是_______________； （3）四边形的面积是_______________． 1．（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图，正方形中顶点，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2024次变换后，正方形的顶点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，原点为对角线的中点，轴，点的坐标为，，点的坐标为___________． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）中国象棋是我国传统文化中的一部分，体现了古人的智慧，象棋的一个规则是所有棋子最后都要落在网格的格点处．小明是象棋爱好者，在学习了平面直角坐标系后，在如图所示的一半棋盘上建立了一个直角坐标系，这样，“炮”的位置是 (1)请你在图中画出小明建立的直角坐标系，并写出棋子“相”的坐标； (2)棋子“马”走的规则是每步走“日”字形，例如：图中“马”走到“A”处我们可以说成：“马”向上平移1个单位，向右平移2个单位．请回答下列问题： ①“马”可以走到“B”处吗？若可以请写出平移的方法？ ②直接写出点“B”与“炮”所在点之间的线段上任意一点的坐标． 【经典例题四 由平移方式确定点的坐标】 【例1】（2026·上海崇明·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为，点为正方形外一点．若将正方形平移，使点落在正方形内部（不含边界），则平移后点的对应点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）如图，将先向右平移5个单位长度，再关于原点中心对称得到，则点的对应点的坐标是__________． 1．（24-25八年级下·四川德阳·月考）如图所示，平面直角坐标系中，轴负半轴有一点点先向上平移1个单位至，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，照此规律平移下去，点平移至点时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是____． 3．（24-25八年级下·上海金山·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点均在格点上． (1)写出A、B、C三点的坐标； (2)将三角形向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到三角形，并写出、的坐标． 【经典例题五 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 【例1】（24-25八年级下·北京怀柔·期末）如图，，，，将线段平移，使点平移到点，点为点的对应点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·上海闵行·周测）如图，点A，B的坐标分别为，．若将线段AB平移至，则的值为________． 1．（24-25八年级下·上海松江·月考）如图，点A、B的坐标分别是为，，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为（   ）． A．32 B．40 C．52 D．66 2．（24-25八年级下·上海闵行·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点是，平移线段AB得到线段，若点A的对应点的坐标为，则点的坐标为______． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，经过平移得到． (1)分别写出点的坐标： ， ； (2)请说明是由经过怎样的平移得到的； (3)若点是内部的一点，平移后的对应点的坐标为，求和的值． 【经典例题六 已知图形的平移，求点的坐标】 【例1】（24-25八年级下·辽宁营口·期中）如图，第一象限内有两点，，将线段平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【例2】（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B的坐标是，长为2的线段在y轴上移动，则的最小值是______．    1．（24-25八年级下·贵州毕节·月考）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，正方形的四个顶点都在格点上．将正方形沿x轴正方向平移3个单位长度，则点C的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向左平移m个单位，再沿x轴翻折，这样的图形运动叫做图形的变换．如图，等边的顶点，．若经变换后得，经变换后得，经变换后得……，经变换后得……，点的坐标是______． 3．（25-26八年级下·上海闵行·期末）如图，的顶点都在方格线的交点上（每个方格的边长为1个单位长度）． (1)若将绕原点旋转，直接写出的对应点的坐标； (2)将绕点按逆时针方向旋转得到，请在图中画出； (3)将向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度得到，请在图中画出． 【经典例题七 已知平移后的坐标求原坐标】 【例1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位得到点，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】（2025·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为______． 1．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系中，点先向下平移4个单位得到点Q，再将点Q向右平移3个单位得到点R．若点R的坐标为，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2025八年级下·上海三角·专题练习）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为___________． 3．（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形． (1)画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)求三角形的面积； (3)若点是三角形内部的一点，经过平移后对应点的坐标为，求和的值． 【经典例题八 坐标系中的对称】 【例1】（25-26八年级上·山西晋中·期末）在平面直角坐标系中，点的位置如图所示，则点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】 （25-26八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，若点关于y轴对称的点是，则的值为__________ ． 1．（25-26八年级下·山东淄博·期末）春节是中华民族的传统节日，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，在平面直角坐标系中，，两处灯笼的位置关于直线对称，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，平面直角坐标系中，的顶点、在轴上，已知点，则点的坐标是_________． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，已知点A和点B的坐标分别为和． (1)在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)点C的坐标为______，点C关于x轴的对称点的坐标为______． 【经典例题九 坐标与图形变化——轴对称】 【例1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2026次变换后所得的点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·上海长宁·期中）定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”．若点，幸福直线是，则点关于这条幸福直线的对称点的坐标是__________． 1．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点．连接，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 2．（2026八年级下·上海闵行·专题练习）在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2028次变换后所得的点A的坐标是______． 3．（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，的三个顶点的坐标分别为，， (1)画出关于y轴对称的图形，其中点A，B，C的对称点分别为点，，，直接写出点，，的坐标； (2)在x轴上找一点D，使的周长最小，在图中画出点（保留必要的画图痕迹） 【经典例题十 求关于原点对称的点的坐标】 【例1】（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）以下每对函数的图象一定关于原点对称的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【例2】（24-25八年级下·上海嘉定·期中）如图所示，平行四边形的对称中心在原点，，，则其他点的坐标分别为________ 1．（25-26九年级上·河北邢台·月考）如图，的对角线交于原点，若点的坐标为，点的坐标为，则的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 2．（2025八年级上·甘肃兰州·专题练习）如图所示是一个坐标方格盘，你可操纵一只遥控机器蛙在方格盘上进行跳步游戏，机器蛙每次跳步只能按如下两种方式（第一种：向上、下、左、右可任意跳动格或格；第二种跳到关于原点的对称点上）中的一种进行．若机器蛙在点，现欲操纵它跳到点，请问机器蛙至少要跳______次． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的图形； (2)画出向右平移6个单位长度得到的图形； (3)内一点经过上述两次变换，对应的点的坐标是_________． 【经典例题十一 已知两点关于原点对称求参数】 【例1】（25-26八年级下·上海闵行·周测）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（25-26九年级上·青海西宁·期中）若点和点关于原点对称，则的值为_______． 1．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26八年级下·上海闵行·周测）已知点关于原点对称的点为，将点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点，点在第四象限，那么的取值范围是____________． 3．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）已知点与点关于原点对称，将点向右移动个单位长度得到点，点关于轴的对称点为点． (1)求，的值； (2)在图中标出，，，的位置，顺次连接，，，，求所得图形的面积． 【经典例题十二 判断两个点是否关于原点对称】 【例1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·广西柳州·一模）已知点与点，则这两个点关于______对称． 1．（24-25八年级下·上海闵行·课后作业）已知两点，若，则点与（    ） A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．以上均不对 2．（24-25八年级下·上海闵行·课后作业）把点向下平移4个单位长度，可以得到对应点______，再向左平移6个单位长度可以得到对应点_______，则点与点A关于________对称，点与点A关于_________对称，点与点关于_______对称． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的并写出点的坐标； (3)将每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，顺次连接这些点，会得到一个新图案，这个新图案与有怎样的位置关系？ 【拓展训练一 坐标系中最值问题】 【例1】（24-25八年级下·湖南湘西·月考）如图，在平面直角坐标系中有点，点第一次跳动至点，第二次向右跳动个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动个单位至点，…，依此规律跳动下去，点与点的横坐标距离是（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【例2】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，在直角坐标平面中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的运动规律，动点第2020次运动到点______． 1．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，依作点关于直线的对称点，关于y轴的对称点，关于x轴的对称点，关于直线的对称点，关于y轴的对称点，关于x轴的对称点……按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、坐标分别为和．若正方形第1次沿轴翻折，第2次把第1次翻折后的图形沿轴翻折，第3次把第2次翻折后的图形沿轴翻折，第4次把第3次翻折后的图形沿轴翻折，第5次把第4次翻折后的图形沿轴翻折，…，按此规律，则第2026次翻折后的图形点对应的坐标是___________． 3．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）【观察思考】在平面直角坐标系中，若直线上的所有点的横坐标均为，则直线称为直线．如图，直线上的横坐标均为3，记为直线．探索关于直线对称的点的坐标规律如下： 已知点 对称轴 对称点 横坐标之间的数量关系 直线 直线 直线 (1)【特例感知】根据以上图表，可知关于直线对称的点的坐标为______． (2)【规律应用】结合以上规律完成下列问题： ①点关于直线对称的点的坐标为______． ②若点关于直线对称的点的坐标为，则的值为______． (3)【深入拓展】若点与点关于直线对称，求点的坐标．（用含有，，的代数式表示） 【拓展训练二 坐标系中动点问题】 【例1】（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，在中，，点，，，P为上一动点，连接，，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【例2】（25-26八年级上·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，．点C为点B关于y轴对称的点，连接．若P是y轴上一动点，Q是上一动点，则的最小值是__________ ． 1．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，向右平移3个单位长度到达点，再向上平移6个单位长度到达点，再向左平移9个单位长度到达点，再向下平移12个单位长度到达点，再向右平移15个单位长度到达点……按此规律进行下去，该动点到达的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别为，，．一个动点从原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称，……这个动点照此规律跳下去，则点的坐标是________． 3．（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，，点A的坐标为．动点的运动速度为每秒个单位长度，动点的运动速度为每秒个单位长度，且．设运动时间为，动点、相遇则停止运动． (1)求，的值； (2)动点，同时从点出发，点沿长方形的边界逆时针方向运动，点沿长方形的边界顺时针方向运动，当为何值时、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标； (3)动点从点出发，同时动点从点出发：若点、均沿长方形的边界逆时针方向运动，为何值时，、两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，求出此时、所在位置的坐标． 【拓展训练三 翻折问题中的坐标计算】 【例1】（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·月考）在平面直角坐标系中，将点沿轴折叠，得到对应点，则点的坐标为________． 1．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），B（3，﹣1），将线段AB沿y轴折叠，使点B落在点B1（﹣3，﹣1）处，则点A的对应点A1坐标为（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣2，1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣1） 2．（2025·河南南阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的点的坐标为是线段上一点，且，沿折叠后点落在点处，那么点的坐标为___________． 3．（24-25八年级下·福建南平·期中）平面直角坐标系是一个非常重要的数学工具，它使数对和平面直角坐标系的点建立起对应关系，揭示了数对与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 小明在草稿纸上画了一个平面直角坐标系进行操作探究： （1）操作一：沿着y轴折叠，（1，0）表示的点与（-1，0）表示的点重合，则（﹣2，0）表示的点与（ ， ）表示的点重合； （2）操作二：沿着平行于y轴的某直线折叠，若使（1，0）表示的点与（﹣3，0）表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与（ ， ）表示的点重合； ②若A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），到x轴的距离都为3，且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点的坐标．（直接写出） 【拓展训练四 旋转问题中的坐标计算】 【例1】（2025·江苏南京·二模）格点在平面直角坐标系中的位置如图所示．和关于x轴对称，将向左平移8个单位，再向下平移2个单位得，再将绕着点按逆时针方向旋转后得． 下列说法：①绕某点旋转一定的角度可得到；②绕某点旋转一定的角度可得到；③与关于某条直线对称．其中所有正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【例2】（25-26九年级上·上海闵行·期末）在平面直角坐标系中，将点绕原点旋转后，得到的对应点的坐标是__________． 1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南商丘·月考）如图，在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上取一点，在第一象限取一点，使，将，绕点旋转，若点落在轴上，则旋转后点的对应点的横坐标为______． 3．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画图：将绕点旋转，画出旋转后对应点；平移，使点的对应点的坐标为，画出平移后对应的． (2)可由通过旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标及旋转角的度数． A基础训练 1．（24-25八年级下·山东临沂·期末）平面直角坐标系中，将点沿着轴向上平移个单位后得到点，则下列结论：①点的坐标为；②线段的长为个单位长度；③线段所在的直线与轴垂直；④点可能在线段上；⑤点一定在线段上．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2025·海南海口·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，，．将线段平移至线段，若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海虹口·期末）如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，则平移的方法可以是（    ） A．将点向右平移7个单位 B．将点向右平移5个单位 C．将点向右平移1个单位 D．将点向右平移2个单位 4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，，依此类推，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线交于原点O ， 平行x轴，点M的坐标是， 点F的坐标是， 则点N的坐标是（ ） A． B． C． D． B 提高训练 6．（24-25八年级上·甘肃白银·月考）已知与点关于x轴对称，则______． 7．（24-25八年级上·上海闵行·单元测试）点向下平移个单位到达点，点与恰好关于轴对称，则点坐标是____． 8．（2025九年级·上海闵行·模拟预测）已知与点关于原点对称的点在第三象限内，则的取值范围是______________． 9．（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形与长方形，顶点，，．将长方形与长方形分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右平移．同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，当长方形与长方形的重叠面积为1时，点M的坐标是________． 10．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘，将得到的点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到正方形及其内部的点，其中点，的对应点分别为，．已知正方形内部的一点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点的坐标是______． C 培优训练 11．（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知点，解答下列问题： (1)若点到轴和轴的距离相等，求的值． (2)若点向上平移6个单位后，所得的点与点关于轴对称，求的值． 12．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，已知点是平面直角坐标系内的三点，求三角形的面积． 13．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)请在图中作出关于轴对称的图形（点的对应点分别是点），并写出的坐标； (2)请在图中作出关于轴对称的图形（点的对应点分别是点）． 14．（25-26八年级上·江西鹰潭·期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，，，已知，，点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒． (1)在运动过程中，当点到的距离为2个单位长度时，求点的运动时间； (2)在点的运动过程中，用含的代数式表示点的坐标． 15．（25-26九年级上·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，和的位置如图所示． (1)画出与关于原点对称的，并直接写出点坐标_____； (2)绕点旋转得到（点的对应点分别为点），作出旋转中心点．（保留作图痕迹，不写作法） 学科网（北京）股份有限公司 $